Sử dụng Casio dạy dãy số

Chơng 2. D y truy hồiã Đ1. D y Fibonacciã 1. Bài toán thỏ đẻ con Giả sử thỏ đẻ con theo quy luật: Một đôi thỏ cứ mỗi tháng đẻ đợc một đôi thỏ con, mỗi đôi thỏ con sau 2 tháng tuổi lại bắt đầu sinh một đôi thỏ nữa, rồi sau mỗi tháng lại tiếp tục sinh ra một đôi thỏ nữa, v.v và giả sử tất cả các con thỏ đều sống. Hỏi nếu có một đôi thỏ nuôi từ tháng giêng và đẻ con vào tháng hai thì đến cuối năm có bao nhiêu đôi thỏ tất cả. Bài toán này đợc Fibonacci (1170-1250), một thơng gia ngời ý, cũng là một nhà toán học nổi tiếng nhất thời Trung cổ, viết trong cuốn sách Liber abaci (Sách về tính toán) năm 1202. Số thỏ tính theo tháng có thể đợc mô tả theo sơ đồ dới đây. Tháng 1: 1 1 đôi Tháng 2: 1 2 2 đôi Tháng 3: 3 đôi Tháng 4: 5 đôi Tháng 5: 8 dôi Tháng 6: 13 đôi Số thỏ của từng tháng sẽ là: Trong tháng giêng có một đôi thỏ số 1. Vào đầu tháng 2, đôi thỏ này đẻ một đôi thỏ số 2. Vậy trong tháng 2 có 2 đôi thỏ. Vào đầu tháng 3, đôi thỏ số 1 đẻ ra đôi thỏ số 3, còn đôi thỏ số 2 mới sau 1 tháng nên cha đẻ đợc. Vậy trong tháng 3 có 3 đôi thỏ. Vào đầu tháng 4, đôi thỏ số 1 đẻ ra đôi thỏ số 4, đôi thỏ số 2 đẻ ra đôi thỏ số 4.1, còn đôi thỏ số 3 mới đợc 1 tháng nên cha đẻ đợc. Vậy trong tháng 4 có 5 đôi thỏ. Vào đầu tháng 5, đôi thỏ số 1 đẻ ra đôi thỏ số 5.1, đôi thỏ số 2 đẻ ra đôi thỏ số 5.2, đôi thỏ số 3 đẻ ra đôi thỏ số 5.3, đôi thỏ số 4 và số 4.1 mới đợc 1 tháng cha đẻ đợc. Vậy trong tháng 5 có 8 đôi thỏ. Ta thấy rằng: Từ tháng giêng đến cuối tháng năm số đôi thỏ là: 1, 2, 3, 5, 8. Tiếp tục lý luận nh trên ta có d y số:ã 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144. D y số này có quy luật: mỗi số hạng, kể từ số hạng thứ ba, bằng tổng của hai số hạng đứng ngay trã ớc nó: 1 + 1 = 2; 2 + 1 = 3; 3 + 2 = 5; 5 + 3 = 8; 8 + 5 = 13; 13 + 8 = 21; 21 + 13 = 34; 34 + 21 = 55; 55 + 34 = 89; 89 + 55 = 144, Nếu gọi số thỏ của tháng thứ n là n u thì ta có công thức sau: 1 1u = , 2 1u = , 1 1n n n u u u + = + với mọi 2n . D y số trên sau này đã ợc Lucas gọi là d y Fibonacci. Những số hạng ã n u của d y trên đã ợc gọi là số Fibonacci. 2. Công thức tổng quát của số Fibonacci Số hạng thứ n của dãy Fibonacci đợc tính theo công thức 1 1 5 1 5 (( ) ( ) ) 2 2 5 n n n u + = . (1) Trớc tiên ta h y thử tính một vài giá trị của ã n u : Với 1n = : 1 1 1 1 1 5 1 5 (( ) ( ) ) 1 2 2 5 u + = = ; Với 2n = : 2 2 2 1 1 5 1 5 (( ) ( ) ) 1 2 2 5 u + = = ; Với 3n = : 3 3 2 1 1 5 1 5 1 1 3 5 3.5 5 5 1 3 5 3.5 5 5 (( ) ( ) ) ( ) 2. 2 2 8 8 5 5 u + + + + + = = = Với 4n = : 4 4 2 2 2 2 4 1 1 5 1 5 1 1 5 1 5 1 5 1 5 [( ) ( ) ] [( ) ( ) ][( ) ( ) ] 2 2 2 2 2 2 5 5 + + + = = + =u 1 2 2 1 5 1 5 1 2 5 5 1 2 5 5 ( ) ( ) 3 2 2 4 4 + + + + = + = + = Một điều thú vị là: Một biểu thức chứa căn thức khá cồng kềnh, nhng nó luôn là một số nguyên với mọi giá trị của n ! Cảnh báo: Nếu bạn lời biến đổi toán học, mà lạm dụng máy tính thì kết quả có thể chỉ đợc những số gần đúng. Bây giờ ta có thể chứng minh tính chất này bằng quy nạp nh sau. Giả sử công thức (1) đúng với mọi giá trị của n k . Khi ấy với 1n k= + ta có: 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 5 1 5 1 1 5 1 5 (( ) ( ) ) (( ) ( ) ) 2 2 2 2 5 5 1 1 5 2 1 5 2 [( ) (1 ) ( ) (1 )] 2 2 5 1 5 1 5 1 1 5 3 5 1 5 3 5 [( ) ( ) ( ) ( )] 2 2 5 1 5 1 5 1 1 5 (1 5) 1 5 (1 5) 1 1 5 1 5 [( ) ( ) ] [( ) ( ) ] 2 2 2 2 5 2(1 5) 2(1 5) 5 k k k k k k k k k k k k k k k u u u + + + + + = + = + = + = + + = + + + = = + + + + = = + Công thức (1) đợc chứng minh. 2. Tính số Fibonacci trên máy tính điện tử bỏ túi Ta có cách tìm số Fibonacci cực kỳ đơn giản trên máy tính bỏ túi nh sau: Quy trình tính số Fibonacci trên các máy Casio Quy trình 1 tính số Fibonacci trên máy đơn giản Casio LC-403 LB (gồm 8 chữ số trên màn hình): Bấm phím: 1 M+ Và lặp lại dãy phím: + MRC M- MRC M+ Quy trình 2 tính số Fibonacci trên máy đơn giản Casio LC-403 LB: Bấm phím: 1 M+ Và lặp lại dãy phím: + MRC M+ Quy trình 2b tính số Fibonacci trên máy đơn giản Casio LC-403 LB: Bấm phím: 1 M+ Và lặp lại dãy phím: M+ + MRC