Sử dụng Casio dạy dãy số

Lời bình 1: Công cụ nh nhau trên cùng một máy, nhng quy trình 2, quy trình 4 hoặc quy trình 7 đòi hỏi ít thao tác hơn mỗi phép lặp chỉ cần bấm 3 phím so với 6 phím của quy trình 1, quy t

Chơng 2 D y truy hồi ãy truy hồi

Đ1 D y Fibonacci ãy truy hồi

1 Bài toán thỏ đẻ con

Giả sử thỏ đẻ con theo quy luật: Một đôi thỏ cứ mỗi tháng đẻ đợc một đôi thỏ con, mỗi đôi thỏ con sau

2 tháng tuổi lại bắt đầu sinh một đôi thỏ nữa, rồi sau mỗi tháng lại tiếp tục sinh ra một đôi thỏ nữa, v.v

và giả sử tất cả các con thỏ đều sống Hỏi nếu có một đôi thỏ nuôi từ tháng giêng và đẻ con vào tháng hai thì đến cuối năm có bao nhiêu đôi thỏ tất cả

Bài toán này đợc Fibonacci (1170-1250), một thơng gia ngời ý, cũng là một nhà toán học nổi tiếng

nhất thời Trung cổ, viết trong cuốn sách Liber abaci (Sách về tính toán) năm 1202

Số thỏ tính theo tháng có thể đợc mô tả theo sơ đồ dới đây

Tháng 1: 1 1 đôi

Tháng 2: 1 2 2 đôi

Tháng 3: 3 đôi

Tháng 4: 5 đôi

Tháng 5: 8 dôi

Tháng 6: 13 đôi

Số thỏ của từng tháng sẽ là:

Trong tháng giêng có một đôi thỏ số 1

Vào đầu tháng 2, đôi thỏ này đẻ một đôi thỏ số 2 Vậy trong tháng 2 có 2 đôi thỏ

Vào đầu tháng 3, đôi thỏ số 1 đẻ ra đôi thỏ số 3, còn đôi thỏ số 2 mới sau 1 tháng nên ch a đẻ đợc Vậy trong tháng 3 có 3 đôi thỏ

Vào đầu tháng 4, đôi thỏ số 1 đẻ ra đôi thỏ số 4, đôi thỏ số 2 đẻ ra đôi thỏ số 4.1, còn đôi thỏ số 3 mới

đợc 1 tháng nên cha đẻ đợc Vậy trong tháng 4 có 5 đôi thỏ

Vào đầu tháng 5, đôi thỏ số 1 đẻ ra đôi thỏ số 5.1, đôi thỏ số 2 đẻ ra đôi thỏ số 5.2, đôi thỏ số 3 đẻ ra

đôi thỏ số 5.3, đôi thỏ số 4 và số 4.1 mới đợc 1 tháng cha đẻ đợc Vậy trong tháng 5 có 8 đôi thỏ

Ta thấy rằng:

Từ tháng giêng đến cuối tháng năm số đôi thỏ là: 1, 2, 3, 5, 8

Tiếp tục lý luận nh trên ta có d y số:ãy số:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144

D y số này có quy luật: mỗi số hạng, kể từ số hạng thứ ba, bằng tổng của hai số hạng đứng ngay trãy số: ớc nó:

1  1  2; 2  1 3; 3  2 5; 5  3 8;

8  5 13; 13  8 21; 21  13 34;

34  21 55; 55  34 89; 89  55 144,

Nếu gọi số thỏ của tháng thứ n là u thì ta có công thức sau: n

1 1

u  , u  ,2 1 u n1u nu n1 với mọi n 2

D y số trên sau này đãy số: ợc Lucas gọi là d y Fibonacci Những số hạng ãy số: u của d y trên đ n ãy số: ợc gọi là số Fibonacci

2 Công thức tổng quát của số Fibonacci

Số hạng thứ n của dãy Fibonacci đợc tính theo công thức

5

n

u     (1)

Trớc tiên ta h y thử tính một vài giá trị của ãy số: u : n

Với n 1: 1 1 1 5 1 1 5 1

5

Với n 2: 2 1 1 5 2 1 5 2

5

Với n 3:

2

4

u

Một điều thú vị là: Một biểu thức chứa căn thức khá cồng kềnh, nhng nó luôn là một số nguyên với

mọi giá trị của n!

Cảnh báo: Nếu bạn lời biến đổi toán học, mà lạm dụng máy tính thì kết quả có thể chỉ đợc những số

gần đúng

Bây giờ ta có thể chứng minh tính chất này bằng quy nạp nh sau

Giả sử công thức (1) đúng với mọi giá trị của n k Khi ấy với n k 1 ta có:

1 1

1 [(1 5) (1 5) (1 5) (1 5) ] 1 [(1 5) (1 5) ]

k k k

Công thức (1) đợc chứng minh

2 Tính số Fibonacci trên máy tính điện tử bỏ túi

Ta có cách tìm số Fibonacci cực kỳ đơn giản trên máy tính bỏ túi nh sau:

Quy trình tính số Fibonacci trên các máy Casio

Quy trình 1 tính số Fibonacci trên máy đơn giản Casio LC-403 LB (gồm 8 chữ số trên màn hình):

Bấm phím: 1 M+

Và lặp lại dãy phím:  MRC M-  MRC M+

Quy trình 2 tính số Fibonacci trên máy đơn giản Casio LC-403 LB:

Bấm phím: 1 M+

Và lặp lại dãy phím:  MRC M+

Quy trình 2b tính số Fibonacci trên máy đơn giản Casio LC-403 LB:

Bấm phím: 1 M+

Và lặp lại dãy phím: M+  MRC

Thực hiện một trong hai quy trình này cho đến khi tràn màn hình, ta

đợc 39 số Fibonacci đầu tiên:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584,

4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025,121393, 196418, 317811,

514229, 830240, 1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465,

14930352, 24157817, 39088169, 63245986

Quy trình 3 tính số Fibonacci trên Casio fx 200 hoặc Casio fx - 500A:

Bấm phím: 1 Min

Và lặp lại dãy phím:  SHIFT XM

Quy trình 3b tính số Fibonacci trên Casio fx 200 hoặc Casio fx - 500A:

Bấm phím: 1 Min

Và lặp lại dãy phím: SHIFT XM 

Giải thích:

Bớc 1: Bấm phím 1, trên màn hình hiện số 1, (tức là ta đ khai báo ãy số: u  ), và bấm phím Min (coi0 1

1 1

u  và đa u  vào ô nhớ).1 1

Bớc 2: Bấm phím  SHIFT XM để cộng với số trên màn hình với số đổi chỗ u  với số trong0 1

ô nhớ (u  ) Trên màn hình vẫn hiện số 1, nhng số 1 này là 1 1 u  , trong ô nhớ bây giờ là 1 1 u  0 1

Bớc 3: Bấm phím  ta sẽ đợc số Fibonacci u  2 2

Lặp lại quá trình này ta sẽ lần lợt tính đợc các số hạng của số Fibônacci theo công thức tổng quát:

1

  n  n

Quy trình 4 tính số Fibonacci trên Casio fx 200 hoặc Casio fx - 500A:

Bấm phím: 1 Min

Và lặp lại d y phím ãy số: :  MR M+

Quy trình 5 tính số Fibonacci trên Casio 570 MS, Casio 570 MS, Casio 570 W hoặc Casio fx-4800P:

Bấm phím: 1 SHIFT STO A  1 SHIFT STO M

Và lặp lại dãy phím:

Thực hiện quy trình 3, quy trình 4 hoặc quy trình 5 trên các máy tơng ứng (có 10 chữ số), ta đợc 49 số Fibonacci đầu tiên (39 số ở trên và 10 số tiếp theo, số thứ 50 bằng 1258626902 , vợt quá khả năng hiển thị10

của màn hình):

102334155, 165580141, 267914296, 433494437, 701408733, 1134903170, 1836311903, 2971215073,

4807526976, 7778742049

Quy trình 6 tính số Fibonacci trên Casio fx - 112s hoặc Casio fx - 992s (máy có 12 chữ số):

Bấm phím: 1 Min

2

Và lặp lại dãy phím: SHIFT XM 

Quy trình 7 tính số Fibonacci trên Casio fx - 112s hoặc Casio fx - 992s:

Bấm phím: 1 Min

Và lặp lại dãy phím: M+  MR

Quy trình 8 tính số Fibonacci trên Casio fx-7400G, Casio CFX-9850 PLUS hoặc Casio ALGEBRA FX 2.0 PLUS:

Bấm phím: 1  ALPHA A EXE 1  ALPHA B EXE

Và lặp lại dãy phím:

ALPHA A  ALPHA B EXE  ALPHA B EXE

Thực hiện quy trình 6, quy trình 7 hoặc quy trình 8 trên các máy tơng ứng (hiển thị đợc 12 chữ số) cho đến khi tràn màn hình Ta đợc 59 số Fibonacci đầu tiên (49 số ở trên và 10 số tiếp theo, số thứ 60 v ợt quá 12 chữ số):

12586269025, 20365011074, 32951280099, 53316291173, 86267571272, 139583862445,

225851433717, 365435296162, 59128672879, 956722026041

Lời bình 1: Công cụ nh nhau (trên cùng một máy), nhng quy trình 2, quy trình 4 hoặc quy trình 7

đòi hỏi ít thao tác hơn (mỗi phép lặp chỉ cần bấm 3 phím so với 6 phím của quy trình 1, quy trình 3 hoặc quy trình 6), do đó ít nhầm lẫn hơn và thời gian thực hiện bằng nửa thời gian tính theo ch ơng trình 1, quy trình 3 hoặc quy trình 6

Chú ý: Tất nhiên, một quy trình trên có thể thực hiện trên các máy khác (không liệt kê) ở trên

chúng ta chỉ liệt kê máy đặc biệt cho quy trình ấy thôi

Quy trình 9 (trên máy Calculator trong Windows):

Bấm phím: 1 M+

Và lặp lại d y phím ãy số: :  MR  M+

Ta sẽ đợc 159 số Fibonacci đầu tiên trên máy Calculator (hiển thị đợc 33 chữ số trên màn hình) là

59 số ở trên và 100 số tiếp theo, dới đây là các số Fibonacci thứ 60 đến 100 Do số Fibonacci thứ 100 mới chỉ có 21 chữ số nên ta có thể tiếp tục tính số thỏ cho tới số Fibonacci thứ 159

1548008755920, 2504730781961, 4052739537881, 6557470319842, 10610209857723,

17167680177565, 27777890035288, 44945570212853, 72723460248141, 11766930460994,

190392490709135, 308061521170129, 498454011879264, 806515533049393, 1304969544928657,

2111485077978050, 3416454622906707, 5527939700884757, 8944394323791464, 14472334024676221,

23416728348467685, 37889062373143906, 61305790721611591, 99194853094755497,

160500643816367088, 259695496911122585, 420196140727489673, 679891637638612258,

1100087778366101931, 1779979416004714189, 2880067194370816120, 4660046610375530309,

7540113804746346429, 12200160415121876738, 19740274219868223167, 31940434634990099905,

51680708854858323072, 83621143489848422977, 135301852344706746049, 218922995834555169026, 354224848179261915075

Quy trình 10 tính số Fibonacci u trên Casio fx - 500A theo công thức11

nghiệm tổng quát

1 ((1 5) (1 5) )

5

n

Thực hiện: 1  5   2  SHIFT x 10   [( [( 1  5 y )]  2 )]

SHIFT x 10   5 y  (54.99999999)

Quy trình 11 Tính số Fibonacci u trên Casio fx-570 MS theo công n

thức nghiệm tổng quát:

Bấm CALC máy hiện X?

