Chương 1 : Đa thức đối xứng hai biến 51.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Tổng luỹ thừa và công thức Waring . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Các định lý cơ bản về đa thức đối xứng hai biến . . . . . . 101.4 Hệ phương trình đối xứng hai ẩn và ứng dụng. . . . . . . . 131.5 Một số bài toán về phương trình bậc hai và ứng dụng . . . . 22
Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên) Nguyễn Văn Ngọc CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC ĐA THỨC ĐỐI XỨNG VÀ ÁP DỤNG HÀ NỘI 2009 Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên) Nguyễn Văn Ngọc CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC ĐA THỨC ĐỐI XỨNG VÀ ÁP DỤNG NXBGD 2009 Mục lục Lời nói đầu 3 Chương 1 : Đa thức đối xứng hai biến 5 1.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Tổng luỹ thừa và công thức Waring . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Các định lý cơ bản về đa thức đối xứng hai biến . . . . . . 10 1.4 Hệ phương trình đối xứng hai ẩn và ứng dụng. . . . . . . . 13 1.5 Một số bài toán về phương trình bậc hai và ứng dụng . . . . 22 1.6 Phương trình đối xứng và phương trình hồi quy . . . . . . . 29 1.7 Phân tích thầnh nhân tử và áp dụng . . . . . . . . . . . . . 38 1.8 Chia đa thức đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.9 Chứng minh bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Chương 2 : Đa thức đối xứng ba biến 62 2.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.2 Tổng luỹ thừa và tổng nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.3 Quỹ đạo của đơn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2.4 Các định lý cơ bản của đa thức đối xứng ba biến . . . . . . 68 2.5 Đa thức phản đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.6 Công thức Viète và phương trình bậc ba . . . . . . . . . . . 75 3 4 MỤC LỤC 2.7 Hệ phương trình đối xứng ba ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2.8 Phân tích đa thức thành nhân tử . . . . . . . . . . . . . . . 92 2.9 Tính chia hết của các đa thức đối xứng . . . . . . . . . . . 100 2.10 Chứng minh các đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 2.11 Chứng minh các bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . 119 2.12 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . . 136 Chương 3 : Đa thức đối xứng nhiều biến 146 3.1 Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 3.2 Biểu diễn các tổng luỹ thừa qua các đa thức đối xứng cơ sở . 149 3.3 Các định lý cơ bản của đa thức đối xứng nhiều biến . . . . . 152 3.4 Các hệ thức giữa các đa thức đối xứng cơ sở . . . . . . . . . 156 3.5 Đa thức phản đối xứng nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . 165 3.6 Phương trình và hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . 168 3.7 Chứng minh đẳng thức. Phân tích thành nhân tử . . . . . . 174 3.8 Chứng minh các bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . 187 Phụ lục A : Đại cương về đa thức một biến 259 Phụ lục B : Các bất đẳng thức quan trọng 272 Tài liệu tham khảo 272 Lời nói đầu Những lĩnh vực phức tạp của đại số đối với học sinh phổ thông thường là giải phương trình và hệ phương trình bậc cao, phân tích các đa thức nhiều biến bậc cao thành nhân tử, chứng minh các đẳng thức và bất đẳng thức chứa nhiều biến số v.v Một trường hợp quan trọng và thường gặp trong các bài toán của các lĩnh vực nói trên là khi các biến số của đa thức có vai trò như nhau. Chúng ta gọi đa thức trong trường hợp này là đa thức đối xứng. Nhiều bài toán khó có chứa yếu tố đối xứng mà việc áp dụng lý thuyết về đa thức đối xứng sẽ làm cho bài toán trở thành đơn giản hơn. Tài liệu này giới thiệu với bạn đọc cơ sở lý thuyết của các đa thức đối xứng và những ứng dụng của nó trong đại số sơ cấp. Các vấn đề của lý thuyết được trình bày một cách đơn giản theo hướng quy nạp, từ trường hợp hai biến, ba biến, đến nhiều biến. Các ví dụ áp dụng trong cuốn sách cũng được trình bày từ đơn giản đến phức tạp. Các bài toán được trình bày trong phần này chủ yếu là các bài toán khó, nhiều bài toán được trích ra từ các đề thi vào trường chuyên, vô địch của các nước hoặc OIM. Hiện nay đã có một số tài liệu chuyên khảo về đa thức xuất bản bằng tiếng Việt, đặc biệt là các tài liệu [M ], [Đ], trong đó có những phần dành cho đa thức đối xứng. Tuy nhiên, chưa có tài liệu chuyên về đa thức đối 3 4 Lời nói đầu xứng, trình bày nhất quán từ đơn giản đến phức tạp các vấn đề cơ bản của đại số ở bậc phổ thông như phương trình, hệ phương trình, chứng minh các đẳng thức và bất đẳng thức, tính chia hết, phân tích thành nhân tử v.v Điều đó cần thiết phải có sự giới thiệu riêng về đa thức đối xứng và phân loại các dạng bài tập ứng dụng của nó một cách chi tiết. Cuốn sách nhỏ này nhằm tổng quan về đa thức đối xứng thông qua các định nghĩa, định lý, các ví dụ và bài tập cùng dạng. Cuốn sách gồm "Lời nói nói đầu" và 3 chương. Chương 1. Đa thức đối xứng hai biến. Chương 2. Đa thức đối xứng ba biến. Chương 3. Đa thức đối xứng nhiều biến. Trong mỗi chương, phần đầu trình bày cơ sở lý thuyết của đa thức đối xứng với số biến tương ứng, tiếp theo trình bày các ví dụ áp dụng về các chủ đề cơ bản của đại số sơ cấp, có vai trò như những bài tập giải mẫu. Bài tập cuối mỗi mục là những bài có thể được giải theo phương pháp của các ví dụ mẫu. Cuốn sách sẽ có ích cho các học sinh PTTH chuẩn bị cho các kỳ thi học sinh giỏi, hoặc thi vào trường, các sinh viên ngành toán, của các trường sư phạm và các thầy, cô giáo tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi . Các tác giả bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới các thành viên của semina "Phương pháp Toán phổ thông" đã cho nhiều ý kiến quý báu để cuốn sách được hoàn chỉnh. Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các đồng nghiệp và độc giả có ý kiến đóng góp để cuốn sách được tốt hơn. Mọi ý kiến xin gửi về địa chỉ: Nhà xuất bản Giáo dục, 81 Trần Hưng Đạo, Hà Nội. Hà Nội, ngày 08 tháng 03 năm 2009 Chương 1 Đa thức đối xứng hai biến 1.1 Các khái niệm cơ bản Định nghĩa 1. Một đơn thức f(x, y) của các biến độc lập x, y (trường hợp chung nhất có thể là các số phức) được hiểu là hàm số có dạng f(x, y) = a kl x k y l , trong đó a kl = 0 là một số (hằng số), k, l là những số nguyên không âm. Số a kl được gọi là hệ số, còn k + l được gọi là bậc của đơn thức f(x, y) và được ký hiệu là deg[f(x, y)] = deg[ax k y l ] = k + l. Các số k, l tương ứng được gọi là bậc của đơn thức đối với các biến x, y. Như vậy, bậc của đơn thức hai biến bằng tổng các bậc của các đơn thức theo từng biến. Ví dụ: 3x 2 y và 2 3 x 2 y 3 là các đơn thức theo x, y với bậc tương ứng bằng 3 và 5. Định nghĩa 2. Hai đơn thức của các biến x, y được gọi là đồng dạng (tương tự), nếu chúng chỉ có hệ số khác nhau. Như vậy, hai đơn thức được gọi là đồng dạng, nếu chúng có dạng : Ax k y l , Bx k y l (A = B). 5 6 Chương 1. Đa thức đối xứng hai biến Định nghĩa 3. Giả sử Ax k y l và Bx m y n là hai đơn thức của các biến x, y. Ta nói rằng đơn thức Ax k y l trội hơn đơn thức Bx m y n theo thứ tự của các biến x, y, nếu k > m, hoặc k = m và l > n. Ví dụ: Đơn thức x 4 y 2 là trội hơn đơn thức x 2 y 7 , còn đơn thức x 4 y 6 là trội hơn đơn thức x 4 y 5 . Định nghĩa 4. Một hàm số P (x, y) được gọi là một đa thức theo các biến số x, y, nếu nó có thể biểu diễn dược dưới dạng tổng của hữu hạn các đơn thức. Như vậy, đa thức P (x, y) theo các biến số x, y là hàm số có dạng P (x, y) = k+lm a kl x k y l . Bậc lớn nhất của các đơn thức trong đa thức được gọi là bậc của đa thức. Định nghĩa 5. Đa thức P (x, y) được gọi là đối xứng, nếu nó không thay đổi khi đổi chỗ của x và y, nghĩa là P (x, y) = P (y, x). Ví dụ P (x, y) = x 2 + xy + y 2 , Q(x, y) = x 2 y + xy 2 là các đa thức đối xứng của các biến x, y. Định nghĩa 6. Ký hiệu σ 0 = 1, σ 1 = x + y, σ 2 = xy. Các đa thức σ j (j = 0, 1, 2) được gọi là các đa thức đối xứng cơ sở của các biến x, y. Định nghĩa 7. Đa thức đối xứng f(x, y) được gọi thuần nhất bậc m, nếu: f(tx, ty) = t m f(x, y), ∀t = 0. 1.2. Tổng luỹ thừa và công thức Waring 7 1.2 Tổng luỹ thừa và công thức Waring Định nghĩa 8. Các đa thức s k = x k + y k (k = 1, 2, ) được gọi là các tổng luỹ thừa bậc k của các biến x, y. Định lý 1. Mỗi tổng luỹ thừa s m = x m + y m có thể biểu diễn được dưới dạng một đa thức bậc m của σ 1 và σ 2 . Chứng minh. Ta có σ 1 s k−1 = (x + y)(x k−1 + y k−1 ) = x k + y k + xy(x k−2 + y k−2 ) = s k + σ 2 s k−2 . Như vậy s k = σ 1 s k−1 − σ 2 s k−2 . (1.1) Công thức (1.1) được gọi là công thức Newton nó cho phép tính s k theo s k−1 và s k−2 . Với m = 1, m = 2, Định lý 1.1 đúng vì s 1 = x + y = σ 1 , s 2 = x 2 + y 2 = (x + y) 2 − 2xy = σ 2 1 − 2σ 2 . Giả sử Định lý đã đúng cho m < k. Khi đó s k−2 , s k−1 lần lượt là các đa thức bậc k − 2, k − 1 của σ 1 , σ 2 . Theo công thức (1.1) ta suy ra s k là đa thức bậc k của σ 1 và σ 2 . Theo nguyên lý quy nạp ta có điều phải chứng minh. Sử dụng công thức (1.1) và các biểu thức của s 1 , s 2 ở chứng minh trên, dễ dàng nhận được các biểu thức sau s 1 = x + y = σ 1 , s 