Các dạng hệ phương trình

Bài 6. Hệ phương trình Giả sử 1 t(x, y ,z, ,u,v) , n f(x, y ,z, ,u,v) là các hàm số của các biến số x, y, v. Giải hệ phương trình 1 2 n f (x, ,v) 0 f (x, ,v) 0 f (x, ,v) 0 =   =   =  (1) tức là tìm tất cả các bộ có thứ tự oo o (x , y , , v ) sao cho khi thay vào (1) ta được các đẳng thức. Mỗi bộ đó được gọi là một nghiệm của (1). Ta bảo rằng hệ phương trình 1 m g (x, ,v) 0 g (x, ,v) 0 =     =  (2) là hệ quả của hệ (1) nếu mọi nghiệm của (1) đều là nghiệm của (2). Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu hệ nọ là hệ quả của hệ kia và ngược lại. Ta có các khẳng định sau : (a) Nếu trong hệ (1) ta đổi chỗ hai phương trình cho nhau thì ta được hệ tương đương với (1) (b) Nếu trong (1) ta thay một phương trình bởi phương trình tương đương với nó thì hệ mới tương đương với (1) (c) Nếu tương đương với x = h(y, z, , v) thì hệ 1 f= 0 2 n f0 f0 xh( y , , =     =   =  v) tương đương với (1). (d) Nếu là các số bất kì và 1 c , , c n 0 1 c ≠ thì hệ 11 2 2 n n 2 n c f c f c f 0 f0 f0 +++=   =     =  1 tương đương với (1). Tính chất (c) là cơ sở của phép thế. 1. Hệ phương trình tuyến tính hai ẩn. Đó là hệ dạng 111 22 ax b 2 y c ax b y c +=    +=   (2) trong đó ab , 22 11 +≠0 . 22 22 ab0 + ≠ a) Nếu 1 22 ab ab ≠ 1 thì hệ (2) có nghiệm duy nhất mà có thể giải bằng phếp thế 11 1 (c b y ) x a − = . b) Nếu 11 22 abc abc =≠ 1 2 thì (2) vô nghiệm. c) Nếu 11 22 abc abc == 1 2 0 và a 1 ≠ thì hệ có vô số nghiệm dạng 11 1 (c b y) x, y a −  =   , y tùy ý. Ví dụ 1. Giải hệ 4x 2 y 3 x y 4 + =   +=  (3) Từ phương trình thứ hai, y = 4 − 2x. Từ đó (3) ⇔ 4x 2 y 3 y 4x +=   =−  ⇔ 4x 2(4 x) 3 y4x + −=   =−  ⇔ 2x 5 y 4x =−   =−  ⇔ 5 x 2 5 y4 2  =−     =+   . Đáp số : 513 , 22   −     . Ví dụ 2 : Giải và biện luận 2 2 2ax a y 3 2x a y 3   +=  +=   (4) (4) ⇔ 2 2ax a y 3 2x 3 a y   +=  =−   ⇔ 3a 3 2x 3 a y . =   = −  a) a ≠ 1 hệ vô nghiệm. b) a = 1 hệ có vô số nghiệm dạng 3y ,y ,y 2  −  ∈     R . Ví dụ 3. Giải và biện luận ax (a 1)y 1 (a 1)x (5 3a) y 0 +− =   + −− =  (5) (a) a = 0, (5) ⇔ y 1 x5 y = −   =  ⇔ x5 y 1 = −   = −  (b) a ≠ 0, (5) ⇔ 22 [1 (a 1)y] x 1 (2a 5a 1) y aa −−  =    1 − +=−−  (6) Dễ dàng thấy rằng với (5 17) a 8 ± = hệ (6) vô nghiệm. Với a ∉ (5 17) (5 17) 0, , 88  −+    có nghiệm duy nhất 22 22 a4a5aa1 ,. 