Thông tin tài liệu
NHỊ THỨC NIUTƠN CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO XÁC SUẤT CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO n x 5 Bài Cho nhị thức Niutơn ;n * ,x Tìm hệ số x khai triển nhị thức, biết số n thỏa 5 x mãn điều kiện 3n C 0n 3n 1 C1n 3C nn 1 224 Bài giải Ta có: 3n C 0n 3n 1 C1n 3C nn 1 24 3n C 0n 3n 1 C1n 3C nn 1 24 3n C 0n 3n 1 C1n 3C nn 1 C nn 24 1 24 n 2n 224 n 12 Số hạng tổng quát (số hạng thứ k ) khai triển là: 12 k x Tk 1 C 5 k 12 5 x k 12 k k 1 C 5 x12 2k 5 Hệ số chứa x , ứng với giá trị k thỏa mãn phương trình: 12 2k k k 12 12 4 1 Vậy hệ số cần tìm là: C12 5 5 n 3 Bài Cho nhị thức Niutơn 2x3 ;n * ,x Tìm hệ số không chứa x khai triển, biết số n x 2n 1 219 thỏa mãn điều kiện C 2n C 2n C 2n Bài giải 2n Xét khai triển 1 x , ta có: 1 x 2n 2n 2 2n 2 2n 1 2n 1 2n C 02n C12n x C 2n x2 C 2n x C 2n x C 2n * 2n x Thay x vào hai vế (*), ta được: 2n 2 1 2n 2n C 02n C12n C 2n C 2n C 2n 1 2n C 2n Thay x 1 vào hai vế (*), ta được: 2n 2 2n 1 C 02n C12n C 2n C 2n C 2n C 2n 2n Lấy (1) trừ (2) vế theo vế, ta được: 2n 1 C12n C 32n C 2n 22n 2n 1 S C12n C 32n C 2n 22n 1 Theo giả thiết, suy ra: 22n1 219 2n 19 n 10 Số hạng tổng quát khai triển là: Tk 1 C 2x k 10 10 k 3 x k k C10 210 k 3 x 305k k Hệ số không chứa x , ứng với giá trị k thỏa mãn phương trình: 30 5k k 6 Vậy hệ số cần tìm là: C10 2106 3 Bài Xác định hệ số x10 khai triển nhị thức Niutơn x2 3 2x3 1 ;n * , biết số n thỏa mãn n 2 1 2n 21 C 2n điều kiện C12n 3C 22n C32n 3C 2n 2n 2n 3C 2n Bài giải Ta có: 2n 2n 1 21 C12n 3C 2n C 32n 3C 2n C 2n 3C 2n 2n 2n 2n 1 21 3C 0n C12n 3C 2n C 32n 3C 2n C 2n 3C 2n 2n Xét khai triển nhị thức Niu-tơn 1 x , ta có: 2n 1 x 2n 2n 2 2n 2 2n 1 2n 1 2n C 02n C12n x C 2n x2 C 2n x C 2n x C 2n * 2n x Thay x vào hai vế (*), ta được: 2n 2 2n 1 2n S1 C 02n C12n C 2n C 2n C 2n C 2n 22n 1 Thay x 1 vào hai vế (*), ta được: 2n 2 2n 1 C 02n C12n C 2n C 2n C 2n C 2n 2n 2n Lấy (1) cộng (2) vế theo vế, ta được: C 02n C 2n C 2n 22n 3 2n Suy ra: S C 02n C 2n C 2n 22n 1 Lấy (1) cộng (3) vế theo vế, ta được: 2n 2 2n 1 2n 3C02n C12n 3C 2n C 32n 3C 2n C2n 3C2n 22n 22n 22n 1 Theo giả thiết, suy ra: 22n1 221 2n 21 n 10 Ta có: x2 3 2x3 1 x2 3 2x3 1 x2 2x3 1 2x3 1 n 10 10 10 Lưu ý: Với p,q ;p 1,q lấy pS1 qS , ta tổng sau đây: 2n 2 2n 1 2n S p q C 02n qC12n p q C 2n p q C 2n qC 2n p q C 2n 2p q 22n 1 n Bài Xác định hệ số x khai triển nhị thức Niutơn 3x ;n * , biết số tự nhiên n thỏa mãn x 2n 2 2n 1 2n điều kiện C 2n 5C 2n C 2n 5C 2n C 2n 5C 2n C 2n 3.218 Bài giải 2n Xét khai triển nhị