Các phép biến hình

Ch¬ng 1 phÐp biÕn h×nh CHƯƠNG I : PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG Vấn đề 1 : PHÉP DỜI HÌNH A. KIẾN THỨC CƠ BẢN ′ ′ 1 Phép biến hình . ª ĐN : Phép biến hình là một quy tắc để với mỗi điểm M của mặt phẳng xác đònh được một điểm duy nhất M của mặt phẳng , điểm M gọi là ảnh của M qua phé ′ ′ ′ ′ ′ → → f p biến hình đó . ª Kí hiệu : f là một phép biến hình nào đó và M là ảnh của M qua phép f thì ta viết : M = f(M) hay f(M) = M hay f : M M hay M M . Điểm M gọi là tạoI I ⇔ ∀ ∈ o 1 2 2 1 ª ảnh . f là phép biến hình đồng nhất f(M) = M , M H . Điểm M gọi là điểm bất động , kép , bất biến . f ,f là các phép biến hình thì f f là phép biến hình . Nếu H l ′ ′ ∈ ′ à một hình nào đó thì tập hợp các điểm M = f(M), với M H, tạo thành một hình H được gọi là ảnh của H qua phép biến hình f và ta viết : H = f(H) . ′ ′ 2 Phép dời hình . ĐN : Phép dời hình là phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì , tức là với hai điểm bất kì M,N và ảnh M , N của chúng , ta luôn c ′ ′ g ó M N = MN . ( Bảo toàn khoảng cách ) . 3 Tính chất : ( của phép dời hình ) . ĐL : Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng , ba điểm không thẳng hàng g thành ba điểm không thẳng hàng . HQ :Phép dời hình biến : 1. Đường thẳng thành đường thẳng . 2. Tia thành tia . 3. Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó . 4. Tam giác thành t → → → ′ ′ am giác bằng nó . ( Trực tâm trực tâm , trọng tâm trọng tâm ) 5. Đường tròn thành đường tròn bằng nó . ( Tâm biến thành tâm : I I , R = R ) 6. Góc thành góc I I I bằng nó . B . BÀI TẬP ′  − ′ →  ′  − − ′ ′ x = 2x 1 1 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = . y = y + 3 Tìm ảnh của các điểm sau : a) A(1;2) b) B( 1;2) c) C(2; 4) Giải : a) A = f(A) = (1;5) b) B = I − ′ − ′  − + ′ →  ′ −  − − f(B) = ( 7;6) c) C = f(C) = (3; 1) x = 2x y 1 2 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = . y = x 2y + 3 Tìm ảnh của các điểm sau : a) A(2;1) b) B( 1;3) c) C( 2 I ′ ′ − − ′ − − ′ → ;4) Giải : a) A = f(A) = (4;3) b) B = f(B) = ( 4; 4) c) C = f(C) = ( 7; 7) 3 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (3x;y) . Đây có phải là phép dời hình hay I không ? - 1 - Ch¬ng 1 phÐp biÕn h×nh ′ → ′ → 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 Giải : Lấy hai điểm bất kì M(x ;y ),N(x ;y ) Khi đó f : M(x ;y ) M = f(M) = (3x ; y ) . f : N(x ;y ) N = f(N) = (3x ; y ) I I ′ ′ − + − − + − ′ ′ ≠ ≠ 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 Ta có : MN = (x x ) (y y ) , M N = 9(x x ) (y y ) Nếu x x thì M N MN . Vậy : f không phải là phép dời hình . (Vì có 1 số điểm f không bảo toàn khoảng cách) . { { { { ′ ′ ′ ′ ′ ′ → − → y x x y 4 Trong mpOxy cho 2 phép biến hình : a) f : M(x;y) M = f(M) = (y ; x 2) b) g : M(x;y) M = g(M) = ( 2x ; y+1) . Phép biến hình nào trên đây là phép dời hình I I ′ ′ ≠ ≠ ′ → − 1 2 ? HD : a) f là phép dời hình b) g không phải là phép dời hình ( vì x x thì M N MN ) 5 Trong mpOxy cho 2 phép biến hình : a) f : M(x;y) M = f(M) = (y + 1 ; x) I ′ → b) g : M(x;y) M = g(M) = ( x ; 3y ) . Phép biến hình nào trên đây là phép dời hình ? Giải : a) f là phép dời hình b) g không phải là phép dời hình ( I ′ ′ ≠ ≠ 1 2 vì y y thì M N MN ) ′ → − + ∆ − − 6 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = ( 2x ;y 1) . Tìm ảnh của đường thẳng ( ) : x 3y 2 = 0 qua phép biến hình f . Giải : Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ I ′  − ′  −  = ′ → ⇔   ′ = +   ′ = −  ′ − ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ∈ ∆ ⇔ − − − = ⇔ + − = ⇔ ∈ ∆ + − = ∈ ∆ ≠ g x x = 2x x Ta có f : M(x;y) M = f(M) = 2 y y 1 y y 1 x Vì M(x;y) ( ) ( ) 3(y 1) 2 0 x 6y 2 0 M (x ;y ) ( ) : x 6y 2 0 2 Cách 2 : Lấy 2 điểm bất kì M,N ( ) : M N . M I ′ ∈ ∆ → = = − ′ ∈ ∆ − − → = =g ( ) : M(2;0) M f(M) ( 4;1) N ( ) : N( 1; 1) N f(N) (2;0) I I ′  − − ′ ′ ′ ′ ′ ∆ ≡ → ∆ = → ∆ + − =  ′ ′ − = −  g uuuuur g Qua M ( 4;1) x+ 4 y 1 ( ) (M N ): PTCtắc ( ) : PTTQ ( ):x 6y 2 0 6 1 VTCP : M N (6; 1) ′ → + + ′ − → 2 2 7 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 3;y 1) . a) CMR f là phép dời hình . b) Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x + 1) + (y 2) = 4 . (C ) : (x I I − − 2 2 2) + (y 3) = 4 - 2 - Ch¬ng 1 phÐp biÕn h×nh ′ → − + ∆ − 8 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 3;y 1) . a) CMR f là phép dời hình . b) Tìm ảnh của đường thẳng ( ) : x + 2y 5 = 0 . c) Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x I − ′ → − + 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 + 1) + (y 2) = 2 . x y d ) Tìm ảnh của elip (E) : + = 1 . 3 2 Giải : a) Lấy hai điểm bất kì M(x ;y ),N(x ;y ) Khi đó f : M(x ;y ) M = f(M) = (x 3; y 1) . f : N I ′ → − + ′ ′ − + − 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 (x ;y ) N = f(N) = (x 3; y 1) Ta có : M N = (x x ) (y y ) = MN Vậy : f là phép dời hình . I ′ ′   − = + ′ → ⇔   ′ ′ = + = −   ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ∈ ∆ ⇔ + + − − = ⇔ + − = ⇔ ∈ b) Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ x = x 3 x x 3 Ta có f : M(x;y) M = f(M) = y y 1 y y 1 Vì M(x;y) ( ) (x 3) 2(y 1) 5 0 x 2y 4 0 M (x ;y ) ( I ′ ∆ + − =) : x 2y 4 0 ∈ ∆ ≠ ′ ∈ ∆ → = = ′ ∈ ∆ → = = g g Cách 2 : Lấy 2 điểm bất kì M,N ( ) : M N . M ( ) : M(5 ;0) M f(M) (2;1) N ( ) : N(3 ; 1) N f(N) (0;2) I I ′  − − ′ ′ ′ ′ ′ ∆ ≡ → ∆ = → ∆ + − =  ′ ′ − = −  ∆ g uuuuur