Thực hiện một trong hai quy trình này cho đến khi tràn màn hình, ta đợc 39 số Fibonacci đầu tiên: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025,121393, 196418, 317811, 514229, 830240, 1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169, 63245986. Quy trình 3 tính số Fibonacci trên Casio fx 200 hoặc Casio fx - 500A: Bấm phím: 1 Min Và lặp lại dãy phím: + SHIFT X M Quy trình 3b tính số Fibonacci trên Casio fx 200 hoặc Casio fx - 500A: Bấm phím: 1 Min Và lặp lại dãy phím: SHIFT X M + Giải thích: Bớc 1: Bấm phím 1, trên màn hình hiện số 1, (tức là ta đ khai báo ã 0 1u = ), và bấm phím Min (coi 1 1u = và đa 1 1u = vào ô nhớ). Bớc 2: Bấm phím + SHIFT X M để cộng với số trên màn hình với số đổi chỗ 0 1u = với số trong ô nhớ ( 1 1u = ). Trên màn hình vẫn hiện số 1, nhng số 1 này là 1 1u = , trong ô nhớ bây giờ là 0 1u = . Bớc 3: Bấm phím + ta sẽ đợc số Fibonacci 2 2u = . Lặp lại quá trình này ta sẽ lần lợt tính đợc các số hạng của số Fibônacci theo công thức tổng quát: 11 + += nnn uuu với mọi 2 n . Quy trình 4 tính số Fibonacci trên Casio fx 200 hoặc Casio fx - 500A: Bấm phím: 1 Min Và lặp lại d y phímã : + MR M+ 2 Quy trình 5 tính số Fibonacci trên Casio 570 MS, Casio 570 MS, Casio 570 W hoặc Casio fx- 4800P: Bấm phím: 1 SHIFT STO A + 1 SHIFT STO M Và lặp lại dãy phím: + ALPHA A SHIFT STO A + ALPHA M SHIFT STO M Thực hiện quy trình 3, quy trình 4 hoặc quy trình 5 trên các máy tơng ứng (có 10 chữ số), ta đợc 49 số Fibonacci đầu tiên (39 số ở trên và 10 số tiếp theo, số thứ 50 bằng 10 1258626902 , vợt quá khả năng hiển thị của màn hình): 102334155, 165580141, 267914296, 433494437, 701408733, 1134903170, 1836311903, 2971215073, 4807526976, 7778742049. Quy trình 6 tính số Fibonacci trên Casio fx - 112s hoặc Casio fx - 992s (máy có 12 chữ số): Bấm phím: 1 Min Và lặp lại dãy phím: SHIFT X M + Quy trình 7 tính số Fibonacci trên Casio fx - 112s hoặc Casio fx - 992s: Bấm phím: 1 Min Và lặp lại dãy phím: M+ + MR Quy trình 8 tính số Fibonacci trên Casio fx-7400G, Casio CFX-9850 PLUS hoặc Casio ALGEBRA FX 2.0 PLUS: Bấm phím: 1 ALPHA A EXE 1 ALPHA B EXE Và lặp lại dãy phím: ALPHA A + ALPHA B EXE ALPHA B EXE Thực hiện quy trình 6, quy trình 7 hoặc quy trình 8 trên các máy tơng ứng (hiển thị đợc 12 chữ số) cho đến khi tràn màn hình. Ta đợc 59 số Fibonacci đầu tiên (49 số ở trên và 10 số tiếp theo, số thứ 60 vợt quá 12 chữ số): 12586269025 , 20365011074, 32951280099, 53316291173, 86267571272, 139583862445, 225851433717, 365435296162, 59128672879, 956722026041. Lời bình 1: Công cụ nh nhau (trên cùng một máy), nhng quy trình 2, quy trình 4 hoặc quy trình 7 đòi hỏi ít thao tác hơn (mỗi phép lặp chỉ cần bấm 3 phím so với 6 phím của quy trình 1, quy trình 3 hoặc quy trình 6), do đó ít nhầm lẫn hơn và thời gian thực hiện bằng nửa thời gian tính theo chơng trình 1, quy trình 3 hoặc quy trình 6. Chú ý: Tất nhiên, một quy trình trên có thể thực hiện trên các máy khác (không liệt kê). ở trên chúng ta chỉ liệt kê máy đặc biệt cho quy trình ấy thôi. Quy trình 9 (trên máy Calculator trong Windows): Bấm phím: 1 M+ Và lặp lại d y phímã : + MR = M+ Ta sẽ đợc 159 số Fibonacci đầu tiên trên máy Calculator (hiển thị đợc 33 chữ số trên màn hình) là 59 số ở trên và 100 số tiếp theo, dới đây là các số Fibonacci thứ 60 đến 100. Do số Fibonacci thứ 100 mới chỉ có 21 chữ số nên ta có thể tiếp tục tính số thỏ cho tới số Fibonacci thứ 159. 1548008755920, 2504730781961, 4052739537881, 6557470319842, 10610209857723, 17167680177565, 27777890035288, 44945570212853, 72723460248141, 11766930460994, 190392490709135, 308061521170129, 498454011879264, 806515533049393, 1304969544928657, 2111485077978050, 3416454622906707, 5527939700884757, 8944394323791464, 14472334024676221, 23416728348467685, 37889062373143906, 61305790721611591, 99194853094755497, 160500643816367088, 259695496911122585, 420196140727489673, 679891637638612258, 1100087778366101931, 1779979416004714189, 2880067194370816120, 4660046610375530309, 7540113804746346429, 12200160415121876738, 