thức Niu-tơn 1 x , ta có: 1 x 2n 2n 2 2n 2 2n 1 2n 1 2n C 02n C12n x C 2n x2 C 2n x C 2n x C 2n * 2n x Thay x vào hai vế (*), ta được: 2n 2 1 2n 2n C 02n C12n C 2n C 2n C 2n 1 2n C 2n Thay x 1 vào hai vế (*), ta được: 2n 2 2n 1 C 02n C12n C 2n C 2n C 2n C 2n 2n Lấy (1) trừ (2) vế theo vế, ta được: 1 2n C12n C 32n C 2n 2n 2n 1 C12n C 32n C 2n 22n 1 3 Lấy (1) cộng (3) vế theo vế, ta được: 2n 2 2n 1 2n C02n 5C12n C 2n 5C32n C 2n 5C 2n C 2n 22n 1 3.22n 2n Theo giả thiết, suy ra: 3.22n 3.218 2n 18 n Số hạng tổng quát khai triển là: Tk 1 C 3x k 9 k 2 x k C 9k 39 k 2 x 93k k Hệ số chứa x , ứng với giá trị k thỏa phương trình: 3k k Vậy hệ số cần tìm là: C 29 392 2 Bài Cho khai triển biểu thức f x 2x 3 x , n * thành đa thức n f x a0 a1x a 2x2 a n 1x n 1 Tìm hệ số a , biết số n thỏa mãn a0 a1 a a n 1 531441 Bài Cho khai triển biểu thức g x 3x2 x 3 ,n * thành đa thức n g x a0 a1x a 2x2 a n 2x n 2 Tìm hệ số a , biết số n thỏa mãn điều kiện a a1 a 1 n 2 a n 2 4096 Bài Cho khai triển nhị thức Niutơn 2x 1 a a1x a 2x2 a 2n x2n , n * Tìm số lớn 2n hệ số a0 ,a1 ,a , ,a n 1,a n , biết giá trị n thỏa điều kiện a0 9a1 a 9a3 9a 2n 1 a 2n 5.312 Bài giải 2n 2n Đặt: f x 2x 1 a a1x a 2x a 2n x * Thay x vào hai vế (*), ta được: S1 a0 a1 a a3 a 2n 1 a 2n f 1 32n 1 Thay x 1 vào hai vế (*), ta được: S a0 a1 a a3 a 2n 1 a 2n f 1 Lấy (1) trừ (2) vế theo vế, ta được: S S1 S a1 a a 2n 1 f 1 f 1 S a1 a a 2n 1 Từ (3) suy ra: f 1 f 1 32n 3 4 S a1 a3 a 2n 1 32n Lấy (1) cộng (4) vế theo vế, ta được: S a0 9a1 a 9a 9a 2n 1 a 2n 5.32n Theo giả thiết, suy ra: 5.32n 5.312 2n 12 n 2n 12 Số hạng tổng quát khai triển 2x 1 2x 1 là: k Tk 1 C12 2x 12 k k C12 212 k.x12k k k 1 11 k Suy ra: a k C12 212 k a k 1 C12 Bài Cho khai triển nhị thức Niutơn 3x a a1x a 2x2 a 2n x 2n , n * Tìm hệ số x , biết 2n số n thỏa mãn điều kiện 3a0 a1 3a a3 a 2n 1 3a 2n 2.534 Bài giải 2n 2n Đặt: f x 3x a a1x a 2x a 2n x * Cho x vào hai vế (*), ta được: S1 a0 a1 a a a 2n 1 a 2n f 1 1 Cho x 1 vào hai vế (*), ta được: S a0 a1 a a3 a 2n 1 a 2n f 1 52n Lấy (1) cộng (2) vế theo vế, ta được: a a a 2n f 1 f 1 f 1 f 1 S a a a 2n Từ (3) suy ra: 52n 3 4 S 4 a a a 2n 2 52n Lấy (1) cộng (4) vế theo vế, ta được: 3a0 a1 3a a3 a 2n 1 3a 2n 2.32n Theo giả thiết, suy ra: 2.52n 2.534 2n 34 n 17 2n 34 Số hạng tổng quát khai triển 3x 3x là: k Tk 1 C 34 3x 34 k k 2 C 34 334 k 2 x34 k k k ak Hệ số chứa x , ứng với giá trị k thỏa phương trình: 34 k k 27 k 27 k 27 34 27 Vậy hệ số cần tìm là: a k C 34 334 k 2 C 34 2 Bài Cho khai triển nhị thức Niutơn 2x 3 a a1x a 2x2 