Kiến thức cơ bản và nâng cao chuyên đề Xác Suất

Kiến thức cơ bản và nâng cao chuyên đề Xác Suất tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về...

SAU ĐÂY LÀ PHÂN MÔN HÌNH HỌC PHẦN ĐỐI XỨNG 1. Phép đối xứng trục. a, Định nghĩa: Trong mặt phẳng P cho một đường thẳng d cố định, phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho đoạn thẳng MM' nhận d làm đường trung trực thì phép biến hình đó gọi là phép đối xứng trục d. Đường thẳng d gọi là trục đối xứng. Nếu điểm M thuộc d thì ta lấy M' trùng M. -Nếu một hình biến thành chính nó qua phép đối xứng trục d thì d được gọi là trục đối xứng của hình đó. b, Áp dụng trong giải toán: 1. Ứng dụng trong cực trị: VD1: Cho hai điểm A,B phân biệt và nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng x cho trước. Hãy tìm trên x một điểm M sao cho tổng hai đoạn AM+BM là ngắn nhất. GIẢI: Gọi A' là điểm đối xứng của A qua đường thẳng x cho trước và gọi M là giao điểm của đường thẳng A'B với x. Ta có . Dấu đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của đường thẳng A'B với x. BL: Ta cũng hoàn toàn có thể tìm điểm M bằng cách tìm điểm B' đối xứng với B qua đường thẳng x sau đó ta có M là giao điểm của AB' với x. Bài toán này đã được đặt ra từ hàng năm trước đây, từ nhà toán học Hê-rông và cũng đã được đăng trên báo 3T và nhiều cuốn sách. Sau bài này, tiến sĩ Nguyễn Minh Hà đã có một nhận xét quan trọng: "Khi cần quan sát độ dài của một đường gấp khúc quá "cong queo" ta hãy dùng các phép đối xứng trục để thay nó bằng một đường gấp khúc mới, đỡ "cong queo" hơn, có độ dài bằng độ dài đường gấp khúc đã cho nhưng dễ quan sát hơn." Ví dụ 2: Cho góc nhọn xOy và một điểm A thuộc miền trong của góc này. Hãy tìm trên cạnh Ox một điểm B và trên cạnh Oy một điểm C sao cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất. GIẢI: Gọi là điểm đối xứng với A qua cạnh là điểm đối xứng với A qua cạnh .Đường thẳng cắt lần lượt tại B và C. Ta có Với các điểm B' khác B và C' khác C trên Ox, Oy ta có đường gấp khúc luôn dài hơn đoạn Vậy các điểm B,C nói trên tạo nên tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất. 2. Dựng hình: VD3: Cho góc nhọn xOy và đường thẳng d cắt cạnh Oy tại S. Hãy dựng một đường thẳng m vuông góc với d; cắt các cạnh Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho hai điểm A, B cách đều đường thẳng d. GIẢI: Ta nhận thấy A,B là hai điểm đối xứng với nhau qua đường thẳng d. Như vậy điểm A vừa nằm trên cạnh Ox, vừa nằm trên ảnh của cạnh Oy qua phép đối xứng trục d nói trên. Ta có điểm A cần tìm là giao điểm của Sy' với cạnh Ox, do đó đường thẳng m cần tìm đi qua A và vuông góc với d. Ta dễ dàng thấy rằng hai điểm A,B như vậy cách đều đường thẳng d. Dễ dàng chứng minh được đường thẳng m đó đó thỏa mãn các điều kiện của bài toán. 3. Chứng minh các đặc tính hình học: Ví dụ 4:Một đường tròn với tâm I nằm trên tia phân giác một góc xOy, cắt Ox và Oy tương ứng ở A,B và C,D. CMR AB=CD GIẢI: Từ giả thuyết suy ra đỉnh O phải ở ngoài đường tròn . Ta chọn OI là trục đối xứng, khi đó Ox đối xứng với Oy qua OI, (I,R) vẫn là chính nó. Do đó, A và B là giao của Ox với (I,R) biến thành C,D giao của Oy với (I,R) Do tính chất đối xứng, ta có AB=CD. c, bài tập áp dụng: -Một số bài toán mở đầu: 1. Đường tròn qua phép đối xứng trục biến thành đường tròn. 2.Hai đường tròn có tâm chung là điểm O. Đường tròn thứ ba cắt chúng tại các điểm A,B,C,D. Khi đó nếu đường thẳng AB đi qua điểm O thì đường thẳng CD cũng đi qua điểm O. 3. Một tứ giác có trục đối xứng. Khi đó tứ giác đó hoặc là hình