(x-p)(x- q) = 0, tồn tại các hằng số a, b và c với c # 0, sao cho phương trình (x - a)(b - x) = c tương đương với phương trình đó, và lập luận không hoàn toàn: "Hoặc x - a hoặc b - x phải bằng c" dẫn đến câu trả lời đúng là "x = p hoặc x = q".
Xác định các hằng số a, b và c, với c # 0, sao cho phương trình (x - 19)(x - 97) = 0
có thể "được giải" theo cách đó.
Bài toán 4/25. Cho ABC là một tam giác không cân với AB là cạnh dài nhất. Kéo dài AB đến điểm D sao cho B nằm giữa A và B trên đoạn AD và BD = BC. Chứng minh rằng ⁄“ACD là góc tù.
Bài toán 5/25. Cho hình chóp PABCTD (hình vẽ) với đáy ABCD là hình thoi có ⁄DAB = 60°. Giá sử PC? = PB? + PD?. Chứng mỉnh rằng PA = AB.
P
A B
Tìm kiếm Tải năng Toán hoc Quốc tế © diendantoanhoc.net IMTIS vòng 26
Bài toán 1/26. Cho x, y và z là các số thực dương thoả mãn các phương trình: x+y+xy=8,
y+z+yz = 15,
z+x+zx=35.
Tính giá trị của x + y + z + xyz.
Bài toán 2/26. Xác định số các đa giác đều không đồng dạng mà mỗi số đo góc trong của chúng là một số nguyên độ.
Bài toán 3/26. Thay thế các chữ số khác nhau (0, 1, ..., 9) vào các chữ cái khác
nhau trong phép tính sau, sao cho phép tính đó là đúng, và giá trị của kết quả MONEY càng lớn càng tốt. Giá trị đó là bao nhiêu?
5 H O W
M E
+ T H E
M O N E Y Bài toán 4/26. Chứng minh rằng nếu a > b > c > 0, thì Bài toán 4/26. Chứng minh rằng nếu a > b > c > 0, thì
2a +3b+5c— (Vab + bc + caj<2 2 Lb .€
3 “3b c a
Bài toán 5/26. Cho ABCD là một tứ giác lồi nội tiếp trong một đường tròn. Gọi M là giao điểm của hai đường chéo của ABCD, và E, F, G, H là các chân của các đường vuông góc hạ từ M xuống các cạnh của ABCD, như trên hình vẽ. Hãy xác định (với chứng minh) tâm của đường tròn nội tiếp trong tứ giác EFGH.
Tìm kiếm Tải năng Toán hoc Quốc tế © diendantoanhoc.net IMTS vòng 2
Bài toán 1/27. Có hay không các số nguyên M,N, K sao cho M+N =Kvà
() Mỗi số trong chúng chứa mỗi chữ số trong bảy chữ số 1, 2, 3, ..., 7 đúng một
lần?
(1) Mỗi số trong chúng chứa mỗi chữ số trong chín chữ số 1, 2, 3, ..., 9 đúng một lần?
Bài toán 2/27. Giả sử R(n) là số các biểu diễn của số nguyên dương n dưới dạng tổng của các bình phương của bốn số nguyên không âm, trong đó chúng ta xem hai biểu diễn là trùng nhau nếu chúng chỉ khác nhau ở thứ tự của các số hạng. (Chẳng hạn, R(7) = 1 vì 2? + 1? + 1? + 1ˆ là biểu diễn duy nhất của 7.)
Chứng minh rằng nếu k là một số nguyên dương, thì R(2*) + R(2*°1) = 3.
Bài toán 3/27. Giả thiết rằng f(1) = 0, và với mọi số nguyên m và n ta có f(m + n) = f(m) + fí(n) + 3(4mm - 1).