a 2n x 2n , n * Tìm hệ số x , biết 2n số n thỏa mãn điều kiện 3a 4a1 3a 4a 4a 2n 1 3a 2n 528 Bài giải * Đặt: f x 2x 3 a a1x a 2x a 2n x Cho x vào hai vế (*), ta được: S1 a0 a1 a a a 2n 1 a 2n f 1 1 Cho x 1 vào hai vế (*), ta được: S a0 a1 a a3 a 2n 1 a 2n f 1 52n Lấy (1) cộng (2) vế theo vế, ta được: a a a 2n f 1 f 1 2n 2n S a a a 2n f 1 f 1 Từ (3) suy ra: S a a a 2n 52n 3 4 52n Lấy (1) trừ (2) vế theo vế, ta được: a1 a a 2n 1 f 1 f 1 S a1 a a 2n 1 Từ (5) suy ra: f 1 f 1 52n 5 S a1 a a 2n 1 52n 6 Cộng (4) (6) vế theo vế, ta được: 3a 4a1 3a 4a 4a 2n 1 3a 2n 52n 52n 528 2n 28 n 14 2 2n 28 Số hạng tổng quát khai triển 2x 3 2x 3 là: Theo giả thiết, suy ra: k Tk 1 C 28 2x 28 k k 3 C 28 228 k 3 x 28 k k k ak Hệ số chứa x , ứng với giá trị k thỏa phương trình: 28 k k 19 k 19 k 2819 Vậy hệ số cần tìm là: a k C 28 228k 3 C19 3 28 n 3 Bài 10 Xác định hệ số x khai triển nhị thức Niutơn 2x ;n * , biết số tự nhiên n thỏa mãn x 2n 2 2n 1 2n điều kiện 2C 2n 5C 2n 2C 2n 5C 2n 2C 2n 5C 2n 2C 2n 7.239 Bài giải 2n Xét khai triển nhị thức Niu-tơn 1 x , ta có: 25 1 x 2n 2n 2 2n 2 2n 1 2n 1 2n C 02n C12n x C 2n x2 C 2n x C 2n x C 2n * 2n x Thay x vào hai vế (*), ta được: 2n 2 1 2n 2n C 02n C12n C 2n C 2n C 2n 1 2n C 2n Thay x 1 vào hai vế (*), ta được: 2n 2 2n 1 C 02n C12n C 2n C 2n C 2n C 2n 2n Cộng (1) (2) vế theo vế, ta được: 2n C 02n C 2n C 2n 22n 2n C 02n C 2n C 2n 22n 1 3 Trừ (1) (2) vế theo vế, ta được: C 2 1 C12n C 32n C 2n 22n 2n 2n 2n 1 C 32n C 2n 2n 1 4 Cộng (1), (3) (4) vế theo vế, ta được: 2n 2 2n 1 2n 2C02n 5C12n 2C 2n 5C 32n 2C 2n 5C 2n 2C 2n 22n 22n 1 22n 1 7.22n 1 5 Theo giả thiết, suy ra: 7.22n1 7.239 2n 39 n 20 Số hạng tổng quát khai triển là: Tk 1 C 2x k 20 20 k 3 x k k C 20 402k 3 x 403k k Hệ số chứa x 25 , ứng với giá trị k thỏa phương trình: 40 3k 25 k Vậy hệ số cần tìm là: C 520 2402.5 3 Bài 11 Chứng minh đẳng thức sau 2n 2 2n 1 2n 2n 2n 1 2C 02n 5C12n 2C 2n 5C 32n 2C 2n 5C 2n 2C 2n C 02n 1 C12n 1 C 2n 1 C 2n 1 Bài giải: Ta có: 2n 1 C 02n 1 C12n 1 C 2n 2n 1 C 2n 1 1 1 2n 1 22n 1 I Mặt khác, xét khai triển nhị thức Niu-tơn 1 x , ta có: 2n 1 x 2n 2n 2 2n 2 2n 1 2n 1 2n C 02n C12n x C 2n x2 C 2n x C 2n x C 2n * 2n x Thay x vào hai vế (*), ta được: 2n 2 1 2n 2n C 02n C12n C 2n C 2n C 2n 1 2n C 2n Thay x 1 vào hai vế (*), ta được: 2n 2 2n 1 C 02n C12n C 2n C 2n C 2n C 2n 2n Cộng (1) (2) vế theo vế, ta được: 2n C 02n C 2n C 2n 22n 2n C 02n C 2n C 2n 22n 1 3 Trừ (1) (2) vế theo vế, ta được: C 2 1 C12n C 32n C 2n 22n 2n 2n 2n 1 C 32n C 2n 2n 1 4 Cộng (1), (3) (4) vế theo vế, ta được: 2n 2 2n 1 2n 2C02n 5C12n 2C 2n 5C 32n 2C 2n 5C 2n 2C 2n 22n 22n 1 22n 1 7.22n 1 II Từ (I) (II) ta điều phải chứng minh n 2 Bài 12 Xác định hệ số không chứa x khai triển nhị thức Niutơn x ;n * , biết n thỏa điều x 1 kiện A A3 An Bài giải k! Với k , k ta có: A 2k k k 1 k ! 