Đang tải... (xem toàn văn)
Trừ từng vế của 2 pt cho nhau để đưa về pt tích.[r]
(1)HỆ PHƯƠNG TRÌNH Dạng 1: Hệ gồm pt bậc pt bậc cao
1/ Phương pháp: Rút ẩn từ pt bậc vào pt bậc cao 2/ Ví dụ
Ví dụ 1: giải pt sau:
a/
2x
2x
y
x y y
ìï - + = ïïí
ï + - =
ïïỵ b/
2
5x x y
x x y ìï + = ïïí
ï + + =
ïïỵ Ví dụ 2: Cho hệ pt
2
1
2 x 4x
x y
m my m
ìï - + = ïïí
ï - + + - =
ïïỵ
a/ Giải hệ m =
b/ Tìm m để hệ có nghiệm Giải: a/ (x ;y) = (0 ; 1) (2/3 ; 5/3) b/ m = m =
Ví dụ 3: Cho hệ pt
2 1
x y
x y m
ìï + =
ïïí
ï - =
ïïỵ
a/ Giải hệ m = 2 b/ Tìm m để hệ vơ nghiệm
Giải: a/ (x ;y) =
2 ( ; )
2 - b/ m> Ứng dụng : Cho hệ pt
2
0
2x
x y m
y m
ìï - - = ïïí
ï + - - =
ïïỵ
a/ Giải hệ m =
b/ Tìm m để hệ có cặp nghiệm thõa mãn x12+y12 =x22+y22 ĐS: a/ (x;y) = (2;1) (-2; -3)
b/ m =
Dạng 2: Hệ pt đối xứng loại 1 1/ Định nghĩa: Là hệ có dạng
( ; ) ( ; )
f x y g x y
ìï =
ïïí
ï =
ïïỵ trong hốn đổi x y pt
khơng thay đổi
Ví dụ: Các hệ pt
2 3
3
x xy y
xy x y
ìï + + =
ïïí
ï + + =
-ïïỵ
2 30
11 x y yx
xy x y
ìï + =
ïïí
ï + + =
ïïỵ 2/ Cách giải:
2.1 Nhớ lại định lý Viet phương trình bậc hai
Cho pt ax2 +bx+ =c 0có hai nghiệm x1; x2
1 2
b x x
a c x x
a ìï -ï + = ïïï
íï ï =
ïïïỵ Ngược lại có hai số
u ; v thỏa mãn
u v S uv P
ìï + = ïïí
ï =
(2)Ví dụ Tìm hai số u ;v thỏa mãn
6
u v uv
ìï + = ïïí
ï = ïïỵ
2.2 Cách giải hệ đối xứng loại 1:
Đặt x+y = S xy = P ( ĐK S2 > 4P); thay vào tìm S P Từ suy x y.
