Tong hop chuong trinh tu.pdf

Tổng hợp từ chương trình tìm kiếm tài năng toán quốc tế

Trang 1

KOREAGERMAN

International Mathematical Tale

[Cuộc thi Tìm kiếm Tài năng

Trang 2

Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế © diendantoanhoc.net

Bài toán 1/1 Với mọi số nguyên dương n, lập số n/s(n), ở đó s(n) là tổng các chữ số của n trong hệ thập phân Tính giá trị nhỏ nhất của n/s(n) trong mỗi trường hợp sau:

() 10 <n<99

(ii) 100 <n < 999

(iii) 1000 < n < 9999

(iv) 10000 < n < 99999

Bài toán 2/1 Tìm tất cả các cặp số nguyên (n, k), 2 < k < n, sao cho các số C*1,

Ck, C* tao thanh mot day sé tang

Bài toán 3/1 Trên một bảng cỡ 8 x 8 người ta đặt n quân cờ Đôminô, mỗi quân chiếm hai ô kề nhau, sao cho không thể đặt thêm quân Đôminô nào vào các ô còn lại Hỏi giá trị nhỏ nhất của n là bao nhiêu để trạng thái trên còn đúng?

Bài toán 4/1 Chứng minh rằng một tam giác nhọn tuỳ ý có thể bị cắt ra bởi các đoạn thắng thành ba phần theo ba cách khác nhau sao cho mỗi phần có một trục đối xứng

Bài toán 5 /1 Chứng minh rằng có thể chia một tứ diện tuỳ ý thành 6 phần bởi các mặt phẳng hoặc phần mặt phẳng sao cho mỗi một phần có một mặt phẳng đối xứng

International Mathematical Talent Search -1- handuc@hello.to

Trang 3

Tìm kiếm Tài năng Toán hoc Quốc tế © diendantoanhoc.net

Bài toán 1/2 Số nguyên nhỏ nhất là bội số của 9997, khác 9997, chỉ chứa một chữ số lẻ, là bao nhiêu?

Bài toán 2/2 Chứng minh rằng mọi tam giác có thể chia thành 9 hình ngũ giác lồi không suy biến

Bài toán 3/2 Chứng minh rằng nếu x, y và z là các số nguyên dương đôi một nguyên tố cùng nhau, và nếu ys thì x + y, x - z và y - z là các số chính phương

Bài toán 4/2 Cho a, b, c và d là diện tích của các mặt tam giác của một tứ diện

và h„ h„ h„ và hạ là các đường cao tương ứng của tứ diện Kí hiệu V là thể tích

của tứ diện, chứng mỉnh rằng

(at+b+c+d)(h, +h, +h,+ hg) 2 48V

Bai todn 5/2 Chitng minh rằng có vô số số nguyên dương n sao cho hình hộp

cỡ n x n x n không thể được ghép bởi các khối lập phương cỡ 2 x 2 x 2 và 3 x 3 x 3

Trang 4

Bài toán 1/3 Chú ý rằng nếu tích của hai phần tử khác nhau của tập {1, 16, 27} tăng thêm 9 thì kết quả là một số chính phương Hãy tìm các số nguyên dương n sao cho n + 9, lón + 9, và 27n + 9 cũng là các số chính phương

Bài toán 2/3 Chú ý rằng 1990 có thể "trở thành một số chính phương (turned into a square) bằng cách thêm một chữ số vào bên phải nó và một số chữ số ở bên trái nó; chang hạn 419904 = 648? Chứng minh rằng 1991 không thể trở thành một

số chính phương bằng cách trên; có nghĩa là, không tồn tại các chữ số d, x, y, sao cho .yx1991d là một số chính phương

Bài toán 3/3 Tìm k nếu P, Q, R và S là các điểm trên các cạnh của tứ giác ABCD sao cho

Bài toán 5/3 Hai người, A và B chơi trò chơi với một cỗ bài 32 lá A là người bắt đầu, và tiếp đó hai người chơi xen kẽ luân phiên nhau Mỗi người lấy hoặc một lá bài hoặc một số nguyên tố lá bài Cuối cùng tất cả các lá bài được chọn, và người không lấy lá bài cuối cùng là người thua Ai sẽ thắng nếu họ đều chơi theo chiến lược tối ưu?

