Phần nội dung I. Kiến thức cơ sở 1. Công thức nhị thức Newton (a+b) n = n k n-k k n k=0 C a b = 0 n 0 n C a b + 1 n-1 1 n C a b + + n 0 n n C a b (1) 2. Các tính chất Số các số hạng của khai triển bằng n + 1. Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng của khai triển luôn bằng số mũ của nhị thức (n - k) + k = n. Số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng dần từ 0 đến n. Số hạng tổng quát T k+1 = k n k k n C a b (Đó là số hạng thứ k + 1 trong khai triển) Các hệ số nhị thức cách đều số hạng đầu và cuối bằng nhau vì: k n C = n k n C 3. Một số khai triển hay sử dụng 2 n = (1+1) n = 0 n k n k C = = 0 n C + 1 n C + + n n C (2) 0 = (1-1) n = 0 ( 1) n k k n k C = = 0 n C - 1 n C + + (-1) n n n C (3) (1+x) n = 0 n k k n k C x = = 0 0 n C x + 1 1 n C x + + n n n C x (4) (1+x) n = 0 n k n k n k C x = = 0 n n C x + 1 1 n n C x + + 0 n n C x (5) (1-x) n = 0 ( 1) n k k k n k C x = = 0 0 n C x - 1 1 n C x + + (-1) n n n n C x (6) (x-1) n = 0 ( 1) n k k n k n k C x = = 0 n n C x - 1 1 n n C x + + (-1) n 0 n n C x (7) 4. Tam giác Pascal Có thể sắp xếp các hệ số của khai triển (1) thành một tam giác (gọi là tam giác Pascal). 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 n = 0 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 n = 6 n = 7 II. Các bài toán tính tổng Ta thấy mỗi số hạng trong khai triển (1) có 3 thừa số. Một thừa số là k n C , hai thừa số còn lại đều có dạng luỹ thừa. Nếu hệ số là k n C thì bậc của a và b luôn có tổng bằng n (khi đó n chính là số mũ của nhị thức). Số mũ của a giảm dần từ n đến 0, còn số mũ của b tăng dần từ 0 đến n và số lợng các số hạng là bằng n + 1. Đây là các dấu hiệu để ta nhận biết một tổng có phải là một khai triển theo nhị thức Newton hay không. Quan sát khai triển (3) và (4) ta thấy mỗi số hạng chỉ có hai thừa số, chứ không phải là 3! Tại sao vậy? Rất đơn giản, vì một trong hai số hạng của nhị thức là bằng 1 (ta biết rằng 1 k = 1 k). Lại quan sát khai triển (5) và (6), ta thấy mỗi số hạng lúc này chỉ có một thừa số là k n C . Chắc các bạn đã có thể giải thích đợc là do hai số hạng của nhị thức đều là 1 hoặc -1. Những nhận xét nho nhỏ này sẽ giúp các bạn có đợc định hớng ban đầu cho lời giải của bài toán tính tổng. Để hiểu rõ hơn ta đi xem xét các ví dụ cụ thể sau. VD1: Tính các tổng sau: S 1 = 0 10 1 9 1 2 8 2 9 1 9 10 10 10 10 10 10 10 2 2 3 2 3 2 3 3 C C C C C+ + + + + S 2 = 0 10 1 9 2 8 9 1 10 10 10 10 10 10 2 2 2 2 C C C C C + + + + + S 3 = 0 1 2 9 10 10 10 10 10 10 C C C C C + + + + + Rất nhanh chóng ta có thể đa ngay ra đáp án vì các tổng này đều đáp ứng đủ các điều kiện của một khai triển nhị thức Newton. Ta có: + S 1 = 0 10 0 1 9 1 2 8 2 9 1 9 10 0 10 10 10 10 10 10 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 C C C C C+ + + + + = (2+3) 10 = 5 10 . + S 2 = 0 10 1 9 2 8 9 1 10 0 10 10 10 10 10 10 10 2 2 2 2 2 (1 2) 3 C C C C C + + + + + = + = + S 3 = 0 1 2 9 10 10 10 10 10 10 C C C C C + + + + + = 2 10 Chẳng hạn với S 1 : Mỗi số hạng có 3 thừa số, một thừa số là 10 k C , hai thừa số còn lại có dạng luỹ thừa. Các hệ số 10 k C liên tục từ 0 10 C đến 10 10 C Tổng luỹ thừa của 2 và 3 trong mỗi số hạng