2 = σ 2 1 − 2σ 2 , 8 Chương 1. Đa thức đối xứng hai biến s 3 = σ 3 1 − 3σ 1 σ 2 , s 4 = σ 4 1 − 4σ 2 1 σ 2 + 2σ 2 2 , s 5 = σ 5 1 − 5σ 3 1 σ 2 + 5σ 1 σ 2 2 . Việc tính các tổng luỹ thừa s k theo công thức lặp (1.1) không được thuận tiện vì phải biết trước các tổng s k và s k−1 . Đôi khi ta cần có biểu thức của s k chỉ phụ thuộc vào σ 1 và σ 2 . Công thức tương ứng được tìm ra năm 1779 bởi nhà toán học Anh E. Waring. Định lý 2. (Công thức Waring). Tổng luỹ thừa s k được biểu diễn qua các đa thức đối xứng cơ sở σ 1 , σ 2 theo công thức: s k k = [k/2] m=0 (−1) m (k − m − 1)! m!(k − 2m)! σ k−2m 1 σ m 2 , (1.2) trong đó [k/2] ký hiệu là phần nguyên của k/2. Chứng minh. Chúng ta sẽ chứng minh công thức (1.2) bằng phương pháp quy nạp. Với k = 1, k = 2 công thức tương ứng có dạng s 1 = σ 1 , 1 2 s 2 = 1 2 σ 2 1 − σ 2 . Như vậy, với k = 1, k = 2 công thức (1.2) đúng. Giả sử công thức Waring đã đúng cho s 1 , s 2 , , s k−1 . Để chứng minh công thức đó đúng cho s k chúng ta sử dụng công thức (1.1). Ta có 1 k s k = 1 k [σ 1 s k−1 − σ 2 s k−2 ] = = k − 1 k σ 1 . m (−1) m (k − m − 2)! m!(k − 2m − 2)! σ k−2m−1 1 σ m 2 − − k − 2 k σ 2 . n (−1) n (k − n − 3)! n!(k − 2n − 2)! σ k−2n−2 1 σ n 2 = [...]... quy Đa thức đối xứng là công cụ hữu hiệu để giải các phương trình đại số bậc cao , đặc biệt là phương trình hệ số đối xứng và phương trình hồi quy Định nghĩa 9 Đa thức f (z) = a0 z n + a1 z n−1 + + an−1 z + an (a0 = 0) được gọi là đa thức đối xứng, nếu các hệ số cách đều hai đầu bằng nhau, nghĩa là a0 = an , a1 = an−1 , a2 = an−2 , 30 Chương 1 Đa thức đối xứng hai biến Phương trình của đa thức đối xứng. .. các đa thức đối xứng sau đây theo các đa thức đối xứng cơ sơ 13 1.4 Hệ phương trình đối xứng hai ẩn và ứng dụng 1 x3 + y 3 + (x + y)3 , 2 x4 + y 4 + (x + y)4 , 3 (x + y)5 − x5 − y 5 , 4 2x4 + 7x3 y + 9x2 y 2 + 7xy 3 + 2y 4 5 x5 + 3x3 y 2 − x3 y 3 + 2xy 4 − 7x2 y 2 + y 5 + 3x2 y 3 − 5xy 3 − 5x3 y + 2x4 y 1.4 Hệ phương trình đối xứng hai ẩn và ứng dụng Giả sử P (x, y) và Q(x, y) là các đa thức đối xứng. .. xét đơn thức dạng bxk y l (k = l) Vì đa thức là đối xứng, nên có số hạng dạng bxl y k Để xác định, ta giả sử k < l và xét tổng của hai đơn 1.3 Các định lý cơ bản về đa thức đối xứng hai biến 11 thức trên k b(xk y l + xl y k ) = bxk y k (xl−k + y l−k ) = bσ2 sl−k Theo công thức Waring sl−k là một đa thức của các biến σ1 , σ2 , nên nhị thức nói trên là một đa thức của σ1 , σ2 Vì mọi đa thức đối xứng. .. của σ1 , σ2 Vì mọi đa thức đối xứng là tổng của các số hạng dạng axk y k và b(xk y l + xl y k ), nên mọi đa thức đối xứng đều biểu diễn được ở dạng đa thức theo các biến σ1 và σ2 Định lý được chứng minh Định lý 4 (Tính duy nhất) Nếu các đa thức ϕ(σ1 , σ2 ) và ψ(σ1 , σ2 ) khi thay σ1 = x + y, σ2 = xy cho ta cùng một đa thức đối xứng P (x, y), thì chúng phải trùng nhau, nghĩa là ϕ(σ1 , σ2 ) ≡ ψ(σ1 ,... x + y = u + v, x2 + y 2 = u2 + v 2 ; x+y = ⇔ u + v, (x + y)2 − 2xy = (u + v)2 − 2uv; σ 1 = α1 , ⇔ σ 2 = α2 21 1.4 Hệ phương trình đối xứng hai ẩn và