Thay X bằng các số tự nhiên từ 1 đến 49 ta đợc các số trên

Lời bình 4: Máy Casio fx-570MS và một số máy khác tiện lợi hơn Casio fx 500A vì chỉ cần lập

trình(khai báo công thức) một lần, sau đó sau mỗi lần bấm phím CALC chỉ cần thay X bằng một trong

các số tự nhiên từ 1 đến 49, ta sẽ đợc các u tơng ứng, trong khi đó, với Casio fx 500A, mỗi lần cần tính số n

hạng thứ u nào đó ta lại phải lặp lại công thức từ đầu (máy không lu đợc biểu thức cần tính) n

Lời bình 5: Tính theo công thức nghiệm tổng quát:

1 ((1 5) (1 5) )

5

n

Ta chỉ đợc số gần đúng, nếu không chú ý có thể dẫn đến đáp số sai (số thỏ không phải là số nguyên, các số Fibonacci u , , 45 u bị sai một đơn vị- sai một con thỏ) Dới đây là bảng đáp số tính gần đúng theo49

công thức (1) và các giá trị chính xác (tính theo các quy trình bấm phím)

n

n

5

41

42

16

43

19

44

20

45

25

46

38

47

39

48

40

49

Nhận xét: Không nhất thiết phải bắt đầu từ hai số hạng đầu là u  và 1 1 u  Có thể bắt đầu từ2 1 hai số hạng liên tiếp bất kỳ của d y Fibonacci, thí dụ, sau khi tính trên máy ãy số: Casio LC-403 LB đợc 38 số, chuyển sang máy Casio fx- 500A tính tiếp theo chớng trình 4 nh sau Trớc tiên khai báo số hạng thứ 37 và

38 của d y Fibonacci:ãy số:

Bấm phím: 24157817 M+ 39088169

Và lặp lại dãy phím:  MR M+

Ta lại đợc các số hạng tiếp theo của d y Fibonacci.ãy số:

Lời bình 6: Có thể thiết kế cuộc thi "chạy tiếp sức" trên cơ sở bài toán tìm số Fibonacci Mỗi đội gồm

5 máy: Trớc tiên cho máy Casio LC-403 LB chạy đợc 39 số, tiếp theo chuyển sang Casio fx- 500A, đợc thêm 10 số, sau đó chuyển sang Casio fx - 992s đợc thêm 10 số nữa Cuối cùng chuyển sang Caculator (trong Window) thì có thể tìm đợc 159 số Fibonacci Một máy dùng để tính số Fibonacci theo công thức

tổng quát

Các tính chất của d y Fibonacciãy số:

Dãy Fibonacci có rất nhiều tính chất hay, dới đây là một số tính chất quen thuộc Nhiều tính chất có thể mở rộng cho dãy Lucas.

Tính chất 1 u m u u k m 1k u k1.u m k hay u n m u u n1 mu u n m1

Tính chất này có thể chứng minh bằng quy nạp theo k hoặc bằng tính toán theo công thức (1) Với n 1 ta có:

Để áp dụng tính chất này, ta cần biết các số hạng bên phải Nói chung ta nên chọn các số n và m

gần nhau để tính toán đợc thuận tiện Thí dụ, cần tính số thỏ sau 2 năm (24 tháng) ta có thể chọn

12

n m  và thay vào công thức trên để tính:

24 12 12 11 12 12 13 12( 11 13) 144(89 233) 46368

u u  u u u u u u u   

Muốn tính số thỏ sau 25 tháng ta làm nh sau:

2 2 2 2

25 13 12 12.12 13.13 12 13 144 233 75025

u u  u u u u u u   

Tính chất 2 u2n1u n21u n2

Chứng minh: Suy ra từ tính chất 1 nh sau:

2 2

2n1 (n1) n n n n 1 n1 n1 n

u  u   u u u  u u u

áp dụng: Muốn tính số thỏ sau 25 tháng ta làm nh sau:

2 2 2 2

25 2.12 1 12 13 144 233 75025

u u  u u    .

Nhận xét: Các tính chất 1-2 cho phép tính các số hạng của d y Fibonacci mà không nhất thiết phải ãy số:

biết tất cả các số hạng trong d y Fibonacci trãy số: ớc nó Các ví dụ trên chỉ ra rằng, để tính đợc u ta chỉ cần25

biết u và 12 u , để tính đợc 13 u , ta chỉ cần biết 24 u , 11 u và 12 u Nếu cha biết các số 13 u , 11 u và 12 u thì ta lại13

một lần nữa sử dụng hai tính chất trên để hạ chỉ số của số hạng (biểu diễn các số hạng có chỉ số cao qua các

số hạng có chỉ số thấp)

Hơn nữa, các tính chất trên còn có thể sử dụng để tính các số hạng với chỉ số cao mà giá trị của số hạng ấy lớn đến mức tràn màn hình Với số Fibonacci lớn hơn 49, ta không tính đợc trên máy tính bỏ túi vì tràn màn hình Nhng ta có thể tính các số Fibonacci nhỏ hơn rồi áp dụng công thức trên để tính số

Fibonacci lớn (bằng cách cộng trên giấy hoặc dùng Calculator cộng hai kết quả cuối cùng).

