XÁC SUẤT NHỊ THỨC NIUTƠN CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO

NHỊ THỨC NIUTƠN CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO XÁC SUẤT CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO n x 5 Bài Cho nhị thức Niutơn    ;n  * ,x  Tìm hệ số x khai triển nhị thức, biết số n thỏa 5 x mãn điều kiện 3n C 0n  3n 1 C1n    3C nn 1  224  Bài giải Ta có: 3n C 0n  3n 1 C1n    3C nn 1  24   3n C 0n  3n 1 C1n    3C nn 1   24  3n C 0n  3n 1 C1n    3C nn 1  C nn  24    1  24 n  2n  224  n  12 Số hạng tổng quát (số hạng thứ k  ) khai triển là: 12  k x Tk 1  C    5 k 12  5     x  k 12  k k 1  C    5 x12 2k  5 Hệ số chứa x , ứng với giá trị k thỏa mãn phương trình: 12  2k   k  k 12 12  4 1 Vậy hệ số cần tìm là: C12    5  5 n 3  Bài Cho nhị thức Niutơn  2x3   ;n  * ,x  Tìm hệ số không chứa x khai triển, biết số n x   2n 1  219 thỏa mãn điều kiện C 2n  C 2n    C 2n Bài giải 2n Xét khai triển 1  x  , ta có: 1  x  2n 2n 2 2n 2 2n 1 2n 1 2n  C 02n  C12n x  C 2n x2    C 2n x  C 2n x  C 2n *  2n x Thay x  vào hai vế (*), ta được: 2n 2 1 2n 2n C 02n  C12n  C 2n    C 2n  C 2n 1 2n  C 2n  Thay x  1 vào hai vế (*), ta được: 2n 2 2n 1 C 02n  C12n  C 2n    C 2n  C 2n  C 2n 2n    Lấy (1) trừ (2) vế theo vế, ta được: 2n 1  C12n  C 32n    C 2n   22n 2n 1  S  C12n  C 32n    C 2n  22n 1 Theo giả thiết, suy ra: 22n1  219  2n   19  n  10 Số hạng tổng quát khai triển là:   Tk 1  C 2x k 10 10  k  3    x  k k  C10 210 k  3 x 305k k Hệ số không chứa x , ứng với giá trị k thỏa mãn phương trình: 30  5k   k  6 Vậy hệ số cần tìm là: C10 2106  3 Bài Xác định hệ số x10 khai triển nhị thức Niutơn  x2  3 2x3  1 ;n  * , biết số n thỏa mãn n 2 1 2n 21  C 2n điều kiện C12n  3C 22n  C32n    3C 2n 2n 2n  3C 2n   Bài giải Ta có: 2n  2n 1 21 C12n  3C 2n  C 32n    3C 2n  C 2n  3C 2n 2n   2n  2n 1 21  3C 0n  C12n  3C 2n  C 32n    3C 2n  C 2n  3C 2n 2n  Xét khai triển nhị thức Niu-tơn 1  x  , ta có: 2n 1  x  2n 2n 2 2n 2 2n 1 2n 1 2n  C 02n  C12n x  C 2n x2    C 2n x  C 2n x  C 2n *  2n x Thay x  vào hai vế (*), ta được: 2n 2 2n 1 2n S1  C 02n  C12n  C 2n    C 2n  C 2n  C 2n  22n 1 Thay x  1 vào hai vế (*), ta được: 2n 2 2n 1 C 02n  C12n  C 2n    C 2n  C 2n  C 2n 2n    2n Lấy (1) cộng (2) vế theo vế, ta được:  C 02n  C 2n    C 2n   22n 3 2n Suy ra: S  C 02n  C 2n    C 2n  22n 1 Lấy (1) cộng (3) vế theo vế, ta được: 2n 2 2n 1 2n 3C02n  C12n  3C 2n  C 32n    3C 2n  C2n  3C2n  22n  22n  22n 