Và xác định dãy các dấu nào cần thiết để khi thay các số 6 trong các dấu căn bởi các số 7. Liệt kê tất cả các số nguyên ở vị trí của các số 6 và các dãy những dấu cần thiết với chúng. (*)
Bài toán 5/39. Ba tam giác vuông cân được dựng đứng từ cạnh lớn của một hình chữ nhật về phía trong của hình chữ nhật như hình vẽ, M là trung điểm của cạnh đó. Năm đường tròn nội tiếp tiếp xúc với một số cạnh và với đường khác như hình vẽ. Một trong các đường tròn tiếp xúc với đính của tam giác lớn nhất.
Tìm tỉ số giữa các bán kính của năm đường tròn.
š W
Tìm kiểm Tài năng Toán hoc Quốc tế © diendanEoanhoc.net
IMTS vòng 40
Bài toán 1/40. Tìm tất cả các số nguyên dương có tính chất là chúng lớn hơn tổng các bình phương các chữ số viết trong hệ thập phân của chúng 1 đơn vị.
Bài toán 2/40. Chứng minh rằng nếu n là một số nguyên dương lẻ thì N= 2269" + 1779" + 1730°- 1776"
là một bội nguyên của 2001.
Bài toán 3/40. Hình bên có thể được chia thành hai nửa thích hợp
mà được liên quan với nhau bởi một sự phản xạ trượt (a glide reflection), như hình dưới nó. Một sự phản xạ trượt phản xạ một hình qua một đường thắng, đồng thời cũng di chuyển hình phản xạ theo hướng song song với đường thắng đó. Với một hình lưới ô vuông (square-grid figure), chỉ có những đường thắng mà giữ hình phản chiếu của nó (*) trên lưới là đường nằm ngang, đường thắng đứng, đường chéo 45° và đường chéo 135”. Trong hai hình vẽ dưới, hãy chia một hình thành hai nửa thích hợp liên quan với nhau bởi một sự phản xạ trượt, và chỉ ra tại sao hình kia không thể chia được như vậy.
Bài toán 4/40. Cho A và B là các điểm nằm trên một đường tròn mà không đối xứng qua tâm, và gọi C là trung điểm của cung nhỏ AB. Gọi D, E, và F là các điểm được xác định bởi giao điểm của các đường tiếp tuyến với đường tròn tại A, B, và C. Chứng minh rằng diện tích của tam giác DEF lớn hơn một nửa diện tích của tam giác ABC,
Bài toán 5/40. Bát giác RSTUVW được dựng như sau: bắt đầu với một tam giác vuông có độ dải các cạnh góc vuông là p và q, dựng các hình vuông hướng ra
phía ngoài trên các cạnh của tam giác này, và sau đó nối các đỉnh phía ngoài của
các hình vuông lại, như hình vẽ. Cho p và q là các số nguyên với p > q và diện
tích của RSTUVW là 1922. Tìm p và q.
Tìm kiểm Tài năng Toán hoc Quốc tế © diendanEoanhoc.net
IMTS vòng 41
Bài toán 1/41. Tìm các số nguyên dương có hai chữ số m và n duy nhất để cho xấp xỉ m/n = 0.2328767 chính xác đến bảy chữ số thập phân; nghĩa là 0.2328767 < m/n < 0.2328768.
Bài toán 2/41. Ta biết rằng có vô hạn bộ ba các số nguyên (a, b, c) có ước chung lớn nhất bằng 1 và thoả mãn phương trình a? + bỶ = c.
Chứng minh rằng cũng có vô hạn bộ ba các số nguyên (r, s, t) có ước chung lớn nhất bằng 1 và thoả mãn phương trình (rs) + (st)” = (tr).
cOos3x Ì sin 3x
Bài toán 3/41. Giá thiết =— với góc x nào đó thuộc [0, x/2]. Tính —
COSX 3 sinx
với cùng giá trị của x.
Bài toán 4/41. Mặt phẳng chiếu bậc ba (The projective plane of order three) gồm có 13 điểm và 13 đường thắng. Những đường thắng này không là đường thắng Euclid, mà chúng là tập hợp gồm bốn điểm có tính chất mỗi cặp đường thắng có đúng một điểm chung và mỗi cặp điểm có đúng một đường thắng chứa
cả hai điểm đó. Giả sử các điểm được đánh số từ 1 đến 13 và sáu trong số các đường thắng là A ={1,2,4, 8), B = {1, 3, 5, 9),C = {2, 3, 6, 10}, D = {4, 5, 10, 11), E=
14, 6, 9, 12}, và F = {5, 6, 8, 13}. Đường thắng nào chứa Z7 và 8?
Bài toán 5/41. Trong tam giác PQOR, QR < PR < PQ sao cho đường phân giác góc ngoài qua P cắt tia OR tại điểm 5, và phân giác ngoài tại R cắt tia PQ tại điểm