g Qua M (2;1) x 2 y 1 ( ) (M N ): PTCtắc ( ) : PTTQ( ): x 2y 4 0 2 1 VTCP : M N ( 2;1) Cách 3: Vì f là phép dời hình nên f biến đường thẳng ( ) thành đường thẳng ′ ∆ ∆ ′ ∈ ∆ → = = ′ ′ ′ ′ ′ ∆ ∆ ⇒ ∆ + ≠ − ∆ ∋ ⇒ − ⇒ ∆ + − = g g ( ) // ( ) . Lấy M ( ) : M(5 ;0) M f(M) (2;1) Vì ( ) // ( ) ( ): x + 2y m = 0 (m 5) . Do : ( ) M (2;1) m = 4 ( ): x 2y 4 0 c) Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ I ′ ′   − = + ′ → ⇔   ′ ′ = + = −   ′ ′ ∈ − ⇔ + + − = ⇔ ′ ′ ′ ⇔ 2 2 2 2 x = x 3 x x 3 Ta có f : M(x;y) M = f(M) = y y 1 y y 1 Vì M(x;y) (C) : (x + 1) + (y 2) = 2 (x 4) (y 3) 2 M (x ;y I ′ ∈ + + − = ′   − − = − ′ ′ → → + + − =   ′ + +   2 2 f 2 2 ) (C ) : (x 4) (y 3) 2 + Tâm I( 1;2) + Tâm I = f[I( 1;2)] ( 4;3) Cách 2 : (C) (C ) (C ) : (x 4) (y 3) 2 BK : R = 2 BK : R = R = 2 ′ ′   − = + ′ → ⇔   ′ ′ = + = −   d) Dùng biểu thức toạ độ x = x 3 x x 3 Ta có f : M(x;y) M = f(M) = y y 1 y y 1 I ′ ′ − − ′ ′ ′ ′ ∈ ⇔ ⇔ ∈ 2 2 2 2 2 2 x y (x + 3) (y 1) (x + 3) (y 1) Vì M(x;y) (E) : + = 1 + = 1 M (x ;y ) (E ) : + = 1 3 2 3 2 3 2 - 3 - Ch¬ng 1 phÐp biÕn h×nh ′ → + − ∆ − + 9 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 1;y 2) . a) CMR f là phép dời hình . b) Tìm ảnh của đường thẳng ( ) : x 2y 3 I − − − + − 2 2 2 2 2 2 = 0. c) Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x + 3) + (y 1) = 2 . d) Tìm ảnh của parabol (P) : y = 4x . ĐS : b) x 2y 2 = 0 c) (x + 2) + (y 1) = 2 d) (y + 2) = 4(x 1) ′ → −10 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = ( x ;y) . Khẳng đònh nào sau đây sai ? I ∈ A. f là 1 phép dời hình B. Nếu A(0 ; a) thì f(A) = A C. M và f(M) đối xứng nhau qua trục hoành D. f[M(2;3)] đường thẳng 2x + y + 1 = 0 → ĐS : Chọn C . Vì M và f(M) đối xứng nhau qua trục tung C sai . ′ ′ → − → − − − 1 1 2 2 1 2 12 Trong mpOxy cho 2 phép biến hình : f : M(x;y) M = f (M) = (x + 2 ; y 4) ; f : M(x;y) M = f (M) = ( x ; y) . Tìm toạ độ ảnh của A(4; 1) qua f rồi f , nghóa là tì I I ′ ′′ − → − → − 1 2 2 1 f f m f [f (A)] . ĐS : A(4; 1) A (6; 5) A ( 6 ; 5 ) .I I ′ → − ∈ x 11 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = ( ; 3y) . Khẳng đònh nào sau đây sai ? 2 A. f (O) = O (O là điểm bất biến) B. Ảnh của A Ox thì I ′ ∈ ′ ′ ∈ ∈ − − ảnh A = f(A) Ox . C. Ảnh của B Oy thì ảnh B = f(B) Oy . D. M = f[M(2 ; 3)] = (1; 9) ′ − ĐS : Chọn D . Vì M = f [M(2 ; 3)] = (1; 9) Vấn đề 2 : PHÉP TỊNH TIẾN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN ′ ′ = uuuuur r r 1 ĐN : Phép tònh tiến theo vectơ u là một phép dời hình biến điểm M thành điểm M sao cho MM u. ′ ′ = ⇔ = uuuuur r r r g Kí hiệu : T hay T .Khi đó : T (M) M MM u u u Phép tònh tiến hoàn toàn được xác đònh khi biết vectơ tònh tiến của nó . Nếu T (M) M , M thì T là phép đồng nhất . o o 2 Biểu thức tọa độ : Cho u = (a;b) và phép tònh tiến T u = ∀ r r g r r ′  ′ ′ ′ → =  ′  r x = x + a M(x;y) M =T (M) (x ;y ) thì u y = y + b I g g 3 Tính chất : ĐL : Phép tònh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì . HQ : 1. Bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự của các điểm tương ứng . 