Trang 5

Bài toán 1/4 Dùng mỗi chữ số 1, 2, 3, 4, 5, ó, 7, 8, 9 đúng hai lần để lập các số

nguyên tố khác nhau sao mà tổng càng nhỏ càng tốt Tổng này nhỏ nhất phải bằng bao nhiêu? (Chú ý: 5 số nguyên tố nhỏ nhất là 2, 3, 5, 7, và 11)

Bài toán 2/4 Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao mà có thể biểu diễn thành tổng của các số nguyên dương phân biệt a, b, và c sao cho a + b, a + c và b + c là các số chính phương?

Bài toán 3/4 Chứng minh rằng một số nguyên dương có thể biểu diễn dưới dạng 3x? + y? nếu và chỉ nếu nó cũng có thể biểu diễn dưới dạng uˆ + uv + v2, ở đó

x, y, u, va v là các số nguyên dương

Bài toán 4/4 Cho AABC tuỳ ý, dựng P, Q và R sao cho mỗi một góc tạo thành

là 30° Chứng minh rằng APOR là tam giác đều

Bài toán 5/4 Số đo các cạnh của AABC là 11, 20 và 21 đơn vị Ta gấp nó dọc theo PQ, OR và RP, ở đó P, Q, R là các trung điểm của các cạnh của tam giác, cho đến khi A, B, và C trùng nhau Hỏi thể tích của tứ diện tạo thành là bao nhiêu?

Trang 6

Bài toán 1/5 Tập hợp S gồm 5 số nguyên Nếu mỗi cặp phần tử phân biệt của S

được cộng với nhau thì 10 tổng thu được là 1967, 1972, 1973, 1974, 1975, 1980,

1983, 1984, 1989, 1991 Tìm những phần tử của S?

Bài toán 2/5 Cho các số nguyên n > 3 và k > 2, và hình thành các hiệu số (sai phân tiến - forward difference) của các phần tử của dãy

1,n, n, ,nÊ 1

và cứ thế lấy các hiệu số liên tiếp của các dòng trên để được dòng dưới, như chỉ

ra trên bảng dưới với (n, k) = (3, 5) Chứng minh rằng các kết quả (số ở dòng cuối

cùng) là khác nhau với các cặp (n, k) khác nhau

dương để biết được zm Nếu số bạn đoán nhỏ hơn số m của trọng tài thì ông ta gọi

nó là một "bóng" (ball); nếu số đó lớn hơn hoặc bằng mm thì trọng tài gọi đó là một

"cú đánh" (strike) Để "đánh trúng" (hit) nó, bạn phải tìm được đúng giá trị của zn sau cú đánh thứ 3 hoặc lần đoán thứ ó6, tuỳ theo cái nào trước Giá trị lớn nhất của z¡ là bao nhiêu để tôn tại một chiến lược cho phép bạn đánh (bat) được 1000 điểm, nghĩa là luôn tìm đúng zn ? Hãy nêu chỉ tiết chiến lược đó

Bài toán 4/5 Chứng mỉnh rằng nếu f là một hàm thực khác hàm hằng sao cho

VỚI mọi x ta có

f(x + 1) + f(x- 1) = v3 f(x)

thì f là hàm tuần hoàn Tìm số dương p nhỏ nhất sao cho f(x + p) = f(x) với mọi x?

Bài toán 5/5 Trong AABC (hình vẽ), gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp Gọi

Tạ, Tp, rc là các bán kính của các đường tròn tiếp xúc với đường tròn nội tiếp và với các cạnh của tam giác, tương ứng với các đính A, B, C Chứng minh rằng:

Trang 7

Bài toán 1/6 Chín đường thẳng, cùng song song với một cạnh của một tam giác và chia mỗi cạnh còn lại thành 10 đoạn bằng nhau và chia diện tích thành 10 phần khác nhau Tìm diện tích của tam giác ban đầu, nếu diện tích của phần lớn nhất là 76

Bài toán 2/6 Có bao nhiêu cách biểu diễn 1992 dưới dạng tổng của một hoặc nhiều các số nguyên liên tiếp?