1   Theo giả thiết, suy ra: 22n1  221  2n   21  n  10 Ta có:  x2  3 2x3  1   x2  3 2x3  1  x2  2x3  1   2x3  1 n 10 10 10 Lưu ý: Với p,q  ;p  1,q  lấy pS1  qS , ta tổng sau đây: 2n 2 2n 1 2n S   p  q  C 02n  qC12n   p  q  C 2n     p  q  C 2n  qC 2n   p  q  C 2n   2p  q  22n 1 n   Bài Xác định hệ số x khai triển nhị thức Niutơn  3x   ;n  * , biết số tự nhiên n thỏa mãn x   2n 2 2n 1 2n điều kiện C 2n  5C 2n  C 2n  5C 2n    C 2n  5C 2n  C 2n  3.218 Bài giải 2n Xét khai triển nhị thức Niu-tơn 1  x  , ta có: 1  x  2n 2n 2 2n 2 2n 1 2n 1 2n  C 02n  C12n x  C 2n x2    C 2n x  C 2n x  C 2n *  2n x Thay x  vào hai vế (*), ta được: 2n 2 1 2n 2n C 02n  C12n  C 2n    C 2n  C 2n 1 2n  C 2n  Thay x  1 vào hai vế (*), ta được: 2n 2 2n 1 C 02n  C12n  C 2n    C 2n  C 2n  C 2n 2n    Lấy (1) trừ (2) vế theo vế, ta được: 1 2n  C12n  C 32n    C 2n 2n     2n 1  C12n  C 32n    C 2n  22n 1  3 Lấy (1) cộng (3) vế theo vế, ta được: 2n 2 2n 1 2n C02n  5C12n  C 2n  5C32n    C 2n  5C 2n  C 2n  22n 1  3.22n   2n  Theo giả thiết, suy ra: 3.22n  3.218  2n  18  n  Số hạng tổng quát khai triển là: Tk 1  C  3x  k 9 k  2    x  k  C 9k 39 k  2  x 93k k Hệ số chứa x , ứng với giá trị k thỏa phương trình:  3k   k  Vậy hệ số cần tìm là: C 29 392  2  Bài Cho khai triển biểu thức f  x    2x  3 x   , n  * thành đa thức n f  x   a0  a1x  a 2x2    a n 1x n 1 Tìm hệ số a , biết số n thỏa mãn a0  a1  a    a n 1  531441    Bài Cho khai triển biểu thức g  x   3x2   x  3 ,n  * thành đa thức n g  x   a0  a1x  a 2x2    a n 2x n 2 Tìm hệ số a , biết số n thỏa mãn điều kiện a  a1  a     1 n 2 a n 2  4096 Bài Cho khai triển nhị thức Niutơn  2x  1  a  a1x  a 2x2    a 2n x2n , n  * Tìm số lớn 2n hệ số a0 ,a1 ,a , ,a n 1,a n , biết giá trị n thỏa điều kiện a0  9a1  a  9a3    9a 2n 1  a 2n  5.312  Bài giải 2n 2n Đặt: f  x    2x  1  a  a1x  a 2x    a 2n x * Thay x  vào hai vế (*), ta được: S1  a0  a1  a  a3    a 2n 1  a 2n  f 1  32n 1 Thay x  1 vào hai vế (*), ta được: S  a0  a1  a  a3    a 2n 1  a 2n  f  1    Lấy (1) trừ (2) vế theo vế, ta được: S  S1  S   a1  a    a 2n 1   f 1  f  1  S  a1  a    a 2n 1  Từ (3) suy ra: f 1  f  1  32n   3   4 S   a1  a3    a 2n 1   32n  Lấy (1) cộng (4) vế theo vế, ta được: S  a0  9a1  a  9a    9a 2n 1  a 2n  5.32n  Theo giả thiết, suy ra: 5.32n   5.312   2n  12  n  2n 12 Số hạng tổng quát khai triển  2x  1   2x  1 là: k Tk 1  C12  2x  12  k k  C12 212 k.x12k k k 1 11 k Suy ra: a k  C12 