19740274219868223167, 31940434634990099905, 51680708854858323072, 83621143489848422977, 135301852344706746049, 218922995834555169026, 354224848179261915075. Quy trình 10 tính số Fibonacci 11 u trên Casio fx - 500A theo công thức nghiệm tổng quát 1 1 5 1 5 (( ) ( ) ) 2 2 5 n n n u + = Thực hiện: 1 + 5 = ữ 2 = SHIFT y x 10 = [( [( 1 5 )] ữ 2 )] SHIFT y x 10 = ữ 5 = (54.99999999) Quy trình 11 Tính số Fibonacci n u trên Casio fx-570 MS theo công 3 thức nghiệm tổng quát: ( ( ( 1 + 5 ) ữ 2 ) ^ ALPHA X ( ( 1 5 ) ữ 2 ) ^ ALPHA X ) ữ 5 Bấm CALC máy hiện X? Thay X bằng các số tự nhiên từ 1 đến 49 ta đợc các số trên. Lời bình 4: Máy Casio fx-570MS và một số máy khác tiện lợi hơn Casio fx 500A vì chỉ cần lập trình(khai báo công thức) một lần, sau đó sau mỗi lần bấm phím CALC chỉ cần thay X bằng một trong các số tự nhiên từ 1 đến 49, ta sẽ đợc các n u tơng ứng, trong khi đó, với Casio fx 500A, mỗi lần cần tính số hạng thứ n u nào đó ta lại phải lặp lại công thức từ đầu (máy không lu đợc biểu thức cần tính). Lời bình 5: Tính theo công thức nghiệm tổng quát: 1 1 5 1 5 (( ) ( ) ) 2 2 5 n n n u + = Ta chỉ đợc số gần đúng, nếu không chú ý có thể dẫn đến đáp số sai (số thỏ không phải là số nguyên, các số Fibonacci 45 u , , 49 u bị sai một đơn vị- sai một con thỏ). Dới đây là bảng đáp số tính gần đúng theo công thức (1) và các giá trị chính xác (tính theo các quy trình bấm phím). n u (1) Số đúng n u (1) Số đúng 5 u 54,999 55 41 u 165580140,9 165580141 15 u 609,99 610 42 u 267914295,9 267914296 16 u 986,99 987 43 u 433494436,9 433494437 19 u 4180,99 4181 44 u 701408732,9 701408733 20 u 6764,99 6765 45 u 1134903169 1134903170 25 u 75024,99 75025 46 u 1836311902 1836311903 38 u 39088168,99 39088169 47 u 2971215072 2971215073 39 u 63245985,99 63245986 48 u 4807526975 4807526976 40 u 102334154,9 102334155 49 u 7778742048 7778742049 Nhận xét: Không nhất thiết phải bắt đầu từ hai số hạng đầu là 1 1u = và 2 1u = . Có thể bắt đầu từ hai số hạng liên tiếp bất kỳ của d y Fibonacci, thí dụ, sau khi tính trên máy ã Casio LC-403 LB đợc 38 số, chuyển sang máy Casio fx- 500A tính tiếp theo chớng trình 4 nh sau. Trớc tiên khai báo số hạng thứ 37 và 38 của d y Fibonacci:ã Bấm phím: 24157817 M+ 39088169 Và lặp lại dãy phím: + MR M+ Ta lại đợc các số hạng tiếp theo của d y Fibonacci.ã Lời bình 6: Có thể thiết kế cuộc thi "chạy tiếp sức" trên cơ sở bài toán tìm số Fibonacci. Mỗi đội gồm 5 máy: Trớc tiên cho máy Casio LC-403 LB chạy đợc 39 số, tiếp theo chuyển sang Casio fx- 500A, đợc thêm 10 số, sau đó chuyển sang Casio fx - 992s đợc thêm 10 số nữa. Cuối cùng chuyển sang Caculator (trong Window) thì có thể tìm đợc 159 số Fibonacci. Một máy dùng để tính số Fibonacci theo công thức tổng quát. Các tính chất của d y Fibonacciã Dãy Fibonacci có rất nhiều tính chất hay, dới đây là một số tính chất quen thuộc. Nhiều tính chất có thể mở rộng cho dãy Lucas. Tính chất 1. 1 1 . . m k m k k m k u u u u u + = + hay 1 1n m n m n m u u u u u + + = + . Tính chất này có thể chứng minh bằng quy nạp theo k hoặc bằng tính toán theo công thức (1). Với 1n = ta có: Để áp dụng tính chất này, ta cần biết các số hạng bên phải. Nói chung ta nên chọn các số n và m gần nhau để tính toán đợc thuận tiện. Thí dụ, cần tính số thỏ sau 2 năm (24 tháng) ta có thể chọn 12n m= = và thay vào công thức trên để tính: 24 12 12 11 12 12 13 12 11 13 . . ( ) 144(89 233) 46368u u u u u u u u u + = = + = + = + = . Muốn tính số thỏ sau 25 tháng ta làm nh sau: 2 2 2 2 25 13 12 12 12 13 13 12 13 . . 144 233 75025u u u u u u u u + = = + = + = + = . Tính chất 2. 2 2 2 1 1n n n u u u + + = + . Chứng minh: Suy ra từ tính chất 1 nh sau: 2 2 2 1 ( 1) 1 1 1 . . n n n n n n n n n u u u u u u u u + + + + + + = = + = + . 