2a 5a 1 2a 5a 1  −+ − −−  −+ −+ Đáp số : { (1, 5)}−− với a = 0 2 22 a4a5 a a1 , 2a 5a 1 2a 5a 1    −+ − −−    −+ −+   với 517 , 8 a0   ±  ∉  . 3 Chú ý. Đối với phương (1), nếu 11 12 21 22 ab Daba ab b0 = =−≠ thì (1) có nghiệm duy nhất 11 22 11 22 cb cb x ab ab = . 11 22 11 22 ac ac y ab ab = . Ví dụ 4. Tìm các số a, b, c sao cho hệ 5a 7 y 15 ax b y c + =   + =  (7) Vô nghiệm, còn phương trình ax + by = c có nghiệm x = 4, y = 1. Giải. Cần chọn a, b, c sao cho ab c vµ 5715 4a b c  =≠    +=  Có thể lấy a = 5, b = 7, c = 4.5 + 7 = 27. Ví dụ 5. Tìm a sao cho mỗi nghiệm (x, y) của hệ x y a 2x y 3 +=   − =  (8) thỏa mãn điều kiện x > y. Giải. (8) ⇔ 3x a 3 3 y 2a 3 =+   =−  ⇔ (a 3) x 3 (2a 3) y 3 +  =    −  =   . Điều kiện x > y ⇔ a + 3 > 2a − 3 ⇔ a < 6. 2. Hệ phương trình đối xứng Giả sử f(x, y), g(x, y) là các đa thức hai biến. Hệ f(x, y )0 g (x, y )0 =   =  (9) 4 được gọi là hệ đối xứng loại 1 nếu f và g là các đa thức đối xứng nghĩa là f(x, y) = f(y, x), g(x, y) = g(y, x) với mọi x, y ∈ R. Hệ (9) được gọi là hệ đối xứng loại 2 nếu f(x, y) = g(y, x) với mọi x, y. 2.1. Hệ đối xứng loại 1 Ví dụ 6. Giải hệ 22 x3x yy 61 xy 12.   + +=  =   (10) Giải (10) ⇔ 2 (x y )x y 61 xy 12   ++=  =   (11) Đặt u = x + y, v = xy. Khi đó (11) có dạng 2 uv6 v12   1 + =  =   ⇔ 2 u4 v12   9 =  =   và (10) ⇔ x y 7 x y 12 x y 7 x y 12  +=    =    +=−    =    Khi đó x, y là các nghiệm của các phương trình bậc hai sau . 2 t7t12++ =0 Đáp số (x, y) ∈ {(3, 4), (4, 3), (−3, −4), (−4, −3)}. Chú ý. Đối với hệ đối xứng loại 1, ta thường đặt u = x + y và v = xy để đến hệ đối với u, v. Ví dụ 7. Giải hệ 33 3 x y 5 x y 6  + =   =   (10) (10) ⇔ () ( ) { } 33 33 (x, y )2,3,3,2∈ . Ví dụ 8. Giải hệ 3333 xx yy 17 xxyy0.   + +=  ++=   (11) Đặt u = x + y, v = xy và sử dụng đẳng thức 5 33 3 3 x y (x y )3x y (x y )u 3uv+=+ − +=− . 7 Thay vào (11) ta có hệ 33 u3uvv1 uv0   − +=  +=   ⇔ 17 uv 3 uv0  = −    + =  Từ đó, ta có 1 17 u 3 = , 1 17 v 3 =− , 2 17 u 3 =− , 2 17 v 3 = và (11) ⇔ 17 xy 3 17 xy 3  +=     =−   ∨ 17 xy 3 17 xy 3  +=−     =   (vô nghiệm) Hệ đầu có hai nghiệm 51 12 51 51 51 12 51 51 , 66  ++ −+   , 51 12 51 51 51 12 51 51 , 66  −+ ++   . 