HÌNH HỌC 11 CHƯƠNG PHÉP BIẾN HÌNH

THPT Tân Bình – Bình Dương. P P H H É É P P D D Ờ Ờ I I H H Ì Ì N N H H & & Đ Đ Ồ Ồ N N G G D D Ạ Ạ N N G G 1 1 1 1 . . Gv: L L ê ê H H à à n n h h P P h h á á p p . . Trang 1 … …   P P H H É É P P D D Ờ Ờ I I H H Ì Ì N N H H & & Đ Đ Ồ Ồ N N G G D D Ạ Ạ N N G G T T R R O O N N G G M M Ặ Ặ T T P P H H Ẳ Ẳ N N G G   … … § § 1 1 . . P P H H É É P P B B I I Ế Ế N N H H Ì Ì N N H H . . 1) ĐỊNH NGHĨA:  Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng.  Nếu ký hiệu phép biến hình đó là F thì ta viết F(M) = M hay M = F(M) và gọi M là ảnh của M qua phép biến hình F.  Nếu H là ảnh của hình H qua phép biến hình F thì ta viết H = F(H) hay F(H) = H. Vậy MH  F(M)H.  Thực hiện liên tiếp hai phép biến hình sẽ được một phép biến hình. Phép biến hình này gọi là phép hợp của hai phép biến hình đã cho.  Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó gọi là phép đồng nhất. 2) CÁC VÍ DỤ:   1 Vd Trong mặt phẳng cho đường thẳng d và điểm M. Dựng hình chiếu vuông góc M của M lên d thì ta được một phép biến hình (phép chiếu vuông góc).   2 Vd Cho trước số a dương, với mỗi điểm M trong mặt phẳng, gọi M là điểm sao cho MM = a. Quy tắc đặt tương ứng điểm M với điểm M như thế có phải là phép biến hình không ? Giải: Với quy tắc trên thì ứng với mỗi điểm M ta có vô số điểm M thỏa MM = a. Tập hợp các điểm M trên là đường tròn tâm M bán kính bằng a. Do đó quy tắc đặt tương ứng như trên không là phép biến hình vì M không là điểm duy nhất. § § 2 2 . . P P H H É É P P T T Ị Ị N N H H T T I I Ế Ế N N . . 1) ĐỊNH NGHĨA:  Trong mặt phẳng cho véctơ v  . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M sao cho MM v     được gọi là phép tịnh tiến theo véctơ v  .  Phép tịnh tiến theo véctơ v  được ký hiệu là v T  . Ta có ( ) v T M M MM v         .  Phép tịnh tiến theo véctơ 0  là phép đồng nhất.   1 Vd Trong mặt phẳng, cho 4 tam giác đều và 2 véctơ , u v   . Hãy chỉ ra các phép tịnh tiến biến tam giác (1) thành (4). Giải: Ta thực hiện liên tiếp hai phép tịnh tiến (1) (3); (3) (4) v u T T    , ta viết . (1) (4) v u T T    hoặc (1) (4) v u T     . 2) TÍNH CHẤT:  Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ: Nếu ( ) , ( ) v v T M M T N N       thì M N MN    . Chứng minh: ( ) , ( ) v v T M M T N N        MM NN v         M N M M MN NN v MN v MN                      M N MN    .  Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.   2 Vd Nêu cách xác định ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo véctơ v  . Giải: Trên d lấy điểm M tùy ý, dựng M = ( ) v T M  . Từ M dựng đường thẳng d qua M song song d. 3) BIỂU THỨC TỌA ĐỘ:  Với M(x; y), M(x; y) và ( ; ) v a b   , phép tịnh tiến ( ) v T M M    thì x x a y y b          .   3 Vd Trong mặt phẳng Oxy cho (1;2) v   . Tìm tọa độ M là ảnh của M(3; –1) qua phép tịnh tiến v T  . Giải: x = 3 + 1; y = –1 + 2  M(4; 1). 6 6 4( ) 3( ) 2( ) 1( ) u v THPT Tân Bình – Bình Dương. P P H H É É P P D D Ờ Ờ I I H H Ì Ì N N H H & & Đ Đ Ồ Ồ N N G G D D Ạ Ạ N N G G 1 1 1 1 . . Gv: L L ê ê H H à à n n h h P P h h á á p p . . Trang 2 B B À À I I T T Ậ Ậ P P . . 1) Chứng minh rằng ( ) ( ) v v T M M T M M         .  Hướng dẫn: ( ) ( ) v v T M M MM v M M v T M M                    . 2) Cho ABC có trọng tâm G. Xác định ảnh của ABC qua phép tịnh tiến theo véctơ AG  . Xác định điểm D sao cho phép tịnh tiến theo véctơ AG  biến D thành A.  Hướng dẫn: Dựng các hình bình hành ABEG, ACFG thì ( ) AG T ABC GEF     . Trên tia GA lấy điểm D sao cho A là trung điểm DG thì ( ) AG T D A   . 3) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ( 1;2) v    , hai điểm A(3; 5), B(–1; 1) và đường thẳng d có phương trình 2 3 0 x y    . a) Tìm tọa độ của các điểm A, B theo thứ tự là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến theo véctơ v  . b) Tìm tọa độ điểm C sao cho A là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo véctơ v  . c) Tìm phương trình của đường thẳng d là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo véctơ v  .  