3 / Bài tập:
Bài 1: Giải hệ pt:
a
3
2 3
20 1 3 1 3
x y x x
hoac
x y y y
ì ì
ï ï
ìï + = ï = + ï =
-ïï Û ï ï
í í í
ï + = ï = - ï = +
ï ï ï
ïỵ ïỵ ïỵ
b
2
4 2
21
x xy y x x y y
ìï + + = ïïí
ï + + =
ïïỵ Đặt x + y = S xy = P ta có P = S = ±3
Với P = 2; S = ta có nghiệm (-1;-2) (-2; -1) Với P = ; S = -3 ta có nghiệm (1; 2) (2; 1)
c
6
11 11 xy
x y
xy x y ìïï + + = ïï
íï
ï + + =
ïïỵ Nghiệm hpt (-2; -3) ( -3; -2)
Bài 2: Cho hệ pt
2
6 x y m x y ìï + = ïïí
ï + = ïïỵ
a Giải hệ m = 26 b Tìm m để hệ vơ nghiệm
c Tìm m để hệ có nghiệm phân biệt Giải: Ta có
6 36
2 x y
m xy
ìï + = ïïï
í
-ï =
ïïïỵ , x; y nghiệm pt X2 – 6X + 36
2 m
= (1) a Nghiệm pt (1;5) (5; 1)
b m < 18 c m > 18
Bài 3: Cho hệ pt
5( ) 4x
x y y
x y xy m
ìï + = + ïïí
ï + - = -ïïỵ
a/ Giải hệ m =
b/ Tìm m để hệ có nghiệm
Giải: a ( 4- - 7; 4- + 7) ( 4va- + 7; 4- - 7)
b
1 m m é ê £ ê ê ³ ê ë
Bài 4 Tìm a để hệ pt
2 2
2(1 )
( )
x y a
x y
ìï + = +
ïïí
ï + =
ïïỵ có nghiệm
Giải: Đặt x+y = S xy = P, ĐK S2 > 4P Ta có
2 S
P a
ìï = ± ïïí
ï = -ïïỵ
(3)Với S = -2 , P = – a x, y nghiệm X2 + X + – a = có D ='2 a
Để hệ có nghiệm pt có nghiệm kép, suy a =
4 Cách tìm nghiệm hệ đối xứng loại 1 ĐK cần
Vì (x0; y0) nghiệm (y0; x0) nghiệm hệ Để hệ có nghiệm x0 =
y0, thay vào hệ để tìm m
ĐK đủ: Thay m vừa tìm vào hệ xem giá trị thỏa mãn
Ví dụ 1: Tìm m để hệ pt
2
x y m x y
ìï + = ïïí
ï + =
ïïỵ có nghiệm nhất
Giải
ĐK CẦN Vì (x0; y0) nghiệm (y0; x0) nghiệm hệ Để hệ có nghiệm
nhất x0 = y0 Ta có hệ
2
0
18 2x
3
2x
m m
x
ì ì
ï = ï =
ï ï
ï Û ï
í í
ï = ï =
ï ïïỵ
ïỵ
ĐK ĐỦ Thay m = 18 vào ta có nghiệm ( x; y ) = (3; 3)
Ví dụ 2: Tìm m để hệ
2
x y xy m
x y m
ìï + + = ïïí
ï + =
ïïỵ có nghiệm nhất
Đáp số: m = m = 8 BÀI TẬP CŨNG CỐ
Bài 1: Giải hệ phương trình sau:
a
2 8
5
x y x y xy x y
ìï + + + = ïïí
ï + + =
ïïỵ b
4
x y
x y xy
ìï + =
ïï
íï + - =
ïïỵ c
2 30
11 x y yx
xy x y
ìï + =
ïïí
ï + + =
ïïỵ d
2
11
3( ) 28
x y xy
x y x y
ìï + + = ïïí
ï + + + =
ïïỵ e 3
30 ( ) ( ) 35
x y y x
x y
ìï + =
ïï
íï + =
ïïỵ
Bài 2: Tìm m để hệ
2
2 x y xy m x y yx m ìï + + = + ïïí
ï + = +