1 1 Từ đó, suy ra: * A k k k 1 k k Trong (*), cho k 2,3,4, ,n ; ta được: 1 A A3 An 1 1 1 1 3 n 1 n 1 n n n 2 2 Suy ra: x x x x Số hạng tổng quát khai triển là: Tk 1 C x k 7 k 2 x k C 7k 2 x 287k k Hệ số không chứa x , ứng với giá trị k thỏa mãn phương trình: 28 7k k Vậy hệ số cần tìm là: C 74 2 4n 1 Bài 13 Xác định hệ số lớn khai triển nhị thức Niutơn x ;n * , biết n thỏa điều kiện 3 n 2C 3C nC C1n 1n 2n n n1 55 Cn Cn Cn Bài giải k n n 1 kC k 1, n Ta có kết sau: k n1 n k Cn Thật vậy, ta có: kC nk k.n! n! : k 1 Cn k! n k ! k 1! n k 1 ! k 1! n k 1 ! k.n! n! k 1!.k n k ! n k 1 ! n k 1 ! n k k 1, n Từ đó, ta có: C1n 2C 2n 3C 3n nC nn 55 C1n C 2n C nn 1 n n 55 n n 1 n 10 55 n 3 Bài 14 Xác định hệ số x khai triển nhị thức Niutơn 2x ;n * , biết n thỏa mãn điều kiện x 2 A A3 A n 91 n Bài giải k! Với k , k ta có: A 2k k k 1 k ! 10 A 2k k * k Trong (*), cho k 2,3,4, ,n ; ta được: Từ đó, suy ra: Theo giả thiết, ta được: n n n 1 A 22 A32 A2 n 1 n 1 n n n 1 91 n 14 14 3 3 Suy ra: 2x 2x x x Số hạng tổng quát khai triển là: Tk 1 C 2x k 14 14 k k C14 2 14 k 3 x k 3 x 286k k Hệ số x10 , ứng với giá trị k thỏa mãn phương trình: 28 6k 10 k 14 3 3 Vậy hệ số cần tìm là: C14 3 A22 A32 A 2n A 2n 1 2C 2n 3C 3n nC nn C n n 1 Bài 15 Chứng minh n n 1 Cn Cn Cn Thật vậy, ta có: A 22 A32 A2 A2 n n 1 n n n n 1 n n 1 1 Mặt khác, ta có kết sau: Với k 1,n kC nk n k 1 C nk 1 Thật vậy, ta có: kC nk k.n! n! : k 1 Cn k! n k ! k 1! n k 1 ! k 1! n k 1 ! k.n! n! k 1!.k n k ! n k 1 ! n k 1 ! n k k 1, n Do đó, ta có: C1n 2C 2n 3C 3n nC nn n n 1 C1n C 2n C nn 1 n n 1 2 Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh A2 A2 A2 A2 2C 3C nC n Bài 16 Tìm số tự nhiên n thỏa mãn n n 1 C n 1n 2n n n1 55 n n 1 Cn Cn Cn A22 A32 A2 n C 2n n Thật vậy, với k , k ta có: Bài 17 Chứng minh A 2k k! k ! k k 1 A 2k Từ đó, suy ra: k * k Trong (*), cho k 2,3,4, ,n ; ta được: A 22 A32 A2 n 1 n 1 n n n 1 1 Mặt khác, ta có: C 2n n! 2! n ! n ! n 1 n n ! n 1 n Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh A2 A2 A2 Bài 18 Tìm số tự nhiên n thỏa mãn n n C n 20 n 2 Bài 19 Tính tổng C n 2C n 3C n n C n n 1 C nn1 nC nn n.2n 1 Bài giải Cách 1: Tính trực tiếp Cách 2: Phương pháp đạo hàm Cách 3: Dùng tính chất kC nk nC nk11 k Chứng minh: Ta có kC n n 1!.n n