Hướng dẫn: a) ( ) v T A A     A(2; 7); ( ) v T B B     B(–2; 3). b) ( ) v T C A    C(4; 3). c) Cách 1: Gọi M(x; y)d và M(x; y) là ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo véctơ ( 1;2) v    thì ta có x = x + 1; y = y – 2 thay vào phương trình đường thẳng d, ta được x – 2y + 8 = 0. Vậy d có phương trình là 2 8 0 x y    . Cách 2: Gọi M(–3; 0)d và M(x; y) là ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo véctơ ( 1;2) v    thì M(–4; 2). Vì d là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo ( 1;2) v    nên d//d do đó d có vtpt (1; 2) n    . Vậy d có phương trình là 1( 4) 2( 2) 0 2 8 0 x y x y         . 4) Cho hai đường thẳng a và b song song nhau. Hãy chỉ ra một phép tịnh tiến biến a thành b. Có bao nhiêu phép tịnh tiến như thế ?  Hướng dẫn: Lấy Aa, Bb khi đó ( ) AB T a b   . Có vô số phép tịnh tiến như thế. 5) Cho hai điểm B, C cố định trên đường tròn (O; R) và điểm A thay đổi trên đường tròn đó. Chứng minh rằng trực tâm H của ABC nằm trên một đường tròn cố định.  Hướng dẫn: Dựng đường kính BB thì AHCB là hình bình hành. Vì BC cố định nên BC cố định. Ta có ( ) B C T A H    , khi A thay đổi trên (O; R) thì trực tâm H luôn nằm trên đường tròn cố định (O; R) là ảnh của (O; R) qua phép tịnh tiến nói trên. 6) Trên mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): 2 2 2 2 7 0 x y x y      . Hãy tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo véctơ (4; 3) v    .  Hướng dẫn: Đường tròn (C) có tâm I(1; 1), bán kính R = 3 nên ( ) v T I I    thì I(5; –2). Do (C) là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến (4; 3) v    nên có cùng bán kính. Vậy phương trình đường tròn (C): 2 2 ( 5) ( 2) 9 x y     . 7) Trên mặt phẳng Oxy cho điểm A(–1; 2) và một phép tịnh tiến theo véctơ (4; 3) v    . a) Tìm điểm B sao cho A là ảnh của B. b) Tìm ảnh của đường thẳng d: 3x – y + 1 = 0. c) Tìm ảnh của đường tròn (C): 2 2 ( 2) ( 1) 2 x y      Hướng dẫn: a) ( ) v T B A    B(–5; 5); b) d: 3x – y + 14 = 0; c) (C): 2 2 ( 6) ( 4) 2 x y     M D A C B E F G H O B C A B' THPT Tân Bình – Bình Dương. P P H H É É P P D D Ờ Ờ I I H H Ì Ì N N H H & & Đ Đ Ồ Ồ N N G G D D Ạ Ạ N N G G 1 1 1 1 . . Gv: L L ê ê H H à à n n h h P P h h á á p p . . Trang 3 § § 3 3 . . P P H H É É P P Đ Đ Ố Ố I I X X Ứ Ứ N N G G T T R R Ụ Ụ C C . . 1) ĐỊNH NGHĨA:  Cho đường thẳng d. Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc d thành M sao cho d là đường trung trực của đoạn MM được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d hay phép đối xứng trục d. Ký hiệu Ñ d .  ( ) Ñ d M M    d là trung trực của đoạn MM.  Nếu H là ảnh của H qua phép đối xứng trục d thì ta nói H và H đối xứng nhau qua d.   1 Vd Cho tam giác đều ABC có M, N, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA. Hãy chỉ các phép đối xứng trục biến AMQ thành NCQ. Giải: Ta có ( ) Ñ MQ AMQ NMQ    và ( ) Ñ NQ NMQ NCQ    . 2) TÍNH CHẤT:  Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. Nếu ( ) Ñ d M M   , ( ) Ñ d N N   thì MN = MN.  Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. 3) BIỂU THỨC TỌA ĐỘ:  Phép đối xứng qua trục Ox: Với M(x; y), M(x; y) và ( ) Ñ Ox M M   thì ' x x y y        .  Phép đối xứng qua trục Oy: Với M(x; y), M(x; y) và ( ) Ñ Oy M M   thì ' x x y y        .   2 Vd Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: 3 5 0 x y    và A(1; –2). Tìm ảnh của d qua phép đối xứng trục Oy và ảnh của A qua phép đối xứng trục là đường thẳng d. Giải:  Thay x = –x, y = y vào d, ta được –x + 3y – 5 = 0  x – 3y + 5 = 0  d: x – 3y + 5 = 0.  Gọi A và d   có vtpt là (3; 1) n     : 3x – y – 5 = 0. Gọi H là hình chiếu của A lên d  H = d H: 3 5 0 2 3 5 0 1 x y x x y y                H(2; 1) A và A đối xứng nhau qua d nên nhận H làm trung điểm  A(3; 4). 4) TRỤC ĐỐI XỨNG CỦA MỘT HÌNH:  Một đường thẳng được gọi là trục đối xứng của một hình H nếu phép đối xứng qua đường thẳng đó biến hình H thành chính nó. Khi đó H được gọi là hình có trục đối xứng. B B À À I I T T Ậ Ậ P P . . 1) Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(1; –2), B(3; 1). Tìm ảnh của A, B và đường thẳng AB qua phép đối xứng trục Ox.  Hướng dẫn: A(1; 2), B(3; –1)  (2; 3) (3;2) :3 2 7 0 A B A B n A B x y                 . 2) Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: 3 2 0 x y    . Viết phương trình của đường thẳng d là ảnh của d qua phép đối xứng trục Oy.  Hướng dẫn: Thay x = –x, y = y vào d, ta được –3x – y + 2 = 0  3x + y –2 = 0. vậy d: 3 2 0 x y    . 3) Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: x + y – 1 = 0. Hãy tìm ảnh của điểm M và ảnh của đường thẳng : 2x – y – 1 = 0 qua phép đối xứng trục là đường thẳng d.  Hướng dẫn: MMd  MM: x – y + 1 = 0. Gọi H = MMd  H(0; 1)  M(–2; –1) là ảnh của M. Gọi A = d  A(2/3; 1/3). Lấy điểm tùy ý B(0; –1) và làm như trên được B(2; 1) là ảnh của B. Phương trình đường thẳng AB hay  là x – 2y = 0 là ảnh của  qua d. Q N M C B A THPT Tân Bình – Bình Dương. P P H H É É P P D D Ờ Ờ I I H H Ì Ì N N H H & & Đ Đ Ồ Ồ N N G G D D Ạ Ạ N N G G 1 1 1 1 . . Gv: L L ê ê H H à à n n h h P P h h á á p p . . Trang 4 § § 4 4 . . P P H H É É P P Đ Đ Ố Ố I I X X Ứ Ứ N N G G T T Â Â M M . . 1) ĐỊNH NGHĨA:  Cho điểm I. Phép biến hình biến điểm I thành chính nó, biến mỗi điểm M khác I thành M sao cho I là trung điểm của đoạn MM được gọi là phép đối xứng tâm I. Ký hiệu I Ñ .  ( ) I Ñ I laø trung ñieåm MM M M     .   1 Vd ABC có ảnh là ABC qua phép đối xứng tâm O. 2) TÍNH CHẤT:  Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ: ( ) , ( ) I I Ñ Ñ M M N N     thì MN = MN.  Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. 3) BIỂU THỨC TỌA ĐỘ: O là gốc tọa độ.  Với M(x; y), M(x; y) và ( ) Ñ O M M   thì x x y y          .   2 Vd Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm I(2; –1), đường thẳng d: x – y + 1 = 0 và đường tròn (C): 2 2 2 6 1 0 x y x y      . Tìm ảnh của d và (C) qua phép đối xứng tâm I. Giải: Lấy tùy ý M(0; 1)d, qua I thì ảnh của M là M(4; –3). Vì d//d qua phép đối xứng tâm biến d thành d nên d: 1(x – 4) – 1(y + 3) = 0  x – y – 7 = 0. Đường tròn (C) có tâm J(1; –3) nên qua phép đối xứng tâm I ảnh của J là J(3; 1). Vì đường tròn (C) là ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm nên có cùng bán kính. Vậy (C): 2 2 ( 3) ( 1) 9 x y     . 4) TÂM ĐỐI XỨNG CỦA MỘT HÌNH:  Điểm I được gọi là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng tâm I biến hình H thành chính nó. Khi đó H được gọi là hình có tâm đối xứng.   3 Vd Tìm một hình có vô số tâm đối xứng. Giải: Đường thẳng và hình gồm hai đường thẳng song song là những hình có vô số tâm đối xứng. Thật vậy, trên d lấy I và M tùy ý thì ( ) I Ñ M M   thì Md. Khi cho 2 đường thẳng song song d và d. Tập hợp tâm đối xứng I là đường thẳng song song và các đều d, d. B B À À I I T T Ậ Ậ P P . . 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(–1; 3) và đường thẳng d: x – 2y + 3 = 0. Tìm ảnh của A và d qua phép đối xứng tâm O.  Hướng dẫn: A(1; –3) và chọn M(–3; 0)d  M(3; 0)  d: x – 2y –3 = 0. 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho (P): 2 2 3 y x x    . Tìm ảnh của (P) qua phép đối xứng tâm O.  Hướng dẫn: Thay x = –x, y = –y vào (P), ta được 2 2 2 3 2 3 y x x y x x                . Vậy ảnh của (P) qua phép đối xứng tâm là gốc tọa độ O là (P): 2 2 3 y x x     3) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm I(1; –2) và ABC với A(–1; 0), B(0; 2), C(–2; 4). Hãy tìm ảnh của ABC qua phép đối xứng tâm I.  Hướng dẫn: Gọi I I I A = Ñ (A); B =Ñ (B); C = Ñ (C).    Ta có A(3; –4), B(2; –6), C(4; –8). 4) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm I(1; –1). Hãy tìm ảnh của d: 5x – 2y + 2 = 0 và ảnh của (C): 2 2 12 4 4 0 x y x y      qua phép đối xứng tâm I.  Hướng dẫn: Gọi     ( I I d = Ñ d ; C )= Ñ (C) .   Ta có d//d và (C), (C) có cùng bán kính. Chọn tùy ý M(2; 6)d  M(0; –8) là ảnh của M qua I Ñ  d: 5x – 2(y + 8) = 0  5x – 2y – 16 = 0. (C) có tâm J(6; –2), bán kính R = 6. Gọi J là ảnh của J qua I Ñ  J(–4; 0)  (C): 2 2 ( 4) 36 x y    . THPT Tân Bình – Bình Dương. P P H H É É P P D D Ờ Ờ I I H H Ì Ì N N H H & & Đ Đ Ồ Ồ N N G G D D Ạ Ạ N N G G 1 1 1 1 . . Gv: L L ê ê H H à à n n h h P P h h á á p p . . Trang 5 § § 5 5 . . P P H H É É P P Q Q U U A A Y Y . . 