Bài toán 3/6 Chứng minh rằng tồn tại một lục giác có các góc bằng nhau trên

mặt phẳng mà độ dài các cạnh của nó là 5, 8, 11, 14, 23 và 29 đơn vị, theo một thứ

tự nào đó

Bài toán 4/6 Một công ty quốc tế có 250 nhân viên, mỗi người có thể nói vài ngôn ngữ Trong mỗi cặp nhân viên (A, B), có một ngôn ngữ được A nói mà B không và có một ngôn ngữ được B nói mà A không Có ít nhất bao nhiêu ngôn ngữ được nói trong công ty?

Bài toán 5/6 Một bàn cờ vô hạn (infnite checker-board) được chia bởi một đường kế nằm ngang thành nửa trên và nửa dưới như hình vẽ Một số quân cờ đã được đặt vào bàn cờ bên dưới đường kẻ (trong các ô) Một "bước đi" (move) là một quân cờ nhảy dọc hoặc ngang qua một quân cờ khác và ăn quân cờ đó

Giá trị nhỏ nhất của n để có thể đặt quân cờ cuối cùng vào dòng thứ 4 phía trên đường kẻ ngang sau z- 1 bước đi là bao nhiêu? Hãy mô tả vị trí ban đầu của các quân cờ và từng bước đi

Trang 8

Bài toán 1/7 Trong một hình thang ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại E Diện tích của AABE là 72, và diện tích của ACDE là 50 Diện tích của hình thang ABCD

là bao nhiêu?

Bài toán 2/7 Chứng mỉnh rằng nếu a, b và c là các số nguyên dương sao cho c?

=a? + bể, thì cả c? + ab và c? - ab đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của hai số chính phương

Bài toán 3/7 Với n là một số nguyên dương, kí hiệu P(n) là tích của tất cả các ước số nguyên đương của n Tìm n nhỏ nhất để

P(P(P(n))) > 10”

Bài toán 4/7 Khi chép lại trên bảng một dãy 6 số nguyên dương là một cấp số cộng, một sinh viên viết 5 số: 113, 137, 149, 155, 173, và bỏ sót một số Sau đó cậu

ta nhận ra rằng cũng đã chép sai một số trong chúng Bạn hãy giúp cậu ta và tìm

lai day ban đầu

Bài toán 5/7 Cho T = (a, b, c) là một tam giác với các cạnh a, b, và c và diện tích

A Kí hiệu T' = (a!, b, c') là tam giác với các cạnh là đường cao của T (nghĩa là a' =

h,, b'=h,, c' =h,) va kí hiệu diện tích cua no la A’ Tương tự kí hiệu T" = (a", b", c'')

là tam giác tạo bởi các đường cao của T', va ki hiéu dién tich cua né 1a A" Cho A' =

30 va A" = 20 Hay tim A

Trang 9

Bài toán 1/8 Chứng minh rằng không có tam giác nào có độ dài các đường cao

là 4, 7 và 10 đơn vị

Bài toán 2/8 Như trên hình vẽ, có một số thực x, 0 < x < 1, sao cho ta có thể

chia hình vuông đơn vị thành 7 tam giác đồng dạng Khi đó x phải thoả mãn một

đa thức dạng chuẩn bậc 5 Tìm đa thức đó (Đa thức dạng chuẩn là đa thức có hệ

số của bậc cao nhất của x là 1.)