212 k a k 1  C12 Bài Cho khai triển nhị thức Niutơn  3x    a  a1x  a 2x2    a 2n x 2n , n  * Tìm hệ số x , biết 2n số n thỏa mãn điều kiện 3a0  a1  3a  a3    a 2n 1  3a 2n  2.534  Bài giải 2n 2n Đặt: f  x    3x    a  a1x  a 2x    a 2n x * Cho x  vào hai vế (*), ta được: S1  a0  a1  a  a    a 2n 1  a 2n  f 1  1 Cho x  1 vào hai vế (*), ta được: S  a0  a1  a  a3    a 2n 1  a 2n  f  1  52n   Lấy (1) cộng (2) vế theo vế, ta được:  a  a    a 2n   f 1  f  1 f 1  f  1  S  a  a    a 2n  Từ (3) suy ra: 52n   3    4 S  4  a  a    a 2n   2 52n  Lấy (1) cộng (4) vế theo vế, ta được: 3a0  a1  3a  a3    a 2n 1  3a 2n  2.32n  Theo giả thiết, suy ra: 2.52n   2.534   2n  34  n  17 2n 34 Số hạng tổng quát khai triển  3x     3x   là: k Tk 1  C 34  3x  34  k k  2   C 34 334  k  2  x34  k   k k ak Hệ số chứa x , ứng với giá trị k thỏa phương trình: 34  k   k  27 k 27 k 27 34 27 Vậy hệ số cần tìm là: a k  C 34 334 k  2   C 34  2  Bài Cho khai triển nhị thức Niutơn  2x  3  a  a1x  a 2x2    a 2n x 2n , n  * Tìm hệ số x , biết 2n số n thỏa mãn điều kiện 3a  4a1  3a  4a    4a 2n 1  3a 2n   528 Bài giải *  Đặt: f  x    2x  3  a  a1x  a 2x    a 2n x Cho x  vào hai vế (*), ta được: S1  a0  a1  a  a    a 2n 1  a 2n  f 1  1 Cho x  1 vào hai vế (*), ta được: S  a0  a1  a  a3    a 2n 1  a 2n  f  1  52n   Lấy (1) cộng (2) vế theo vế, ta được:  a  a    a 2n   f 1  f  1 2n 2n  S  a  a    a 2n  f 1  f  1 Từ (3) suy ra: S   a  a    a 2n   52n   3    4 52n  Lấy (1) trừ (2) vế theo vế, ta được:  a1  a    a 2n 1   f 1  f  1  S  a1  a    a 2n 1  Từ (5) suy ra: f 1  f  1    52n  5 S   a1  a    a 2n 1    52n  6  Cộng (4) (6) vế theo vế, ta được: 3a  4a1  3a  4a    4a 2n 1  3a 2n  52n   52n  528   2n  28  n  14 2 2n 28 Số hạng tổng quát khai triển  2x  3   2x  3 là: Theo giả thiết, suy ra: k Tk 1  C 28  2x  28 k k  3  C 28 228 k  3 x 28 k   k k ak Hệ số chứa x , ứng với giá trị k thỏa phương trình: 28  k   k  19 k 19 k 2819 Vậy hệ số cần tìm là: a k  C 28 228k  3  C19  3 28 n 3  Bài 10 Xác định hệ số x khai triển nhị thức Niutơn  2x   ;n  * , biết số tự nhiên n thỏa mãn x  2n 2 2n 1 2n điều kiện 2C 2n  5C 2n  2C 2n  5C 2n    2C 2n  5C 2n  2C 2n  7.239 Bài giải 2n Xét khai triển nhị thức Niu-tơn 1  x  , ta có: 25 1  x  2n 2n 2 2n 2 2n 1 2n 1 2n  C 02n  C12n x  C 2n x2    C 2n x  C 2n x  C 2n *  2n x Thay x  vào hai vế (*), ta được: 2n 2 1 2n 2n C 02n  C12n  C 2n    C 2n  C 2n 1 2n  C 2n  Thay x  1 vào hai