ïïỵ có nghiệm nhất
Bài 3: Tìm m để hệ
2
2
( )
x xy y m
xy x y m m
ìï + + = +
ïïí
ï + = +
ïïỵ có nghiệm nhất
Dạng 3: Hệ phương trình đối xứng loại 2
1/ Định nghĩa: Là hệ có dạng
( ; ) ( ; )
f x y f y x
ìï =
ïïí
ï =
ïïỵ hốn đổi x y cho thi phương
trình trở thành phương trình
Ví dụ: Hệ phương trình 2
3x 4x
x y
y y
ìï = -ïïí
ï =
(4)2/ Cách giải
Trừ vế pt cho để đưa pt tích 3/ Ví dụ
Ví dụ 1: Giải hệ pt:
a 2
3x 4x
x y
y y
ìï = -ïïí
ï =
-ïïỵ Hệ có nghiệm (x; y) = (0;0) (-1;-1)
b 2
3
0
y xy x x y x xy y
ì ì
ï - = ï =
ï ï
ï Û ï
í í
ï - = ï =
ï ïïỵ
ïỵ
c
1
1
1 3
x x x
y x
y y
y
x y
ìïï + = ì
ï ìï = ± ï = ±
ï ï ï
ï Û ï Èï
í í í
ï ï = ± ï =
ï + = ïïỵ ïï
ï ỵ
ïïỵ m
d
3
2
3
2x 3 1
2x 3yx 2 0
2 3
x y
x y x y
VN y
y y x
ì é é
ï + = = = =
ïï Û ê Û ê
í ê ê
ï + = ê + + = ê
ï ë ë
ïỵ
Ví dụ 2: Tìm m để hệ sau có nghiệm nhất:
2
2
2 x
2x
x y m y
y my x
ìï - = +
ïïí
ï - = +
ïïỵ
Giải: ĐK CẦN x = y suy m = -1
ĐK ĐỦ Thay m = -1 ta thấy thỏa mãn 4/ Bài tập củng cố:
Bài 1: Giải phương trình sau
a
3
0 40
40
x y
x xy y
y x y x x y
é
ìï + = = =
ï ê
ï Û
í ê
ï + = ê = = ±
ïïỵ ë
b 3
0
3
3 11
x y
y y x
x x y x y
é
ìï = + = =
ï ê
ï Û
í ê
ï = + ê = = ±
ïïỵ ë
c 3
1 2 1 2x
x y
y
ìï + = ïïí
ï + =
ïïỵ
Bài 2: Tìm m để hệ sau có nghiệm nhất:
a 2
( ) 2
( ) 2
x x y m
y x y m
ìï - + =
ïïí
ï - + =
ïïỵ b
2
( 1) ( 1)
xy x m y
xy y m x
ìï + =
-ïïí
ï + =
(5)c.( Khối B-2003)
2
2
2
2 2
2
2
3 3x 2(1)
2 2(2)
3x
y
y y y
x
x y x x
y
ìï +
ï =
ï ìï = +
ï ï
ï Û ï
í í
ï + ï = +
ï = ïïỵ
ïï
ïỵ Lấy (1) – (2) ta được
3x ( ) ( )( ) 0
3x 0(3)
x y y x y x y x y
x y y
é = ê
- + - + = Û ê + +
= ê
ë
+ Với x = y ta có 3x3 - x2 - 2= Û0 x = Þ1 y =1 + Phương trình (3) vơ nghiệm x > y >
Dạng 4: Hệ phương trình đẳng cấp
1/ Định nghĩa: Là hệ có dạng
1
2
( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) f x y g x y f x y g x y
ìï =
ïïí
ï =
ïïỵ f1 f2 đẳng cấp bậc
g1; g2 đẳng cấp bậc
2/ Cách giải Bước 1: Xét x = y =
Bước 2: x khác Đặt y = tx sau chia vế phương trình cho
3/ Ví dụ Giải hệ phương trình
3
3
40 (1) 10x (2)
x xy y
y x y
ìï + =
ïïí
ï + =
ïïỵ