Bài toán 3/8 (¡) Có thể sắp xếp lại các số 1, 2, ., 9 thành a(1), a(2), ., a(9) sao

¬ |a(1) - 1|, |a(2) - 2|; |a(9) - 9|

(ii) Có thể sắp xếp lại các số 1, 2, ., 10 thành a(1), a(2), ., a(10) sao cho các số sau đây đôi một khác nhau hay không? Chứng minh khẳng định của bạn:

|a() - 1|, |a(2) - 2|; , | a(10) - 10]

Bài toán 4/8 Trong một cuộc chạy 50 mét, Anita có thể chấp Bob nhiều nhất 4 mét và đuổi kịp cậu ta tại vạch đích Trong một cuộc chạy 200 mét, Bob có thể

chấp Carol nhiều nhất 15 mét và đuổi kịp cô ta tại vạch đích Giả sử rằng tất cả 3 người luôn chạy với một vận tốc không đổi Hỏi Anita có thể chấp Carol nhiều nhất bao nhiêu mét trong một cuộc chạy đua 1000 mét mà vẫn có thể đuổi kịp cô

Hay tinh ax* + by’

Trang 10

Bài toán 1/9 Một lưới m x n được đặt sao cho một góc của nó tại (0, 0) và một góc tại (m, n) Một bước đi hợp lệ được định nghĩa là một bước chuyển một đơn

vị theo hướng dương của y hoặc một đơn vị theo hướng dương của x Điểm (¡, j) của lưới, với 0 < i <m và 0 <j < n, bị bỏ đi và không có đường đi nào qua nó bằng

các bước đi để đến điểm (m, n)

Có bao nhiêu con đường có thể đi từ (0, 0) đến (m, n), bằng các bước đi như vậy?

Bài toán 2/9 Cho một điểm P và hai đoạn thang trên một mảnh giấy hình chữ nhật sao mà giao điểm Q của các đường thắng chứa chúng không nằm trên mảnh giấy Làm thế nào để dựng đường thắng PQ với một cái thước nếu chỉ được phép

vẽ trong phạm vi của mảnh giấy? (*)

Bài toán 3/9 Một đa giác lôi có 1993 đỉnh được tô màu sao cho hai đỉnh kể nhau có màu khác nhau Chứng minh rằng người ta có thể chia đa giác thành các tam giác bằng các đường chéo không giao nhau mà hai đầu mút có màu khác nhau

Bài toán 4/9 Một tam giác được goi la Heronian néu sé đo các cạnh và diện tích của nó là các số nguyên Xác định tất cả 5 tam giác Heronian có chu vi và diện tích cùng bằng một số nguyên

Bài toán 5/9 Một bộ gồm 5 "Hình lập phương ki ao" (con xtic sac - Trick Math Cube3 được cho dưới dạng khai triển phẳng như hình vẽ Một "Pháp su" (magician) yêu cầu bạn gieo chúng và cộng 5 số ở mặt trên lại Ông ta cũng nhẩm

và viết ngay ra kết quả vào một tờ giấy trước khi bạn cộng xong! Ông ta đã làm thế nào? Trình bày và giải thích trò mẹo này

Trang 11

IMTS vong 10 Bai toan 1/10 Tim x’ + y’ + zˆ nếu x, y và z là các số nguyên dương thoả mãn

7x” - 3y” + 4z? = 8 và 16x” - 7y? + 9z = - 3

Bài toán 2/10 Từ ước lượng đơn giản 1 < 43 < 2, hãy suy ra rằng 6 < 3*? <7

Bài toán 3/10 Với mỗi số nguyên dương n, n > 2, hay xác định hàm số:

£(x) =a, + b,x +¢,|x-d,|,

3 dé a,, b,, Cy, d, chi phu thudc vao n, sao cho:

f,(k) =k+1vdik=1,2, ,n-1 va f,(n) =1

Bài toán 4/10 Một túi chứa 1993 bóng đỏ và 1993 bóng đen Chúng ta hãy lấy

đi hai bóng một lúc nhiều lần và

(1) Loại bố chúng nếu chúng có cùng màu

(ii) Nếu chúng khác màu, loại bổ bóng đen và bỏ lại bóng đỗ vào túi

Hỏi xác suất để quá trình sẽ kết thúc với một quả bóng đỏ còn lại trong túi là bao nhiêu?