Thí dụ: Tính số thỏ sau 50 tháng:

2 2

50 24 26 24 25 25 26 25 24 26 12 13 24 26

2 2

(144 233 )(46368 121393) (20376 54289)167761

20376 167761 54289 167761 3416788287 9107576929

12524365216

u u  u u u u u u u u u u u 



Tính chất 3 2 1 ( 1)n 1

n n n



Tính chất 4 u1u3u5 u2n1u2n

Tính chất 5 Với mọi n ta có: v n:u n4u n2u n2u n  3

Nghĩa là: biểu thức u n4.u n2u n2u n luôn bằng hằng số (bằng 3) với mọi n

Chứng minh: Thật vậy,

4

3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 1

3 1 3 2 1 3 3 3 2 1 3 3 1 1 1

           

              

Suy ra: v nv3u u7 1 u u5 3 21.1 8.3  3

Tính chất 6 (Toán học & Tuổi trẻ, số 12-1994, bài T6/206)

Với mọi n số 4u n2 2u u n2u n4 là một số chính phơng.9

Chứng minh: Theo tính chất 3 ta có: 4u n2u u n n2u n4 9 4u u n n2(u u n n2  3) 9 (2u u n n23)2

Tính chất 7 (Toán học & Tuổi trẻ, số 12-1994, bài T6/206) Với mọi n số 4u u n n k n k l n u u2k l u u k k2 21

là một số chính phơng

Chứng minh: Tơng tự tính chất 4 nhờ sử dụng tính chất (1).

Tính chất 8 lim n 1 1

n n

u



1

lim n

n n

u

 



 , trong đó  và 1  là nghiệm của phơng trình bậc hai:2

2 1 0

x  x  , tức là: 1 1 5 1,61803

2

2

Trớc khi chứng minh ta có thể nhờ máy tính để kiểm tra tính chất này Thí dụ,

46

45

2971215073

1.618033989 1836311903

u

47 46

4807526976

1.618033989 2971215073

u

48

47

7778742049

1.618033989 4807526976

u

Đến đây, ta có thể tin tởng chắc chắn tính chất trên là đúng

Về mặt toán học, ta dễ dàng chứng minh lim n 1 1

n n

u



   và lim n 1 2

n n

u



   nhờ công thức nghiệm (1)

Bài tập 2 (Vô địch Toán Moscow lần thứ 9, 1946) Trong số 108 số hạng đầu tiên của d y1 ãy số: Fibonacci, có số nào tận cùng bằng bốn số 0 không?

Balatsơ đ giải bài toán khó hơn: Đánh số tất cả các số hạng tận cùng bằng bốn chữ số 0 và đ đãy số: ãy số: ợc giải nhất

Đ2 D y Fibonacci suy rộng ãy số:

1 Dãy số:y Lucas D y Lucas là d y số tổng quát của d y Fibonacci: các số hạng của nó tuân theo quyãy số: ãy số: ãy số:

luật:

1

u  , a u2 ,b u n1u nu n1

với mọi n 2, trong đó a và b là hai số nào đó

Với a b 1 thì d y Lucas trở thành d y Fibonacci.ãy số: ãy số:

Ta cũng có thể tính số hạng của d y Lucas rất đơn giản nhờ máy tính điện tử bỏ túi ãy số: fx 500A nh sau Quy trình 1 tính số Lucas trên Casio fx 500A:

Bấm phím: a M+ b

Và lặp lại dãy phím: M+  MR

Quy trình 2 tính số Lucas trên Casio fx 500A:

Bấm phím: a Min b

Và lặp lại dãy phím:  SHIFT XM

Quy trình 3 tính số Lucas trên Casio fx 500A:

Bấm phím: b Min a

Và lặp lại d y phím ãy số: : SHIFT XM 

Cho u1 , a u2 các giá trị số nào đó, sau khi thực hiện các bớc lặp theo một trong các quy trìnhb

trên ta đợc d y Lucas.ãy số:

Quy trình tính số Lucas trên Casio 570 MS:

Bấm phím: b SHIFT STO A  a SHIFT STO M

Và lặp lại dãy phím:

Thí dụ 1 Với u  và 1 1 u  :2 3

1, 3, 4, 7, 11, 18, 29,47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, 5778, 9349,15127, 24476,

39603, 64079, 103682, 167761, 271443, 439204, 710647, 1149851, 1860498, 3010349, 4870847, 781196,

12752043, 20633239,

Thí dụ 2 Với u  , 1 3 u  : 2 4

1, 5, 6, 11, 17, 28, 45, 73, 118, 191, 309, 500, 809, 1309, 2118, 3427, 5545, 8972, 14517, 23489,…

Thí dụ 3 Với u  , 1 1 u  : 2 5

-1, -5, -6,-11,17,-28,

Thí dụ 4 Với u  , 1 1 u  : 2 5

1, -5, -4, -9, -13, -22, -35, -57, -92, -149,

2 Dãy số:y Fibonacci suy rộng

2.1 Dãy số:y Fibonacci (Dãy số:y Lucas) suy rộng tuyến tính dạng

1

u a, u2b, u n1Au nBu n1 với mọi n 2

Quy trình tính số Fibonacci suy rộng dạng u n1Au nBu n1 trên Casio fx- 500A:

Bấm phím: A b Min  B a 

Và lặp lại dãy phím: SHIFT XM  B  MR  A 

Giải thích: Sau khi thực hiện A b Min  B  a  , máy đa b u 2 vào trong ô nhớ và tính tổng

2 1

Ab Ba Au Bu

Sau khi bấm phím  , trên màn hình sẽ là số hạng thứ ba của d y: ãy số: u3:Au2Bu1

Sau khi thực hiện đổi chỗ các số trên màn hình và ô nhớ: SHIFT XM , trên màn hình sẽ là

2

b u , còn trong ô nhớ sẽ là u 3

Sau khi thực hiện  B  , trên màn hình sẽ làBu Sau khi thực hiện MR 2 A, trên màn hình sẽ

là Au Sau khi bấm phím  , máy tính tổng 3 Au3Bu2, trên màn hình sẽ là u4:Au3Bu2

Nh vậy, sau một vòng lặp, ta có số hạng u trên màn hình và 4 u trong ô nhớ.3

Lại thực hiện vòng lặp SHIFT XM B  MR  A  trớc tiên ta đổi u trong ô nhớ ra màn3

hình và u trên màn hình vào ô nhớ Sau đó lấy 4 u (lúc này trên màn hình) nhân với 3 B và cộng với MR (là u ) nhân với 4 A ta đợc u5:Au4Bu3 trên màn hình và u trong ô nhớ Tiếp tục vòng lặp ta đợc d y số4 ãy số:

u Au Bu

Thí dụ Với A 4, B 5, u1  và 2 a u  , 2 3 u n14u n5u n1 , thực hiện quy trình 5  2  4  3

Min 

lặp lại d y phím: ãy số: SHIFT XM  5  MR  4 

ta đợc d y: ãy số:

2, 3, 22,103, 522, 2603, 13022, 65103, 325522, 1627603, 8138022, 40690103, 203450522, 1017252603,

5086263022, 2.54313151 (tràn màn hình).10

Quy trình tính số hạng của d y Fibonacci suy rộng dạng ãy số: u1 ,a u2  , b u n1Au nBu n1 trên Casio fx-570 MS:

Bấm phím: b SHIFT STO A  A  B  a SHIFT STO B

Và lặp lại dãy phím:

 A  ALPHA A  B SHIFT STO A

 A  ALPHA B  B SHIFT STO B

Giải thích: Sau khi thực hiện

b SHIFT STO A  A  B a SHIFT STO B

trong ô nhớ sẽ A là b u 2, máy tính tổng u3:Ab Ba Au2Bu1 và đẩy vào trong ô nhớ B , trên màn hình cũng là u3:Ab Ba Au2Bu1

Sau khi thực hiện  A  ALPHA A  B SHIFT STO A máy tính tổng u4:Au3Bu2 và đa vào

ô nhớ A Nh vậy, ta có số hạng u trên màn hình và trong ô nhớ A , còn trong ô nhớ B là 4 u 3

Sau khi thực hiện  A  ALPHA B  B SHIFT STO B ta có số hạng u trên màn hình và5

trong ô nhớ B , còn trong ô nhớ A là u 4

Tiếp tục vòng lặp ta đợc d y số ãy số: u n1Au nBu n1

Thí dụ Với A 4, B 5, u1  và 2 a u2  , 3 b u n14u n5u n1 ,

thực hiện quy trình: 3 SHIFT STO A  4  5  2 SHIFT STO B

và lặp lại d y phím: ãy số:  4  ALPHA A  5 SHIFT STO A

 4  ALPHA B  5 SHIFT STO B

ta đợc d y: 2, 3, 22,103, 522, 2603, 13022, 65103, 325522, 1627603, 8138022, 40690103, 203450522,ãy số:

1017252603, 5086263022, 2.54313151 (tràn màn hình).10

Nhận xét: Hai quy trình trên hai máy cùng đi đến một kết quả nh nhau, nhng làm trên Casio

fx-570 MS tiện hơn vì máy hiện hai dòng chữ cho ta thấy kết quả của phép toán trớc, không gây nhầm lẫn Bài tập 1 (Thi học sinh giỏi Toán Quốc gia THPH 1998-19992)

Cho d y số ãy số:  x n n 0

 và  y n n0

 đợc xác định nh sau:

0 1

x  , x  và 1 4 x n23x n1 x n với n 0,1, 2,3,

6

0 1

y  , y  và 1 2 y n2 3y n1 y n với n 0,1, 2,3,

Chứng minh rằng x n25y n2  với mọi 4 0 n 0,1, 2,3,

Giả sử a b, là các số nguyên dơng mà a2 5b2  Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên 4 0 k sao cho

k

x  và a y k  b

Bài tập 2 (Olympic Toán Singapore 2001)

Cho a 1 2000, a 2 2001và a n22a n1 a n với 3 n 1, 2,3, Tìm giá trị của a100

Bài tập 3 (T1/265, THTT 11-1999)

Cho a  , 1 1 a  và 2 3 a n22a n1a n với 1 n 1, 2,3, Chứng minh rằng A4 a a n n2 là số chính1 phơng

Bài tập 4 (T8/267, THTT, 1-2000)

Cho d y số ãy số: u  , 0 3 u  và 1 11 u n22u n17u n với n 0,1, 2,3, Tìm các số nguyên dơng lẻ a sao cho với các số nguyên dơng m và n tuỳ ý luôn tìm đợc số nguyên dơng k thỏa m n ãy số: u n k a chia hết cho 2m

Bài tập 5 (T6/268, THTT-2-2000)

Cho a0  , a a1 và b a n2da n1 a n với n 0,1, 2,3, , trong đó a b là hai số nguyên khác 0 còn , d là

số thực Tìm mọi giá trị của d để a là số n

nguyên với mọi n 0,1, 2,3,

Bài tập 6 (Olympic Toán Ba Lan 1995)

Cho số nguyên tố p 3 Xét d y ãy số:  a xác định bởi n a n  với n n0,1, 2,3, ,p1; a na n1a n p Tìm

số d khi chia a cho p3 p.