1) ĐỊNH NGHĨA:  Cho điểm O và góc lượng giác . Phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành M sao cho OM = OM và góc lượng giác (OM, OM) =  được gọi là phép quay tâm O góc quay . Ký hiệu ( , ) Q O  .  O là tâm quay,  là góc quay. Với  < 0 là quay thuận chiều kim đồng hồ.  ( ,2 ) ( ) Q O M M   : Phép quay 0 360 là phép đồng nhất.  ( , ) ( ) ( ) Q Ñ O O M M M     : Phép quay 0 180 là phép đối xứng tâm.   1 Vd 0 1 1 1 ( ,180 ) ( ) Q O ABC A B C    ; 0 2 2 2 ( , 90 ) ( ) Q O ABC A B C     ; 0 3 3 3 ( ,90 ) ( ) Q O ABC A B C    . 2) TÍNH CHẤT:  Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ: ( , ) ( , ) ( ) , ( ) O O Q M M Q N N       thì MN = MN.  Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.  Nếu ( , ) ( ) Q O d d    thì:  Góc (d, d) =  nếu 0 0 90    ;  Góc (d, d) =  –  nếu 0 0 90 180    .   2 Vd Cho đường tròn (O) ngoại tiếp  đều ABC. Lấy điểm M trên cung nhỏ AB. Gọi M = 0 ( ,60 ) ( ) Q A M . Chứng minh AMM đều và MA + MB = MC. Giải: 0 ( ,60 ) ( ) Q A M M    AM = AM và  0 60 MAM    AMM đều. Ta có góc(AMM) = 60 độ mà góc(AMC) = 60 độ nên M, M, C thẳng hàng  MM +MC = MC. 0 0 ( ,60 ) ( ,60 ) ( ) , ( ) Q Q A A M M B C M C MB       . Do đó MA + MB = MC. B B À À I I T T Ậ Ậ P P . . 1) Cho hình vuông ABCD tâm O. a) Tìm ảnh của điểm C qua phép quay tâm A, góc quay 0 90 . b) Tìm ảnh của đường thẳng BC qua phép quay tâm O góc quay 0 90 .  Hướng dẫn: a) Gọi E là điểm đối xứng của C qua D, khi đó 0 ( ,90 ) ( ) Q A C E  . b) 0 0 ( ,90 ) ( ,90 ) ( ) , ( ) Q Q O O C D B C   , khi đó ảnh của BC là đường thẳng CD. 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(2; 0) và đường thẳng d có phương trình x + y – 2 = 0. Tìm ảnh của A và d qua phép quay tâm O góc quay 0 90 .  Hướng dẫn: 0 ( ,90 ) ( ) Q O d d   , 0 ( ,90 ) ( ) Q O A B   B(0; 2). Vì Ad nên Bd và Bd nên qua 0 ( ,90 ) ( ) Q O B C   C(–2; 0)d. Vậy d ≡ BC: 1 2 0 2 2 x y x y        . 3) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(x; y). Tìm ảnh M của M qua phép quay tâm O góc quay . Áp dụng: M(2; –3) và  = – 0 90 .  Hướng dẫn: Ta có OM = OM = a, góc(Ox, OM) =  thì x = acos, y = asin. Gọi M(x; y), góc(Ox, OM) =  +  thì x = acos( + ) = acoscos – asinsin = xcos – ysin; y = asin( + ) = asincos + acossin = ycos + xsin. Vậy cos sin sin cos x x y y x y              . M(–3; –2). O B C A M M' O D B C A THPT Tân Bình – Bình Dương. P P H H É É P P D D Ờ Ờ I I H H Ì Ì N N H H & & Đ Đ Ồ Ồ N N G G D D Ạ Ạ N N G G 1 1 1 1 . . Gv: L L ê ê H H à à n n h h P P h h á á p p . . Trang 6 § § 6 6 . . P P H H É É P P D D Ờ Ờ I I H H Ì Ì N N H H . . 1) ĐỊNH NGHĨA:  Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. F(M) = M, F(N) = N thì MN = MN.  Các phép đồng nhất, tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay là những phép dời hình.  Các phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình cũng là một phép dời hình.   1 Vd Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E, F, H, K, O, I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA, KF, HC, KO. Chứng minh hai hình thang AEJK và FOIC bằng nhau. Giải: Gọi G là trung điểm OF. Ta có ( ) Ñ EH AEJK BEGF  và ( ) EO T BEGH FOIC   nên hai hình thang AEJK và FOIC bằng nhau. 2) TÍNH CHẤT:  Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm.  Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.  Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó.  Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.   2 Vd Chứng minh rằng: Nếu một phép dời hình biến ABC thành ABC thì nó cũng biến trọng tâm ABC tương ứng thành trọng tâm của ABC. Giải: Gọi F là một phép dời hình, ta có F(AB) = AB, F(BC) = BC. Gọi M, N trung điểm AB, BC  M, N là trung điểm của AB, BC qua F. Do đó các trung tuyến CM, AN của ABC thành trung tuyến CM và AN của ABC. Vậy phép dời hình F biến trọng tâm G của ABC tương ứng thành trọng tâm G của ABC. 3) KHÁI NIỆM HAI HÌNH BẰNG NHAU:  Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia. B B À À I I T T Ậ Ậ P P . . 1) Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A(–3; 2), B(–4; 5) và C(–1; 3). a) Chứng minh rằng các điểm A(2; 3), B(5; 4) và C(3; 1) theo thứ tự là ảnh của A, B, C qua phép quay tâm O góc quay – 0 90 . b) Gọi 1 1 1 A B C  là ảnh của ABC qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc quay – 0 90 và phép đối xứng trục Ox. Tìm tọa độ các đỉnh của 1 1 1 A B C  .  