Giải + Nếu x = suy y = Vậy (0;0) nghiệm
+ Với x ¹ 0 Đặt y = tx thay vào hệ chia vế (1) cho (2) ta được
3
3
(1 ) 1
4
2
( )
x t
t t t
t
x t t
+
= Û = Û = ±
+
+ Với t = ½ suy x = 2y thay vào (2) ta 5y(y2 – 4) = Û y2 = Û4 y= ±2
Suy (4; 2) (-4; -2) nghiệm
+ Với t = -1/2 suy x = -2y thay vào (2) ta y2 = -4 VN
Kết luận: Hệ có nghiệm 4/ Bài tập
Bài 1 Giải hệ phương trình
a (KA-2005)
2
3
2x 15
8x 35
y xy y
ìï + =
ïïí
ï + =
ïïỵ b
2 5
2x
2
x xy y
y
x y xy
ìï + - =
ïïï
í
-ï - =
-ïïïỵ
c
2 2
( )( )
( )( ) 15
x y x y
x y x y
ìï - - =
ïïí
ï + + =
ïïỵ d
2
2
2x 3x 15
2
y y
x xy y
ìï + + =
ïïí
ï + + =
ïïỵ
ĐS a (1; 3) ; (3/2; 2) b (2; 1) ; (-2; -1) c (1;2) ; (2;1) d
11
( 2; 1);( ; )
14 14
(6)Bài 2: Tìm m để hệ sau có nghiệm
2
2 4x
3x
x y y m
y y
ìï - + =
ïïí
ï - =
ïïỵ ĐS Mọi giá trị m
Bài 3: Cho hệ
2
2
2
x xy
x xy y m
ìï - = ïïí
ï + - =
ïïỵ
a Giải hệ m = 14 b Tìm m để hệ có nghiệm ĐS a.(2;1); (-2; -1) b giá trị m
Dạng 5: Hệ khơng có cấu trúc đặc biệt
Loại 1: Phương pháp đặt ẩn phụ Bài 1: Giải hệ
2
( )(3 ) 18
5
x x x y x x y
ìï + + =
ïïí
ï + + - =
ïïỵ
Giải: Đặt
2 2 ; 3 thay vào ta có 3;
9
u u
u x x v x y
u v
ìï = =
ïï
= + = + íï + =
ïïỵ
Với u = v =
1
3 15
x x
y y
ì ì
ï = ï =
-ï ï
ï ï
í í
ï = ï =
ï ï
ï ï
ỵ ỵ
Với u = v =
1 7
6 7
x x
y y
ì ì
ï = - - ï = - +
ï ï
ï ï
í í
ï = + ï =
-ï ï
ï ï
ỵ ỵ
Bài 2: Giải hệ
(2 )( 1) 14
3
x x y x
x x y
ìï + - =
ïïí
ï + + =
ïïỵ
Giải: Đặt
2
2 Ta có
2x
2
u v
u x x
v y u
v
éìï = ïêïíê
ì ï
ï = - êï =
ïï ïỵê
í ì
ï = + êï =
ï ïï
ïỵ êí
êï =ïêïỵë
Với u = v = ta có
1
3
x x
y y
ì ì
ï = - ï =
ï ï
ï ï
í í
ï = ï =
ï ï
ï ï
ỵ ỵ
Với u = v = ta có
1 29 29
2 và
6 29 29
3
x x
y y
ì ì
ï + ï
-ï ï
ï = ï =
ï ï
ï ï
í í
ï - ï +
ï ï
ï = ï =
ï ï
ï ï
ỵ ỵ
Bài 3: Giải hệ
2
( 1) (1)
K hôi D- 2009
( ) (2)
x x y x y
x
ìï + - - =
ïïï
íï + - + =
(7)Giải: ĐK
3
0 (1) thay vào(2) ta có
x x y
x x x
¹ Û + = + + + =
Đặt
1
ta có 1
2 t t
x t
é = -ê ê
=
-ê = ê ë
Với t = -1 suy x = -1 y = -1 Với t = -1/2 suy x = -2 y = 3/2 Bài 4: Giải hệ
a (Khối B- 2009)
2 2
1 (1) 13 (2)
xy x y
x y xy y
ìï + + =
ïïí
ï + + =
ïïỵ b