của khai triển luôn bằng 10, bậc của 2 giảm dần từ 10 tới 0, ngợc lại bậc của 3 tăng dần từ 0 tới 10. Nh vậy S 1 hội tụ đầy đủ các tính chất của một khai triển nhị thức Newton. Do đó S 1 = (2+3) 10 = 5 10 . Tơng tự nh vậy cho S 2 và S 3 . VD2: Tính các tổng sau: S 4 = 0 11 1 1 10 2 2 9 3 9 2 10 10 1 11 10 10 10 10 10 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 C C C C C+ + + + + S 5 = 0 9 1 8 2 7 9 0 10 1 10 10 10 10 10 2 2 2 2 2 C C C C C + + + + + Bạn quan sát kĩ các tổng này và nhận xét xem chúng có gì khác các tổng ở VD1? Vâng, tổng S 4 có một điểm khác biệt với tổng S 1 , là tổng số mũ của 2 và 3 trong mỗi số hạng luôn bằng 12, chứ không phải là bằng 10, trong khi các hệ số lại là 10 k C ! (Bậc của 2 giảm dần từ 11 xuống 1, bậc của 3 tăng dần từ 1 lên 11, chứ không phải là 10 xuống 0 và từ 0 lên 10). Vậy để có thể áp dụng đợc công thức (1), bậc của 2 và 3 trong mỗi số hạng phải đợc giảm đi một đơn vị. Từ đó ta có: S 4 = 2.3.( 0 10 0 1 9 1 2 8 2 9 1 9 10 0 10 10 10 10 10 10 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 C C C C C+ + + + + ) = 6. (2+3) 10 = 6.5 10 Nhận xét tơng tự cho S 5 , ta đi đến: S 5 = 1 2 ( 0 10 1 9 2 8 9 1 10 0 10 10 10 10 10 10 10 1 1 2 2 2 2 2 ) (1 2) 3 2 2 C C C C C+ + + + + = + = VD3: Tính tổng: S 6 = 1 9 1 2 8 2 9 1 9 10 10 10 10 10 10 2 3 2 3 2 3 3 C C C C+ + + + Bạn có nhận xét gì cho S6? Tất nhiên rồi, nó thiếu mất số hạng đầu tiên 0 10 0 10 2 3 C . Vậy S 6 = 5 10 - 0 10 0 10 2 3 C = 5 10 - 10 2 VD4: Tính tổng: S 7 = 0 2009 1 2008 1 2 2007 2 2008 1 2008 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 3 3 4 3 4 3 4 4 C C C C C + + Điều ta thấy ngay lúc đầu tiên đây là một chuỗi đan dấu! Bạn hãy tự nhận xét nh với S 1 nhé! Một câu hỏi đặt ra là S 7 = (3 - 4) 2009 hay S 7 = (4 - 3) 2009 ? Để trả lời câu hỏi này ta hãy đi tìm công thức của số hạng tổng quát. Ta có: T k+1 = = k k 2008 k k k 2008 k k 2008 2008 ( 1) C 3 4 C 3 ( 4) Vậy S 7 = [ ] = = + = = 2009 2009 k 2009 k k 2009 2009 k 0 C 3 ( 4) 3 ( 4) ( 1) 1 VD5: Tính tổng: S 8 = 0 2009 1 2008 2 2007 2008 1 2009 2009 2009 2009 2009 2009 3 3 3 3 + + C C C C C S 9 = 0 1 1 2 2 2008 2008 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 3 3 3 3 + + C C C C C Điểm khác biệt giữa S 8 và S 9 là trong S 8 , số mũ của 3 giảm dần, còn trong S 9 , số mũ của 3 tăng dần. (Nếu là ngời mới bắt đầu, bạn hãy tự mình nêu ra các nhận xét tơng tự nh nhận xét mà tôi nêu ra trong các VD đầu nhé).Vậy với S 8 , ta sẽ áp dụng công thức (7), còn với S 9 , ta sẽ áp dụng công thức (6). Ta có: S 8 = (3 - 1) 2009 = 2 2009 S 9 = (1 - 3) 2009 = (-2) 2009 = -2 2009 Bạn e ngại vì phải nhớ quá nhiều công thức ? Lời khuyên cho mọi trờng hợp là bạn hãy tìm công thức của số hạng tổng quát, nh vậy ta chỉ cần đến công thức (1) mà thôi. Chẳng hạn với S 8 , công thức của số hạng tổng quát là: T k+1 = k k 2009 k k 2009 k k 2009 2009 ( 1) C 3 C 3 ( 1) = Vậy S 8 = [ ] 2009 2009 k 2009 k k 2009 2009 k 0 C 3 ( 1) 3 ( 1) 2 = = + = Bạn hãy thử sức bằng cách áp dụng phơng pháp tìm công thức của số hạng tổng quát cho các chuỗi từ đầu đến giờ xem sao nhé! Ta tiếp tục nào! VD6: Tính tổng: S 10 = 0 1 2 9 20 20 20 20 + + + + C C C C Bạn có nhận xét gì về tổng này? Đúng vậy, S 10 có thể gọi là "nửa khai triển"! Vì chỉ số k trong 20 k C chỉ chạy từ 0 đến 9, mà lẽ ra nó phải chạy từ 0 đến 20! Với dạng bài tập tính tổng của "nửa khai triển" nh thế này, ta phải giải quyết nh thế nào? Ta đã biết các số k n C có một tính chất là k n C = n k n C , thế thì ta có: 0 20 C = 20 20 C 1 20 C = 19 20 C 9 20 C = 11 20 C Suy ra 2S 10 = 0 1 2 9 20 20 20 20 + + + + C C C C + 11 12 13 20 20 20 20 20 + + + + C C C C = ( 0 1 2 9 20 20 20 20 + + + + C C C C + 10 20 C + 11 12 13 20 20 20 20 20 + + + + C C C C ) - 10 20 C = 2 20 - 10 20 C Vậy S 10 = 20 10 20 2 -C 2 VD7: Tính các tổng sau: S 11 = 0 2 2 4 4 2006 2006 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2 2 2 2 + + + + +C C C C C S 12 = 1 3 3 5 5 2005 2005 2007 2007 2008 2008 2008 2008 2008 2 2 2 2 2 + + + + +C C C C C Có điều gì đặc biệt trong S 11 và S 12 ? Vâng, trong S 11 , các chỉ số k trong 2008 k C đều là những số chẵn, còn trong S 12 đều là những số lẻ. Các tổng này cũng là các "nửa khai triển", nhng bản chất thì khác hẳn với S 10 ! Cách giải nh sau: Xét hai khai triển: (1+2) 2008 = 0 1 1 2 2 2007 2007 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2 2 2 2 + + + + +C C C C C (*) (1-2) 2008 = 0 1 1 2 2 2007 2007 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2 2 2 2 + +C C C C C (**) Cộng từng vế của (*) và (**) ta đợc: 2S 11 = 3 2008 + 1 2008 11 3 1 S 2 + = Trừ từng vế của (*) cho (**) ta đợc: 2S 12 = 3 2008 - 1 2008 12 3 1 S 2 = VD8: Tính tổng: S 13 = 1 2 3 2 1 2 2 3 2 2 + + + + n n n n n n C C C nC S 14 = 2 3 1 4 2 2 2.1 3.2 2 4.3 2 ( 1) 2 + + + + n n n n n n C C C n n C Xét số hạng thứ k (ở đây chỉ số k bắt đầu từ 1 nên chỉ số k bằng số thứ tự của số hạng): T k = 1 2 k k n kC T k có điều gì khác lạ? T k cũng có 3 thừa số, nhng thừa số đầu tiên "k" lại không có dạng luỹ thừa. Vậy nó không phải là thừa số trong công thức nhị thức Newton. Vậy nó từ đâu mà có? Vấn đề sẽ đợc giải quyết ngay sau đây. Xét hàm số f(x) = (1 + x) n Ta có: f'(x) = n(1 + x) n-1 f'(2) = n3 n-1 (*) Mặt khác khai triển f(x) ta đợc: f(x) = 0 n k k n k C x = f'(x) = 1 0 = n k k n k kC x f'(2) = 1 0 2 = n k k n k kC (**) Từ (*) và (**) suy ra S 13 = n3 n-1 . Bây giờ thì ta đã có câu trả lời cho câu hỏi thừa số "k" trong T k là do đâu mà có. Vâng, chính là do ta đạo hàm x k mà ra. Bạn hãy thử sức mình với S 14 xem sao nhé. (Gợi ý: Hãy đạo hàm f(x) tới cấp 2). VD9: Tính tổng: S 15 = 0 1 1 2 2 3 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 1 + + + + + + n n n n n n C C C C n Ta xét số hạng tổng quát T k+1 = 1 1 2 1 + + k k n C k Thừa số đầu tiên không có dạng lũy thừa, cũng không phải là số nguyên, mà lại có dạng phân thức 1 k 1 + . Bài toán sẽ giải quyết theo hớng nào? Xét hàm số f(x) = (1 + x) n . Nhng bây giờ ta sẽ không đạo hàm, mà sẽ lấy tích phân f(x) từ 0 đến 2. Ta có: 2 n 1 n 1 2 2 n 0 0 0 (1 x) 3 1 f(x)dx (1 x) dx n 1 n 1 + + + = + = = + + (*) Mặt khác f(x) = 0 n k k n k C x = Suy ra 2 k 1 2 2 2 n n n n k k k k k k k 1 n n n n k 0 k 0 k 0 k 0 0 0 0 0 x 1 f(x)dx C x dx C x dx C C 2 k 1 k 1 + + = = = = = = = = + + (**) Từ (*) và (**) suy ra S 15 = n 