2. Biến một tia thành tia . 3. Bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự của các điểm tương ứng . 5. Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó . 6. Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho . → → Biến 7. tam giác thành tam giác bằng nó . (Trực tâm trực tâm , trọng tâm trọng tâm )I I ′ ′ → 8. Đường tròn thành đường tròn bằng nó . (Tâm biến thành tâm : I I , R = R )I  PHƯƠNG PHÁP TÌM ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM - 4 - Ch¬ng 1 phÐp biÕn h×nh ′  ′ ′ ′ → =  ′  r x = x + a M(x;y) M =T (M) (x ;y ) thì u y = y + b I  PHƯƠNG PHÁP TÌM ẢNH CỦA MỘT HÌNH (H) . ′ ′ ∈ → ∈ ′ ≡ → ≡ g g Cách 1 : Dùng tính chất (cùng phương của đthẳng , bán kính đường tròn : không đổi ) 1. Lấy M (H) M (H ) 2. (H) đường thẳng (H ) đường thẳng cùng phương I ′   + + ′ ′ ′ ≡ → ≡   ′   ′ ′ Tâm I Tâm I (H) (C) (H ) (C ) (cần tìm I ) . + bk : R + bk : R = R Cách 2 : Dùng biểu thức tọa độ . Tìm x theo x , tìm y theo y rồi thay vào biểu thức tọa độ . Cách 3 II ′ ′ ′ ∈ → ∈ : Lấy hai điểm phân biệt : M, N (H) M , N (H )I B, BÀI TẬP ′ − ′ ′   − = = ′ ′ ′ ′ ⇔ = ⇔ − + = ⇔ ⇔   ′ ′ + = = −   r uuuuur r r 1 Trong mpOxy . Tìm ảnh của M của điểm M(3; 2) qua phép tònh tiến theo vectơ u = (2;1) . Giải x 3 2 x 5 Theo đònh nghóa ta có : M = T (M) MM u (x 3;y 2) (2;1) u y 2 1 y 1 ′ ⇒ − − r r M (5; 1) 2 Tìm ảnh các điểm chỉ ra qua phép tònh tiến theo vectơ u : a) A( 1;1) , u = (3;1) ′ ⇒ − r A (2;3) b) B(2;1) , u = ( 3;2) ′ ⇒ − ′ − − ⇒ r B ( 1;3) c) C(3; 2) , u = ( 1;3) C (2;1) ′ ′ ′ ′ ′ ′ = = r uuur uuuur r r 3 Trong mpOxy . Tìm ảnh A ,B lần lượt của điểm A(2;3), B(1;1) qua phép tònh tiến theo vectơ u = (3;1) . Tính độ dài AB , A B . Giải Ta có : A = T (A) (5;4) , B = T (B) u u ′ ′ ′ ′ = = = = = = ⇔ = = ⇔ = uuur uuuur r r r r r r uuuuur uuuuuuur r r r 1 2 1 2 (4;2) , AB = |AB| 5 , A B = |A B | 5 . 4 Cho 2 vectơ u ;u . Gỉa sử M T (M),M T (M ). Tìm v để M T (M) . 1 2 1 u 2 u 1 2 v Giải Theo đề : M T (M) MM u , M T (M ) M M 1 u 1 1 2 u 1 1 2 = ⇔ = ⇒ = = + = = r uuuuuur uuuuuur uuuuur uuuuuuur r r r r r r r r u . 