vế (*), ta được: 2n 2 2n 1 C 02n  C12n  C 2n    C 2n  C 2n  C 2n 2n    Cộng (1) (2) vế theo vế, ta được: 2n  C 02n  C 2n    C 2n   22n 2n  C 02n  C 2n    C 2n  22n 1  3 Trừ (1) (2) vế theo vế, ta được:    C  2 1 C12n  C 32n    C 2n  22n 2n 2n 2n 1  C 32n    C 2n 2n 1 4 Cộng (1), (3) (4) vế theo vế, ta được: 2n 2 2n 1 2n 2C02n  5C12n  2C 2n  5C 32n    2C 2n  5C 2n  2C 2n  22n  22n 1  22n 1  7.22n 1  5 Theo giả thiết, suy ra: 7.22n1  7.239  2n   39  n  20 Số hạng tổng quát khai triển là:   Tk 1  C 2x k 20 20  k  3     x  k k  C 20 402k  3 x 403k k Hệ số chứa x 25 , ứng với giá trị k thỏa phương trình: 40  3k  25  k  Vậy hệ số cần tìm là: C 520 2402.5  3 Bài 11 Chứng minh đẳng thức sau 2n 2 2n 1 2n 2n 2n 1 2C 02n  5C12n  2C 2n  5C 32n    2C 2n  5C 2n  2C 2n  C 02n 1  C12n 1    C 2n 1  C 2n 1   Bài giải: Ta có: 2n 1 C 02n 1  C12n 1    C 2n 2n 1  C 2n 1  1  1 2n 1  22n 1  I  Mặt khác, xét khai triển nhị thức Niu-tơn 1  x  , ta có: 2n 1  x  2n 2n 2 2n 2 2n 1 2n 1 2n  C 02n  C12n x  C 2n x2    C 2n x  C 2n x  C 2n *  2n x Thay x  vào hai vế (*), ta được: 2n 2 1 2n 2n C 02n  C12n  C 2n    C 2n  C 2n 1 2n  C 2n  Thay x  1 vào hai vế (*), ta được: 2n 2 2n 1 C 02n  C12n  C 2n    C 2n  C 2n  C 2n 2n    Cộng (1) (2) vế theo vế, ta được: 2n  C 02n  C 2n    C 2n   22n 2n  C 02n  C 2n    C 2n  22n 1  3 Trừ (1) (2) vế theo vế, ta được:    C  2 1 C12n  C 32n    C 2n  22n 2n 2n 2n 1  C 32n    C 2n 2n 1 4 Cộng (1), (3) (4) vế theo vế, ta được: 2n 2 2n 1 2n 2C02n  5C12n  2C 2n  5C 32n    2C 2n  5C 2n  2C 2n  22n  22n 1  22n 1  7.22n 1  II  Từ (I) (II) ta điều phải chứng minh n 2  Bài 12 Xác định hệ số không chứa x khai triển nhị thức Niutơn  x   ;n  * , biết n thỏa điều x   1 kiện      A A3 An Bài giải k! Với k  , k  ta có: A 2k   k  k  1  k  ! 1 1 Từ đó, suy ra:    *  A k k  k  1 k  k Trong (*), cho k  2,3,4, ,n ; ta được: 1     A A3 An 1 1   1               1   3  n 1 n   1  n  n  n 2  2  Suy ra:  x     x   x   x   Số hạng tổng quát khai triển là:   Tk 1  C x k 7 k  2    x  k  C 7k  2  x 287k k Hệ số không chứa x , ứng với giá trị k thỏa mãn phương trình: 28  7k   k  Vậy hệ số cần tìm là: C 74  2  4n 1  Bài 13 Xác định hệ số lớn khai triển nhị thức Niutơn   x  ;n  * , biết n thỏa điều kiện 3  n 2C 3C nC C1n  1n  2n    n n1  55 Cn Cn Cn Bài giải k n  n  1 kC k  1, n Ta có kết sau: k n1  n  k   Cn Thật vậy, ta có: kC nk k.n! n!  : k 1 Cn k!  n  k !  k  1!  n   k  1 !      k  1!  