Bài toán 5/10 Cho P là một điểm trên vòng tròn ngoại tiếp của AABC không trùng với A, B và C Giả sử rằng BP cắt AC tại X và CP cắt AB tại Y Cho Q là giao điểm khác A của hai vòng tròn ngoại tiếp AABC và AAXY Chứng minh rằng PQ

chia đôi đoạn XY (Các giao điểm khác nhau có thể xảy ra với phần kéo dài của các đoạn thắng)

Trang 12

Tìm kiểm Tài năng Toán hoc Quốc tế © diendantoanhoc.net

Bài toán 4/11 Chứng minh rằng nếu 3 trong 4 đường phân giác trong của một

tứ diện đồng quy thì cả 4 đường phân giác ấy phải đồng quy tại một điểm

Bai todn 5/11 Cho f(x) = x* + 17x” + 80x? + 203x + 125 Tìm đa thức bậc nhỏ nhất g(x) sao cho f(3 + 43 ) = g(3+ x3 ) và f(5++xJ5 ) = g(5+ x5 )

Trang 13

Tìm kiểm Tài năng Toán hoc Quốc tế © diendantoanhoc.net

của 13 Thày giáo quan sát và thấy rằng trừ hai sinh viên ra thì tất cả những người

khác nói đúng Và hai sinh viên phát biểu sai nói cách nhau một người khác

Hỗi số được viết trên bảng là số nào?

Bài toán 2/12 Một hình 12-giác đều được nội tiếp trong một hình vuông diện

tích bằng 24 như hình vẽ, ở đó 4 đỉnh của hình 12-giác là trung điểm của các cạnh hình vuông Tìm diện tích của hình 12-giác đều

Bài toán 3/12 Cho S là tập hợp gồm 30 điểm trên mặt phẳng, có tính chất là khoảng cách giữa hai điểm phân biệt bất kì trong S nhỏ nhất bằng 1 Định nghĩa T

là tập con lớn nhất của S sao cho khoảng cách giữa hai điểm phân biệt bất kì của T

là nhỏ nhất bằng A3 Có bao nhiêu điểm trong tập T?

Bài toán 4/12 Chứng minh rằng nếu 12 +3/4 là nghiệm của một đa thức bậc

ba với các hệ số nguyên, thì nó là nghiệm thực duy nhất của đa thức này

Bài toán 5/12 Trong hình vẽ, l và l; là hai đường thắng song song, AB là đoạn vuông góc với chúng, và P, Q, R, S là các giao điểm của 1, va 1, với một đường tròn với đường kính lớn hơn AB và tâm C nằm trên đoạn thắng AB Chứng minh rằng tích PR.PS không phụ thuộc vào vị trí của điểm C trên đoạn thắng AB

Trang 14

IMTS vong 13 Bài toán 1/13 Milo là một sinh viên trường Mindbender Hiph Sau mỗi bài kiểm tra, cậu ta tính điểm trung bình của mình và luôn làm tròn tới phần trăm gan nhất (85,49 làm tròn xuống thành 85, nhưng 85,50 thì làm tròn lên thành 86) Hôm nay cậu ta có hai bài kiểm tra Bài đầu cậu ta được 75 điểm môn tiếng Pháp, làm giảm điểm trung bình của cậu ta đi 1 điểm Sau đó cậu ta được 83 điểm môn lịch sử, làm tăng điểm trung bình của cậu ta lên 2 điểm

Hỏi điểm trung bình của Milo hiện nay là bao nhiêu?

Bài toán 2/13 Erin đang nghĩ ra một trò chơi và muốn chọn 4 loại đồng tiền từ các loại $1, $2, $3, $5, $10, $20, $25 và $50 để chơi với tiền Cậu ta đã chọn chúng

như thế nào để mà mọi giá trị từ $1 đến $120 có thể nhận được bằng cách dùng nhiều nhất là 7 tờ bạc

Bài toán 3/13 Với số nguyên dương d nào thì có thể tô màu các số nguyên màu

đó hoặc xanh sao cho không có hai điểm đổ nào cách nhau d và không có hai điểm xanh nào cách nhau 1?