Bài tập 7 (T7/270, THTT 4-2000)

Cho d y số ãy số:  u đợc xác định bởi: n

0 1

u  , u  và 1 1 u n1ku n u n1 với mọi n 0,1, 2,3, Tìm tất cả các giá trị của k để d y ãy số:  u là tuần n

hoàn

Bài tập 8 (T6/278, THTT 12-2000)

Cho d y số ãy số:  u đợc xác định bởi: n

0 1

u  , u  và 1 1 u n2 1999u n1 u n với mọi n 0,1, 2,3, Tìm tất cả các số tự nhiên n để d y ãy số: u là số n

nguyên tố

Bài tập 9 (T6/301, THTT 7-2001)

Cho d y số ãy số:  u đợc xác định bởi: n

1 5

u  , u  và 2 11 u n12u n 3u n1 với mọi n 2,3,

Chứng minh rằng:

1) D y số trên có vô số số dãy số: ơng và số âm

2) u2002 chia hết cho 11

Bài tập 11 (T1/219, THTT 1-1996)

Chứng minh rằng: 1) Nếu n là số tự nhiên mà

2 1 3

n 

là tích của hai số tự nhiên liên tiếp thì n là tổng bình phơng của hai số tự nhiên liên tiếp

2) D y số ãy số:  u đợc xác định bởi: n

0 1

u  , u  và 1 13 u n214u n1 u n với mọi n 0,1, 2,3,

có tính chất: các số hạng u của d y là tổng bình ph n ãy số: ơng của hai số tự nhiên liên tiếp, hơn nữa

2 1 3

n

u 

là tích của hai số liên tiếp

Bài tập 12 (Thi học sinh giỏi THPT 1995)

D y số ãy số:  u đợc xác định bởi: n

0 1

u  , u  và 1 3 2 1

1

n

u













với mọi n 0,1, 2,3,

Chứng minh rằng:

1)

2000

2 1995

k k

u



 chia hết cho 20

2) u2n1 không phải là số chính phơng với mọi n

2.2 Dãy số:y Fibonacci (dãy số:y Lucas) suy rộng bậc hai dạng u1a, u2 b, u n1u2n u2n1 với mọi

2

n 

Quy trình tính số hạng của d y ãy số: u1a, u2b, u n1u2n u2n1 trên Casio fx- 500A:

Bấm phím: a SHIFT x2  b Min SHIFT x2 

Và lặp lại dãy phím:

SHIFT XM SHIFT x2  MR SHIFT x2 

Thí dụ Với u1u2 , 1 u n1u2n u2n1 , thực hiện quy trình trên ta đợc d y: ãy số:

1,1, 2, 5, 29, 866, 750797, 5.636968851 11

Quy trình tính số hạng của d y ãy số: u1a, u2b, u n1u2n u2n1 trên Casio fx-570 MS:

Bấm phím: b SHIFT STO A x2  a x2 SHIFT STO B

Và lặp lại dãy phím:

2

x  ALPHA A x2 SHIFT STO A

2

x  ALPHA B x2 SHIFT STO B

Bài tập 13 (Thi vô địch Toán Lêningrat, 1967)

Cho d y ãy số: u1u2 , 1 u n1u2n u n21 Tìm số d của u chia cho 7 n

2.3 Dãy số:y Fibonacci phi tuyến

u1 , a u2 , b u n1F u1( )n F u2( n1) với mọi n 2, trong đó F x và 1( ) F x là hai biểu thức toán2( )

học của biến số x

Quy trình tính số hạng của d y ãy số: u1 , a u2 , b u n1F u1( )n F u2( n1) trên Casio fx- 500A: Khai

báo b Min

Tính F b 1( ) F a 2( )

ta đợc u2 trong ô nhớ và b u3F u1( )2 F u2( )1 F b1( )F a2( ) trên màn hình.

Và lặp lại dãy phím: SHIFT XM F2  F MR 1

Quy trình tính số hạng của d y ãy số: u1 , a u2 , b u n1F u1( )n F u2( n1) trên Casio fx-570 MS:

Bấm phím: b SHIFT STO A F 1 F a1( ) SHIFT STO B

Và lặp lại dãy phím: F2  ALPHA A F SHIFT STO A1

2

F  ALPHA B F SHIFT STO B1

2.4 Dãy số:y truy hồi tổng quát 1

1

( )

k

i

u F u



 với mọi n k , trong đó u , 1 u , , 2 u cho trớc, ( ) k F x , i

1, ,

i n là các biểu thức toán học của biến số x

Khi k 3 ta khó có thể sử dụng Casio fx- 500A đợc vì chỉ có 1 ô nhớ + màn hình Tuy nhiên, có thể

sử dụng Casio fx-570 MS để tính d y truy hồi tổng quát trên (với ãy số: k 10) vì Casio fx-570 MS có đến 9 ô

nhớ

Thí dụ Dãy số:y Fibonacci bậc 3: u1u2 1,u  , 3 2 u n1u nu n1u n2 với n 3

Quy trình tính số hạng của d y ãy số: u1u21,u  , 3 2 u n1u nu n1u n2 trên Casio fx-570 MS: Đa

