các dạng hệ phương trình

Chuyên đề 2: Hệ phương trình HỆ PHƯƠNG TRÌNH Dạng 1: Hệ gồm pt bậc pt bậc cao 1/ Phương pháp: Rút ẩn từ pt bậc vào pt bậc cao 2/ Ví dụ Ví dụ 1: giải pt sau: ìï x + y = ìï - 2x + y = ï ï a/ íï b/ í ïï x + x2y + 5x = ïïî x + 2xy - y = ïî ìï x - y + = ï Ví dụ 2: Cho hệ pt íï 2 ïïî 2mx - my + 4x + 2m - = a/ Giải hệ m = b/ Tìm m để hệ có nghiệm Giải: a/ (x ;y) = (0 ; 1) (2/3 ; 5/3) b/ m = m = ìï x2 + y2 = ï Ví dụ 3: Cho hệ pt í ïï x - y = m ïî a/ Giải hệ m = b/ Tìm m để hệ vô nghiệm Giải: a/ (x ;y) = ( 2 ;) 2 b/ m> ìï x - y - m = ï Ứng dụng : Cho hệ pt íï y2 + 2x - 2m - = ïïî a/ Giải hệ m = b/ Tìm m để hệ có cặp nghiệm thõa mãn x12 + y12 = x22 + y22 ĐS: a/ (x;y) = (2;1) (-2; -3) b/ m = Dạng 2: Hệ pt đối xứng loại ìï f (x;y) = ï 1/ Định nghĩa: Là hệ có dạng íï g(x;y) = ïî hoán đổi x y pt không thay đổi ìï x2 + xy + y2 = ï Ví dụ: Các hệ pt í ïï xy + x + y = - ïî ìï x2y + yx2 = 30 ï í ïï xy + x + y = 11 ïî 2/ Cách giải: 2.1 Nhớ lại định lý Viet phương trình bậc hai Cho pt ax2 + bx + c = có hai nghiệm x1; x2 ìï ïï x + x = - b ïí a ïï c ïï x1x2 = a ïî Ngược lại có hai số ì ïï u + v = S u ; v thỏa mãn íï uv = P u ; v nghiệm pt x2 - Sx + P = ï ïî Trường PT Triệu Sơn Giáo viên: Nghiêm Đình Thuấn Chuyên đề 2: Hệ phương trình ìï u + v = ï Ví dụ Tìm hai số u ;v thỏa mãn íï uv = ïî 2.2 Cách giải hệ đối xứng loại 1: Đặt x+y = S xy = P ( ĐK S2 > 4P); thay vào tìm S P Từ suy x y 3/ Bài tập: Bài 1: Giải hệ pt: ìï x + y = ï Û a íï 3 x + y = 20 ïïî ìï ìï ïíï x = 1+ hoac ïíï x = 1- ïï y = 1- ïï y = 1+ îï îï ìï x2 + xy + y2 = ï b íï 2 ïïî x + x y + y = 21 Đặt x + y = S xy = P ta có P = S = ±3 Với P = 2; S = ta có nghiệm (-1;-2) (-2; -1) Với P = ; S = -3 ta có nghiệm (1; 2) (2; 1) c ìï 6 ïï + + xy = 11 ïí x y ïï xy + x + y = 11 ïïî Bài 2: Cho hệ pt Nghiệm hpt (-2; -3) ( -3; -2) ìï x2 + y2 = m ï í ïï x + y = ïî a Giải hệ m = 26 b Tìm m để hệ vô nghiệm c Tìm m để hệ có nghiệm phân biệt Giải: Ta có ìï x + y = ïï í ïï xy = 36 - m , ïïî x; y nghiệm pt X2 – 6X + 36 - m = (1) a Nghiệm pt (1;5) (5; 1) b m < 18 c m > 18 ìï 5(x + y) = + 4xy ï Bài 3: Cho hệ pt íï x + y - xy = 1- m ïî a/ Giải hệ m = b/ Tìm m để hệ có nghiệm Giải: a (- - 7;- + 7)va(- + 7;- é êm £ b ê ê m³ ê ë Bài Tìm a để hệ pt ìï x2 + y2 = 2(1 + a) ï í ïï (x + y)2 = ïî 7) có nghiệm Giải: Đặt x+y = S xy = P, ĐK S2 > 4P Ta có ìï S = ±2 ï í ïï P = 1- a î ' Với S = 2, P = – a x, y nghiệm X2 – X + – a = có D = a ' Với S = -2 , P = – a x, y nghiệm X2 + X + – a = có D = a Trường PT Triệu Sơn Giáo viên: Nghiêm Đình Thuấn Chuyên đề 2: Hệ phương trình Để hệ có nghiệm pt có nghiệm kép, suy a = Cách tìm nghiệm hệ đối xứng loại ĐK cần Vì (x0; y0) nghiệm (y0; x0) nghiệm hệ Để hệ có nghiệm x0 = y0, thay vào hệ để tìm m ĐK đủ: Thay m vừa tìm vào hệ xem giá trị thỏa mãn ìï x2 + y2 = m ï Ví dụ 1: Tìm m để hệ pt íï có nghiệm ïïî x + y = Giải ĐK CẦN Vì (x0; y0) nghiệm (y0; x0) nghiệm hệ Để hệ có nghiệm ïì 2x20 = m ìï m = 18 Û ïí x0 = y0 Ta có hệ ïí ïï 2x0 = ïï x0 = î ïî ĐK ĐỦ Thay m = 18 vào ta có nghiệm ( x; y ) = (3; 3) ìï x + y + xy = m ï Ví dụ 2: Tìm m để hệ í có nghiệm ïï x + y2 = m ïî Đáp số: m = m = BÀI TẬP CŨNG CỐ Bài 1: Giải hệ phương trình sau: ìï x2 + y2 + x + y = ï a íï ïïî xy + x + y = ì ïï x + y + xy = 11 d íï 2 ïïî x + y + 3(x + y) = 28 ìï x + y = ìï x2y + yx2 = 30 ïï ï b íï c í ïï xy + x + y = 11 ïïî x + y - xy = ïî ìï x y + y x = 30 ï e ïíï 3 ïïî ( x) + ( y) = 35 ìï x + y + xy = m + ï Bài 2: Tìm m để hệ í có nghiệm ïï x y + yx2 = m + ïî ìï x + xy + y = 2m + ï Bài 3: Tìm m để hệ í có nghiệm ïï xy(x + y) = m2 + m ïî Dạng 3: Hệ phương trình đối xứng loại ìï f (x;y) = ï 1/ Định nghĩa: Là hệ có dạng íï hoán đổi x y cho thi phương ïî f (y; x) = trình trở thành phương trình ìï x2 = 3x - 4y ï Ví dụ: Hệ phương trình í ïï y = 3y - 4x ïî 2/ Cách giải Trừ vế pt cho để đưa pt tích Trường PT Triệu Sơn Giáo viên: Nghiêm Đình Thuấn Chuyên đề 2: Hệ phương trình 3/ Ví dụ Ví dụ 1: Giải hệ pt: ìï x2 = 3x - 4y ï a í Hệ có nghiệm (x; y) = (0;0) (-1;-1) ïï y = 3y - 4x ïî b ìï y2 - xy = 3x ïí Û ïï x2 - xy = 3y ïî ìï ïï x + = ï y xÛ c ïí ïï ïï y + = x y ïî ìï ïí x = ïï y = î ìï x = ±1 ïìï x = ± ï È ïí í ïï y = ±1 ïï y = m î îï ìï 2x3 + x2y = ï Û d í ïï 2y + y2x = ïî é êx = y ê2x2 + 3yx + 2y2 = Û ê ë éx = y = ê ê VN ê ë ìï x2 - 2y2 = mx + y ï Ví dụ 2: Tìm m để hệ sau có nghiệm nhất: íï 2 ïïî y - 2x = my + x Giải: ĐK CẦN x = y suy m = -1 ĐK ĐỦ Thay m = -1 ta thấy thỏa mãn 4/ Bài tập củng cố: Bài 1: Giải phương trình sau ìï x3 + xy2 = 40y Û a ïí ïï y + x2y = 40x ïî ìï y3 = 3y + 8x Û b ïí ïï x = 3x + 8y ïî éx = y = ê ê x = y = ±2 ê ë éx = y = ê ê x = y = ± 11 ê ë ìï x3 + = 2y ï c í ïï y + = 2x ïî Bài 2: Tìm m để hệ sau có nghiệm nhất: ìï x2 - (x + y) = 2m ï a í ïï y - (x + y) = 2m ïî Trường PT Triệu Sơn ìï xy + x2 = m(y - 1) ï b í ïï xy + y2 = m(x - 1) ïî Giáo viên: Nghiêm Đình Thuấn Chuyên đề 2: Hệ phương trình ìï ïï 3y = y + ï x2 Û c.( Khối B-2003) ïíï ïï 3x = x + ïï y2 î ìï 3x2y = y2 + 2(1) ï í ïï 3y x = x2 + 2(2) ïî Lấy (1) – (2) ta éx = y 3xy(x - y) + (x - y)(x + y) = Û ê êx + y + 3xy = 0(3) ê ë + Với x = y ta có 3x3 - x2 - = Û x = Þ y = + Phương trình (3) vô nghiệm x > y > Dạng 4: Hệ phương trình đẳng cấp ìï f (x;y) = g (x;y) ï 1 1/ Định nghĩa: Là hệ có dạng í f1 f2 đẳng cấp bậc ïï f2(x;y) = g2(x;y) î g1; g2 đẳng cấp bậc 2/ Cách giải Bước 1: Xét x = y = Bước 2: x khác Đặt y = tx sau chia vế phương trình cho ìï x3 + xy2 = 40y ï 3/ Ví dụ Giải hệ phương trình íï ïïî y + x y = 10x (1) (2) Giải + Nếu x = suy y = Vậy (0;0) nghiệm + Với x ¹ Đặt y = tx thay vào hệ chia vế (1) cho (2) ta x3(1+ t2) x3(t + t) = 4t Û 1 = 4t Û t = ± t + Với t = ½ suy x = 2y thay vào (2) ta 5y(y2 – 4) = Û y2 = Û y = ±2 Suy (4; 2) (-4; -2) nghiệm + Với t = -1/2 suy x = -2y thay vào (2) ta y2 = -4 VN Kết luận: Hệ có nghiệm 4/ Bài tập Bài Giải hệ phương trình ìï 2x2y + xy2 = 15 ï a (KA-2005) í ïï 8x + y3 = 35 ïî ìï x2 + xy - y2 = ïï b ïíï y 2x - = ïï xy ïî x y ìï (x - y)(x2 - y2) = ï c í ïï (x + y)(x2 + y2) = 15 ïî ìï 2x2 + 3xy + y2 = 15 ï d í ïï x + xy + 2y2 = ïî ĐS a (1; 3) ; (3/2; 2) b (2; 1) ; (-2; -1) c (1;2) ; (2;1) d (±2; ±1);(± 11 14 ;m 14 ) ìï x2 - 4xy + y2 = m ï Bài 2: Tìm m để hệ sau có nghiệm í ïï y - 3xy = ïî ĐS Mọi giá trị m Trường PT Triệu Sơn Giáo viên: Nghiêm Đình Thuấn Chuyên đề 2: Hệ phương trình ìï x2 - xy = ï Bài 3: Cho hệ íï 2 ïïî 2x + 4xy - 2y = m a Giải hệ m = 14 b Tìm m để hệ có nghiệm ĐS a.(2;1); (-2; -1) b giá trị m Dạng 5: Hệ cấu trúc đặc biệt Loại 1: Phương pháp đặt ẩn phụ ìï (x2 + 2x)(3x + y) = 18 ï Bài 1: Giải hệ íï ïïî x + 5x + y - = ìï u = 3;u = ï Giải: Đặt u = x + 2x ; v = 3x + y thay vào ta có í ïï u + v = î ìï x = ìï x = - ï ïí Với u = v = í ïï y = ïï y = 15 î î ïìï x = - 1- Với u = v = ïíï ïîï y = + ïìï x = - 1+ ïí ïï y = - îï ìï x(2x + 3y)(x - 1) = 14 ï Bài 2: Giải hệ í ïï x + x + 3y = ïî éìïu = êï êíï v = ìï u = x2 - x ê ï T a có êïî Giải: Đặt íï êìïï u = ïïî v = 2x + 3y êí êïï v = êî ë ïì x = - Với u = v = ta có ïí ïy = ïî ïì x = ïí ïy =1 ïî ìï ìï 1+ 29 1- 29 ïï ïï x= ïï x = ï 2 vàïí Với u = v = ta có íï ï 29 + 29 ïï y = ïï y = ïï ïï 3 î î ìï x(x + y - 1) - = (1) ïï K hôi D- 2009 Bài 3: Giải hệ íï ( x + y ) + = (2) ïï x2 ïî Giải: ĐK x ¹ (1) Û x + y = ét = - ê Đặt = t ta có ê êt = - x ê ë Trường PT Triệu Sơn 3 + thay vào(2) ta có + + = x x x Giáo viên: Nghiêm Đình Thuấn Chuyên đề 2: Hệ phương trình Với t = -1 suy x = -1 y = -1 Với t = -1/2 suy x = -2 y = 3/2 Bài 4: Giải hệ ìï x2 + y + x3y + xy2 + xy = - 5/ ìï xy + x + = 7y (1) ï ï a (Khối B- 2009) íï 2 b í ïï x + y2 + xy(1+ 2x) = - 5/ ïïî x y + xy + = 