Bài toán 4/27. Trong mặt phẳng toạ độ vuông góc, ABCD là một hình vuông và các điểm (31, 27), (42, 43), (60, 27), và (46, 16) lần lượt nằm trên các cạnh AB, BC, CD, DA của nó. Xác định diện tích của ABCD.
Bài toán 5/27. Có thể dựng trung điểm của một đoạn thắng cho trước chỉ sử dụng compa hay không? (nghĩa là, không sử dụng thước thắng trừ khi để vẽ đoạn thắng ban đầu).
Tìm kiếm Tải năng Toán hoc Quốc tế © diendantoanhoc.net IMIS vòng 28
Bài toán 1/28. Với số nguyên b và c nào thì x=xX19++x/98 là nghiệm của phương trình xỶ + bx” + c = 0?
Bài toán 2/28. Các cạnh của tam giác có độ dài là a, b, c, ở đó a, b, c là các số
nguyên, a > b, và số đo góc đối diện với c là 60°. Chứng minh rằng a phải là một hợp số.
Bài toán 3/28. Hãy xác định, kèm theo một chứng minh toán học, giá trị của
[x], nghĩa là số nguyên lớn nhất nhỏ thua hoặc bằng x, với:
x=1+-=+-E=+..+ 1
42 43 v1000000 ˆ
Bài toán 4/28. Cho n là một số nguyên dương và giả thiết rằng với mỗi số nguyên k, 1 <k <n, ta có hai đĩa được đánh số k. Yêu cầu sắp xếp 2n đĩa trên một hàng sao cho với mỗi k, 1 < k < n, có k đĩa nằm giữa hai đĩa đánh số k. Chứng mỉnh rằng:
(ï) nếu n = ó, thì không sự sắp xếp nào là thích hợp; (ii) nếu n = 7, thì có thể sắp xếp các đĩa theo yêu cầu.
? Bài toán 5/28. Gọi S là tập hợp tất cả các điểm của một hình lập phương đơn vị (tức là hình lập phương với độ dài các cạnh bằng 1) mà có khoảng cách ngắn
nhất từ bất kỳ đỉnh nào của hình lập phương bằng từ tâm của hình lập phương, tới nó. Xác định hình dạng và thể tích của S.
Tìm kiếm Tải năng Toán hoc Quốc tế © diendantoanhoc.net IMTIS vòng 29
Bài toán 1/29. Một vài cặp số nguyên dương (m, n) thoả mãn phương trình 19m + 90 + 8n = 1998. Dễ thấy trong đó (100, 1) là cặp với giá trị nhỗ nhất của n. Hãy xác định cặp với giá trị nhỏ nhất của m.
¬N 1 1 1 ,
Bài toán 2/29. Tìm số hữu tỷ nhỏ nhất ˆ sao cho —+——+— <=, trong đó k, m,
S mn S
z AT. Am" ,„ L1 1
n là các số nguyên dương thoa mãn bất đăng thức —+—+— < 1.
m 1n
Bài toán 3/29. Có thể sắp xếp tám trong chín số
2,3,4, 7, 10, 11, 12, 13, 15,
vào các ô vuông trống của bảng 3 hàng 4 cột trên hình vẽ sao cho trung bình cộng của các số trong mỗi hàng và trong mỗi cột đều bằng một số nguyên. Hãy chỉ ra một cách sắp xếp và chỉ rõ số nào trong 9 số phải bỏ đi khi hoàn thành bằng.
1 14
Bài toán 4/29. Chứng minh rằng có thể sắp xếp bảy điểm phân biệt trên mặt phẳng sao cho với bất kỳ 3 điểm nào trong 7 điểm đó, thì hai trong ba điểm cách nhau một khoảng bằng đơn vị. (Lời giải của bạn nên bao gồm một phác hoạ cẩn thận của bảy điểm, cùng với tất cả (*) các đoạn thắng có độ dài đơn vị).
Bài toán 5/29. Sơ đồ bên vẽ hình elip có phương trình Ạ
G19”, (—98)” _ ọng, 19 98 ,
Gọi R¿„, R;, R¿, R¿ lần lượt là diện tích phía trong hình elip
trong các góc phần tư thứ I, thứ II, thứ II và thứ IV. Tính R, | Rạ giá trị của