4 áp dụng: Muốn tính số thỏ sau 25 tháng ta làm nh sau: 2 2 2 2 25 2.12 1 12 13 144 233 75025u u u u + = = + = + = . Nhận xét: Các tính chất 1-2 cho phép tính các số hạng của d y Fibonacci mà không nhất thiết phảiã biết tất cả các số hạng trong d y Fibonacci trã ớc nó. Các ví dụ trên chỉ ra rằng, để tính đợc 25 u ta chỉ cần biết 12 u và 13 u , để tính đợc 24 u , ta chỉ cần biết 11 u , 12 u và 13 u . Nếu cha biết các số 11 u , 12 u và 13 u thì ta lại một lần nữa sử dụng hai tính chất trên để hạ chỉ số của số hạng (biểu diễn các số hạng có chỉ số cao qua các số hạng có chỉ số thấp). Hơn nữa, các tính chất trên còn có thể sử dụng để tính các số hạng với chỉ số cao mà giá trị của số hạng ấy lớn đến mức tràn màn hình. Với số Fibonacci lớn hơn 49, ta không tính đợc trên máy tính bỏ túi vì tràn màn hình. Nhng ta có thể tính các số Fibonacci nhỏ hơn rồi áp dụng công thức trên để tính số Fibonacci lớn (bằng cách cộng trên giấy hoặc dùng Calculator cộng hai kết quả cuối cùng). Thí dụ: Tính số thỏ sau 50 tháng: 2 2 50 24 26 24 25 25 26 25 24 26 12 13 24 26 2 2 . . ( ) ( )( ) (144 233 )(46368 121393) (20376 54289)167761 20376 167761 54289 167761 3416788287 9107576929 12524365216 u u u u u u u u u u u u u + = = + = + = + + = = + + = + = = ì + ì = + = = Tính chất 3. 2 1 1 . ( 1) n n n n u u u + = . Tính chất 4. 1 3 5 2 1 2 n n u u u u u + + + + = . Tính chất 5. Với mọi n ta có: 4 2 2 : 3 n n n n n v u u u u + + = = . Nghĩa là: biểu thức 4 2 2 . n n n n u u u u + + luôn bằng hằng số (bằng 3) với mọi n . Chứng minh: Thật vậy, 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 1 3 1 3 2 1 3 3 3 2 1 3 3 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n v u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u v + + + + + + + + + + + + + + = + = + = = = = = = Suy ra: 3 7 1 5 3 21.1 8.3 3 n v v u u u u= = = = . Tính chất 6. (Toán học & Tuổi trẻ, số 12-1994, bài T6/206) Với mọi n số 2 2 2 4 4 9 n n n u u u u + + + là một số chính phơng. Chứng minh: Theo tính chất 3 ta có: 2 2 2 4 2 2 2 4 9 4 ( 3) 9 (2 3) n n n n n n n n n n u u u u u u u u u u + + + + + + = + = . Tính chất 7. (Toán học & Tuổi trẻ, số 12-1994, bài T6/206) Với mọi n số 2 2 2 1 4 n n k n k l n k l k k u u u u u u + + + + + + + là một số chính phơng. Chứng minh: Tơng tự tính chất 4 nhờ sử dụng tính chất (1). Tính chất 8. 1 1 lim n n n u u + = và 2 1 lim n n n u u + = , trong đó 1 và 2 là nghiệm của phơng trình bậc hai: 2 1 0x x = , tức là: 1 1 5 1,61803 2 + = và 2 1 5 0,61803 2 = . Trớc khi chứng minh ta có thể nhờ máy tính để kiểm tra tính chất này. Thí dụ, 46 45 2971215073 1.618033989 1836311903 u u = = ; 47 46 4807526976 1.618033989 2971215073 u u = = ; 48 47 7778742049 1.618033989 4807526976 u u = = . Đến đây, ta có thể tin tởng chắc chắn tính chất trên là đúng. Về mặt toán học, ta dễ dàng chứng minh 1 1 lim n n n u u + = và 1 2 lim n n n u u + = nhờ công thức nghiệm (1). Bài tập 2 (Vô địch Toán Moscow lần thứ 9, 1946) Trong số 8 10 1+ số hạng đầu tiên của d yã Fibonacci, có số nào tận cùng bằng bốn số 0 không? Balatsơ đ giải bài toán khó hơn: Đánh số tất cả các số hạng tận cùng bằng bốn chữ số 0 và đ đã ã ợc giải nhất. Đ2. D y Fibonacci suy rộng ã 1. Dãy Lucas D y Lucas là d y số tổng quát của d y Fibonacci: các số hạng của nó tuân theo quyã ã ã luật: 1 u a= , 2 u b= , 1 1n n n u u u + = + với mọi 2n , trong đó a và b là hai số nào đó. Với 1a b= = thì d y Lucas trở thành d y Fibonacci.ã ã Ta cũng có thể tính số hạng của d y Lucas rất đơn giản nhờ máy tính điện tử bỏ túi ã fx 500A nh sau. 5 Quy trình 1 tính số Lucas trên Casio fx 500A: Bấm phím: a M+ b Và lặp lại dãy phím: M+ + MR Quy trình 2 tính số Lucas trên Casio fx 500A: Bấm phím: a Min b Và lặp lại dãy phím: + SHIFT X M Quy trình 3 tính số Lucas trên Casio fx 500A: Bấm phím: b Min a Và lặp lại d y phímã : SHIFT X M + Cho 1 u a= , 2 u b= các giá trị số nào đó, sau khi thực hiện các bớc lặp theo một trong các quy trình trên ta đợc d y Lucas.