Bài toán 4/13 Chứng mỉnh rằng có vô hạn bộ ba số nguyên dương sắp thứ tự

(x, y, Z) sao cho

x'+y`=z

Bài toán 5/13 Chỉ được trang bị một compa (không có cạnh thắng) vẽ hai đường tròn cắt nhau theo một góc vuông; tức là dựng những đường tròn đè lên nhau trong cùng một mặt phẳng, trực giao (các tiếp tuyến tại lần lượt hai giao điểm của chúng vuông góc)

Trang 15

IMTS vong 14 Bài toán 1/14 Cho a, b, c, d là các số dương sao cho a’ + b’ + (a- bP =? + d? + (c - d)? Chitng minh rang a‘ + b* + (a - b}! = cÝ + đ + (c - đ)!

Bài toán 2/14 Các nhãn giá trong một cửa hàng bách hoá ghi như sau:

Bài toán 4/14 Cho các số nguyên dương a và b Kí hiệu a ~ b nếu ab + 1 là một

số chính phương Chứng minh rằng nếu a ~ b, thì tổn tại một số nguyên dương c sao cho a ~ c và b ~ c

Bài toán 5/14 Cho tam giác ABC, kéo dài các cạnh để dựng thành hai hình lục giác như hình vẽ So sánh diện tích của hai lục giác đó

Trang 16

IMTS vòng 15 Bài toán 1/15 Có thể ghép đôi các số nguyên dương 1,2, 3, ., 50 sao cho tổng của mỗi cặp số là các số nguyên tố khác nhau hay không?

Bài toán 2/15 Hãy thay thế các chữ cái khác nhau bởi các chữ số khác nhau trong {0, 1, 9} sao cho các phép cộng sau đúng (Hai phép toán độc lập với nhau)

Ax , A; Chúng có các đỉnh khác là B và C Không có ba điểm nào trong 9 điểm

là thang hàng Mỗi cạnh trong 14 canh BA, va CA, (i = 1, ., 7), 14 đường chéo của đáy, và đoạn BC, được tô màu xanh hoặc dé Chitng minh rằng có ba đoạn trong chúng có cùng màu và là ba cạnh của một tam giác

Bài toán 4/15 Giả thiết cho các số nguyên dương a, b, c và x, y, z thoả mãn a? + b?= c? và x? + y? = z2 Chứng minh rằng:

(a+x)?+(b+y)'< (+ z)

Và hãy xác định khi nào dấu bằng xây ra?

Bài toán 5/15 Cho C¡ và C; là hai đường tròn cắt nhau tại A và B Cạ là đường tròn qua A với tâm B Hãy xác định điều kiện để cho dây cung chung của C¡ và C¡ tiếp xúc với C;?

Trang 17

IMTS vòng 16

Bài toán 1/16 Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 thì a? + bỶ + c° = 3abc

Bài toán 2/16 Với n là một số nguyên dương, đặt P(n) là tích của các chữ số khác không trong hệ thập phân của n Ta gọi n là "prodigitious" nếu P(n) chia hết

n Chứng minh rằng không thể có một dãy 14 số nguyên dương liên tiếp mà tất cả

là prodigitious

Bài toán 3/16 Các đĩa được đánh số từ 1 đến n và xếp vào một hàng các ô vuông với một ô vuông để trống Một bước chuyền bao gồm lấy đi một dia va di chuyển nó vào ô trống Mục đích là sắp xếp lại các đĩa với số bước chuyển ít nhất sao cho đĩa 1 trong ô vuông 1, đĩa 2 trong ô vuông 2, ., đĩa n trong Ô vuông n, va

ô vuông cuối cùng là ô trong Chang han, nếu vị trí ban đầu là

Trang 18

IMTS vòng 1 Bài toán 1/17 Số 154 chữ số 19202122 .939495 nhận được bằng cách viết liền nhau các số nguyên từ 19 đến 95 theo chiều tăng dần Chúng ta xoá đi 95 chữ số của số đó để được một số lớn nhất có thể được Hỏi 19 chữ số của số có 59 chữ số nay là gì?

