Bài toán 1/38. Một cách để kiểm tra tính chia hết cho 19 của một số là như sau:
Bỏ đi chữ số cuối cùng của số đó, cộng hai lần chữ số đã bỏ đi vào số đã lược bỏ
nó, và lặp lại thủ tục này cho tới khi thu được một số nhỏ hơn 20. Khi đó, số ban đầu chia hết cho 19 khi và chỉ khi số cuối cùng là 19. Phương pháp được minh hoạ bởi sơ đồ. Dễ dàng kiểm tra rằng đúng là 67944 chia hết cho 19 trong khi 44976 thì không.
Tìm và chứng minh một phép kiểm tra tương tự cho tính chia hết cho 29.
67944 44976 8 12 6802 4509 4 18 684 468 8 16 76 6 2 12 4 19 10
Bài toán 2/38. Tính 1776'”” (mod 2000), tức là phần dư khi chia 1776'”” cho 2000. (Dấu chấm than ký hiệu cho giai thừa.)
Bài toán 3/38. Cho cấp số cộng các số nguyên
308, 973, 1638, 2303, 2968, 3633, 4298.
Xác định cấp số nhân các số nguyên duy nhất bạ, bạ, bạ, bạ, b;, bạ sao cho 308 < bị < 973 < b, < 1638 < bạ < 2303 < b, < 2968 < b; < 3635 < bự < 4298.
Bài toán 4/38. Chứng minh rằng mỗi khối đa diện có hai đỉnh mà tại đó có cùng số cạnh gặp nhau.
Bài toán 5/38. Trong tam giác ABC, các đoạn PQ, RS và TU tương ứng song song với các cạnh AB, BC và CA, và giao nhau tại các điểm X, Y và Z như hình vẽ. Xác định diện tích của tam giác ABC nếu mỗi đoạn PO, RS và TU chia đôi điện
tích của tam giác ABC và diện tích của tam giác XYZ là 1 đơn vị. Đáp án của bạn
nên dưới dạng a + b2, ở đó a và b là các số nguyên dương. (*)
Tìm kiếm Tải năng Toán hoc Quốc tế © diendantoanhoc.net IMTIS vòng 39
Bài toán 1/39. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất có tính chất là nó có các ước số tận cùng bởi mỗi chữ số thập phân; nghĩa là tận cùng bởi 0, 1, 2, ..., 9.
Bài toán 2/39. Giả sử rằng các phân số tối giản nằm giữa 0 và 1, với mẫu số lớn nhất bằng 99, được liệt kê theo thứ tự tăng dân. Tìm hai phân số kể với 17/76 trong dãy này.
Bài toán 3/39. Cho p(x) = xŸ + x” + 1 có các nghiệm T., r„, rạ, r„ r;. GỌi q(x) = xŸ - 2. Hãy tính tích sau
q(r;)q(;)q(;)q()dứ:).
Bài toán 4/39. Giả sử mỗi phần tử của dãy (©,)” hoặc là dấu + hoặc là dấu -. Xác định dãy các dấu + và - thích hợp sao cho