ã Quy trình tính số Lucas trên Casio 570 MS: Bấm phím: b SHIFT STO A + a SHIFT STO M Và lặp lại dãy phím: + ALPHA A SHIFT STO A + ALPHA M SHIFT STO M Thí dụ 1. Với 1 1u = và 2 3u = : 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29,47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, 5778, 9349,15127, 24476, 39603, 64079, 103682, 167761, 271443, 439204, 710647, 1149851, 1860498, 3010349, 4870847, 781196, 12752043, 20633239, Thí dụ 2. Với 1 3u = , 2 4u = : 1, 5, 6, 11, 17, 28, 45, 73, 118, 191, 309, 500, 809, 1309, 2118, 3427, 5545, 8972, 14517, 23489, Thí dụ 3. Với 1 1u = , 2 5u = : -1, -5, -6,-11,17,-28, Thí dụ 4. Với 1 1u = , 2 5u = : 1, -5, -4, -9, -13, -22, -35, -57, -92, -149, 2. Dãy Fibonacci suy rộng 2.1. Dãy Fibonacci (Dãy Lucas) suy rộng tuyến tính dạng 1 u a= , 2 u b= , 1 1n n n u Au Bu + = + với mọi 2n . Quy trình tính số Fibonacci suy rộng dạng 1 1n n n u Au Bu + = + trên Casio fx- 500A: Bấm phím: A ì b Min + B ì a = Và lặp lại dãy phím: SHIFT X M ì B + MR ì A = Giải thích: Sau khi thực hiện A ì b Min + B ì a = , máy đa 2 b u= vào trong ô nhớ và tính tổng 2 1 Ab Ba Au Bu+ = + . Sau khi bấm phím = , trên màn hình sẽ là số hạng thứ ba của d y: ã 3 2 1 :u Au Bu= + . Sau khi thực hiện đổi chỗ các số trên màn hình và ô nhớ: SHIFT X M , trên màn hình sẽ là 2 b u= , còn trong ô nhớ sẽ là 3 u . Sau khi thực hiện ì B + , trên màn hình sẽ là 2 Bu . Sau khi thực hiện MR ì A , trên màn hình sẽ là 3 Au . Sau khi bấm phím = , máy tính tổng 3 2 Au Bu+ , trên màn hình sẽ là 4 3 2 :u Au Bu= + . Nh vậy, sau một vòng lặp, ta có số hạng 4 u trên màn hình và 3 u trong ô nhớ. Lại thực hiện vòng lặp SHIFT X M ì B + MR ì A = trớc tiên ta đổi 3 u trong ô nhớ ra màn hình và 4 u trên màn hình vào ô nhớ. Sau đó lấy 3 u (lúc này trên màn hình) nhân với B và cộng với MR (là 4 u ) nhân với A ta đợc 5 4 3 :u Au Bu= + trên màn hình và 4 u trong ô nhớ. Tiếp tục vòng lặp ta đợc d y sốã 1 1n n n u Au Bu + = + . Thí dụ. Với 4A = , 5B = , 1 2u a= = và 2 3u = , 1 1 4 5 n n n u u u + = + , thực hiện quy trình 5 ì 2 + 4 ì 3 Min = lặp lại d y phím: ã SHIFT X M ì 5 + MR ì 4 = ta đợc d y: ã 2, 3, 22,103, 522, 2603, 13022, 65103, 325522, 1627603, 8138022, 40690103, 203450522, 1017252603, 5086263022, 10 2.54313151 (tràn màn hình). 6 Quy trình tính số hạng của d y Fibonacci suy rộng dạng ã 1 u a= , 2 u b= , 1 1n n n u Au Bu + = + trên Casio fx-570 MS: Bấm phím: b SHIFT STO A ì A + B ì a SHIFT STO B Và lặp lại dãy phím: ì A + ALPHA A ì B SHIFT STO A ì A + ALPHA B ì B SHIFT STO B Giải thích: Sau khi thực hiện b SHIFT STO A ì A + B ì a SHIFT STO B trong ô nhớ sẽ A là 2 b u= , máy tính tổng 3 2 1 :u Ab Ba Au Bu= + = + và đẩy vào trong ô nhớ B , trên màn hình cũng là 3 2 1 :u Ab Ba Au Bu= + = + . Sau khi thực hiện ì A + ALPHA A ì B SHIFT STO A máy tính tổng 4 3 2 :u Au Bu= + và đa vào ô nhớ A . Nh vậy, ta có số hạng 4 u trên màn hình và trong ô nhớ A , còn trong ô nhớ B là 3 u . Sau khi thực hiện ì A + ALPHA B ì B SHIFT STO B ta có số hạng 5 u trên màn hình và trong ô nhớ B , còn trong ô nhớ A là 4 u . Tiếp tục vòng lặp ta đợc d y số ã 1 1n n n u Au Bu + = + . Thí dụ. Với 4A = , 5B = , 1 2u a= = và 2 3u b= = , 1 1 4 5 n n n u u u + = + , thực hiện quy trình: 3 SHIFT STO A ì 4 + 5 ì 2 SHIFT STO B và lặp lại d y phím: ã ì 4 + ALPHA A ì 5 SHIFT STO A ì 4 + ALPHA B ì 5 SHIFT STO B ta đợc d y: 2, 3, 22,103, 522, 2603, 13022, 65103, 325522, 1627603, 8138022, 40690103, 203450522,ã 1017252603, 5086263022, 10 2.54313151 (tràn màn hình). Nhận xét: Hai quy trình trên hai máy cùng đi đến một kết quả nh nhau, nhng làm trên Casio fx- 570 MS tiện hơn vì máy hiện hai dòng chữ cho ta thấy kết quả của phép toán trớc, không gây nhầm lẫn. Bài tập 1 (Thi học sinh giỏi Toán Quốc gia THPH 1998-19992) Cho d y số ã { } 0 n n x = và { } 0 n n y = đợc xác định nh sau: 0 1x = , 1 4x = và 2 1 3 n n n x x x + + = với 0,1,2,3, n = 0 1y = , 1 2y = và 2 1 3 n n n y y y + + = với 0,1,2,3, n = Chứng minh rằng 2 2 5 4 0 n n x y + = với mọi 0,1,2,3, n = Giả sử ,a b là các số nguyên dơng mà 2 2 5 4 0a b + = . Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên k sao cho k x a= và k y b= . Bài tập 2 (Olympic Toán Singapore 2001) Cho 1 2000a = , 2 2001a = và 2 1 2 3 n n n a a a + + = + với 1,2,3, n = Tìm giá trị của 100 a . Bài tập 3 (T1/265, THTT 11-1999) Cho 1 1a = , 2 3a = và 2 1 2 1 n n n a a a + + = + với 1,2,3, n = Chứng minh rằng 2 4 . 