2
4
5/
(1 ) 5/
x y x y xy xy
x y xy x
ìï + + + + =
-ïïí
ï + + + =
-ïïỵ
c (Khối B- 2008)
4 2
2
2 6
x x y x y x
x xy x
ìï + + = +
ïïí
ï + = +
ïïỵ
d
2 2
(3x ) 3(9x ) 10(3x )
1
3x
3x
y y y
y
y
ìï + - - - - =
ïïï
íï + + =
ïï
-ïỵ
HD: a Vì y = không thỏa mãn nên chia (1) cho y chia (2) cho y2
Đặt
1 x
u x v
y y
= + =
Ta có
4
3 12
u u
v v
ì ì
ï = ï =
-ï ï
ï ï
í í
ï = ï =
ï ï
ï ï
ỵ î
Hệ có nghiệm (3 ; 1); (1; 1/3)
b Hệ tương đương
2
2
( 1) 5/
( ) 5/
x y xy x y
x y xy
ìï + + + + =
-ïïí
ï + + =
-ïïỵ
Đặt
2 Ta có và 1/
5/ 3/
u u
u x y v xy
v v
ì ì
ï = ï =
-ï ï
ï ï
= + = íï = - íï =
-ï ï
ï ï
ỵ ỵ
Hệ có nghiệm
2
3 5 5 3
( ; ( ) ) ; (1; )
4 - 4 - 2
c
2
2
( ) (1)
6
(2)
x xy x
x x
xy
ìï + = +
ïïï
í +
-ï =
ïïïỵ Thay (2) vào (1) ta có pt
4 13 48 64 0 (loai)
4
x
x x x x
x
é = ê
+ + + = Û ê
=-ê
ë Hệ có nghiệm (-4; 17/4)
d ĐK y ¹ 3x Đặt u = 3x + y v = 3x – y ta
2 3 10 0 (1)
6 (2)
u uv v u
v
ìï - - =
ïïï
íï + = ïïïỵ
(8)+ u = - 2v thay vào (2) ta có
3
3
12
3 9 7
2 4
u x
v y
ìï ±
ì ï
ï = ± ï
ï ï =
ïï Þ ï
í - í
ï ï
ï = ï
ï ï =
ï ï
ỵ ïỵ
m m
+ u = 5v thay vào (2) ta có
5 1 1 1/ 5
và và
1 1/ 5 2 2/ 5
u u x x
v v y y
ì ì ì ì
ï = ï = ï = ï =
ï ï ï ï
ï ï Þ ï ï
í í í í
ï = ï = ï = ï =
ï ï ï ï
ï ï ï ï
ỵ ỵ ỵ ỵ
Tóm lại hệ phương trình có nghiệm
Loại : Sử dụng phương pháp đồng biến, nghịch biến
Phương pháp: Nếu hàm số f(t) ĐB (NB) (a; b) phương trình f(x) = f(y) có nghiệm x = y (a ;b)
Bài 1: Giải hệ
3
1
(1)
(DH K hoi A- 2003)
2 (2)
x y
x y
y x
ìïï - = -ïï
íï
ù = +
ùùợ
Gii: K x ạ 0;y¹ 0 Đặt
1
( ) ; t có '( )
f t t f t
t t
= - ¹ = + >
, suy hàm đồng biến Phương trình (1) có nghiệm x = y thay vào (2) ta
3
1
2x 1 5
2 x
x
x é = ê ê
- + = Û - ±
ê = ê ë
Vậy hệ có nghiệm (1 ; 1)
1 5 1 5
( ; )
2 2
- ± - ±
Bài 2: Giải hệ
a
3 3 3
3 4
3 3 2 2
b c.
5 6 1 9 27x 27
x x y y x x y y x x y y
x y x y y x
ì ì ì
ï + = + ï - = - ï + = +
ï ï ï
ï ï ï
í í í
ï + = ï + = ï = - +
ï ï ï
ï ï ï
ỵ ỵ ỵ
DH a ĐS (1 ; 1) ; ( 3- ± 15; 3- ± 15)
b Ta có x4 +y4 = Þ1 x4 £ Þ - £1 1 x £ Þ1 y =x3 - 3x nghịch biến
ĐS
4
4
1
2 x
y ìïï = ± ïï
ïí
ïï = ± ïï
ïỵ