thang cân hoặc đối xứng qua một đường chéo của mình. 4. Trục đối xứng của một đa giác cắt các cạnh của nó tại các điểm A và B. Khi đó điểm A hoặc là đỉnh của đa giác hoặc là trung điểm của một cạnh vuông góc với trục đối xứng. 5. Nếu một hình có hai trục đối xứng vuông góc với nhau thì nó có tâm đối xứng. ------------------------------------------------------------ ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com XÁC SUẤT & THỐNG KÊ ĐẠI HỌC PHÂN PHỐ PHỐI CHƯƠNG TRÌNH Số tiế tiết: 30 - PHẦN I LÝ THUYẾT XÁC SUẤT (Probability theory) Chương Xác suất Biến cố Chương Biến ngẫu nhiên Chương Phân phối Xác suất thơng dụng Chương Vector ngẫu nhiên Chương Định lý giới hạn Xác suất Đào Hữu Hồ – Xác suất Thống kê – NXB Khoa học & Kỹ thuật Đậu Thế Cấp – Xác suất Thống kê – Lý thuyết tập – NXB Giáo dục Phạm Xn Kiều – Giáo trình Xác suất Thống kê – NXB Giáo dục Nguyễn Cao Văn – Giáo trình Lý thuyết Xác suất & Thống kê – NXB Ktế Quốc dân F.M Dekking – A modern introduction to Probability and Statistics – Springer Publication (2005) Biên soạ soạn: ThS ThS Đồ Đồn Vương Ngun Download Slide giả giảng XSTK_ XSTK_ĐH dvntailieu.wordpress.com Chương Xác suấ suất Biế Biến cố • Những tượng mà thực điều kiện cho kết gọi tượng tất nhiên Chẳng hạn, đun nước điều kiện bình thường đến 1000C nước bốc hơi; người nhảy khỏi máy bay bay người rơi xuống tất nhiên • Những tượng mà cho dù thực điều kiện cho kết khác gọi tượng ngẫu nhiên Chẳng hạn, gieo hạt lúa điều kiện bình thường hạt lúa nảy mầm khơng nảy mầm Hiện tượng ngẫu nhiên đối tượng khảo sát lý thuyết xác suất Xác suất - Thống kê Đại học Monday, January 03, 2011 PHẦN II LÝ THUYẾT THỐNG KÊ (Statistical theory) Chương Mẫu thống kê Ước lượng tham số Chương Kiểm định Giả thuyết Thống kê Chương Bài tốn Tương quan Hồi quy Tài liệu tham khảo Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Xác suất – Thống kê Ứng dụng – NXB Thống kê Đinh Ngọc Thanh – Giáo trình Xác suất Thống kê – ĐH Tơn Đức Thắng Tp.HCM Đặng Hùng Thắng – Bài tập Xác suất; Thống kê – NXB Giáo dục Lê Sĩ Đồng – Xác suất – Thống kê Ứng dụng – NXB Giáo dục PHẦN I LÝ THUYẾT XÁC SUẤT (Probability theory) Chương XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ §1 Biến cố ngẫu nhiên §2 Xác suất biến cố §3 Cơng thức tính xác suất ………………………………………………………………………… §1 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN 1.1 Hiện tượng ngẫu nhiên Người ta chia tượng xảy đời sống hàng thành hai loại: tất nhiên ngẫu nhiên Chương Xác suấ suất Biế Biến cố 1.2 Phép thử biến cố • Để quan sát tượng ngẫu nhiên, người ta cho tượng xuất nhiều lần Việc thực quan sát tượng ngẫu nhiên đó, để xem tượng có xảy hay khơng gọi phép thử (test) • Khi thực phép thử, ta khơng thể dự đốn kết xảy Tuy nhiên, ta liệt kê tất kết xảy Tập hợp tất kết xảy phép thử gọi khơng gian mẫu phép thử Ký hiệu Ω ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Chương Xác suấ suất Biế Biến cố Mỗi phần tử ω ∈ Ω gọi biến cố sơ cấp Mỗi tập A ⊂ Ω gọi biến cố (events) VD Xét sinh viên thi hết mơn XSTK, hành động sinh viên phép thử Tập hợp tất điểm số: Ω = {0; 0, 5; 1; 1, 5; ; 9, 5; 10} mà sinh viên đạt khơng gian mẫu Các phần tử: ω1 = ∈ Ω , ω2 = 0, ∈ Ω,…, ω21 = 10 ∈ Ω biến cố sơ cấp Các tập Ω : Chương Xác suấ suất Biế Biến cố 1.3 Quan hệ biến cố a) Quan hệ tương đương Trong phép thử, biến cố A gọi kéo theo biến cố B A xảy B xảy Ký hiệu A ⊂ B Hai biến cố A B gọi tương đương với A ⊂ B B ⊂ A Ký hiệu A = B VD Quan sát gà mái đẻ trứng ngày Gọi Ai : “có i gà mái đẻ trứng ngày”, i = 0, A: “có gà mái đẻ trứng ngày” B : “có nhiều gà mái đẻ trứng ngày” Khi đó, ta có: A3 ⊂ B , A2 ⊄ B , B ⊂ A A = B Chương Xác suấ suất Biế Biến cố Khi đó, ta có: A = A1 ∪ A2 B = A1 ∩ A2 VD Xét phép thử gieo hai hạt lúa Gọi N i : “hạt lúa thứ i nảy mầm”; K i : “hạt lúa thứ i khơng nảy mầm” (i = 1, 2); A : “có hạt lúa nảy mầm” Khi đó, khơng gian mẫu phép thử là: Ω = {K1K ; N 1K ; K1N ; N 1N } Các biến cố tích sau biến cố sơ cấp: ω1 = K1K 2, ω2 = N 1K 2, ω3 = K1N , ω4 = N 1N Biến cố A khơng phải sơ cấp A = N 1K ∪ K1N Xác suất - Thống kê Đại học Monday, January 03, 2011 Chương Xác suấ suất Biế Biến cố A = {4; 4, 5; ; 10} , B = {0; 0, 5; ; 3, 5} ,… biến cố Các biến cố A, B phát biểu lại là: A : “sinh viên thi đạt mơn XSTK”; B : “sinh viên thi hỏng mơn XSTK” • Trong phép thử, biến cố mà chắn xảy gọi biến cố chắn Ký hiệu Ω Biến cố khơng thể xảy gọi biến cố rỗng Ký hiệu ∅ VD Từ nhóm có nam nữ, ta chọn ngẫu nhiên người Khi đó, biến cố “chọn nam” chắn; biến cố “chọn người nữ” rỗng Chương Xác suấ suất Biế Biến cố b) Tổng tích hai biến cố • Tổng hai biến cố A B biến cố, biến cố xảy A xảy hay B xảy phép thử (ít hai biến cố xảy ra) Ký hiệu A ∪ B hay A + B • Tích hai biến cố A B biến cố, biến cố xảy A B xảy phép thử Ký hiệu A ∩ B hay AB VD Một người thợ săn bắn hai viên đạn vào thú thú chết bị trúng hai viên đạn Gọi Ai : “viên đạn thứ i trúng thú” (i = 1, 2); A : “con thú bị trúng đạn”; B : “con thú bị chết” Chương Xác suấ suất Biế Biến cố c) Biến cố đối lập Trong phép thử, biến cố A gọi biến cố đối lập (hay biến cố bù) biến cố A A xảy A khơng xảy ngược lại, A khơng xảy A xảy Vậy ta có: A = Ω \ A VD Từ lơ hàng chứa 12 phẩm phế phẩm, người ta chọn ngẫu nhiên 15 sản phẩm Gọi Ai : “chọn i phẩm”, i = 9,10,11,12 Ta có khơng gian mẫu là: Ω = A9 ∪ A10 ∪ A11 ∪ A12 , A10 = Ω \ A10 = A9 ∪ A11 ∪ A12 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Monday, January 03, 2011 Chương Xác suấ suất Biế Biến cố Chương Xác suấ suất Biế Biến cố 1.4 Hệ đầy đủ biến cố a) Hai biến ... ĐẠI SỐ 10 CHƯƠNG I: MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP BÀI 1: MỆNH ĐỀ Tóm tắt lý thuyết: PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN: Vấn đề 1: Xác định mệnh đề - Tính đúng sai của mệnh đề: Bài 1.1: Xét xem các phát biểu sau có phải là mệnh đề không? Nếu là mệnh đề thì cho biết đó là mệnh đề đúng hay sai? a. 2 là số hữu tỉ. b. phương trình 2 5 6 0x x+ + = vô nghiệm. c. chứng minh bằng phản chứng khó thật! d. 4x + là một số âm. e. n là số chẳn nếu và chỉ nếu 2 n chia hết cho 4. f. 3 :n N n n∃ ∈ − không là bội của 3. g. 2 , 1 0x x x∀ ∈ + + >¡ Bài 1.2: Xét tính đúng sai của mệnh đề sau: a. 27 4 2 27 2.4< ⇒ < b. 23 5 ( 2) 23 ( 2).5< ⇒ − < − c. 2 5 25 π π < ⇔ < Vấn đề 2: xác định mệnh đề đảo, mệnh đề phủ định của mệnh đề. Một mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc một khẳng định sai. Một câu khẳng định đúng được gọi là mệnh đề đúng.Một câu khẳng định sai được gọi là mệnh đề sai. Câu không phải là câu khẳng định hoặc câu khẳng định mà không có tính đúng – sai thì không phải là mệnh đề. Mệnh đề phủ định: Cho mệnh đề P. Mệnh đề “ không phải P” được gọi là mệnh đề phủ định của P và kí hiệu là P . Mệnh đề P và mệnh đề phủ định P là hai câu khẳng định trái ngược nhau. Nếu P đúng thì P sai, nếu P sai thì P đúng. Mệnh đề kéo theo: cho mệnh đề A và B.Mệnh đề “ nếu A thì B” được gọi là mệnh đề kéo theo, kí hiệu A B⇒ . Mệnh đề A B⇒ chỉ sai khi A đúng B sai. Mệnh đề đảo: Mệnh đề B A⇒ được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề A B⇒ . Mệnh đề tương đương: Cho hai mệnh đề A và