1 n n A a a + = + là số chính phơng. Bài tập 4 (T8/267, THTT, 1-2000) Cho d y số ã 0 3u = , 1 11u = và 2 1 2 7 n n n u u u + + = + với 0,1,2,3, n = Tìm các số nguyên dơng lẻ a sao cho với các số nguyên dơng m và n tuỳ ý luôn tìm đợc số nguyên dơng k thỏa m n ã k n u a chia hết cho 2 m . Bài tập 5 (T6/268, THTT-2-2000) Cho 0 a a= , 1 a b= và 2 1n n n a da a + + = với 0,1,2,3, n = , trong đó ,a b là hai số nguyên khác 0 còn d là số thực. Tìm mọi giá trị của d để n a là số nguyên với mọi 0,1,2,3, n = Bài tập 6 (Olympic Toán Ba Lan 1995) Cho số nguyên tố 3p . Xét d y ã ( ) n a xác định bởi n a n= với 0,1,2,3, , 1n p= ; 1n n n p a a a = + . Tìm số d khi chia 3 p a cho p . Bài tập 7 (T7/270, THTT 4-2000) Cho d y số ã ( ) n u đợc xác định bởi: 0 1u = , 1 1u = và 1 1n n n u ku u + = với mọi 0,1,2,3, n = Tìm tất cả các giá trị của k để d y ã ( ) n u là tuần hoàn. 7 Bài tập 8 (T6/278, THTT 12-2000) Cho d y số ã ( ) n u đợc xác định bởi: 0 1u = , 1 1u = và 2 1 1999 n n n u u u + + = với mọi 0,1,2,3, n = Tìm tất cả các số tự nhiên n để d y ã n u là số nguyên tố. Bài tập 9 (T6/301, THTT 7-2001) Cho d y số ã ( ) n u đợc xác định bởi: 1 5u = , 2 11u = và 1 1 2 3 n n n u u u + = với mọi 2,3, n = Chứng minh rằng: 1) D y số trên có vô số số dã ơng và số âm. 2) 2002 u chia hết cho 11. Bài tập 11 (T1/219, THTT 1-1996) Chứng minh rằng: 1) Nếu n là số tự nhiên mà 2 1 3 n là tích của hai số tự nhiên liên tiếp thì n là tổng bình phơng của hai số tự nhiên liên tiếp. 2) D y số ã ( ) n u đợc xác định bởi: 0 1u = , 1 13u = và 2 1 14 n n n u u u + + = với mọi 0,1,2,3, n = có tính chất: các số hạng n u của d y là tổng bình phã ơng của hai số tự nhiên liên tiếp, hơn nữa 2 1 3 n u là tích của hai số liên tiếp. Bài tập 12 (Thi học sinh giỏi THPT 1995) D y số ã ( ) n u đợc xác định bởi: 0 1u = , 1 3u = và 1 2 1 9 , 2 9 5 , 2 1 n n n n n u u n k u u u n k + + + + = = + = + với mọi 0,1,2,3, n = Chứng minh rằng: 1) 2000 2 1995 k k u = chia hết cho 20. 2) 2 1n u + không phải là số chính phơng với mọi n. 2.2. Dãy Fibonacci (dãy Lucas) suy rộng bậc hai dạng 1 u a= , 2 u b= , 1 2 2 1 n n n u u u + = + với mọi 2n . Quy trình tính số hạng của d y ã 1 u a= , 2 u b= , 1 2 2 1 n n n u u u + = + trên Casio fx- 500A: Bấm phím: a SHIFT 2 x + b Min SHIFT 2 x = Và lặp lại dãy phím: SHIFT X M SHIFT 2 x + MR SHIFT 2 x = Thí dụ. Với 1 2 1u u= = , 1 2 2 1 n n n u u u + = + , thực hiện quy trình trên ta đợc d y:ã 1,1, 2, 5, 29, 866, 750797, 11 5.636968851 . Quy trình tính số hạng của d y ã 1 u a= , 2 u b= , 1 2 2 1 n n n u u u + = + trên Casio fx-570 MS: Bấm phím: b SHIFT STO A 2 x + a 2 x SHIFT STO B Và lặp lại dãy phím: 2 x + ALPHA A 2 x SHIFT STO A 2 x + ALPHA B 2 x SHIFT STO B Bài tập 13 (Thi vô địch Toán Lêningrat, 1967) Cho d y ã 1 2 1u u= = , 2 2 1 1 n n n u u u + = + . Tìm số d của n u chia cho 7. 2.3. Dãy Fibonacci phi tuyến 1 u a= , 2 u b= , 1 1 2 1 ( ) ( ) n n n u F u F u + = + với mọi 2n , trong đó 1 ( )F x và 2 ( )F x là hai biểu thức toán học của biến số x . Quy trình tính số hạng của d y ã 1 u a= , 2 u b= , 1 1 2 1 ( ) ( ) n n n u F u F u + = + trên Casio fx- 500A: Khai báo b Min 8 Tính 1 ( )F b + 2 ( )F a = ta đợc 2 u b= trong ô nhớ và 3 1 2 2 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( )u F u F u F b F a= + = + trên màn hình. Và lặp lại dãy phím: SHIFT X M 2 F + 1 F MR = Quy trình tính số hạng của d y ã 1 u a= , 2 u b= , 1 1 2 1 ( ) ( ) n n n u F u F u + = + trên Casio fx-570 MS: Bấm phím: b SHIFT STO A 1 F + 1 ( )F a SHIFT STO B Và lặp lại dãy phím: 2 F + ALPHA A 1 F SHIFT STO A 2 F + ALPHA B 1 F SHIFT STO B 2.4. Dãy truy hồi tổng quát 1 1 ( ) k n i i i u F u + = = với mọi n k , trong đó 1 u , 2 u , , k u cho trớc, ( ) i F x , 1, ,i n= là các biểu thức toán học của biến số x . Khi 3k ta khó có thể sử dụng Casio fx- 500A đợc vì chỉ có 1 ô nhớ + màn hình. Tuy nhiên, có thể sử dụng Casio fx-570 MS để tính d y truy hồi tổng quát trên (với ã 10k ) vì Casio fx-570 MS có đến 9 ô nhớ. Thí dụ. Dãy Fibonacci bậc 