n 1!.n n! nC nk11 k! n k ! k 1!.k n k ! k !.k n k ! Từ đó, ta được: C1n 1.C1n nC 0n 1 2C 2n nC1n 1 3C 3n nC 2n 1 n C nn 2 nC nn 13 n 1 C nn 1 nC nn 12 nC nn nC nn 11 Do đó: C 2C 3C n C n n n n 2 n n 1 C Cách 4: Sử dụng tính chất C nn k C nk , ta có: n 1 n n 3 n 2 n 1 nC n C n 1 C n 1 C n 1 C n 1 C n 1 C n 1 2n1 n 1 n.2 n n S 0C 0n C1n 2C 2n n C nn 2 n 1 C nn 1 nC nn S nC nn n 1 C nn 1 n C 2n 2C 2n C1n 0C 0n Suy ra: 2S n C 0n C1n C 2n C nn 2 C nn 1 C nn 2n n n.2 Vậy: S C1n 2C 2n n C nn 2 n 1 C nn 1 nC nn n.2n 1 Lưu ý: Bằng cách viết tổng ngược lại, ta thu kết Từ tổng S1 C 0n C1n C 2n C nn2 C nn1 C nn 2n 1 S C1n 2C 2n n C nn 2 n 1 C nn 1 nC nn n.2n 1 , ta tổng sau đây: S C 0n 2C1n 3C 2n n 1 C nn 2 nC nn 1 n 1 C nn n 2n 1 3 Hướng dẫn: S S1 S Hoặc tổng sau: S C 2n 2C 3n n 3 C nn 2 n C nn 1 n 1 C nn 2n 1 n n Hướng dẫn: S S S1 Từ (1) (3) ta tổng sau: S 2C 0n 3C1n 4C 2n nC nn 2 n 1 C nn 1 n C nn n 2n 1 Hướng dẫn: Lấy (1) + (3) vế theo vế, ta thu kết Các lưu ý: * Với m ,m lấy mS1 vế theo vế, ta tổng sau: S mC0n m 1 C1n m C 2n m n C nn 2 m n 1 C nn 1 m n C nn 2m n .2 n 1 2 k k 1 k k 1 * Từ đẳng thức: kC n nC n 1 k , k 1 suy kC n nC n 1 Từ đó, suy ra: n n 1 k 1 C nk22 k , k S C1n 2C 2n n C nn 2 n 1 C nn 1 nC nn n.2 n 1 2C 2n n C nn 2 n 1 C nn 1 nC nn n 1 n 1 n n 1 C 0n 2 n n 1 C1n 2 n n 1 C nn 32 n2 n n n n n 2 C 0n 2 C1n 2 C nn 32 C n 2 n 1 n2 n 1 Mặt khác, ta có: n n 1 n 1 C nn 22 n 1 n 1 phẳng Hỏi có bao nhiêu: a/ Đường tròn, đường qua ba điểm? b/ Tứ diện với đỉnh thuộc p điểm đó? ĐS: a/ C 3p Cq3 b/ C p4 Cq4 V Nhò thức Newton Công thức khai triển nhò thức Newton: Với nN với cặp số a, b ta coù: n (a b)n Cnk ank bk k 0 Tính chất: 1) Số số hạng khai triển n + 2) Tổng số mũ a b số hạng n 3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = Cnk ank b k ( k =0, 1, 2, …, n) 4) Các hệ số cặp số hạng cách số hạng đầu cuối nhau: Cnk Cnnk 5) Cn0 Cnn , Cnk 1 Cnk Cnk1 * Nhận xét: Nếu khai triển nhò thức Newton, ta gán cho a b giá trò đặc biệt ta thu công thức đặc biệt Chẳng hạn: (1+x)n = Cn0 x n Cn1 x n1 Cnn Cn0 Cn1 Cnn 2n (x–1)n = Cn0 x n Cn1 x n1 (1)n Cnn Cn0 Cn1 (1)n Cnn Dạng 1: Xác đònh hệ số khai triển nhò thức Newton Bài 1: Tìm số hạng không chứa x khai triển nhò thức: 10 a) x x4 ÑS: a) 45 12 b) x x4 b) 495 c) –10 c) x x2 d) 15 1 d) x x Bài 2: a/ Tìm hệ số x12 y13 khai triển (2 x 3y)25 b/ Tìm số hạng khai trieån ( x xy)15 13 ÑS: a) 313.212.C25 b) T8 6435x 31.y7 , T9 6435x 29 y8 Bài 3: Trong khai triển (x + y + z)n, tìm số hạng chứa xk.ym (k,m
Ngày đăng: 30/11/2018, 21:47
Xem thêm:
