tìm TGT của hai hàm số đặc biệt

Tìm tập giá trị của hàm số không cần sử dụng đạo hàm Doãn Xuân Huy, giáo viên tr-ờng THPT Ân Thi,Hng Yờn Ta có thể tìm tập giá trị (TGT) của hai loại hàm số sau mà không cần sử dụng tới phép toán đạo hàm: Hàm số thứ nhất: 2 2 ' ' ' ax bx c y a x b x c (1) với 2 2 2 ' 0; 0a a b c và 2 ' 4 ' ' 0b a c . Hàm số thứ hai: 's ' ' asinx bcosx c y a inx b cosx c (I) với 2 2 2 2 2 2 0&0 ' ' 'a b c a b c . 1/ Với hàm số thứ nhất, do 2 ' 4 ' ' 0b a c và '0a nên 2 ' ' ' 0a x b x c Với xR . Suy ra hàm số có tập xác định là R . Với mỗi xR ta sẽ có một giá trị của y t-ơng ứng; nh- vậy ph-ơng trình (1) luôn có nghiêm x với những giá trị của y thích hợp mà ta sẽ tìm sau này. Ta có 2 (1) ( ' ) ( ' ) ' 0ya a x yb b x yc c (2). Vì 2 2 2 0abc nên ta có 3 tr-ờng hợp sau: Trừơng hợp 1: Với 0; 0a b c (1) trở thành: 2 0 ' ' ' c y y x R a x b x c . (2) trở thành: 2 ' ' ' 0ya x yb x yc c (3). (3) có nghiệm 2 2 2 1 ' 4 '( ' ) ( ' 4 ' ') 4 ' ( 4 ' ) 0y b ya yc c y y b a c a c y y a c a/ Nếu a c>0 thì 4 ' 4 ' 0 0; a c a c yG là TGT của hàm số. b/ Nếu a c<0 thì 4 ' 4 ' 0 ;0 a c a c yG Tr-ờng hợp 2: Với 0; 0ab (1) trở thành: 2 ' ' ' bx c y a x b x c (2) trở thành: 2 ' ( ' ) ' 0ya x yb b x yc c (4). a/ y=0 khi c x b b/ Nếu 0y thì (4) có nghiệm khi và chỉ khi 2 2 2 2 2 2 21 1 ( ' ) 4 '( ' ) ( ' 4 ' ') 2(2 ' ') 2 ( ) 0( ' 2 ' ) yb b ya yc c b a c y a c bb y b y D y b f y D bb a c The o giả thiết 2 ' 4 ' ' 0b a c nên 22 31 '0Db do đó ph-ơng trình ( ) 0fy Có hai nghiệm 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 2 , ; ( ) 0 D D b D D b y y f y y y y Do 2 1 2 1 2 (0) 0 0 ;f b y y G y y Tr-ờng hợp 3: Với 2 ( ' ') ' ' 0.(1) (5) ' '( ' ' ') a a b ab x a c ac ay a a a x b x c a/ Nếu ' ' ' ' ' a b c a a yG a b c a a b/ Nếu 2 '' ' ' ' ' '( ' ' ') a b c a a c ac y a b c a a a x b x c theo tr-ờng hợp 1 ta có: +/ Nếu a c > ac thì 4( ' ') ; '' a a a c ac G aa +/ Nếu a c<ac thì 4( ' ') ; '' a a c ac a G aa c/ Nếu '' ab ab , theo tr-ờng hợp 2; trong (5) ta đặt ' ' ' ' ; '' a b ab a c ac BC aa thì 12 ; '' aa G y y aa với b và c trong th-ờng hợp 2 đ-ợc thay t-ơng ứng bằng B và C. 2/ Với hàm số thứ hai, từ điều kiện ta suy ra mẫu số khác 0 với mọi x nên tập xác định của hàm số là R. Với mỗi giá trị của x ta sẽ nhận đ-ợc một giá trị t-ơng ứng của y nên ph-ơng trình (I) luôn có nghiệm với những giá trị thích hợp của y mà ta sẽ tìm sau này. Ta có: ( ) ( ' )sin ( ' ) ' ( )I a y a x b y b cosx c c y II . Vì (II) có nghiệm nên: 2 2 2 2 2 2 ( ' ) ( ' ) ( ' ) ( ) ( ' ) ( ' ) ( ' ) 0a y a b y b c c y f y c c y b b y a a y 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ' ' ' ) 2( ' ' ') 0( )f y c a b y cc aa bb y c a b III Từ giả thiết: 2 2 2 2 2 2 0 ' ' ' ' ' ' 0& ' 0.a b c c a b c Do 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ' ' ' ) ( ) ( ' ' ' ) ( '. ) ( '. ) 0 ' ' ' c c c c a b f c a b a a b b c c c Nên tam thức f(y) có hai nghệm: (III) có nghiệm là: 1 2 1 2 ;y y y G y y . Rõ ràng nếu sử dụng đạo hàm thì ta không thể tìm đ-ợc TGT của hai hàm số tổng quát trên. Qua đó ta có thể thấy với một ph-ơng tiện bình th-ờng nh-ng hợp lý ta vẫn đạt đ-ợc những kết quả lớn. Ân Thi ngày 15/4/2003 12 2 2 2 2 2 2 ' ' ' ' ' ' ' ' & ( ' ' ' ; ' ( ' ') ( ' ') ( ' ') ) cc aa bb cc aa bb yy AA A c a b a c ac b c bc a b ab . Tìm tập giá trị của hàm số không cần sử dụng đạo hàm Doãn Xuân Huy, giáo viên tr-ờng THPT Ân Thi,Hng Yờn Ta có thể tìm tập giá trị (TGT) của hai loại hàm số sau mà không cần. và C. 2/ Với hàm số thứ hai, từ điều kiện ta suy ra mẫu số khác 0 với mọi x nên tập xác định của hàm số là R. Với mỗi giá trị của x ta sẽ nhận đ-ợc một giá trị t-ơng ứng của y nên ph-ơng. Nên tam thức f(y) có hai nghệm: (III) có nghiệm là: 1 2 1 2 ;y y y G y y . Rõ ràng nếu sử dụng đạo hàm thì ta không thể tìm đ-ợc TGT của hai hàm số tổng quát trên. Qua đó