13y (2) ïî ìï x4 + 2x3y + x2y2 = 2x + ï c (Khối B- 2008) í ïï x + 2xy = 6x + ïî ìï (3x + y) - 3(9x2 - y2) - 10(3x - y)2 = ïï d ïí ïï 3x + y + = ïïî 3x - y HD: a Vì y = không thỏa mãn nên chia (1) cho y chia (2) cho y2 ïìï u = ïìï u = - x u = x + v = Đặt Ta có í í ïï v = ïï v = 12 y y î î Hệ có nghiệm (3 ; 1); (1; 1/3) ìï x2 + y + xy(x2 + y + 1) = - 5/ ï b Hệ tương đương í ïï (x + y)2 + xy = - 5/ ïî ìï u = ìï u = - 1/ 2 ï ïí Đặt u = x + y v = xy T a có í ï v = - 5/ ï v = - 3/ îï îï Hệ có nghiệm 5 ( ;- ( )2 ) ; (1;- ) 4 ìï (x2 + xy)2 = 2x + (1) ïï c í Thay (2) vào (1) ta có pt ïï xy = 6x + - x (2) ïïî éx = (loai) x + 13x + 48x + 64x = Û ê Hệ có nghiệm (-4; 17/4) êx = - ê ë ìï u2 - 3uv - 10v2 = ïï d ĐK y ¹ 3x Đặt u = 3x + y v = 3x – y ta íï ïï u + = (2) v ïî (1) Giải (1) ta có u = - 2v u = 5v ìï 3± ïï ïìï u = ± ïï x = 12 ïï Þ í + u = - 2v thay vào (2) ta có í ïï v = - m ïï m3 ïîï ïï y = ïî Trường PT Triệu Sơn Giáo viên: Nghiêm Đình Thuấn Chuyên đề 2: Hệ phương trình ìï u = ìï u = ï ïí Þ + u = 5v thay vào (2) ta có í ïï v = ïï v = 1/ î î ìï x = ìï x = 1/ ï ïí í ïï y = ïï y = 2/ î î Tóm lại hệ phương trình có nghiệm Loại : Sử dụng phương pháp đồng biến, nghịch biến Phương pháp: Nếu hàm số f(t) ĐB (NB) (a; b) phương trình f(x) = f(y) có nghiệm x = y (a ;b) ìï ïï x - = y - (1) x y Bài 1: Giải hệ ïíï ïï 2y = x3 + (2) ïî (DH K hoi A- 2003) Giải: ĐK x ¹ 0;y ¹ Đặt f (t) = t - 1 ; t ¹ có f '(t) = + > , suy hàm t t đồng biến Phương trình (1) có nghiệm x = y thay vào (2) ta éx = ê x - 2x + = Û ê êx = - 1± ê ë Vậy hệ có nghiệm (1 ; 1) ( - 1± - 1± ; ) 2 Bài 2: Giải hệ ìï x3 + x = y3 + y ï a í ïï x + 5y2 = îï DH a ĐS (1 ; 1) ; ìï x3 - 3x = y3 - 3y ìï x3 + 2x = y3 + 2y ï b í c.ïí ïï x + y = ïï y = 9x2 - 27x + 27 ïî îï (- ± 15;- ± 15) b Ta có x4 + y4 = Þ x4 £ Þ - £ x £ Þ y = x3 - 3x nghịch biến ìï ïï x = ± ïï ĐS í ïï ïï y = ± ïî c ĐS x = y = Trường PT Triệu Sơn Giáo viên: Nghiêm Đình Thuấn ... Chuyên đề 2: Hệ phương trình Để hệ có nghiệm pt có nghiệm kép, suy a = Cách tìm nghiệm hệ đối xứng loại ĐK cần Vì (x0; y0) nghiệm (y0; x0) nghiệm hệ Để hệ có nghiệm x0 = y0, thay vào hệ để tìm m... 1/ Định nghĩa: Là hệ có dạng íï hoán đổi x y cho thi phương ïî f (y; x) = trình trở thành phương trình ìï x2 = 3x - 4y ï Ví dụ: Hệ phương trình í ïï y = 3y - 4x ïî 2/ Cách giải Trừ vế pt cho... + Phương trình (3) vô nghiệm x > y > Dạng 4: Hệ phương trình đẳng cấp ìï f (x;y) = g (x;y) ï 1 1/ Định nghĩa: Là hệ có dạng í f1 f2 đẳng cấp bậc ïï f2(x;y) = g2(x;y) î g1; g2 đẳng cấp bậc 2/ Cách