B. Nếu cả hai mệnh đề A B⇒ và B A⇒ đều đúng ta nói A và B là hai mệnh đề tương đương và kí hiệu là A B⇔ . (đọc là A tương đương B, hoặc A là điều kiện cần và đủ để có B, hoặc A khi và chỉ khi B). Mệnh đề phủ định của P là “ không phải P” Mệnh đề phủ định của mệnh đề “ , ( )x X P X∀ ∈ ” là , ( )x X P X∃ ∈ Mệnh đề phủ định của mệnh đề “ , ( )x X P X∃ ∈ ” là , ( )x X P X∀ ∈ Mệnh đề Q P⇒ là mệnh đề đảo của mệnh đề P Q⇒ Bài 1 . Phát biểu phủ định các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúng. a) phương trình 2 2 3 1 0x x− + = có nghiệm. b) 2 1,44> c) Có vô số nguyên tố. d) Tứ giác ABCD đã cho là một hình vuông. e) số 4225 là số chính phương. f) Hai đường chéo của hình chữ nhật bằng nhau. Bài 2. Xét tính đúng sai, giải thích ? Phủ định mệnh đề sau : a) 3: 2 =∈∃ xQx b) nnN =∈∃ 2 : c) 0, 2 ≥∈∀ xRx d) xxZx >∈∀ 2 , e) 1240 >⇒< x f) 42 2 <⇒< xx g) 42 2 >⇔> xx h) 39, 22  xxNx ⇒∈∀ i) 3: 2 =∈∃ xRx j) xxNx ≥∈∀ 2 , k) 1 1 1 : 2 −= + − ∈∀ x x x Rx Bài 3. Cho hai tam giác ABC và A’B’C’. Xét hai mệnh đề P: “Tam giác ABC và tam giác A’B’C’ bằng nhau” Q: “Hai tam giác ABC và A’B’C’ có diện tích bằng nhau” a/ Xét tính đúng sai của mệnh đề P ⇒ Q. b/ Xét tính đúng sai của mệnh đề Q ⇒ P. c/ Mệnh đề P ⇔ Q có đúng không. Bài 4. . Xét hai mệnh đề P: “ π là số vô tỉ”, Q: “ π không là số nguyên” a/ Hãy phát biểu mệnh đề P ⇒ Q. b/ Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề trên. Bài 5. Phát biểu các định lí sau, sử dụng khái niệm “Điều kiện cần” a. Nếu 2 tam giác bằng nhau thì chúng có các góc tương ứng bằng nhau. b. Nếu tứ giác T là một hình thoi thì nó có 2 đường chéo vuông góc với nhau. c. Nếu một số tự nhiên chia hết CHƯƠNG II: HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Bài 1: HÀM SỐ Tóm tắt lý thuyết: PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN: VẤN ĐỀ 1: Tìm tập xác định của hàm số: Phương pháp: Muốn tìm tập xác định của hàm số ( )y f x = , ta tìm các số x sao cho biểu thức ( )f x có nghĩa.  1/ Định nghĩa: Cho tập D khác rỗng và D ⊂ ¡ . Nếu với mọi giá trị của x thuộc tập D có một và chỉ một giá trị tương ứng của y thuộc tập số thực ¡ thì ta có một hàm số. Ta gọi x là biến số và y là hàm số của x . Tập hợp D được gọi là tập xác định của hàm số. Tuy nhiên ta thường gọi tắt hàm số ( )f x hoặc hàm số ( )f x . 2/Cách cho hàm số: một hàm số có thể được cho bằng các cách sau: Hàm số cho bằng bảng. Hàm số cho bằng biểu đồ. Hàm số cho bằng công thức. 3/ Tập xác định của hàm số cho bởi biểu thức ( )y f x= : là tập hợp tất cả các số x sao cho biểu thức ( )f x có nghĩa. 4/ Đồ thị của hàm số: cho hàm số ( )y f x= xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm 0 0 ( ; )M x y trên mặt phẳng toạ độ với mọi x 0 thuộc tập D và 0 0 ( )y f x= . 5/ Sự biến thiên của hàm số: cho hàm số ( )y f x= xác định trên khoảng ( ; )a b ⊂ ¡ . Hàm số ( )y f x= gọi là đồng biến (hay tăng) trên khoảng (a;b) nếu 1 2 1 2 1 2 , ( ; ) : ( ) ( )x x a b x x f x f x∀ ∈ < ⇒ < . Hàm số ( )y f x= gọi là nghịch biến (hay giảm) trên khoảng (a;b) nếu 1 2 1 2 1 2 , ( ; ) : ( ) ( )x x a b x x f x f x∀ ∈ < ⇒ > . Xét chiều biến thiên của một hàm số là tìm các khoảng đồng biến và các khoảng nghịch biến của nó.Kết quả được tổng kết trong một bảng gọi là bảng biến thiên. 