2.2. Hệ đối xứng loại 2 Ví dụ 8. Giải hệ 3 3 x5x y y 5 y x  = +   = +   (1) (1) ⇔ 33 33 x y 6(x y ) x y 4(x y )  += +   −= −   ⇔ 22 22 (x y )(x 2x yy 6) 0 (x y )(x x yy 4) 0  + −+−=   − ++−=   ⇔ x y 0 x y 0, +=   −=  (2) ∨ 22 xx yy 6 xy0,   − +=  −=   (3) ∨ 2 xy0 xx yy 4, +=    + +=   (4) ∨ 22 22 xx yy 6 xx yy 4  − +=   + +=   (5) Hệ (2), (3), (4) cho tập hợp nghiệm là M = { } (0, 0), ( 2, 2), ( 6, 6±±±∓ 6 (5) ⇔ 22 x y 5 xy 1   +=  =−   ⇔ 42 1 x y y 5 y 10  =−    − +=  ⇔ 1 x y 52 y 2  =−    ±  =±   1 ⇔ 2 521 521 2 ± x y  =   ±   =−   ∨ 2 x 52 521 y 2  =−  ±    ± =   1 Đáp số : Tập nghiệm là 2 5 21 2 5 21 M,,, 22 521 521      ±±  ∪−−     ±±       . Ví dụ 9. Giải hệ 2 2 x y 1 y x1  . + =   + =   (6) (6) ⇔ 2 22 xy1 x yy x0  +=   −+−=   ⇔ 2 xy1 (x y )(x y 1) 0   +=  − +− =   ⇔ 2 x y 1 x y 0   +=  −=   ∨ 2 x y 1 x y 1   +=  +=   ⇔ ∨ 2 xy xx1 =    +−=   0 2 y 1x xx =−    0 − =   ⇔ (x, y) ∈ 1515 (0,1), (1,0), , . 22   −± −±     Ví dụ 10. Giải hệ 3 3 xaxb y y bx a y ,  =+   =+   (7) với 2b > a > 0. Giải. Đây là hệ đối xứng loại hai. Có thể giải như sau : 7 (7) ⇔ 33 33 x y a(x y )b(x y ) x y a(x y )b(x y )  + =+++   − =−−−   ⇔ 22 22 (x y )(x x yy ab (x )0 y )(x x yy ab  +−+−   −++−   )0 −= += Từ đó ta có 4 hệ sau (a) x y 0 x y 0 +=   −=  (b) 22 xy0 xx yy ab +=    + +=−   (c) 22 xx yy ab xy0   − +=+  −=   (d) 22 22 xx yy ab xx yy ab. + −  =   =   −+ ++ Giải a) thu được nghiệm (0, 0). (b) ⇔ ⇔ 22 yx 2x x a b =−    −=−   2 yx xa =−    b = −   (8) Từ đó nếu a − b < 0 thì (8) vô nghiệm, nếu a − b ≥ 0 thì (8) có nghiệm (x, y) ∈ () ( ) { } ab, ab, ab,ab−− − −− − (c) ⇔ 2 yx xa =    b = +   ⇔ (x, y) ∈ ()() { } ab,ab, b++ +ab, a−+− (d) ⇔ 22 x y a xy b   +=  =−   ⇔ 2 (x y )a2b xy b   0 + =− <  =−   hệ vô nghiệm. Vậy nếu a − b ≥ 0 thì hệ (7) có các nghiệm (0, 0), () , ab,ab++ ( ) ab, ab − +− +, ( ) ab, ab − −−, () ab,ab−− −. nếu a − b < 0 thì hệ có các nghiệm (0, 0), () ab,ab++, ( ) ab, ab − +− +. 8 2.3. Hệ thuần nhất : có dạng 22 1111 22 222 ax b 2 y cx y d ax b y cx y d,  ++=   ++=   (9) có thể giải bằng cách nhân phương trình đầu với , phương trình thứ hai với rồi trừ vế với vế để làm triệt tiêu vế phải (ở đây phải coi rằng 2 d 1 d dd 12 0). ≠ Ví dụ 11. Giải hệ 22 22 3x 2x yy 11 x2x y 3 y 17.  + +=   +=   (10) Giải. (10) ⇒ 22 22 51x 34x y 17 y 187 11x 22x y 33 y 187  ++=   ++=   ⇒ 22 10x 3x y 4 y 0 + −= (11) Vì y = 0 không thỏa mãn (10) với mọi x nên từ (11) ta có 2 xx 34 yy  +−=   0 ⇔ 0,8 x y 0, 5. −  =   Do đó (10) ⇔ 22 22 x 0,8 y x2x y 3 y 17 x 0, 5 y x2x y 3 y 17.   =−       ++=     =       ++=    Hệ đầu cho 4 x 3 5 y . 3  =   =±   ∓   Hệ sau cho x1 y 2. =±   =±  9 Đáp số : 45 , 33  −   , 45 , 33  −     , (1, 2) và (−1, −2). Ví dụ 12. Giải hệ 22 xx yy 4 xx yy 2   + +=  ++=   (12) Từ phương trình thứ hai của (12) ta có x + y = 2 − xy. Từ đó 22 x2x 2 yy 4x y (x y )++=−+ . Do đó (12) có dạng 22 22 xxyy 4 x 2 y 6x y 4(x y )  ++=   ++ =+   (13) (13) ⇒ 5xy = 2 (x y ) ⇒ x y 0 x y 5. =   =  Từ đó ta có hai hệ a) xy 0 x y 2x y =   +=−  ⇒ x0 y 2 =   =  ∨ x2 y 0 =   =  b) xy 5 x y 2x y =  +=−   ⇒ 2 5 x y y 3 y 50  =    + +=  (vô nghiệm). Thử lại, ta có tập nghiệm {(0, 2), (2, 0)}. 2.4. Hệ không đối xứng Đối với hệ không đối xứng nói chung không có cách đặc biệt nào cho tất cả mọi loại. Ta phải dựa vào tính đặc thù của mỗi loại. Ví dụ 13. Giải hệ 22 22 3x 2 y 3x 3 y 3 4,5x 3 y 3x 8 y 7  +−+=   +−+=   (13) Từ mỗi phương trình không thể dễ dàng tính x theo y hoặc y theo x. Tuy nhiên nếu nhân phương trình đầu với 3, phương trình thứ hai với 2 rồi trừ cho nhau ta được y + 3x = 5. 10 [...]... ≤ 2 2 2 Ví dụ 19 Giải hệ x 2 y + y + xy2 + x = 18xy  (20)  4 2 x y + y2 + x 2 y 4 + x 2 = 208x 2 y2   Giải a) Nếu (x, y) là nghiệm của (20) và xy = 0 thì x = y = 0 b) Nếu xy ≠ 0 thì chia phương trình đầu cho xy còn phương trình sau cho x2 y2 , ta nhận được 15 1 1  x + x + y + y = 18  (21)  1 1 2 2 x + +y + = 208  x2 y2  Đặt u = x + 1 1 , v = y + Khi đó (21) có dạng y x u + v = 18  ⇔...Sau khi thay y = 5 − 3x vào phương trình đầu ta được phương 12 trình bậc hai đối x Sau khi giải ta dược x = 2 và x = Từ đó, 7  12 1  nghiệm của (13) là (2, −1),  , −   7 7 Ví dụ 14 Giải hệ x 2 y2 − 2x + y2 = 0  (14)  2 2x − 4x + 3 + y3 = 0  Chú ý rằng y ≠ 0 và nếu y = 0 thì −2x = 0 và do đó 3 = 0 vô... hai hệ sau : 7y   2x + y x = 13  2x − y = 27 x = ±6,5   a)  ⇒  ⇒  4/3 2 y = ±14 y (2x − y)4 / 3 = xy  y  =      13  91   13   Thử lại ta có tập nghiệm {(7, 13), (−7, −13), (6,5 ; 14), (−6,5 ; −14)}  x 2 + y2 + x 2 − y2 5 + 17  =  2 Ví dụ 17  x + y2 − x 2 − y2 5 − 17 (18)  x 2 + 2y3 = 18  Giải Điều kiện x 2 + y 2 ≠ 0  x 2 − y2 ≥ 0 ⇔ |x| ≥ |y| > 0  y ≠ 0 Phương trình. .. + y2 x 2 − y2 3x ⇒ y=± = 5 7 4 Từ đó ta có hai hệ 13  9 3x 3x   x = 4 3 59 y = y =  4 4 a)  ⇔  ⇔  x3 + 2y3 = 18 59x3 = 32.18  y = 33 9    59  3x 3x   x = 3 1,8 y = − y = −  4 4 b)  ⇔  ⇔  y = −33 1,8 x3 + 2y3 = 18 5x3 = 32.8    Thử lại, ta có 2 nghiệm  9 9   4 4 , 34  , ( 4 3 1,8, − 33 1,8 ) 59   59 Ví dụ 18 Giải hệ | x + y | = x − y + a (19)  | x − y | = x...  Thử lại (1, −1) là nghiệm Ví dụ 15 Giải hệ 11 3 2y  + =1  2 2 x + y −1 x (15)  4x x 2 + y 2 + = 22  y  Giải Đặt s = x 2 + y2 − 1, t = 3 2  + =1 2 t s + 1 + 4t = 22  ⇔ x ta có y 3 2  + =1 s t  s = 21 − 4t ⇒ 2t 2 − 13t + 21 = 0   s = 21 − 4t    t = 3,5 t = 3,5 t = 3  ⇒  ∨  t = 3 s = 7 s = 9 s = 21 − 4 t  Từ đó ta có hai hệ  32 x 2 + y 2 − 1 = 7  53 2 y = ± 53... +y + = 208  x2 y2  Đặt u = x + 1 1 , v = y + Khi đó (21) có dạng y x u + v = 18  ⇔ (u, v) ∈ {(4, 14), (14, 4)}  2 2 u + v = 212  Thay vào ta có hai hệ 1 1   x + x = 4  x + x = 14   và   y + 1 = 14 y + 1 = 4 y y     Giải hai hệ trên kết hợp với nghiệm (0, 0) ta được 9 nghiệm : (0, 0), (2 + 3, 7 + 4 3 ) , (2 − 3, 7 − 4 3) , (2 + 3, 7 − 4 3), (2 − 3, 7 + 4 3) , (7 + 4 3, 2 + 3) ,... = ±1    b)  x ⇒  ⇒  ⇒  x = ±3 x = 3y x = 3y  =3   y  Thử lại, ta có tập nghiệm  7 8  , (3, 1), ( −3, − 1),    53   32   7 8 3532   ,− ,  −  53   53   Ví dụ 16 Giải hệ  3 2x + y 3 2x + y 81 + =  2x 182  y (16)  3 2x − y 3 2x − y 1  + =  y 2x 182  Giải Tập xác định x ≠ 0, y ≠ 0 Quy đồng mẫu số ta đi đến 12 ⇒ 81xy   4 / 3 81xy 3 = (2x + y) 2x + y = 91 (2x . 0 =     =  (2) là hệ quả của hệ (1) nếu mọi nghiệm của (1) đều là nghiệm của (2). Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu hệ nọ là hệ quả của hệ kia và ngược lại. Ta có các khẳng định. (a) Nếu trong hệ (1) ta đổi chỗ hai phương trình cho nhau thì ta được hệ tương đương với (1) (b) Nếu trong (1) ta thay một phương trình bởi phương trình tương đương với nó thì hệ mới tương. Bài 6. Hệ phương trình Giả sử 1 t(x, y ,z, ,u,v) , n f(x, y ,z, ,u,v) là các hàm số của các biến số x, y, v. Giải hệ phương trình 1 2 n f (x, ,v) 0 f (x, ,v)