ứng dụng Theo Định lý cơ bản thì mỗi đa thức đối xứng đều biểu diễn duy nhất qua đa thức của các biến là các đa thức đối xứng cơ sở Giả sử xn + y n = ϕ(σ1 , σ2 ) Thế thì ta có un + v n = ϕ(α1 , α2 ) Do α1 = σ1 , α2 = σ2 , nên ta có ϕ(σ1 , σ2 ) = ϕ(α1 ,... σ2 − 2σ2 , 1.3 Các định lý cơ bản về đa thức đối xứng hai biến Định lý 3 (Định lý cơ bản) Mọi đa thức đối xứng P (x, y) của các biến x, y đều có thể biểu diễn được dưới dạng đa thức p(σ1 , σ2 ) theo các biến σ1 = x + y và σ2 = xy, nghĩa là P (x, y) = p(σ1 , σ2 ) (1.3) Chứng minh Trước hết xét trường hợp đơn thức, trong đó luỹ thừa của x và y cùng bậc, nghĩa là đơn thức dạng axk y k Hiển nhiên là k axk... 30 Chương 1 Đa thức đối xứng hai biến Phương trình của đa thức đối xứng được gọi là phương trình đối xứng Ví dụ, các đa thức sau đây là đa thức hệ số đối xứng : z 5 − 3z 4 + 2z 3 + 2z 2 − 3z + 1, 2z 8 + z 7 − 6z 6 + 4z 5 + 3z 4 + 4z 3 − 6z 2 + z + 2 Định lý 6 Đa thức f (z) bậc n là đa thức đối xứng khi và chỉ khi znf 1 = f (z), z z = 0 (1.14) Chứng minh Giả sử f (z) có dạng f (z) = a0 z n + a1 z n−1... các đa thức hồi quy Phương trình của đa thức hồi quy được gọi là phương trình hồi quy 1.6 Phương trình đối xứng và phương trình hồi quy 31 Khi λ = 1 thì đa thức hồi quy trở thành đa thức hệ số đối xứng. Ví dụ, phương trình 2x5 + 6x4 − 2x3 + 4x2 − 48x − 64 = 0 là phương trình hồi quy (λ = −2), còn phuơng trình 4x6 + 5x5 − 3x4 + 10x3 − 9x2 + 45x + 108 = 0 là phương trình hồi quy (λ = 3) Định lý 7 Mọi đa. .. 7 Mọi đa thức hồi quy bậc chẵn 2k f (z) = a0 z 2k +a1 z 2k−1 + +ak−1 z k+1 +ak z k +λak−1 z k−1 + +λk−1 a1 z+λk a0 , đều biểu diễn được ở dạng f (z) = z k h(σ), λ trong đó σ = z + , h(σ) là một đa thức nào đó theo biến σ và có bậc bằng z k Mọi đa thức hồi quy bậc lẻ f (z) đều có dạng f (z) = (z + λ)g(z), trong đó g(z) là đa thức hồi quy bậc chẵn Chứng minh Trước hết xét đa thức hệ số đối xứng f (z)... zk 32 Chương 1 Đa thức đối xứng hai biến Ta sẽ chứng tỏ rằng sk là các đa thức bậc k theo σ Thật vậy, nếu đặt λ x = z, y = , thì ta có z σ = x + y = σ1 , λ = xy = σ2 , sk = xk + y k Do đó theo định lý 1.1, các tổng luỹ thừa sk là các đa thức bậc k theo các biến σ1 , σ2 , hay là theo các biến σ và λ, nghĩa là chỉ theo biến σ Phần thứ nhất của định lý dẫ dược chứng minh Xét đa thức đối xứng bậc lẻ 2k . (Chủ biên) Nguyễn Văn Ngọc CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC ĐA THỨC ĐỐI XỨNG VÀ ÁP DỤNG HÀ NỘI 2009 Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên) Nguyễn Văn Ngọc CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC ĐA THỨC ĐỐI XỨNG VÀ ÁP DỤNG NXBGD 2009 Mục lục Lời. các đa thức đối xứng cơ sở . 149 3.3 Các định lý cơ bản của đa thức đối xứng nhiều biến . . . . . 152 3.4 Các hệ thức giữa các đa thức đối xứng cơ sở . . . . . . . . . 156 3.5 Đa thức phản đối xứng. số của đa thức có vai trò như nhau. Chúng ta gọi đa thức trong trường hợp này là đa thức đối xứng. Nhiều bài toán khó có chứa yếu tố đối xứng mà việc áp dụng lý thuyết về đa thức đối xứng sẽ