2 Nếu : M T (M) MM v v MM MM M M u + u .Vậy : v u + u 2 v 2 2 1 1 2 1 2 1 2 ′ ∆ − ∆ ∆ − r 5 Đường thẳng cắt Ox tại A( 1;0) , cắt Oy tại B(0;2) . Hãy viết phương trình đường thẳng là ảnh của qua phép tònh tiến theo vectơ u = (2; 1) . - 5 - Ch¬ng 1 phÐp biÕn h×nh ′ ′ = = − = = ′  −  = + ′ ′ ′ ′ ′ ′ ∆ = ∆ ⇒ ∆ ∆ ⇒ ∆   = − + ′ ′   r r g r uuuuur g Giải Vì : A T (A) (1; 1) , B T (B) (2;1) . u u qua A (1; 1) x 1 t Mặt khác : T ( ) đi qua A ,B . Do đó : ptts : u y 1 2t VTCP : A B = (1;2) ′ ∆ ∆ ∆ − − ′ = = − r r 6 Đường thẳng cắt Ox tại A(1;0) , cắt Oy tại B(0;3) . Hãy viết phương trình đường thẳng là ảnh của qua phép tònh tiến theo vectơ u = ( 1; 2) . Giải Vì : A T (A) (0; 2) , u ′ = = − ′  −  = − ′ ′ ′ ′ ′ ′ ∆ = ∆ ⇒ ∆ ∆ ⇒ ∆   = − + ′ ′ −   ∆ − − r g r uuuuur g r B T (B) ( 1;1) . u qua A (0; 2) x t Mặt khác : T ( ) đi qua A ,B . Do đó : ptts : u y 2 3t VTCP : A B = ( 1;3) 7 Tương tự : a) : x 2y 4 = 0 , u = (0 ; 3) ′ ⇒ ∆ − + = ′ ∆ + − − − ⇒ ∆ + + = r : x 2y 2 0 b) : 3x y 3 = 0 , u = ( 1 ; 2) : 3x y 2 0 8 Tìm ảnh c + − = − ′ ′   − ⇔   ′ ′ −   ∈ r r 2 2 ủa đường tròn (C) : (x + 1) (y 2) 4 qua phép tònh tiến theo vectơ u = (1; 3) . Giải x = x + 1 x = x 1 Biểu thức toạ độ của phép tònh tiến T là : u y = y 3 y = y + 3 Vì : M(x;y) ( ′ ′ ′ ′ ′ ′ + − = ⇔ + + = ⇔ ∈ + + = ′ + + = 2 2 2 2 2 2 C) : (x + 1) (y 2) 4 x (y 1) 4 M (x ;y ) (C ) : x (y 1) 4 2 2 Vậy : Ảnh của (C) là (C ) : x (y 1) 4 ′ → + − ∆ − + 9 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 1;y 2) . a) CMR f là phép dời hình . b) Tìm ảnh của đường thẳng ( ) : x 2y 3 I − − − + − 2 2 2 2 2 2 = 0. c) Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x + 3) + (y 1) = 2 . d) Tìm ảnh của parabol (P) : y = 4x . ĐS : b) x 2y 2 = 0 c) (x + 2) + (y 1) = 2 d) (y + 2) = 4(x ′ → − 1) 10 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = ( x ;y) . Khẳng đònh nào sau đây sai ? A. f là 1 phép dời hình B. I ∈ Nếu A(0 ; a) thì f(A) = A C. M và f(M) đối xứng nhau qua trục hoành D. f [M(2;3)] đường thẳng 2x + y + 1 = 0 ĐS : Chọn C . Vì M và f(M) đối xứng nhau qua t → rục tung C sai . − + + = − ′ ′   − ⇔   ′ ′ + −   r r 2 2 9 Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x 3) (y 2) 1 qua phép tònh tiến theo vectơ u = ( 2;4) . x = x 2 x = x + 2 Giải : Biểu thức toạ độ của phép tònh tiến T là : u y = y 4 y = y 4 ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ∈ − + + = ⇔ − + − = ⇔ ∈ − + − = ′ − + − = 2 2 2 2 2 2 Vì : M(x;y) (C) : (x 3) (y 2) 1 (x 1) (y 2) 1 M (x ;y ) (C ) : (x 1) (y 2) 1 2 2 Vậy : Ảnh của (C) là (C ) : (x 1) (y 2) 1 - 6 - Ch¬ng 1 phÐp biÕn h×nh ′ − + + = ⇒ − + − = ′ + − + − = − r r 2 2 2 2 BT Tương tự : a) (C) : (x 2) (y 3) 1, u = (3;1) (C ) : (x 1) (y 2) 1 2 2 b) (C) : x y 2x 4y 4 0, u = ( 2;3) (C ) + + − − = − − g 2 2 : x y 2x 2y 7 0 10 Trong hệ trục toạ độ Oxy , xác đònh toạ độ các đỉnh C và D của hình bình hành ABCD biết đỉnh A( 2;0), đỉnh B( 1;0) và giao điểm các đường