2

u vào A : 1 SHIFT STO A

Đa u vào B : 1 SHIFT STO B3

Tính u : ALPHA B  ALPHA A  1 SHIFT STO C (4 u )4

Và lặp lại dãy phím

 ALPHA B  ALPHA A SHIFT STO A (u )5

 ALPHA C  ALPHA B SHIFT STO B (u )6

 ALPHA A  ALPHA C SHIFT STO C (u )7

Ta đợc d y: 1,1,1,3,5,9,17,31,57,105,193,355,653, ãy số:

Bài tập (Thi trắc nghiệm học sinh giỏi toán toàn nớc Mỹ, 1970)

Nếu F n đợc tính theo công thức: (1)( ) F F(2)F(3) 1  và

( ) ( 1) 1 ( 1)

( 2)

F n F n

F n

F n

 

 với n 3 Thế thì: F(6) bằng:

(A) 2; (B) 3; (C) 7; (D) 11; (E) 26

Đ3 D y Fibonacci và các vấn đề liên quan ãy số:

D y Fibonacci khá nổi tiếng Nó liên quan tới nhiều vấn đề khác của toán học và thực tế: D y Lucas,ãy số: ãy số:

số vàng, sắp xếp các lá cây trên một thân cây,

1 Số vàng

8

Liên quan giữa số Fibonacci và số vàng đợc thể hiện qua bài thi sau đây

Thi tú tài Paris - Cretpell - Versailes (Pháp, 1989 - 1990, Ban A1 - Ban văn chơng)

Platon có nói: "Số là bậc cao nhất của tri thức con số ấy chính là tri thức" Con số ấy là "số vàng" mà ngời ta thờng gặp trong kiến trúc, âm nhạc, Nó có rất nhiều tính chất Số vàng, ký hiệu là  , là nghiệm

d-ơng của phd-ơng trình x2   x 1

1) Tính  H y cho giá trị gần đúng (sai kém ãy số: 10 2) của 

2) Sự tham gia của số vàng vào kiến trúc Mặt tiền của điện Pathénon có dạng hình chữ nhật

ABCD Nếu ta dựng hình vuông AEFD bên trong hình chữ nhật thì ta có:

AD EB

AB BC (1)

Hình chữ nhật ABCD thỏa m n (1) thì đãy số: ợc gọi là hình chữ nhật vàng

a) Cho ADAE1 và AB a Chứng tỏ a Tính giá trị gần đúng (sai kém 10 2) của EB

b) Chứng tỏ ABCD là hình chữ nhật vàng thì EBCF cũng là hình chữ nhật vàng

3) Khảo sát các lũy thừa của 

2 1

   (2)

a) Chứng minh: 32 1

Chứng minh: 4a4b4, trong đó a và 4 b là các số tự nhiên.4

b) Chứng minh: n

n n

   (n là số tự nhiên và n 2), trong đó a và n b là các số tự nhiên n

Tính n1 theo a , n b và  rồi suy ra: n

1

1

n n n

n n













với mọi n 2 c) Dùng các kết quả trên h y điền các ô trống trong bảng dãy số: ới đây:

n

n

Lời giải: 1) Nghiệm dơng của x2   là x 1 1 5

2

  Máy tính bỏ túi cho:  1,61803 1,62

2) a) Ta có: AD EB

AB BC hay

1

a a



 Suy ra a2 a hay 1 a

EB a          .

b) ABCD là hình chữ nhật vàng nên AD 1 1

AB a .

Đối với hình chữ nhật EBCF ta có (theo (1)): EB AD 1

BC AB  Vậy EBCF cũng là hình chữ nhật vàng

3) a) Ta có: 2  Suy ra  1 32(1)2 1

4 3 (2 1) 2 2 2( 1) 3 2

          

b) Giả sử ta có: n a nb n (n là số tự nhiên và n 2), trong đó a và n b là các số tự nhiên n

Khi ấy

             

hay 1

1

n n n

n n













với mọi n 2 c) Bảng:

n

n

Một số tính chất khác của số vàng:

1) Ta có: 12  , 1 12  , 1 2   1 2,6183

2) Liên hệ giữa tỷ số vàng với góc lợng giác:

Góc (radian) Góc (độ)

2

20

10

3 20

5

4

0

2 Dãy Fibonacci trong thiên nhiên

D y Fibonacci xuất hiện ở khắp nơi trong thiên nhiên Những chiếc lá trên một nhánh cây mọc cáchãy số:

nhau những khoảng tơng ứng với d y số Fibonacci Các số Fibonacci xuất hiện trong nhữg cánh hoa Hầuãy số:

hết các bông hoa có số cánh hoa là một trong các số: 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 hoặc 89 Hoa loa kèn có 3 cánh, hoa mao lơng vàng có 5 cánh, hoa phi yến thờng có 8 cánh, hoa cúc vạn thọ có 13 cánh, hoa cúc tây có 21 cánh, hoa cúc thờng có 34, 55 hoặc 89 cánh Trong các bông hoa hớng dơng, những nụ nhỏ kết thành hạt ở

đầu bông hoa hớng dơng tuân theo d y số Fibonacci.ãy số:

Số Fibonacci có nhiều liên quan với tự nhiên và nghệ thuật Nó có rất nhiều tính chất hay Để nghiên cứu số Fibanacci, ngời ta đ lập ra tạp chí "ãy số: The Fibonacci Quarterly" xuất bản theo quý (4 số 1 năm) Lời bình 1: Sau khi tính số Fibonacci (số Lucas) trên máy tính, đặc biệt là sau các liên hệ của d y ãy số:

Fibonacci với các bài toán thực tế thì hứng thú học toán của học sinh chắc chắn sẽ tăng lên Những vấn đề toán học của d y Fibonacci: công thức nghiệm, các tính chất của d y Fibonacci, dễ dàng đãy số: ãy số: ợc tiếp thu

Ngoài ra, có thể phân tích thêm cho học sinh quan hệ giữa làm tính và làm toán qua chơng trình tính

số Fibonacci trên máy và công thức toán học của nó: Một học sinh lớp 6 đ có thể dùng máy để tính sốãy số:

Fibonacci, tuy nhiên, công thức này có tính truy hồi: để tìm đợc số sau, ta cần phải biết các số trớc Còn công thức tổng quát (1) cho ta tính số Fibanacci bất kỳ, chỉ cần biết số thứ tự của nó, nhng công thức này

đòi hỏi khái niệm lũy thừa và căn thức (lớp 9)

D y Fibonacci có rất nhiều tính chất thú vị Rất nhiều vấn đề của toán học (số nguyên tố trong d yãy số: ãy số:

số Fibonacci, số vàng, số  , đờng xoáy ốc, hình chữ nhật vàng, ) và nhiều bài toán của thực tế (số cánh hoa trên một bông hoa, bài toán cây đâm nhánh, mạch điện, ), của kiến trúc (mặt tiền của cung điện Pathénon), hội họa (bức tranh "Rừng thông") và âm nhạc, liên quan đến d y Fibonacci ãy số:

D y số Fibonacci còn có những tính chất đặc biệt khác rất đáng chú ý Thật vô cùng bất ngờ, tỷ sốãy số:

giữa hai số kế tiếp của d y đó tiến đến tỷ số vàng Các tỷ số đó là: ãy số: 1

1,

1

2,

2

3,

3

5,

5

8,

8

13,

13

21,

21

34,

34

55,

55

89,

89

114 Cần chú ý rằng các số đó ngày càng tiến gần tới số

2

1

5  Đây chính là tỷ số vàng

Kim tự tháp vĩ đại ở Giza đợc xây dựng từ nhiều trăm năm trớc Điện Parthenon của Hy lạp có tỷ số giữa chiều cao của một mặt với một nửa cạnh đáy là Tỷ số vàng Một bản viết trên giấy cỏ Rhind của ng ời

Ai Cập có nhắc tới Tỷ số thần thánh Các pho tợng cổ cũng nh các bức tranh thời kỳ phục hng đều biểu hiện các tỷ lệ bằng Tỷ số vàng, một tỷ số thần thánh

Tỷ số vàng đ đãy số: ợc tìm kiếm nh là biểu tợng của vẻ đẹp vợt xa các loài hoa hay các công trình kiến trúc Trong một bức th gửi Hội Fibonacci vài năm trớc đây, một thành viên đ miêu tả một ngãy số: ời trong khi tìm kiếm tỷ số vàng đ hỏi vài cặp vợ chồng để làm một cuộc thí nghiệm Ông ta yêu cầu ngãy số: ời chồng đo chiều cao rốn của vợ rồi chia cho chiều cao của vợ Ông khẳng định rằng đối với tất cả các cặp vợ chồng, tỷ

số đó đều xấp xỉ bằng 0,618

D y Fibonacci xuất hiện ở khắp nơi trong thiên nhiên Những chiếc lá trên một nhánh cây mọc cáchãy số:

nhau những khoảng tơng ứng với d y số Fibonacci Các số Fibonacci xuất hiện trong nhữg cánh hoa Hầuãy số:

hết các bông hoa có số cánh hoa là một trong các số: 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 hoặc 89 Hoa loa kèn có 3 cánh, hoa mao lơng vàng có 5 cánh, hoa phi yến thờng có 8 cánh, hoa cúc vạn thọ có 13 cánh, hoa cúc tây có 21 cánh, hoa cúc thờng có 34, 55 hoặc 89 cánh Trong các bông hoa hớng dơng, những nụ nhỏ kết thành hạt ở

đầu bông hoa hớng dơng đợc xếp thành hai tập các đờng xoắn ốc: một tập cuộn theo chiều kim đồng hồ, còn tập kia cuộn ngợc chiều kim đồng hồ Số các đờng xoắn ốc hớng thuận chiều kim đồng hồ thờng là 34, còn ngợc kim đồng hồ là 55 Đôi khi các số này là 55 và 89, thậm chí có thể là 89 và 144 Tất cả đều là số Fibonacci liên tiếp nhau và tỷ số của chúng tiến tới tỷ số vàng

Nếu một hình chữ nhật có tỷ lệ giữa hai cạnh là tỷ số vàng thì có thể chia đợc thành một hình vuông

và một hình chữ nhật Hình chữ nhật thứ hai này là đồng dạng với hình chữ nhật lớn, do đó tỷ số giữa hai cạnh của nó cũng banừg Tỷ số vàng.Tiếp tục chia hình chữ nhật bé thành một hình vuông và một hình chữ nhật có tỷ lệ giữa hai cạnh của hình chữ nhật cũng là tỷ số vàng Cứ tiếp tục nh vậy m i và nối các đỉnh kếãy số:

tiếp nhau của d y hình chữ nhật, ta đãy số: ợc một dờng xoắn ốc, hệt nh sự xắp xếp các nụ nhỏ của hoa hớng dơng hoặc sự phân bố những chiếc lá trên một nhành cây

Minh họa các số Fibonacci bằng các đờng xiên (Polia, trang129)

Giả sử b =1 Khi ấy ta có

a

a

a 1 hay a2  a10 Do đó

2

5

1 



a và biểu diễn liên phân số của nó có dạng nh sau:

10