6/ Hàm số chẵn, hàm số lẻ: Cho hàm số ( )y f x= với tập xác định D. ( )y f x= gọi là hàm số chẵn trên D * * ( ) ( ), x D x D f x f x x D ∀ ∈ ⇒ − ∈  ⇔  − = ∀ ∈  ( )y f x= gọi là hàm số lẻ trên D * * ( ) ( ), x D x D f x f x x D ∀ ∈ ⇒ − ∈  ⇔  − = − ∀ ∈  Hàm số chẵn có đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng. Hàm số lẻ có đồ thị nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng. Một số trường hợp cần nhớ: Hàm số dạng điều kiện để biểu thức ( )f x có nghĩa ( ) ( ) ( ) P x f x Q x = ( ), ( )P x Q x là đa thức theo x ( ) 0Q x ≠ ( ) ( )f x P x= ( ) 0P x ≥ ( ) ( ) ( ) P x f x Q x = ( ) 0Q x > Bài 1.1 Tìm tập xác định của hàm số: 2 1 ) 3 x a y x + = − 3 1 ) 2 3 x b y x − = + 2 2 1 ) 3 2 x c y x x − = − + 2 2 ) 4 x d y x + = − 2 2 1 ) 1 x e y x x + = + + 2 ) 2 5f y x x= − + + 2 2 4 ) ( 4 )( 1) x x h y x x x + − = − − 2 2 6 ) ( 2 2) x x i y x x − − = + + Bài 1.2 Tìm tập xác định của hàm số: ) 4 2a y x= − ) 1k y x= + ) 4 2 1l y x x= − + + ) 5 3 1m y x x= − + − 4 1 ) 4 x e y x − = − ) 4 2a y x= − Bài 2: HÀM SỐ y= a.x+b Tóm tắt lý thuyết: Hàm số bậc nhất có dạng: ( 0)y ax b a= + ≠ 1. Tập xác định: D = ¡ 2. Chiều biến thiên: Định lý: Nếu 0a > thì hàm số y ax b= + đồng biến trên ¡ . Nếu 0a < thì hàm số y ax b= + nghịch biến trên ¡ . Bảng biến thiên: Đồ thị là một đường thẳng không song song và không trùng với các trục tọa độ. Để vẽ đường thẳng y ax b= + chỉ cần xác định hai điểm khác nhau của nó. Hàm số hằng y b= : Tập xác định: D = ¡ Hàm số hằng là hàm số chẵn. Đồ thị là một đường thẳng trùng phương với trục hoành và cắt trục tung tại điểm có tung độ là b. Hàm số y x= Tập xác định: D = ¡ Hàm số y x= là hàm số chẳn. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; )+∞ và nghịch biến trên khoảng ( Nguyễn Thị đào-Ngô sĩ liên-TP:Bắc giang English 9 _ main points for revision Part 1: Cách dùng các thì. 1. Hiện tại đơn ( Present simple ) form : be am / is / are (-) am not / isnt / arent (?) Am / Is / Are + S .? V( thờng ) V / Vs , es (-) dont / doesnt + V (?) Do / Does + S + V ? Nhận biết : có các từ : always , usually , often , sometimes / never , every . Eg: I am a student. He is , too. I learn English at school. He learns English at school, too. 2. Hiện tại tiếp diễn ( Present progressive ) form : (+) am / is / are + V-ing (-) am/ is / are + not + V-ing (?) Đảo ngữ. Nhận biết : có các từ : now , at the moment , at present , at this studying E now. Ngữ cảnh : look ! Eg: I am studying E now. He is studying E now. 3. Qúa khứ đơn ( Past simple ) form : * Be was ( I , He, She , It ) (-) wasnt were ( We , You, They ) (-) werent * V( thờng ) Ved (-) didnt + V V2 (?) Did + S + V ? Eg: I was in grade 8 last year. I worked very hard. Nhận biết : Yesterday , last , ago , in + năm , mệnh đề có when Eg: In 1998 I met very big man when I was on the way to school. 4. Qúa khứ tiếp diễn ( Past progressive ) form : S + was / were + V-ing (-) wasnt / werent. Nhận biết : ( at + giờ ) Thời gian quá khứ / Mệnh đề While / when / at that time Eg: I was watching TV at 7 oclock lastnight. I was watching TV while my sister was doing her homework. I was watching TV when the phone rang. 5. Tơng lai đơn ( Simple future ) form : S + will + V (-) will not ( wont ) Nhận biết : tomorrow , next , someday ( ngày nào đó / gần đây ) Eg: We will be on holidays next week. 6. Hiện tại hoàn thành ( Present perfect ) form : have / has + P2 ( Ved / V3 ) (-) havent / hasnt . Nhận biết : since , for , just , already , recently , lately , yet . Part 2 : Câu điều kiện _ If clause. Part 3 : Passive voice ( Thể bị động ) S : tiếp nhận hành động do 0 gây ra S + be + P2 by 0 1. Hiện tại Đơn (+) S + am/ is/ are + P2 Newspapers are delivered everyday. Present (-) S + am/ is/ are + not + P2 (?) Am/ Is Are + S + P2 ? TD (+) S + am/ is/ are + being + P2 I am being interviewed by the teacher now (-) S + am/ is/ are + not + being + P2 (?) Am/ Is/ Are + S + being + P2 ? 2. Quá khứ Đơn (+) S + was / were + P2 Simple past Newspapers were (received) delivered yesterday. TD (+) S + was / were + being + P2 ( by O ) Eg: I was being interviewed when you phoned me yesterday. 3. Hiện tại hoàn thành Present perfect (+) S + have / has + been + P2 ( by O ) (-) S + havent / hasnt + been + P2 (?) Have / Has + S + been + P2 ? Eg: All the newspapers have been delivered. 4. Tơng lai Gần (+) S + am / is / are + going to + be + P2 Future (-) S + am / is / are + not + going to + be + P2 (?) Am / Is / Are + S + going to + be + P2 ? Đơn (+) S + will be + P2 (-) S + will not + be + P2 (?) Will + S + be + P2 ? Eg: This room is going to be repainted If clause ĐK đa ra có thể thực hiện đợc 1. V HTĐ am / is / are ( not ) V/Vs (es) (dont/doesnt) If I am free, If he works hard , Main clause *V (TLĐ) Simple future. Will (not) + V(inf) I will go to the movies. He will pass the exam. *Có thể dùng can/ must/ should/ have to + Vinf 2. ĐK đa ra trái với hiện tại ( ko thực hiện đợc ) QKĐ were ( not) Ved / V2 ( didnt +V) If I were you , If I worked hard , Would (not) + Vinf ( could/ might/ had to ) I wouldnt make noise. had to work hard. He would passed the exam wouldnt fail the exam This room will be repainted next week 5. Với các trợ V ( Modal verbs ) : must , can , may , should , have to. (+) S + modal V + be + P2 Eg: The door must be kept locked This test cant be done. Part 4: Relatives pronouns ( Đại từ quan hệ ). * ĐTQH : who , whom , which , that : dùng để thay thế 1 N hoặc 1 đại từ đứng trớc nó và mở đầu 1 mệnh đề quan hệ tính ngữ (relative adjective clause ) để bổ nghĩa cho N , Đại từ đó 1. Cách dùng who , which , that Eg: a/ The man gave me a book. I met him at the bookstore. The man whom I Mục lục 1 Dãy số và các bài toán về dãy số 4 1.1 Giớithiệu 4 1.2 Định nghĩa và các định lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Một số phương pháp giải bài toán về dãy số . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.1 Dãy số thực: một số dạng dãy số đặc biệt . . . . . . . . . . 8 1.3.2 Dãysốnguyên 12 1.3.3 Dãy số và phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.4 Một vài thủ thuật khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4 Một số phương pháp xây dựng hệ thống bài tập . . . . . . . . . . . 23 1.4.1 Xây dựng dãy hội tụ bằng phương trình . . . . . . . . . . . 23 1.4.2 Xây dựng dãy truy hồi từ cặp nghiệm của phương trình bậc 2 24 1.4.3 Xây dựng các dãy số nguyên từ lời giải các phương trình nghiệmnguyên 25 1.4.4 Xây dựng dãy số là nghiệm của một họ phương trình phụ thuộc biến n 26 1.5 Lý thuyết dãy số dưới con mắt toán cao cấp . . . . . . . . . . . . . 27 1.5.1 Rời rạc hóa các khái niệm và định lý của lý thuyết hàm biếnsốthực 27 1.5.2 Phương pháp hàm sinh và bài toán tìm số hạng tổng quát . 29 1.5.3 Đại số tuyến tính và phương trình sai phân . . . . . . . . . 30 1.5.4 Sử dụng xấp xỉ trong dự đoán kết quả . . . . . . . . . . . . 31 1.6 Bàitập 32 2 Phương trình sai phân 41 2.1 Saiphân 41 2.1.1 Địnhnghĩa 41 2.1.2 Tínhchất 41 2.2 Phương trình sai phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.1 Một số khái niệm chung về phương trình sai phân . . . . . 43 2.3 Phương trình sai phân tuyến tính bậc nhất . . . . . . . . . . . . . 