Bài toán 2/17 Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (m, n) sao mà mỂ - nˆ = 1995,

Bài toán 3/17 Chứng minh rằng có thể sắp xếp trên mặt phẳng 8 điểm sao cho

không có 5 điểm nào trong chúng là các đỉnh của một ngũ giác lồi (Một ngũ giác

là #ổï nếutất cả các góc trong của nó không vượt quá 180 độ)

Bài toán 4/17 Một người đàn ông hơn vợ ông ta 6 tuổi Ông ta cho biết 4 năm trước ông ta đã cưới vợ được đúng một nửa số tuổi ông ta Ông ta sẽ bao nhiêu tuổi vào lễ kỉ niệm 50 năm ngày cưới nếu vào 10 năm tới thì bà vợ đã trải qua 2/3 cuộc đời lấy ông ta? (*)

Bài toán 5/17 Số bé nhất các hình chữ nhật 3 x 5 là bao nhiêu sẽ phủ kín một

hình vuông 26 x 26? Các hình chữ nhật có thể đè lên nhau và/hoặc lên các cạnh

của hình vuông Bạn nên chứng minh kết luận của bạn bằng một ví dụ cụ thể

Trang 19

IMTS vong 18

Bài toán 1/18 Xác định độ dài nhỏ nhất của khoảng [a, b] sao choa< x+y <b

với mọi số thực x > y > 0 thoả mãn 19x + 95y = 1995,

Bài toán 2/18 Với số nguyên dương n > 2, kí hiệu P(n) là tích của các ước số nguyên dương (bao gồm 1 và n) của n Tìm số n nhỏ nhất để P(n) = n9

Bài toán 3/18 Cho đồ thị (graph) trên hình vẽ với 10

đính, 15 cạnh và mỗi đỉnh có bậc 3 (nghĩa là có 3 cạnh

nối với mỗi đỉnh) Một số cạnh được đánh số 1, 2, 3, 4,

5 như hình vẽ Chứng minh rằng có thể đánh số 6, 7, , 4À / 2

15 các cạnh còn lại sao cho tại mỗi đỉnh tổng của các số

trên các cạnh nối với nó là bằng nhau

Bài toán 4/18 Cho a, b, c, d là các số thực khác nhau 5 <1

sao cho a +b +c + d =3 và a” + bỶ + c° + dˆ= 45

Tìm giá trị của biểu thức:

(a-b)(a-c)(a-d) (b-a)(b-c)(b-d) (c-a)(c-b)(c_-d) (d-a)(d-b)(d-c)

Bài toán 5/18 Cho a và b là hai đường thang trén mat phẳng, và C là một điểm như hình vẽ Chỉ dùng một compa và một thước thẳng không chia vạch, hãy

dựng một tam giác vuông cân ABC, sao cho A nằm trên a, B nằm trên b và AB là

cạnh huyền của tam giác ABC

— _

Trang 20

IMTS vòng 19

Bài toán 1/19 Có thể thay thế mỗi dấu + dưới đây thành - hoặc + để

+1+2+3+4+5+ +96 = 1996

Nhiều nhất bao nhiêu dấu + có thể được thay bởi đấu +?

Bài toán 2/19 Ta nói (a, b, c) là một primitive Heronian triple néu a, b va c la các số nguyên dương không có thừa số chung (khác 1), và diện tích của tam giác

mà độ dài các cạnh a, b, c cũng là một số nguyên Chứng minh rằng nếu a = 96 thì

5I5I9|2|J113|3|4 614141211]115|2 6|3|312111610|3

305151010106 31211|16101014|2 0|3/6/4/6/2);6|5 2|J11114|4|4|1|5

Bài toán 4/19 Giả sử rằng hàm f thoả mãn phương trình ham sau

Hay tim £(3)

Bài toán 5/19 Trong hình vẽ, hãy xác định diện tích cua hình bát giác tô đậm

theo diện tích của hình vuông Trong đó các biên của hình bát giác đều là các đường thẳng kể từ các đỉnh của hình vuông đến trung điểm của các cạnh đối