n   k  1 ! k.n! n!  k  1!.k  n  k !  n   k  1 !  n    k  1 !   n  k  k  1, n  Từ đó, ta có: C1n  2C 2n 3C 3n nC nn      55 C1n C 2n C nn 1  n  n       55  n  n  1  n  10  55 n 3  Bài 14 Xác định hệ số x khai triển nhị thức Niutơn  2x   ;n  * , biết n thỏa mãn điều kiện x   2 A A3 A     n  91 n Bài giải k! Với k  , k  ta có: A 2k   k  k  1  k  ! 10 A 2k  k  *  k Trong (*), cho k  2,3,4, ,n ; ta được: Từ đó, suy ra: Theo giả thiết, ta được: n n  n  1 A 22 A32 A2    n  1    n 1 n n  n  1   91  n  14 14 3  3  Suy ra:  2x     2x   x   x   Số hạng tổng quát khai triển là:   Tk 1  C 2x k 14 14  k k  C14 2 14  k  3    x  k  3 x 286k k Hệ số x10 , ứng với giá trị k thỏa mãn phương trình: 28  6k  10  k  14 3 3 Vậy hệ số cần tìm là: C14    3 A22 A32 A 2n A 2n 1 2C 2n 3C 3n nC nn     C n      n 1 Bài 15 Chứng minh n n 1 Cn Cn Cn Thật vậy, ta có: A 22 A32 A2 A2     n  n 1       n   n n n 1 n  n  1  1 Mặt khác, ta có kết sau: Với k  1,n kC nk  n  k 1 C nk 1 Thật vậy, ta có: kC nk k.n! n!  : k 1 Cn k!  n  k !  k  1!  n   k  1 !   k  1!  n   k  1 ! k.n! n!  k  1!.k  n  k !   n   k  1 !  n    k  1 !   n  k  k  1, n  Do đó, ta có: C1n  2C 2n 3C 3n nC nn      n   n  1     C1n C 2n C nn 1  n  n  1 2 Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh  A2 A2 A2 A2  2C 3C nC n Bài 16 Tìm số tự nhiên n thỏa mãn      n  n 1   C n  1n  2n    n n1  55 n n 1  Cn Cn Cn  A22 A32 A2     n  C 2n n Thật vậy, với k  , k  ta có: Bài 17 Chứng minh A 2k  k!  k  !  k  k  1 A 2k Từ đó, suy ra:  k  *  k Trong (*), cho k  2,3,4, ,n ; ta được: A 22 A32 A2    n  1    n 1 n n  n  1  1 Mặt khác, ta có: C 2n  n! 2!  n  !  n  !  n  1 n  n  !  n  1 n     Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh  A2 A2 A2 Bài 18 Tìm số tự nhiên n thỏa mãn      n n     C n  20  n 2 Bài 19 Tính tổng C n  2C n  3C n     n   C n   n  1 C nn1  nC nn  n.2n 1 Bài giải Cách 1: Tính trực tiếp Cách 2: Phương pháp đạo hàm Cách 3: Dùng tính chất kC nk  nC nk11 k Chứng minh: Ta có kC n   n  1!.n  n  n  1!.n n!   nC nk11 k! n  k !  k  1!.k  n  k ! k  !.k n   k  !      Từ đó, ta được: C1n  1.C1n  nC 0n 1 2C 2n  nC1n 1 3C 3n  nC 2n 1  n   C nn 2  nC nn 13  n  1 C nn 1  nC nn 12 nC nn  nC nn 11 Do đó: C  2C  3C     n   C n n n n 2 n   n  1 C Cách 4: Sử dụng tính chất C nn  k  C nk , ta có: n 1 n   n 3 n 2 n 1    nC  n C n 1  C n 1  C n 1    C n 1  C n 1  C n 1     2n1  n 1  n.2 n n S  0C 0n  C1n  2C 2n     n   C nn 2   n  1 C