2 Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015!... Điều kiện các căn thức xá[r]
(1)Khóa học TỔNG ÔN NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 PHƯƠNG PHÁP LIÊN HỢP GIẢI HỆ PT – PHẦN Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] x − y + y = x + y Ví dụ 1: [ĐVH] Giải hệ phương trình y − + x + + y + y = 10 Lời giải: y ≥ 1; x ≥ −1 y − 2x ĐK: Khi đó: PT (1) ⇔ ( x − y ) + = ⇔ ( x − y ) 1 − =0 y + x + y y + 2x + y 2 x + y ≥ Do y ≥ ⇒ y + 2x + y ≤ 1 = nên PT (1) ⇔ x = y vào PT(2) ta có: 3+ y − + y + + y + y = 10 ⇔ y −1 −1 + y + − + y2 + y − = ⇔ ( y − 2) + + y + = ⇔ y = ⇒ x = là nghiệm PT y −1 +1 y +1 + Vậy hệ có nghiệm là ( x; y ) = ( 8; ) x + x2 +1 = y + y2 −1 Ví dụ 2: [ĐVH] Giải hệ phương trình y + x = ( x + 1) y + x + Lời giải: 2 ĐK: y ≥ 1; y + x + ≥ Khi đó: PT (1) ⇔ x + − y + x − y − = ⇔ ⇔ ( x − y + 1) 2 ( x + y + x2 + + y + x2 +1 + y )( y2 +1 + x ) x2 + − y x2 + + y + x2 − y2 + x + y2 +1 =0 = ⇔ x2 + = y Thế vào PT(2) ta có: x + x + = ( x + 1) x + x + x2 + 6x + 1 = x + x + 3, x = − ko phai nghiem 2x +1 x2 + 6x + 1 ⇔ − = x + x + − ⇔ ( x + x − 1) − =0 2x + x + 2x + + 2x +1 ⇔ x = −1 ± x2 + x − = ⇔ ⇔ + 15 ⇒ y x + x + = x − x = (1 − y ) x − y + x = + ( x − y − 1) y Ví dụ 3: [ĐVH] [ĐH – khối B –2014] Giải hệ phương trình 2 y − 3x + y + = x − y − x − y − Lời giải: ĐK: y ≥ 0; x ≥ y; x ≥ y; x ≥ y + Để ý phương trình, PT hệ chứa hãy đặt câu hỏi là PT nào dễ biến đổi hơn? Đương nhiên là PT(1) rồi, tất biểu thức ngoài có thể biểu diễn theo x − y ; y , các bạn hoàn toàn có thể đặt a = x − y ; b = y và chú ý là: x = a + b Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT Quốc gia 2015! (2) Khóa học TỔNG ÔN NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 Tuy nhiên bài toán giải nhanh gọn và nhanh sử dụng pp liên hợp cho PT(1) với phương pháp SHIFT SLOVE thần chưởng Cho x = 100 cái ? SHLFT SLOVE y = Thử cho x = 1000 cái thì … y = Vậy ta dự đoán có nhân tử y − Khi đó: PT (1) ⇔ (1 − y ) x − y − (1 − y ) = ( x − y − 1) y − ( x − y − 1) y =1 1 y − ⇔ (1 − y )( x − y − 1) + =0⇔ x − y +1 1+ y x = y +1 +) Với y = dễ dàng tìm ( x; y ) = ( 3;1) ⇔ (1 − y ) ( ) x − y − = ( x − y − 1) ( ) +) Với x = y + vào PT(2) ta có: y + y − = − y ⇔ y + y = − y + − y Do y ≥ nên đên đây chúng ta có thể xét hàm f ( t ) = 2t + t liên hợp tiếp + −1 + Đáp số: ( x; y ) = ( 3;1) ; ; ( x + y )2 − 8x + + x + y − = y Ví dụ 4: [ĐVH] Giải hệ phương trình x + y − + x − + − y + x − x − = Lời giải Điều kiện