44 1 MỤC LỤC 2 2.3.1 Địnhnghĩa 44 2.3.2 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.3.3 Phương pháp tìm nghiệm riêng của phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất khi vế phải f(n) có dạngđặcbiệt 45 2.3.4 Bàitập 47 2.4 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.4.1 Địnhnghĩa 47 2.4.2 Cáchgiải 48 2.5 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 3 . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.5.1 Địnhnghĩa 55 2.5.2 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.5.3 Vídụ 56 2.5.4 Phương trình sai phân tuyến tính cấp k 58 3 Xác định số hạng tổng quát của một dãy số 60 3.1 Tìm số hạng tổng quát của dãy (dạng đa thức) khi biết các số hạngđầutiên 61 3.2 Công thức truy hồi là một biểu thức tuyến tính . . . . . . . . . . . 63 3.2.1 Vídụ 64 3.3 Công thức truy hồi là một hệ biểu thức tuyến tính . . . . . . . . . 70 3.3.1 Vídụ 70 3.4 Công thức truy hồi là biểu thức tuyến tính với hệ số biến thiên . . 72 3.5 Công thức truy hồi dạng phân tuyến tính với hệ số hằng . . . . . . 78 3.6 Hệ thức truy hồi phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.6.1 Quy trình tuyến tính hoá một phương trình sai phân . . . . 82 3.6.2 Vídụ 83 3.6.3 Mộtsốvídụkhác 87 3.6.4 Bàitập 96 4 Phương trình hàm sai phân bậc hai 99 4.1 Hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn cộng tính . . . . . . . . . . . . 99 4.2 Phương trình hàm sai phân bậc hai với hàm tuần hoàn và phản tuầnhoàn 100 4.3 Phương trình với hàm số tuần hoàn, phản tuần hoàn nhân tính . . 108 4.3.1 Địnhnghĩa 109 4.3.2 Mộtsốbàitoán 109 4.3.3 Một số ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 MỤC LỤC 3 5 Dãy số sinh bởi hàm số 128 5.1 Hàm số chuyển đổi phép tính số học và đại số . . . . . . . . . . . . 128 5.2 Về các dãy số xác định bởi dãy các phương trình . . . . . . . . . . 135 5.3 Định lý về ba mệnh đề tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 5.4 Một số bài toán về ước lượng tổng và tích . . . . . . . . . . . . . . 142 5.5 Bàitập 144 6 Một số lớp hàm chuyển đổi các cấp số 145 6.1 Cấp số cộng, cấp số nhân và cấp số điều hoà . . . . . . . . . . . . 145 6.2 Dãysốtuầnhoàn 146 6.3 Hàm số chuyển đổi cấp số cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 6.4 Hàm số chuyển đổi cấp số cộng vào cấp số nhân . . . . . . . . . . . 154 6.5 Hàm số chuyển đổi cấp số nhân vào cấp số cộng . . . . . . . . . . . 155 6.6 Hàm số chuyển đổi cấp số nhân vào cấp số điều hoà . . . . . . . . 156 7 Một số lớp hàm chuyển đổi các cấp số trong tập rời rạc 158 7.1 Hàm số chuyển đổi cấp [...]... ngẫ ngẫu nhiên Y 6 7 8 Xác suất - Thống kê Đại học 1 n i =1 j =1 1.2 Phân phối xác suất thành phần (phân phối lề) Từ bảng phân phối xác suất đồng thời của (X ,Y ) ta có: • Bảng phân phối xác suất của X X x1 x 2 ⋯ x m Chương 4 Vector ngẫ ngẫu nhiên ( 2 ) 1) Tính P (X = 6) và P X ≥ 7, Y ≥ 2 2) Lập bảng phân phối xs thành phần và tính EX , EY (tổng cột j của bảng phân phối xác suất đồng thời) Kỳ vọng... tụ trong xác suất và các định lý §2 Các loại xấp xỉ phân phối xác suất ……………………………………………………………………… §1 MỘT SỐ LOẠI HỘI TỤ TRONG XÁC SUẤT VÀ CÁC ĐỊNH LÝ (tham khảo) 1.1 Hội tụ theo xác suất – Luật số lớn a) Định nghĩa • Dãy các biến ngẫu nhiên {Xi } (i = 1, , n, ) được gọi là hội tụ theo xác suất đến biến ngẫu nhiên X nếu: ∀ω ∈ Ω, ∀ε > 0 : lim P Xn (ω) − X (ω) ≥ ε = 0 n →∞ b) Định lý (Bất đẳng thức Tchébyshev)... 