3: 1 2 1u u= = , 3 2u = , 1 1 2n n n n u u u u + = + + với 3n . Quy trình tính số hạng của d y ã 1 2 1u u= = , 3 2u = , 1 1 2n n n n u u u u + = + + trên Casio fx-570 MS: Đa 2 u vào A : 1 SHIFT STO A Đa 3 u vào B : 1 SHIFT STO B Tính 4 u : ALPHA B + ALPHA A + 1 SHIFT STO C ( 4 u ) Và lặp lại dãy phím + ALPHA B + ALPHA A SHIFT STO A ( 5 u ) + ALPHA C + ALPHA B SHIFT STO B ( 6 u ) + ALPHA A + ALPHA C SHIFT STO C ( 7 u ) Ta đợc d y: 1,1,1,3,5,9,17,31,57,105,193,355,653, ã Bài tập (Thi trắc nghiệm học sinh giỏi toán toàn nớc Mỹ, 1970) Nếu ( )F n đợc tính theo công thức: (1) (2) (3) 1 F F F= = = và ( ). ( 1) 1 ( 1) ( 2) F n F n F n F n + + = với 3n . Thế thì: (6)F bằng: (A) 2; (B) 3; (C) 7; (D) 11; (E) 26. Đ3. D y Fibonacci và các vấn đề liên quanã D y Fibonacci khá nổi tiếng. Nó liên quan tới nhiều vấn đề khác của toán học và thực tế: D y Lucas,ã ã số vàng, sắp xếp các lá cây trên một thân cây, 1. Số vàng Liên quan giữa số Fibonacci và số vàng đợc thể hiện qua bài thi sau đây Thi tú tài Paris - Cretpell - Versailes (Pháp, 1989 - 1990, Ban A1 - Ban văn chơng) Platon có nói: "Số là bậc cao nhất của tri thức con số ấy chính là tri thức". Con số ấy là "số vàng" mà ngời ta thờng gặp trong kiến trúc, âm nhạc, Nó có rất nhiều tính chất. Số vàng, ký hiệu là , là nghiệm d- ơng của phơng trình 2 1x x= + . 1) Tính . H y cho giá trị gần đúng (sai kém ã 2 10 ) của . 2) Sự tham gia của số vàng vào kiến trúc Mặt tiền của điện Pathénon có dạng hình chữ nhật ABCD . Nếu ta dựng hình vuông AEFD bên trong hình chữ nhật thì ta có: AD EB AB BC = (1) Hình chữ nhật ABCD thỏa m n (1) thì đã ợc gọi là hình chữ nhật vàng. a) Cho 1AD AE= = và AB a= . Chứng tỏ a = . Tính giá trị gần đúng (sai kém 2 10 ) của EB . b) Chứng tỏ ABCD là hình chữ nhật vàng thì EBCF cũng là hình chữ nhật vàng. 3) Khảo sát các lũy thừa của . Từ 2 1 = + (2) a) Chứng minh: 3 2 1 = + . 9 Chứng minh: 4 4 4 a b = + , trong đó 4 a và 4 b là các số tự nhiên. b) Chứng minh: n n n a b = + ( n là số tự nhiên và 2n ), trong đó n a và n b là các số tự nhiên. Tính 1n + theo n a , n b và rồi suy ra: 1 1 n n n n n a a b b a + + = + = với mọi 2n . c) Dùng các kết quả trên h y điền các ô trống trong bảng dã ới đây: n 1 2 3 4 5 6 7 8 n a 1 1 n b 0 1 Lời giải:1) Nghiệm dơng của 2 1x x= + là 1 5 2 + = . Máy tính bỏ túi cho: 1,61803 1,62 . 2) a) Ta có: AD EB AB BC = hay 1 1 1 a a = . Suy ra 2 1a a = hay a = . Giá trị của EB : 1 5 5 1 1 1 1 0,62 2 2 EB a + = = = = . b) ABCD là hình chữ nhật vàng nên 1 1AD AB a = = . Đối với hình chữ nhật EBCF ta có (theo (1)): 1EB AD BC AB = = . Vậy EBCF cũng là hình chữ nhật vàng. 3) a) Ta có: 2 1 = + . Suy ra 3 2 ( 1) 2 1 = + = + + = + . 4 3 2 (2 1) 2 2( 1) 3 2 = = + = + = + + = + b) Giả sử ta có: n n n a b = + ( n là số tự nhiên và 2n ), trong đó n a và n b là các số tự nhiên. Khi ấy 1 2 . ( ) ( 1) ( ) . n n n n n n n n n n n a b a b a b a b a + = = + = + = + + = + + hay 1 1 n n n n n a a b b a + + = + = với mọi 2n . c) Bảng: n 1 2 3 4 5 6 7 8 n a 1 1 2 3 5 8 13 21 n b 0 1 1 2 3 5 8 13 Một số tính chất khác của số vàng: 1) Ta có: 1 2 1 + = , 1 2 1 ì = , 2 1 2,6183 = + . 2) Liên hệ giữa tỷ số vàng với góc lợng giác: Góc (radian) Góc (độ) 2 (2sin) 2 (2cos) 20 0 9 1 2 2 + 1 2 2 + + 10 0 18 2 1 + 1 2 + 3 20 0 27 2 2 2 + 2 2 2 + + 5 0 36 2 2 + 1 1 + 4 0 45 1 2 + 1 2 + 0 81 1 2 2 + + 1 2 2 + 10 [...]... thông") và âm nhạc, liên quan đến d ãy Fibonacci Dãy số Fibonacci còn có những tính chất đặc biệt khác rất đáng chú ý Thật vô cùng bất ngờ, tỷ số 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 giữa hai số kế tiếp của dãy đó tiến đến tỷ số vàng Các tỷ số đó là: , , , , , , , , , , 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 114 Cần chú ý rằng các số đó ngày càng tiến gần tới số 5 1 Đây chính là tỷ số vàng 2 Kim tự tháp vĩ đại ở Giza đợc xây... pháp khác 12 Biểu diễn số nguyên dơng Một số nguyên dơng có bao nhiêu cách biểu diễn dới dạng tổng của các số nguyên dơng? Trờng hợp đặc biệt: N=4 N=5 Tổng quát hóa Bài 2.2 (Thi học sinh giỏi lớp 9 toàn