x + y ≥ 2; ≤ y ≤ 2; x ≥ ; ( x + y ) − x + ≥ Phương trình thứ hệ tương đương với ( 2x + y ) − ( 2x + y ) + + ( 2x + y ) − 8x + + y ⇔ ( 2x + y ) 2x + y − =0⇔ 2x + y − + y 2 x + y = 2x + y −1 ⇔ + =0 ( 2x + y ) − 8x + + y 2x + y −1 + y Vì x + y ≥ ⇒ 2x + y −1 ( 2x + y ) 2 − 8x + + y + − 8x + − y + x + y − − y = ( x + y − 1)( x + y − 3) + ( 2x + y ) − 8x + + y 2x + y − =0 2x + y −1 + y (1) > , dẫn đến (1) vô nghiệm x + y −1 + y Với x + y = thì phương trình thứ hai trở thành + 5x − + − (3 − 2x ) + x2 − x − = = ⇔ 5x − + 2x −1 + 6x2 − x − = ⇔ 5x − − + x − − + x2 − x − = ⇔ 5x − 2x − + + ( x − 1)( x + ) = 5x − + 2x −1 + ⇔ ( x − 1) + + x + = (1) 2x −1 + 5x − + Nhận định + + x + > 0, ∀x ≥ nên (1) ⇔ x − = ⇔ x = 5x − + 2x −1 +1 Kết luận hệ phương trình đã cho có nghiệm x = y = ( x − y )4 − x + y + + ( x − y − 1) = x − y Ví dụ 5: [ĐVH] Giải hệ phương trình 2 y − = − x + − y − x + x − x + Lời giải Điều kiện y ≥ ;3 x − y ≥ 0; − y − x ≥ 0; x ≤ 2; ( x − y ) − x + y + ≥ Phương trình thứ hệ tương đương với Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT Quốc gia 2015! (3) Khóa học TỔNG ÔN NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 ( x − y ) − x + y + − 3x − y + ( x − y − 1) = 2x − y ) − ( 2x − y ) + ( ⇔ + ( x − y − 1) = ( x − y ) − x + y + + 3x − y ( t − 1) t + 2t + 3 Đặt t = x − y; t + 2t + > 0, ∀t ∈ ℝ Ta thu ⇔ ( x − y − 1) Rõ ràng ( 2x − y ) − x + y + + 3x − y + ( x − y − 1) = + 1 = ( x − y ) − x + y + + x − y t + 2t + +1 > ⇒ 2x − y −1 = ⇔ 2x = y + ( x − y ) − x + y + + 3x − y t + 2t + Phương trình thứ hai hệ trở thành x − = − x + − x + x − x + ( 4x − 4) 1− x − 4x ⇔ 4x − − = − x − + − 4x − + x2 − 5x + ⇔ = + + ( x − 1)( x − 3) 4x − + − x +1 − 4x + ⇔ ( x − 1) + + + − 2x = − x +1 − 4x + 4x − + (1) 3 5 + + + − x > 0, ∀x ∈ ; nên (1) ⇔ x − = ⇔ x = 4x − + − x +1 − 4x +1 4 4 Kết luận hệ phương trình đã cho có nghiệm x = y = Lại có ( ) x + x + y + x = y + 2 +1 y Ví dụ 6: [ĐVH] Giải hệ phương trình ( x; y ∈ ℝ ) 4 x − + x + y − = x + Lời giải Điều kiện x ≥ ; y ≥ Phương trình thứ hệ tương đương với 2( x − y) x− y x − y + x + y − 2y + x − y = ⇔ + + x− y =0 x+ y x + y + 2y ( ) ⇔ ( x − y) + + 1 = x+ y x + y + 2y Ta có + +1 > ⇒ x − y = ⇔ x = y x+ y x + y + 2y Phương trình thứ hai hệ trở thành 4 x − + 3 x − = x + Áp dụng bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng – trung bình nhân ta có x − + + + 3x − + + 4 x − + 3x − ≤ + = x ≤ x2 + Dấu đẳng thức xảy x − = x − = ⇔ x = ⇒ x = y = 3x + y + 2 x + y = x + y , Ví dụ 7: [ĐVH] Giải hệ phương trình x3 + y + x + y + x y + + y x + = ) ( ) ( Lời giải Điều kiện các thức xác định ( x; y ∈ ℝ ) Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT Quốc gia 2015! (4) Khóa học TỔNG ÔN NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 Phương trình thứ hệ tương đương với 3x + y − x + y + x + y − x + y = ⇔ x− y 3x − y + =0 3x + y + x + y 2x + 3y + x + y ⇔ ( x − y) + =0 3x + y + x + y x + y + x + y 1 Lại có + >0⇒ x− y =0⇔ x = y 3x + y + x + y 2x + y + x + y Khi đó phương trình thứ hai hệ trở thành x ( x3 + ) + x ( x + ) = x3 + x2 + x + Áp dụng bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng – trung bình nhân ta có 3x + x3 + 3x + x + x3 + x + x + 3x ( x3 + ) + 3x ( x + ) ≤ + = 2 x + x + 6x + ⇒ x ( x3 + ) + x ( x + ) ≤ x + = x Do đó phương trình ẩn x có nghiệm các dấu đẳng thức xảy ⇔ ⇔ x = ⇒ x = y = x + = x Kết luận hệ đã cho có nghiệm x3 − = − x + y y − 1, Ví dụ 8: [ĐVH] Giải hệ phương trình x − x + x + ( y + 3) y − = 12 Lời giải x ≥ 1;9 − x ≥ 1 ≤ x ≤ Điều kiện ⇔ y ≥1 y − ≥ 0; y − ≥ Phương trình thứ hệ tương đương Vì y x3 − − − x = y y − ⇔ ( x; y ∈ ℝ ) x + x − 10 x −1 + − x y − ≥ 0, ∀y ≥ ⇒ x + x − 10 ≥ ⇔ ( x − ) ( x + x + ) ≥ ⇔ x − ≥ ⇔ x ≥ 3 = y3 y − Phương trình thứ hai hệ tương đương với ( x3 − x + x ) + ( y + 3) y − = 12 ⇔ f ( x ) + g ( y ) = 12 Xét hàm số f ( x ) = x3 − x + x; x ∈ [ 2;9] ta có f ′ ( x ) = 3x − 10 x + = ( x − )( 3x − ) ≥ 0, ∀x ∈ [ 2;9] Hàm số này liên tục và đồng biến trên miền xét nên Min f ( x ) = f ( ) = x∈[ 2;9] Xét hàm số g ( y ) = ( y + 3) y − 1; y ≥ là hàm liên tục, đồng biến nên Min g ( y ) = g (1) = 2.4 = y ≥1 Do đó phương trình thứ hai có nghiệm các dấu đẳng thức xảy ra, tức là x = 2; y = Cặp giá trị này thỏa mãn hệ nên là nghiệm hệ − x = x + + y − y , Ví dụ 9: [ĐVH] Giải hệ phương trình 17 x + y + ( y + 1) y − + ( x + x + ) x + = 53 Lời giải 2 5 − x ≥ 0; x + ≥ 0; x + ≥ ≤ y≤2 Điều kiện ⇔ 3 2 − y ≥ 0;3 y − ≥ −3 ≤ x ≤ Phương trình thứ hệ tương đương với ( x; y ∈ ℝ ) Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT Quốc gia 2015! (5) Khóa học TỔNG ÔN NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 − 2x = 5y − y 5− x + x+3 2 2 Vì y − y ≥ 0, ∀y ∈ ; ⇒ − x ≥ ⇔ x ≤ Như x ∈ [ −3;1] ; y ∈ ; 3 3 Phương trình thứ hai hệ tương đương với 6 y + ( y + 1) y − + 17 x + ( x + x + ) x + = 53 ⇔ f ( y ) + g ( x ) = 53 − x − x + = 5y − y ⇔ 2 Xét hàm số f ( y ) = y + ( y + 1) y − 2; y ∈ ; và hàm số g ( x ) = 17 x + ( x3 + x + ) x + 8; x ∈ [ −3;1] 3 Dễ thấy các hàm đơn lẻ y; y + 1; y − và 17 x; x3 + x + 4; x + là các hàm số đồng biến, liên tục trên miền tương ứng với hai biến x, y Các hàm ban đầu là tổ hợp tổng – tích các hàm đồng biến nên đồng biến Dẫn đến Max f ( y ) = f ( ) = 18; Max g ( x ) = g (1) = 35 x∈[ −3;1] 2 y∈ ;3 3 Khi đó f ( x ) + g ( y ) ≤ Max f ( y )+ Max g ( x ) = 18 + 35 = 53 x∈[ −3;1] 2 y∈ ;3 3 Phương trình thứ hai có nghiệm các dấu cực trị xảy đồng thời, tức là x = 1; y = (Thỏa mãn hệ) − x + = y + y + x + 2, Ví dụ 10: [ĐVH] Giải hệ phương trình ( x; y ∈ ℝ ) 3 y + y − − xy + y = x − x + 16 x − 12 ( ) Lời giải x + ≥ 0;6 − x ≥ −2 ≤ x ≤ ⇔ Điều kiện y ≥1 y −1 ≥ Phương trình thứ hệ tương đương với − 2x − x − x + = y3 + y − ⇔ = y3 + y − 6− x + x+2 Xét hàm số f ( y ) = y + y − 2; y ≥ ta có f ′ ( y ) = y + > 0, ∀y ∈ ℝ nên hàm liên tục, đồng biến − 2x ≥ ⇔ − x ≥ ⇔ x ≤ ⇒ x ∈ [ −2; 2] 6− x + x+2 y ≥1 Phương trình thứ hai hệ tương đương Dẫn đến Min f ( y ) = f (1) = ⇒ (y + 1) y − + x − xy + y = x3 − x + 16 x − 12 ⇔ ( y + 1) y − + ( x − y ) = x − x + 16 x − 12 Xét hàm số g ( x ) = x3 − x + 16 x − 12; x ∈ [ −2; 2] (1) x − < ∀x ∈ [ −2; ] Ta có g ′ ( x ) = 3x − 14 x + 16 = ( x − )( 3x − ) > 0, ∀x ∈ [ −2; 2] vì 3 x − < Hàm số liên tục và đồng biến trên miền [ −2; 2] ⇒ Max g ( x ) = g ( ) = x∈[ −2;2] Trong đó ( y + 1) y − + ( x − y ) ≥ 0, ∀y ≥ 1; ∀x ∈ ℝ y3 − = x = Phương trình (1) có nghiệm và các dấu cực trị xảy ⇔ x − y = ⇔ y =1 x = Kết luận hệ có nghiệm kể trên Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT Quốc gia 2015! (6) Khóa học TỔNG ÔN NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 PHƯƠNG PHÁP LIÊN HỢP GIẢI HỆ PT – PHẦN Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT có website MOON.VN 2 x + x − y = y + x + y + x + (1) Ví dụ 1: [ĐVH] Giải hệ phương trình x + + x + y = y − x + 14 x − 20 ( 2) Lời giải 2 Điều kiện: x + x − y ≥ 0, y + x + y ≥ 0, x + ≥ 0, x + y ≥ 0, y − x + 14 x − 20 ≥ Phương trình (1) hệ phương trình tương đương ( ) ( ) x2 + 5x − y − y + x + y + x2 − y2 − 4x − y ⇔ x2 + 5x − y + y + x + y ( x + y )( x − y − ) ⇔ x2 + 5x − y + y + x + y + x2 + 5x − y − x − = x2 + 5x − y − x2 − x − x2 + 5x − y + x + x − 2y − + x2 + 5x − y + x + =0 =0 x + 2y =0 ⇔ ( x − y − 4) + x2 + 5x − y + y2 + x + y x + x − y + x + ⇔ x − 2y − = ⇔ 2y = x − x + 2y Vì x + y ≥ 0, x + ≥ nên + >0 x2 + 5x − y + y2 + 9x + y x2 + 5x − y + x + Với y = x − thay vào phương trình (2) ta có ( x − 4) x + + 2x − = ⇔ 3x − + ⇔ ( − x + 14 x − 20 ⇔ x + + 2x − = 6x − ( x + )( x − ) = x − ⇔ ( x + ) − ( x + )( x − ) + ( x − ) = x + − 2x − ) = ⇔ x + = x − ⇔ x = ⇒ y = 16 Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( x; y ) = ( 6;16 ) x + y + x − xy + y = x + y + xy Ví dụ 2: [ĐVH] Giải hệ phương trình ( x + y + 1) x + x + y + = xy + x + ( x, y ∈ ℝ) Lời giải 6 x − xy + y ≥ ĐK: (*) x + x + y + ≥ 2 Khi đó (1) ⇔ ( x − y ) + ⇒ ( x − y) (6x + ( ) x − xy + y − x − y = − xy + y ) − ( x + y ) x − xy + y + x + y = ⇔ ( x − y) + 5( x − y) x + y + x − xy + y =0 Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT Quốc gia 2015! (7) Khóa học TỔNG ÔN NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] ⇔ ( x − y ) 1 + x + y + x − xy + y =0 (3) Ta có (1) ⇔ x + y = ( x − y ) + x − xy + y ≥ ⇒ + 2 ⇔ ( x + 1) ⇔ ( ) x + x + − = x + x − ⇔ ( x + 1) ( x + 1) ( x + x − 1) + x2 + x + x + y + x − xy + y 2 ( x + 1) Do đó ( 3) ⇔ ( x − y ) = ⇔ y = x Thế vào (2) ta Facebook: LyHung95 > x2 + x + = x2 + x + x2 + x + − x + 2x + + 2 = x2 + x − 2x + − ( x + x − 1) = ⇔ ( x + x − 1) − 1 = + x + 2x + x = −1 ± x2 + x − = ⇔ ⇔ x + x + = x − x + = + x + x + • • TH1 x = −1 ± ⇒ y = −1 ± Đã thỏa mãn (*) TH2 2 x − ≥ x ≥ x + 2x + = 2x −1 ⇔ 2 ⇔ x + x + = ( x − 1) 3 x − x − = x ≥ + 15 + 15 ⇔ ⇔x= ⇒y= Đã thỏa mãn (*) 3 x = ± 15 + 15 + 15 Đ/s: ( x; y ) = −1 ± 2; −1 ± , ; 3 ( ) y −8 x + y + x + = 2x Ví dụ 3: [ĐVH] Giải hệ phương trình x + y + x + x + x = 12 Lời giải: x > ĐK: Khi đó ta có: PT (1) ⇔ x + y + x + = y ≥1 ( x+ y + x+8 )( x + y − x+8 ) 2x ⇔ x = x + y − x + vào PT(2) ta có: x + x + + x + x + x = 12 Đặt t = x + x + ( t > ) ta có: t = x + + x + x Khi đó ta có phương trình t + t − 20 = ⇒ t = ⇔ x + x + = ⇔ x + + x + x = 16 x ≤ ⇔ x2 + 8x = − x ⇔ ⇔ x = ⇒ y = 24 x + x = x − x + 16 Vậy HPT đã cho có nghiệm là ( x; y ) = (1; 24 ) Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT Quốc gia 2015! (8) Khóa học TỔNG ÔN NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] x + x −1 + x ( x − y ) = Ví dụ 4: [ĐVH] Giải hệ phương trình 2 x + y ( x + x − 1) = Lời giải: ĐK: x ≥ 1; y ≥ Khi đó PT (1) ⇔ x ( x − y + 1) + ( Facebook: LyHung95 y−2 ) x − − y − = ⇔ x ( x − y + 1) + x − y +1 =0 x −1 + y − ⇔ ( x − y + 1) x + = ⇔ x + = y vào PT(2) ta có: x − + y − PT ( ) ⇒ ( y − 1) + y ( y − ) = ⇔ y − y + y ( y − ) = (*) Do y ≥ nên (*) ⇔ y − + y − 2 = Đặt t = y y y− ta có: t + t − = ⇔ t = y = ⇔ y2 − y − = ⇔ y = ⇒ x = y Vậy PT đã cho có nghiệm là: (1; ) Khi