1 i 1 VD 2 Cho bảng phân phối xs đồng thời của (X ,Y ): Y 1 2 3 X 6 0,10 0,05 0,15 7 0,05 0,15 0,10 8 0,20 0,10 0,10 1) Lập bảng phân phối xác suất của X với điều kiện Y = 2 và tính kỳ vọng của X 2) Lập bảng phân phối xác suất của Y với điều kiện X = 8 và tính kỳ vọng của Y ( ) EY = 1.0, 5 + 2.0,25 + 3.0, 25 = 1, 75 VD 3 Cho vector ngẫu nhiên rời rạc (X ,Y ) có bảng phân phối xác suất đồng thời... nhiên liên tục X được gọi là có phân phối Chuẩn (Normal distribution) tham số µ và σ2 (σ > 0), ký hiệu là X ∈ N (µ; σ2 ) hay X ∼ N (µ; σ2 ), nếu hàm mật độ xác suất của X có dạng: f (x ) = − 1 e σ 2π Chương 3 Phân phố phối xác suấ suất thơng dụng c) Xác suất của X ~ N(µ, σ2) X −µ ∈ N (0; 1) σ Vậy, ta có cơng thức tính xác suất: b − µ     − ϕ a − µ  P (a ≤ X ≤ b ) = ϕ     σ    σ... σy σ Ta có: x 100% = 17, 89% ; 100% = 15, 06% EX EY Vậy lớp B học đều (ổn định) hơn lớp A Xác suất - Thống kê Đại học Chương 2 Biế Biến ngẫ ngẫu nhiên VD 20 Năng suất (sản phẩm/phút) của hai máy tương ứng là các BNN X và Y , có bảng phân phối xác suất: X 1 2 3 4 Y 2 3 4 5 0,3 0,1 0,5 0,1 P P 0,1 0,4 0,4 0,1 Từ bảng phân phối xác suất, ta tính được: EX = 2, 4 ; VarX = 1, 04 ; EY = 3, 5 ; VarY = 0,... Xét biến ngẫu nhiên X có phân phối Nhị thức B(n; p) Với mọi a, b ∈ ℝ và a < b , ta có: Chương 5 Định lý giớ giới hạn trong xác suấ suất n →∞ Chương 5 Định lý giớ giới hạn trong xác suấ suất 2.2 Xấp xỉ phân phối Nhị thức bởi Poisson Xét biến ngẫu nhiên X có phân phối Nhị thức B(n; p ) • Khi n → ∞ , nếu p → 0 và np → λ thì: Chương 5 Định lý giớ giới hạn trong xác suấ suất k − µ     − ϕ  k1 − µ ... là độc lập và có cùng phân phối xác suất VD 2 Đo chiều cao X (cm) của n = 100 thanh niên Vì chiều cao khác nhau nên để tiện việc sắp xếp, người ta chia chiều cao thành nhiều khoảng Xác suất - Thống kê Đại học 25 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Monday, January 03, 2011 Chương 6 Mẫu thố thống kê & Ước lượ lượng tham số Các thanh niên có chiều cao trong cùng 1 khoảng được xem là cao như nhau...  17 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Monday, January 03, 2011 Chương 3 Phân phố phối xác suấ suất thơng dụng Chương 4 Vector ngẫ ngẫu nhiên §1 Phân phối xác suất của vector ngẫu nhiên rời rạc §2 Phân phối xác suất của vector ngẫu nhiên liên tục ………………………………………………… Phân phối Student St(n) (tham khảo) Nếu T ∈ N (0; 1) và Y ∈ χ2 (n ) độc lập thì n ∈ St (n ) với hàm mật độ xác suất: Y ... đó pi • = pi1 + pi 2 + ⋯ + pin (tổng dòng i của bảng phân phối xác suất đồng thời) Kỳ vọng của X là: EX = x 1p1• + x 2 p2• + ⋯ + x m pm • • Bảng phân phối xác suất của Y Y y1 y2 ⋯ yn P p•1 p•2 ⋯ p•n Trong đó p• j = p1 j + p2 j + ⋯ + pmj VD 1 Phân phối xác suất đồng thời của vector ngẫu nhiên (X ,Y ) cho bởi bảng: ) Trong đó P X = x i ; Y = y j = pij và 3 0,10 0,05 0,15 0,05 0,15 0,10 0,10 0,20 0,10... H đúng • Xác suất của việc bác bỏ H khi H đúng là xác suất của sai lầm loại 1 và được ký hiệu là α c) Mối liên hệ giữa hai loại sai lầm • Khi thực hiện kiểm định, ta ln muốn xác suất phạm phải sai lầm càng ít càng tốt Tuy nhiên, nếu hạ thấp α thì β sẽ tăng lên và ngược lại b) Sai lầm loại II • Sai lầm loại 2 là loại sai lầm mà ta phạm phải trong việc chấp nhận giả thuyết H khi H sai • Xác suất của ... Suy Ω hình vng có cạnh đơn vị Chương Xác suấ suất Biế Biến cố §3 CƠNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT 3.1 Cơng thức cộng xác suất Xét phép thử, ta có cơng thức cộng xác suất sau • Nếu A B hai biến cố tùy ý:... trắng trước thắng Giả sử A lấy trước, tính xác suất A thắng ? Chương Xác suấ suất Biế Biến cố 3.2.3 Cơng thức xác suất đầy đủ Bayes a) Cơng thức xác suất đầy đủ Xét họ n biến cố {Ai } (i = 1,2,... Trong tốn, ta xét biến cố Xác suất xác suất tích nhánh 2) Nếu tốn u cầu tìm xác suất B {A1, A2 } đầy đủ tốn áp dụng cơng thức đầy đủ Xác suất tổng nhánh Chương Xác suấ suất Biế Biến cố A1, A2 cho