Hướng dẫn: a) 0 ( 3;2), (2;3) . 6 6 0 ( , ) 90 OA OA OAOA OA OA                   . Mặt khác OA = OA = 13 . Do đó phép quay tâm O, góc quay – 0 90 biến A thành A. Các trường hợp khác tương tự. b) Ta có 0 ( , 90 ) ( ) O Q A A    (2; 3) (2; 3) Ox 1 Ñ (A ) = A   . Tương tự 1 1 (5; 4), (3; 1) B C   . 2) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): 2 2 2 4 4 0 x y x y      . Tìm ảnh của (C) qua phép dời hình có được bằng các thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo véctơ (3; 1) v    và phép đối xứng qua trục Oy.  Hướng dẫn: (C) có tâm I(1; –2), bán kính R = 3. Qua phép ( ) v T I I     I(4; –3). Qua phép Oy Ñ (I ) = I    I(–4; –3)  (C): 2 2 ( 4) ( 3) 9 x y     . 3) Cho hình vuông ABCD. Gọi I là tâm hình vuông và E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng hai hình thang AEID và FBEH bằng nhau.  Hướng dẫn: Phép quay tâm I góc quay 0 90 biến FBEH thành EAHG. Phép đối xứng qua đường trung trực của AE biến EAHG thành AEID. Do đó hai hình thang AEID và FBEH bằng nhau. I G J O H F E K A B C D I G F E H A C B D THPT Tân Bình – Bình Dương. P P H H É É P P D D Ờ Ờ I I H H Ì Ì N N H H & & Đ Đ Ồ Ồ N N G G D D Ạ Ạ N N G G 1 1 1 1 . . Gv: L L ê ê H H à à n n h h P P h h á á p p . . Trang 7 § § 7 7 . . P P H H É É P P V V Ị Ị T T Ự Ự . . 1) ĐỊNH NGHĨA:  Cho điểm O và số k  0. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M sao cho OM kOM     được gọi là phép vị tự tâm O, tỷ số k. Ký hiệu ( , ) O k V . ( , ) ( ) . O k V M M OM k OM         Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó.  Phép vị tự với k = 1 là phép đồng nhất. Phép vị tự với k = –1 là phép đối xứng tâm (tâm vị tự).  ( , ) 1 ( , ) ( ) ( ) O k O k V M M V M M      .   1 Vd Cho ABC. Gọi E, F lần lượt trung điểm của AB, AC. Tìm một phép vị tự biến A thành B; biến C thành A; biến B, C thành E, F và ngược lại. Giải: Ta có ( , 1) ( ) E EB EA V A B        ; ( , 1) ( ) F FA FC V C A        . 1 1 ( , ) ( , ) 2 2 1 1 ( ) , ( ) 2 2 A A AE AB V B E AF AC V C F           . Vậy phép vị tự tâm A tỷ số k = 1 2 biến B, C thành E, F. Ngược lại phép vị tự tâm A tỷ số k =2 biến E, F thành B, C. 2) TÍNH CHẤT:  Phép vị tự tỷ số k biến hai điểm M, N lần lượt thành M, N thì M N kMN      và MN = |k|.MN.  Phép vị tự tỷ số k:  Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng không làm thay đổi thứ tự giữa các điểm ấy.  Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.  Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó theo k, biến góc thành góc bằng nó.  Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính |k|R.   2 Vd Cho ABC có A, B, C lần lượt là trung điểm của cạnh BC, CA, AB. Tìm một phép vị tự biến ABC thành ABC. Giải: Gọi G là trọng tâm ABC. Ta có 1 ( , ) 2 1 ( ) 2 G GA GA V A A          , tương tự 1 1 ( , ) ( , ) 2 2 ( ) , ( ) G G V B B V C C       nên phép vị tự tâm G, tỷ số k = – 1 2 biến ABC thành ABC. 3) TÂM VỊ TỰ CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN:  Với hai đường tròn bất kỳ luôn có một phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia. Tâm của phép vị tự đó được gọi là tâm vị tự của hai đường tròn.   Bài toán: Cho hai đường tròn (I; R) và (I; R) phân biệt. Hãy tìm phép vị tự biến đường tròn (I; R) thành (I; R). Giải: Ta có ( , ) O k V biến đường tròn (I; R) thành (I; R) thì R k R   hay R k R    và OI kOI     .  Trường hợp I trùng I: Khi đó phép vị tự tâm I tỷ số k biến đường tròn (I; R) thành (I; R).  Trường hợp I  I và R  R: Lấy MM là đường kính của (I; R) và IM là bán kính (I; R) sao cho , IM I M     cùng hướng. Gọi O = IIMM và O = IIMM. Khi đó phép vị tự tâm O tỷ số R k R   hoặc phép vị tự tâm O tỷ số R k R    biến đường tròn (I; R) thành (I; R).  Trường hợp I  I và R = R: Khi đó phép vị tự tâm O tỷ số k = –1 biến (I; R) thành (I; R). F E B C A G B' C' A' B C A THPT Tân Bình – Bình Dương. P P H H É É P P D D Ờ Ờ I I H H Ì Ì N N H H & & Đ Đ Ồ Ồ N N G G D D Ạ Ạ N N G G 1 1 1 1 . . Gv: L L ê ê H H à à n n h h P P h h á á p p . . Trang 8 B B À À I I T T Ậ Ậ P P . . 