đó: y − ( y + x + 1) + y = 4x + x y − + Ví dụ 5: [ĐVH] Giải hệ phương trình ( x − y ) y − + y x + y − − + x = Lời giải 4 y − ≥ Điều kiện: x + y − ≥ 4 x − y + > ( (2) ⇔ ( x − y ) + y ⇔ 2( x − y) + ( ) ) x + 3y − − y − + 3( x − y ) y − = y ( x − y) x + 3y − + y − + 3( x − y ) y − = y ⇔ ( x − y) + + 4y − 3 = ⇔ x = y x + 3y − + y − ( x + x + 1) Thay vào (1) được: = 3x + x2 − x + Đặt x − x + = t ( t > ) ⇒ x = t + x − Phương trình trên tương đương với x + x + = ( 3x + 5) x − x + ⇔ ( t + x − 1) + x + = ( 3x + 5) t ⇔ 2t − ( x + 5) t + x + = ⇔ 2t ( t − ) − 3x ( t − ) − ( t − ) = ⇔ ( t − )( 2t − 3x − 1) = x=− x − x + = ( )( ) 4 x − x − = t = ⇔ ⇔ ⇔ 3x + ≥ ⇔ x = 2t = 3x + x − x + = x + x − 10 x + = x = Mà y ≥ ⇒ x = y = Vậy hệ có nghiệm x = y = Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT Quốc gia 2015! (9) Khóa học TỔNG ÔN NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 x − y + x + + y x + y + ( x − y + 1) y − = 0, Ví dụ 6: [ĐVH] Giải hệ phương trình y − + y−x= y − + x ( ) + Lời giải x + y ≥ Điều kiện y ≥ Phương trình thứ hệ tương đương với x2 + x + − y2 + y ( ) x + y − y − + ( x − y + 1) y − = ⇔ ( x + y + 1)( x − y + 1) + y ( x − y + 1) x + y + y −1 + ( x − y + 1) y − = y ⇔ ( x − y + 1) x + y + + + y −1 = ⇔ y = x +1 x + y + y −1 6 x x Phương trình thứ hai hệ trở thành +1 = ⇔ −1 = −2 x +3 x +3 x2 + x2 + x −2 x x x2 ⇔ −1 = ⇔ + −1 = x +3 x +3 x2 + x2 + 1 = t ta thu 2t + t − = ⇔ ( 2t − 1)( t + 1) = ⇔ t ∈ −1; 2 x2 + x ≥ x ≥ x • = ⇔ ⇔ ⇔ x = x2 + 4 x = x + x ∈ {−1;1} x ≤ x • = −1 ⇔ − x = x + ⇔ ⇔ x ∈∅ x2 + x = x + Kết luận phương trình đã cho có nghiệm x = 1; y = Đặt x 3x − y + + = ( x − y )2 + x − y (1) Ví dụ 7: [ĐVH] Giải hệ phương trình (2) y − + x + = Lời giải: 3x − y + ≥ Điều kiện: x − y ≥ y −1 ≥ Phương trình (1) hệ phương trình tương đương x− y−2 2 x − y − 3x − y + + ( x − y ) − = ⇔ + ( x − y − )( x − y + ) = x − y + 3x − y + ⇔ ( x − y − 2) + x − y + 2 = ⇔ x − y − = ⇔ y = x − x − y + 3x − y + Vì x − y ≥ nên + x− y+2>0 x − y + 3x − y + Với y = x − thay vào phương trình (2) ta x−3 + x+4 = Đặt a = x − 3, b = x + Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT Quốc gia 2015! (10) Khóa học TỔNG ÔN NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 a = − b a + b = a = − b b = x − = ⇒ ⇔ ⇔ ⇔ ⇒ ⇒ x=4⇒ y=2 2 a = b − ( − b ) = b − a = b − b + 6b − 16 = x + = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 4; ) Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT Quốc gia 2015! (11)