Trang 21

IMTS vong 20 Bài toán 1/20 Hãy xác định số điểm (x, y) trên hyperbol

2xy -5x+y=55 sao mà cả x và y là các số nguyên

Bài toán 2/20 Tìm giá trị nhỏ nhất của n sao cho phát biểu sau đây là đúng: Với mọi tập hợp gồm n số nguyên dương người ta luôn luôn chọn ra được bảy số nguyên dương có tổng chia hết cho 7

Bài toán 3/20 Những ông chồng của 11 nhà toán học đi theo các bà vợ của họ đến dự một cuéc meeting Thinh thoảng những người chồng đi qua một người

khác trên đại sảnh, nhưng một khi đôi nào đó đã đi qua nhau một lần, thì họ không bao giờ đi qua nhau lần nào nữa Khi họ qua đi qua nhau, hoặc chỉ một người nhận thấy người kia, hoặc họ nhận ra nhau, hoặc không ai nhận ra người khác Chúng ta sẽ quy cho sự kiện một ông chồng nhận ra người khác như là một

"cái nhìn" (s/ghữnø), và sự kiện họ nhận ra nhau là một "cuộc tán gẫu" (chai, vì lẽ rằng trong trường hợp này họ ngừng lại để tán gẫu Chú ý rằng mỗi cuộc tán gẫu ứng với hai cái nhìn

Nếu 61 cái nhìn xảy ra, chứng minh rằng một trong những ông chồng phải có

ít nhất hai cuộc tán gâu

Bài toán 4/20 Giả sử rằng a và b là hai số nguyên dương sao cho các phân số a/(b- 1) và a/b, khi làm tròn (theo quy tắc thông thường, nghĩa là gặp chữ số 5 và

lớn hơn thì làm tròn lên, còn chữ số 4 và nhỏ hơn thì làm tròn xuống) tới 3 chữ số thập phân sau dấu phảy, thì cả hai số thập phân có giá trị là 0,332

Bài toán 5/20 Trong hình vẽ, các tâm của những đường tròn Cụ, C¡, và C; là

thắng hàng, A và B là các giao điểm của C, và C„, và C là giao điểm của Cụ và đường thang đi qua AB Chitng minh rang hai đường tròn nhỏ, tiếp xúc với Cụ, C,, BC, và Cụ, C„BC tương ứng, là bằng nhau

Trang 22

IMTS vong 21 Bài toán 1/21 Hãy xác định các số trong ô trống của hình vuông

kì ảo (magic square) trên hình vẽ sao cho tổng của ba số trên mỗi

hàng, cột và trên mỗi đường chéo chính đều bằng một hằng số k Số

k là bao nhiêu?

Bài toán 2/21 Tìm số nguyên dương nhỏ nhất xuất hiện trong mỗi cấp số cộng cho ở đưới, và chứng minh rằng có vô hạn số nguyên dương xuất hiện trong cả ba dãy này

5, 16, 27, 38, 49, 60, 71,

7, 20, 33, 46, 59, 72, 85,

8, 22, 36, 50, 64, 78, 92,

Bài toán 3/21 Sắp xếp lại các sé nguyén 1, 2, 3, 4, ., 96, 97 thanh mot day a,, a,,

As, Ay, ., Aggy Ag7 SAO Cho gid tri tuyệt đối của hiệu của a;,; và a; là 7 hoặc 9 với moi i

= 1, 2, 3, , 96

Bài toán 4/21 Thừa nhận quá trình vô hạn như trên hình vẽ bên trái (mà người

ta thường gọi là liên phân số - ND), có lợi khi biểu diễn một số thực dương Hãy xác định số thực này

33

3128

+

Bài toán 5/21 Cho tam giác cân (trên hình bên phải) ABC với ⁄ABC = ⁄ACB = 78° Gọi D và E là các điểm tương ứng trên AB và AC sao cho ⁄BCD = 24° va ZCBE = 51° Hay xác định, với một chứng minh, góc ZBED

International Mathematical Talent Search - Ø4~ handuc@hello.to

Định dạng
Số trang	45
Dung lượng	9,63 MB

Tong hop chuong trinh tu.pdf

2=al6©; 2l6Ô„ Í6 Ô;