1) Cho ABC có ba góc nhọn và H là trực tâm. Tìm ảnh của ABC qua phép vị tự tâm H, tỷ số ½.  Hướng dẫn: Ta có 1 2 1 2 ( , ) ( ) H V A A HA HA         A là trung điểm HA. Tương tự B, C thứ tự là trung điểm của HB, HC. 2) Chứng minh rằng khi thực hiện liên tiếp hai phép vị tự tâm O sẽ được một phép vị tự tâm O.  Hướng dẫn: Gọi ( , ) ( , ) ( ) , ( ) O k O h V M M V M M      . Khi đó ( , . ) , . ( ) O h k OM kOM OM hOM OM h kOM V M M                  3) Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng : 2x – 3y + 6 = 0 và đường tròn (C): 2 2 2 6 6 0 x y x y      . Viết phương trình đường thẳng d và đường tròn (C) là ảnh của d và (C) qua phép vị tự tâm M(2; 3) tỷ số k = –2.  Hướng dẫn:    ( , 2)M V d d     d//d  d: 2x – 3y + C = 0. Gọi A(0; 2) tùy ý  d. ( , 2) ( ) 2 M V A A MA MA          2 2( 2) 3 2(2 3) x y              A(6; 5) thay vào d  C = 3  d: 2x – 3y +3 = 0.  (C) có tâm I(1; –3), bán kính R = 4.   ( , 2) 2 2( 1) ( ) ( ) 8 2 3 2( 6) vaø M x V C C R MI MI y                         I(4; 15)  (C): 2 2 ( 4) ( 15) 64 x y     . 4) Cho hình bình hành ABCD có AB = 2BC. Tìm tâm vị tự của: a) Hai đường tròn đường kính AB và BC. b) Hai đường tròn đường kính AB và CD.  Hướng dẫn: a) Gọi (I, R) là đường tròn đường kính AB, (J, ½R) là đường tròn đường kính BC. Từ J lấy G sao cho , IB JG   cùng hướng. Hai tia IJ và BG cắt nhau tại O1 và AG cắt IJ tại O2 thì O1, O2 là 2 tâm vị tự của hai đường tròn đường kính AB và BC. Thật vậy 1 1 2 1 2 1 ( , ) ( ) O O J OI V I J      và 1 2 2 1 2 2 ( , ) ( ) O O J OI V I J        . b) Tâm vị tự là giao điểm của hai đường chéo AC và BD và tỷ số vị tự là k = –1. § § 8 8 . . P P H H É É P P Đ Đ Ồ Ồ N N G G D D Ạ Ạ N N G G . . 1) ĐỊNH NGHĨA:  Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỷ số k (k > 0), nếu với hai điểm M, N bất kỳ và ảnh M, N tương ứng của chúng luôn có MN = kMN.  Nhận xét:  Phép đồng dạng tỷ số k = 1 là phép dời hình.  Phép vị tự tỷ số k là phép đồng dạng tỷ số |k|.  Nếu thực hiện liên tiếp hai phép đồng dạng tỷ số k và h ta được phép đồng dạng tỷ số hk.  Các phép biến hình đã học trong chương chỉ là trường hợp riêng của phép đồng dạng. 2) TÍNH CHẤT:  Mọi phép đồng dạng tỷ số k đều là hợp thành của một phép vị tự V tỷ số k và một phép dời hình D.  Phép đồng dạng tỷ số k:  Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy.  Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.  Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó.  Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính kR. C' B' A' H B C A THPT Tân Bình – Bình Dương. P P H H É É P P D D Ờ Ờ I I H H Ì Ì N N H H & & Đ Đ Ồ Ồ N N G G D D Ạ Ạ N N G G 1 1 1 1 . . Gv: L L ê ê H H à à n n h h P P h h á á p p . . Trang 9   1 Vd Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: x + 2y – 2 = 0. Viết phương trình đường thẳng d là ảnh của d qua phép đồng dạng là hợp thành của phép vị tự tâm I(2; –1) tỷ số bằng 3 và phép đối xứng qua trục Oy. Giải: Gọi M(0; 1), N(2; 0) là 2 điểm tùy ý thuộc d. Qua phép vị tự ( ,3) ( ,3) ( ) , ( ) I I V M M V N N      3 , 3 IM IM IN IN         với ( 2;2), (0;1) IM IN      M(–4; 5), N(2; 2). Qua phép đối xứng trục Oy thì M và N thành M(4; 5), N(–2; 2)  Phương trình d là MN: x – 2y + 6 = 0. 3) HÌNH ĐỒNG DẠNG:  Hai hình được gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép đồng dạng biến hình này thành hình kia.   2 Vd Hai đường tròn bất kỳ hay hai hình vuông bất kỳ đều đồng dạng với nhau. Hai hình chữ nhật bất kỳ nói chung không đồng dạng. B B À À I I T T Ậ Ậ P P . . 1) Cho ABC. Xác định ảnh của nó qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm B tỷ số ½ và phép đối xứng qua đường trung trực của BC.  Hướng dẫn: Gọi A, C lần lượt là trung điểm của AB và BC. Phép vị tự tâm B tỷ số ½ biến ABC thành ABC. Gọi d là trung trực của BC. Gọi A là ảnh của A qua trục đối xứng d. Phép đối xứng trục d biến ABC thành ACC. Vậy ảnh ABC qua phép đồng dạng là ACC. 2) Cho hình chữ nhật ABCD, AC và BD cắt nhau tại I. Gọi H, K, L, J lần lượt là trung điểm của AD, BC, KC, IC. Chứng minh hai hình thang JLKI và IHDC đồng dạng.  