1 3 1 n 1 + + Bạn sẽ thắc mắc tại sao lại lấy cận tích phân là từ 0 đến 2? Bạn hãy tự lí giải xem sao?. Để hiểu sâu sắc hơn ta xét thêm một ví dụ nữa sau đây. VD10: Tính tổng: S 16 = 1 1 2 2 3 1 n 1 n 1 0 1 2 n n n n n 4 3 4 3 4 3 4 3 C C C C 1 2 3 n 1 + + + + + + + Phơng pháp giải bài toán này cũng tơng tự phơng pháp tính tổng S 15 , tuy nhiên cận tích phân bây giờ sẽ là từ 3 đến 4. Với các tổng thờng gặp trên đây, áp dụng các phép toán cộng, trừ, nhân, chia ta sẽ tạo ra đợc các tổng rất "lạ". Chẳng hạn tính tổng sau: S = 1 2 2 2 3 2 2 1 2 2 3 2 2 + + + + n n n n n n C C C n C Bạn hãy lấy S 13 cộng với S 14 , kết quả thu đợc chính là S! VD11: Rút gọn các biểu thức sau: S 17 = k k 1 n n C C + S 18 = k k 1 k 2 n n n C 2C C + + S 19 = k k 1 k 2 k 3 n n n n C 3C 3C C + + + S 20 = k k 1 k 2 k 3 k 4 n n n n n C 4C 6C 4C C + + + + S 21 = k k 1 k 2 k 3 k 4 k 5 n n n n n n C 5C 10C 10C 5C C + + + + + Bạn có nhận xét gì về các hệ số trong các biểu thức trên? Vâng, đó chính là các số trong tam giác Pascal. Do tính chất của các số k n C mà ta có S 17 = k n 1 C + Với S 18 ta thực hiện nh sau: S 18 = ( k k 1 n n C C + ) + ( k 1 k 2 n n C C + ) = k n 1 C + + k 1 n 1 C + = k n 2 C + Tức là ta đã "hạ cấp" S 18 , đa về tổng của hai tổng ở "cấp" thấp hơn. Tơng tự nh thế với S 19 , S 20 , S 21 . Và với quy luật nh thế, ta có thể "sáng tác" thêm rất nhiều những tổng khác. Chẳng hạn với S 19 : S 19 = ( k k 1 k 2 n n n C 2C C + + ) + ( k 1 k 2 k 3 n n n C 2C C + + ) = = k n 3 C + á p dụng các phép toán cho các tổng trên, ta sẽ "chế biến" ra các tổng mà mới nhìn vào, bạn sẽ không biết phải bắt đầu nh thế nào. Lấy ví dụ, ta đem S 18 nhân với 2 rồi cộng với S 19 , ta đợc một tổng mới là: S 22 = k k 1 k 2 k 3 n n n n 3C 7C 5C C + + + Để tính đợc S 22 này, ta phải tách nó ra thành tổng của các chuỗi có tính chất nh S 18 , S 19 . Tổng quát hoá lên, ta đợc bài toán nh sau: VD12: Chứng minh rằng: 0 k 1 k 1 2 k 2 m k m k m n m n m n m n m n C .C C .C C .C C .C C + + + + + = , với m k n Để chứng minh ta xét đa thức f(x)=(1+x) m+n Ta có: f(x) = 0 + + = m n i i m n i C x Hệ số của x k trong khai triển là k m n C + (*) Mặt khác f(x) = (1 + x) m (1 + x) n Ta có : (1 + x) m = 0 0 m C x + 1 1 m C x + + m m m C x (1 + x) n = 0 0 n C x + 1 1 n C x + + n n n C x Suy ra hệ số của x k trong khai triển của (1 + x) m (1 + x) n là: 0 k 1 k 1 2 k 2 m k m m n m n m n m n C .C C .C C .C C .C + + + + (**) Từ (*) và (**) suy ra điều phải chứng minh. Bài tập tơng tự: VD14: Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 o 1 2 n n n n n n 2n C C C C C + + + + = . S 1 = 0 10 1 9 1 2 8 2 9 1 9 10 10 10 10 10 10 10 2 2 3 2 3 2 3 3 C C C C C+ + + + + S 2 = 0 10 1 9 2 8 9 1 10 10 10 10 10 10 2 2 2 2 C C C C C + + + + + S 3 = 0 1 2 9 10 10 10 10 10 . một tam giác (gọi là tam giác Pascal). 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 n = 0 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 n = 6 n. 10 0 1 9 1 2 8 2 9 1 9 10 0 10 10 10 10 10 10 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 C C C C C+ + + + + = (2+3) 10 = 5 10 . + S 2 = 0 10 1 9 2 8 9 1 10 0 10 10 10 10 10 10 10 2 2 2 2 2 (1 2) 3 C C C C C +