quốc lần 11, 1972) Tìm các số tự nhiên mà khi nhân mỗi số ấy với số 12345679 đợc số toàn chữ số 9 (trớc hết tìm số tự nhiên nhỏ nhất, sau đó tìm dạng tổng quát) Bảng Plimton 322 Số 1 1 1 1 (laibnitz)... số nguyên dơng Một số nguyên dơng có bao nhiêu cách biểu diễn dới dạng tổng của các số nguyên dơng? Trờng hợp đặc biệt: N=4 N=5 Tổng quát hóa Bài 2.2 (Thi học sinh giỏi lớp 9 toàn quốc lần 11, 1972) Tìm các số tự nhiên mà khi nhân mỗi số ấy với số 12345679 đợc số toàn chữ số 9 (trớc hết tìm số tự nhiên nhỏ nhất, sau đó tìm dạng tổng quát) Bảng Plimton 322 Tài liệu dẫn Nguyễn Trờng Chấng: Hớng dẫn sử. .. trớc Còn công thức tổng quát (1) cho ta tính số Fibanacci bất kỳ, chỉ cần biết số thứ tự của nó, nhng công thức này đòi hỏi khái niệm lũy thừa và căn thức (lớp 9) Dãy Fibonacci có rất nhiều tính chất thú vị Rất nhiều vấn đề của toán học (số nguyên tố trong d ãy số Fibonacci, số vàng, số , đờng xoáy ốc, hình chữ nhật vàng, ) và nhiều bài toán của thực tế (số cánh hoa trên một bông hoa, bài toán cây... dẫn sử dụng máy tính bỏ túi CASIO fx 500A, fx 95B, fx 82SX, Công ty xuất nhập khẩu Bình Tây, 2000 Nguyễn Trờng Chấng: Giải phơng trình và hệ phơng trình bằng máy tính bỏ túi Nhà xuất bản Giáo dục, 1999 L Thanh Sơn: Những ứng dụng tuyệt vời của máy Casio loại lập trình đợc fx-4500 Nhà xuất bản Thanh niên, 2000 Nguyễn Thế Thạch, Trần Văn Vuông: Sử dụng máy tính điện tử bỏ túi Casio fx 220 và Casio fx...2 Dãy Fibonacci trong thiên nhiên Dãy Fibonacci xuất hiện ở khắp nơi trong thiên nhiên Những chiếc lá trên một nhánh cây mọc cách nhau những khoảng tơng ứng với dãy số Fibonacci Các số Fibonacci xuất hiện trong nhữg cánh hoa Hầu hết các bông hoa có số cánh hoa là một trong các số: 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 hoặc 89 Hoa loa kèn có 3 cánh, hoa... hớng dơng, những nụ nhỏ kết thành hạt ở đầu bông hoa hớng dơng tuân theo dãy số Fibonacci Số Fibonacci có nhiều liên quan với tự nhiên và nghệ thuật Nó có rất nhiều tính chất hay Để nghiên cứu số Fibanacci, ngời ta đã lập ra tạp chí "The Fibonacci Quarterly" xuất bản theo quý (4 số 1 năm) Lời bình 1: Sau khi tính số Fibonacci (số Lucas) trên máy tính, đặc biệt là sau các liên hệ của d ãy Fibonacci với... nhận đợc tỷ số vàng bằng cách dùng máy tính lặp lại nhiều lần phép toán 1/1+1/1+1/1 Số nghịch đảo của tỷ số vàng là một số giống nh nó nhng bé hơn 1 đơn vị ( 1 5 1 5 +1 = = 1 ) x 2 2 Tính tổng: Bộ ba số tam giác: Tìm bộ ba số nguyên dơng thỏa mãn: x 2 + y 2 = z 2 1 + 9 + 25 + + (2n 1) 2 1 + 27 + 125 + + (2n 1)3 22 + 52 + 82 + + (3n 1) 2 Tam giác Pascan: Xét tổng nằm trên cùng một dãy của tam... học của dãy Fibonacci: công thức nghiệm, các tính chất của dãy Fibonacci, dễ dàng đ ợc tiếp thu Ngoài ra, có thể phân tích thêm cho học sinh quan hệ giữa làm tính và làm toán qua chơng trình tính số Fibonacci trên máy và công thức toán học của nó: Một học sinh lớp 6 đ ã có thể dùng máy để tính số Fibonacci, tuy nhiên, công thức này có tính truy hồi: để tìm đợc số sau, ta cần phải biết các số trớc... Giza đợc xây dựng từ nhiều trăm năm trớc Điện Parthenon của Hy lạp có tỷ số giữa chiều cao của một mặt với một nửa cạnh đáy là Tỷ số vàng Một bản viết trên giấy cỏ Rhind của ng ời Ai Cập có nhắc tới Tỷ số thần thánh Các pho tợng cổ cũng nh các bức tranh thời kỳ phục hng đều biểu hiện các tỷ lệ bằng Tỷ số vàng, một tỷ số thần thánh Tỷ số vàng đã đợc tìm kiếm nh là biểu tợng của vẻ đẹp vợt xa các loài hoa . cha biết các số 11 u , 12 u và 13 u thì ta lại một lần nữa sử dụng hai tính chất trên để hạ chỉ số của số hạng (biểu diễn các số hạng có chỉ số cao qua các số hạng có chỉ số thấp). Hơn. tính số Fibonacci trên Casio fx - 112s hoặc Casio fx - 992s (máy có 12 chữ số) : Bấm phím: 1 Min Và lặp lại dãy phím: SHIFT X M + Quy trình 7 tính số Fibonacci trên Casio fx - 112s hoặc Casio. biến số x . Khi 3k ta khó có thể sử dụng Casio fx- 500A đợc vì chỉ có 1 ô nhớ + màn hình. Tuy nhiên, có thể sử dụng Casio fx-570 MS để tính d y truy hồi tổng quát trên (với ã 10k ) vì Casio