Hướng dẫn: Phép đối xứng tâm I biến hình thang IHDC thành hình thang IKBA. Phép vị tự tâm C tỷ số ½ biến hình thang IKBA thành hình thang JLKI nên hai hình thang JLKI và IHDC đồng dạng. 3) Trong mặt phẳng Oxy cho điểm I(1; 1) và đường tròn (C) tâm I bán kính bằng 2. Viết phương trình đường tròn (C) là ảnh của (C) qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O, góc quay 0 45 và phép vị tự tâm O, tỷ số 2 .  Hướng dẫn: Phép quay tâm O góc quay 0 45 biến đường tròn (I, 2) thành đường tròn (I, 2) với I(0; 2 ). Phép vị tự tâm O tỷ số 2 biến đường tròn (I, 2) thành đường tròn (I, 2 2 ) với I(0; 2). Phương trình đường tròn ảnh của (C) qua phép đồng dạng là (C): 2 2 ( 2) 8 x y    . 4) Cho ABC vuông tại A, AH là đường cao kẻ từ A. Tìm một phép đồng dạng biến HBA thành ABC.  Hướng dẫn: Gọi Bx là tia phân giác của góc B, Ta có A, F và E, H đối xứng qua Bx nên HBA qua đối xứng trục Bx thành EBF. Qua phép vị tự tâm B, tỷ số AC AH biến EBF thành ABC. 5) Trong mặt phẳng Oxy cho d: 3 2 6 0 x y    . Viết phương trình d là ảnh của d qua phép đồng dạng là hợp thành của phép đối xứng trục Ox và phép vị tự tâm I(–2; 1) tỷ số 2.  Hướng dẫn: Gọi M(0; 3) và N(–2; 0) là hai điểm tùy ý thuộc d. Qua phép đối xứng trục Ox thì ảnh của M, N là M(0; –3), N(–2; 0). Qua phép vị tự tâm I, tỷ số 2 thì ảnh của M, N là M, N thỏa: 2 , 2 IM IM IN IN            M(2; –7), N(–2; –1). 6) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): 2 2 ( 1) ( 1) 1 x y     và (1; 3) v    . Viết phương trình (C) là ảnh của (C) qua phép đồng dạng là hợp thành của phép tịnh tiến theo v  và phép vị tự tâm O tỷ số 3.  Hướng dẫn: I(0; –12), R = 3  (C): 2 2 ( 12) 9 x y    . J L K H I B C D A X A C B H E F THPT Tân Bình – Bình Dương. P P H H É É P P D D Ờ Ờ I I H H Ì Ì N N H H & & Đ Đ Ồ Ồ N N G G D D Ạ Ạ N N G G 1 1 1 1 . . Gv: L L ê ê H H à à n n h h P P h h á á p p . . Trang 10 Ô Ô N N T T Ậ Ậ P P C C H H Ư Ư Ơ Ơ N N G G & & K K I I Ể Ể M M T T R R A A . . 1) Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(–1; 2), đường thẳng d: 3 1 0 x y    và đường tròn (C): 2 2 4 2 4 0 x y x y      . Tìm ảnh của A, d, (C) qua: a) Phép tịnh tiến theo véctơ (2;1) v   ; b) Phép đối xứng trục Oy; c) Phép đối xứng qua gốc tọa độ O; d) Phép quay tâm O góc quay 0 90 ; e) Phép vị tự tâm O tỷ số k = –2; f) Phép vị tự tâm I(–2; 1) tỷ số k = 2; g) Phép đồng dạng là hợp thành của phép tịnh tiến theo v  và phép vị tự tâm I(–2; 1) tỷ số k = 2. h) Phép đồng dạng là hợp thành của phép vị tự tâm O tỷ số k = –2 và phép đối xứng trục : 1 0 x y    .  Hướng dẫn: a) ( ) (1;3) v T A A A      ;  Vì Ad nên Ad là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo véctơ v  biến d//d do đó d: 3 6 0 x y    ;  (C) có tâm J(2; –1), bán kính R = 3. 2 2 ( ) (4;0) ( ):( 4) 9 v T J J J C x y           . b) ( ) Ñ Oy A A    A(1; 2);  Vì Ad nên Ad là ảnh của d qua phép đối xứng trục Oy. Trên d lấy B(0; –1) tùy ý, ( ) Ñ Oy B B    B(0; –1) và ( 1; 3) A B       . Vậy d là đường thẳng AB: 3 1 0 x y    ;  (C) có tâm J(2; –1), bán kính R = 3. 2 2 ( ) ( 2; 1) ( ) : ( 2) ( 1) 9 Ñ Oy J J J C x y             . c) ( ) Ñ O A A    A(1; –2);  Vì Ad nên Ad là ảnh của d qua phép đối xứng tâm O biến d//d do đó d: 3 1 0 x y    ;  (C) có tâm J(2; –1), bán kính R = 3. 2 2 ( ) ( 2;1) ( ) : ( 2) ( 1) 9 Ñ O J J J C x y            . d) 0 ( ,90 ) ( ) O Q A A    A(–2;–1);  Vì Ad nên Ad là ảnh của d qua phép quay tâm O góc 0 90 . Trên d lấy B(0; –1) tùy ý, 0 ( ,90 ) ( ) O Q B B    B(1; 0) và (3;1) A B     . Vậy d là đường thẳng AB: 3 1 0 x y    ;  (C) có tâm J(2; –1), bán kính R = 3. 0 2 2 ( ,90 ) ( ) (1;2) ( ):( 1) ( 2) 9 O Q J J J C x y           . e) ( , 2) ( ) 2 O V A A OA OA           A(2; –4);  Vì Ad nên Ad là ảnh của d qua phép vị tự tâm O tỷ số k = –2 biến d//d do đó d: 3 2 0 x y    ;  (C) có tâm J(2; –1), bán kính R = 3. 2 2 ( , 2) ( ) ( 4;2), 6 ( ):( 4) ( 2) 36 O V J J J R C x y               . f) ( ,2) ( ) 2 I V A A IA IA         A(0;3);  Vì Ad nên Ad là ảnh của d qua phép vị tự tâm I tỷ số k = 2 biến d//d do đó d: 3 3 0 x y    ;  (C) có tâm J(2; –1), bán kính R = 3. 