nn 1  nC nn S  nC nn   n  1 C nn 1   n   C 2n    2C 2n  C1n  0C 0n Suy ra:   2S  n  C 0n  C1n  C 2n    C nn 2  C nn 1  C nn      2n  n  n.2 Vậy: S  C1n  2C 2n     n   C nn 2   n  1 C nn 1  nC nn  n.2n 1 Lưu ý: Bằng cách viết tổng ngược lại, ta thu kết Từ tổng S1  C 0n  C1n  C 2n    C nn2  C nn1  C nn  2n 1 S  C1n  2C 2n     n   C nn 2   n  1 C nn 1  nC nn  n.2n 1   , ta tổng sau đây: S  C 0n  2C1n  3C 2n     n  1 C nn 2  nC nn 1   n  1 C nn   n   2n 1  3 Hướng dẫn: S  S1  S Hoặc tổng sau: S  C 2n  2C 3n     n  3 C nn 2   n   C nn 1   n  1 C nn  2n 1  n    n  Hướng dẫn: S  S  S1 Từ (1) (3) ta tổng sau: S  2C 0n  3C1n  4C 2n    nC nn 2   n  1 C nn 1   n   C nn   n   2n 1   Hướng dẫn: Lấy (1) + (3) vế theo vế, ta thu kết Các lưu ý: * Với m  ,m  lấy mS1    vế theo vế, ta tổng sau: S  mC0n   m  1 C1n   m   C 2n     m  n   C nn 2   m  n  1 C nn 1   m  n  C nn   2m  n .2 n 1 2  k k 1 k k 1 * Từ đẳng thức: kC n  nC n 1  k  , k  1 suy kC n  nC n 1  Từ đó, suy ra: n  n  1 k 1 C nk22  k  , k   S  C1n  2C 2n     n   C nn 2   n  1 C nn 1  nC nn  n.2 n 1    2C 2n     n   C nn 2   n  1 C nn 1  nC nn   n  1 n 1  n  n  1 C 0n 2  n  n  1 C1n 2    n  n  1 C nn 32  n2 n n n n n 2  C 0n 2  C1n 2    C nn 32  C n 2  n 1 n2 n 1 Mặt khác, ta có: n  n  1 n 1 C nn 22   n  1 n 1 phẳng Hỏi có bao nhiêu: a/ Đường tròn, đường qua ba điểm? b/ Tứ diện với đỉnh thuộc p điểm đó? ĐS: a/ C 3p  Cq3  b/ C p4  Cq4 V Nhò thức Newton Công thức khai triển nhò thức Newton: Với nN với cặp số a, b ta coù: n (a  b)n   Cnk ank bk k 0 Tính chất: 1) Số số hạng khai triển n + 2) Tổng số mũ a b số hạng n 3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = Cnk ank b k ( k =0, 1, 2, …, n) 4) Các hệ số cặp số hạng cách số hạng đầu cuối nhau: Cnk  Cnnk 5) Cn0  Cnn  , Cnk 1  Cnk  Cnk1 * Nhận xét: Nếu khai triển nhò thức Newton, ta gán cho a b giá trò đặc biệt ta thu công thức đặc biệt Chẳng hạn: (1+x)n = Cn0 x n  Cn1 x n1    Cnn  Cn0  Cn1    Cnn  2n (x–1)n = Cn0 x n  Cn1 x n1    (1)n Cnn  Cn0  Cn1    (1)n Cnn  Dạng 1: Xác đònh hệ số khai triển nhò thức Newton Bài 1: Tìm số hạng không chứa x khai triển nhò thức: 10   a)  x   x4   ÑS: a) 45 12   b)  x   x4   b) 495 c) –10   c)  x   x2   d) 15  1 d)  x   x  Bài 2: a/ Tìm hệ số x12 y13 khai triển (2 x  3y)25 b/ Tìm số hạng khai trieån ( x  xy)15 13 ÑS: a) 313.212.C25 b) T8  6435x 31.y7 , T9  6435x 29 y8 Bài 3: Trong khai triển (x + y + z)n, tìm số hạng chứa xk.ym (k,m