2 2 ( ,2) ( ) (6; 3), 6 ( ) : ( 6) ( 3) 36 I V J J J R C x y              . g) Qua ( ,2) I V ta có các ảnh là A(0;3), d: 3 3 0 x y    , 2 2 ( ):( 6) ( 3) 36 C x y      ;  Qua (2;1) v T  ta có A(2; 4), d: 3 10 0 x y    , 2 2 ( ) :( 8) ( 2) 36 C x y      . h) Qua (0, 2) V  ta có các ảnh là A(2; –4), d: 3 2 0 x y    , 2 2 ( ):( 4) ( 2) 36 C x y      ;  Xác định ảnh A của A qua : 1 0 Ñ x y     : Dựng đường thẳng AA , qua A  AA: 2 0 x y    . Gọi H hình chiếu của A lên   H = AA   H: 1 0 3/ 2 3 1 ; 2 0 1/ 2 2 2 x y x H x y y                           . Vì A và A đối xứng qua  nên H là trung điểm  A(–5; 3).  Xác định ảnh d của d qua : 1 0 Ñ x y     : Ta có Ad, gọi B(0; 2) tùy ý thuộc d, tương tự, ta có ảnh của B qua : 1 0 Ñ x y     là B(1; 1)  (6; 2) A B      . Vậy phương trình d là AB: 3 4 0 x y    .  Xác định ảnh (C) của (C) qua : 1 0 Ñ x y     : (C) có tâm J(–4; 2), ảnh của J qua : 1 0 Ñ x y     là J(1; –4). (C) có bánh kính R = 6 qua : 1 0 Ñ x y     (C) có bánh kính R = 6  2 2 ( ) :( 1) ( 4) 36 C x y      . [...]... AEO qua phép đồng dạng có được từ việc thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua đường thẳng IJ và phép vị tự tâm B tỷ số k = 2 là BCD 5) Cho hình vuông ABCD, tâm là O Vẽ hình vuông AOBE D C J a) Tìm ảnh của hình vuông AOBE qua phép quay tâm A, góc – 450 b) Tìm phép biến hình, biến hình vuông AOBE thành hình vuông ADCB  Hướng dẫn: a) ABCD là hình vuông nên nên các đường chéo là phân giác Phép quay... phân giác Phép quay A D O' tâm A góc quay – 450 biến hình vuông AOBE thành hình vuông bằng nó AOBE b) Phép biến hình đó là phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên O E DA tiếp phép quay tâm A góc quay – 450 và phép vị tự tâm A tỷ số E' OA B' E C Gv: Lê Hành Pháp F O B Trang 11 THPT Tân Bình – Bình Dương Gv: Lê Hành Pháp PHÉP DỜI HÌNH & ĐỒNG DẠNG 11 Trang 12 ...PHÉP DỜI HÌNH & ĐỒNG DẠNG 11 THPT Tân Bình – Bình Dương 2) Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(–6; –2), đường thẳng d: x  2 y  2  0 và đường tròn (C): x 2  y 2  2 x  8  0 Tìm ảnh của A, d, (C) qua:  a) Phép tịnh tiến theo véctơ v  (1; 2) ; b) Phép đối xứng trục Ox; c) Phép đối xứng qua gốc tọa độ O; d) Phép quay tâm O góc quay 900 ; e) Phép vị tự tâm O tỷ số k = –2; f) Phép vị tự tâm... hợp thành của hai phép đối xứng trục với trục là hai đường thẳng d và d 4) Cho hình chữ nhật ABCD Gọi O là tâm đối xứng của nó Gọi I, F, J, E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA Tìm ảnh của AEO qua phép đồng dạng có được từ việc thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua đường thẳng IJ và phép vị tự tâm B tỷ số k = 2  Hướng dẫn: Phép đối xứng trục IJ, ÑIJ (AEO)  BFO Phép vị tự tâm B... tọa độ O; d) Phép quay tâm O góc quay 900 ; e) Phép vị tự tâm O tỷ số k = –2; f) Phép vị tự tâm I(2; 1) tỷ số k = ½ ;  g) Phép đồng dạng là hợp thành của phép tịnh tiến theo v và phép vị tự tâm I(2; 1) tỷ số k = ½ h) Phép đồng dạng là hợp thành của phép vị tự tâm O tỷ số k = –2 và phép đối xứng trục : x  y  1  0  Hướng dẫn: a) A(–5; 0); d: x  2 y  5  0 ; (C ) : ( x  2)2  ( y  2)2  32...  15) 2  6 2   3) Cho véctơ v , đường thẳng d vuông góc với giá của véctơ v Gọi d là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo  1 véctơ v Chứng minh rằng phép tịnh tiến theo véctơ v là kết quả của việc thực hiện liên tiếp hai phép 2 đối xứng trục là đường thẳng d và d  Hướng dẫn: Lấy M tùy ý Phép đối xứng trục Ñd (M )  M  , Ñd  ( M )  M   1  Gọi A, A là giao điểm của MM với d, d . biến hình F thì ta viết H = F(H) hay F(H) = H. Vậy MH  F(M)H.  Thực hiện liên tiếp hai phép biến hình sẽ được một phép biến hình. Phép biến hình này gọi là phép hợp của hai phép biến hình. là phép biến hình trong mặt phẳng.  Nếu ký hiệu phép biến hình đó là F thì ta viết F(M) = M hay M = F(M) và gọi M là ảnh của M qua phép biến hình F.  Nếu H là ảnh của hình H qua phép biến. tâm và phép quay là những phép dời hình.  Các phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình cũng là một phép dời hình.   1 Vd Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E,