chéo là I(1;2) . Giải = − − = = −   − = = ⇔ = ⇔ ⇔ ⇒   − = =   uur uur uur g uur uur uur g Gọi C(x;y) .Ta có : IC (x 1;y 2),AI (3;2),BI (2; 1) Vì I là trung điểm của AC nên : x 1 3 x 4 C = T (I) IC AI C(4;4) AI y 2 2 y 4 Vì I là trung điểm của AC nên : D =   − = =   ⇔ = ⇔ ⇔ ⇒   − = =     − ⇒ − ′ uur uur uur x 1 2 x 3 D D T (I) ID BI D(3;4) BI y 2 2 y 4 D D Bài tập tương tự : A( 1;0),B(0;4),I(1;1) C(3;2),D(2; 2) . 11 Cho 2 đường thẳng song song nhau d và d . Hãy chỉ ra một ′ ′ ′ ∈ ∈ ′ ′ ∈ ⇔ = uuuuur uuur uuur phép tònh tiến biến d thành d . Hỏi có bao nhiêu phép tònh tiến như thế ? Giải : Chọn 2 điểm cố đònh A d , A d Lấy điểm tuỳ ý M d . Gỉa sử : M = T (M) MM AB AB ′ ′ ′ ′ ′ ⇒ = ⇒ ⇒ ∈ ⇒ ′ ′ ′ uuuur uuuur uuur MA M B M B/ /MA M d d = T (d) AB Nhận xét : Có vô số phép tònh tiến biến d thành d . 12 Cho 2 đường tròn (I,R) và (I ,R ) .Hãy chỉ ra một phép tònh tiến biến (I,R) ′ ′ ′ ′ ′ ⇔ = ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ⇒ = ⇒ = = ⇒ ∈ ⇒ ′ uuuuur uur uur uuur uuuur uur thành (I ,R ) . Giải : Lấy điểm M tuỳ ý trên (I,R) . Gỉa sử : M = T (M) MM II II IM I M I M IM R M (I ,R ) (I ,R ) = T [(I,R)] II 13 Cho hình bình hành ABCD , hai đỉnh A,B cố đònh , tâm I thay đổi di động trên đường tròn (C) .Tìm quỹ tích trung điểm M của cạnh BC. Giải Gọi J là trung điểm cạnh AB . Khi đó d = uuur uur uur uur ễ thấy J cố đònh và IM JB . Vậy M là ảnh của I qua phép tònh tiến T . Suy ra : Quỹ tích của M là JB ảnh của đường tròn (C) trong phép tònh tiến theo vectơ JB ′ r 2 14 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho parabol (P) : y = ax . Gọi T là phép tònh tiến theo vectơ u = (m,n) và (P ) là ảnh của (P) qua phép tònh tiến đó . Hãy viết phương trình của ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ → − − ′ ′   − − ′ ⇔ ⇔   ′ ′ − −   ′ ′ ′ ∈ = ⇔ − − ⇔ r uuuuur uuuuur r g uuuuur r u (P ) . Giải : T M(x;y) M (x ;y ) , ta có : MM = u , với MM = (x x ; y y) x x = m x = x m Vì MM = u y y = n y = y n 2 2 Mà : M(x;y) (P): y ax y n = a(x m) y = I ′ ′ ′ ′ ′ − + ⇔ ∈ − + ′ − + ⇔ − + + ∆ − ≠ ∆ ∆ r r r r 2 2 a(x m) n M (x ;y ) (P ) : y = a(x m) n 2 2 2 Vậy : Ảnh của (P) qua phép tònh tiến T là (P ) : y = a(x m) n y = ax 2amx am n . u 15 Cho đt : 6x + 2y 1= 0 . Tìm vectơ u 0 để = T ( ) . u Gi ∆ − ∆ ∆ ⇔ − = − ⇒ − − − r r r r r r ải : VTCP của là a = (2; 6) . Để : = T ( ) u cùng phương a . Khi đó : a = (2; 6) 2(1; 3) u chọn u = (1; 3) . 16 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho 2 điểm A( 5;2) , C( 1;0) . Bi r r r r ết : B = T (A) , C = T (B) . Tìm u và v u v để có thể thực hiện phép biến đổi A thành C ? Giải - 7 - T u+v r r Ch¬ng 1 phÐp biÕn h×nh − → → − r r u v T T A( 5;2) B C( 1;0)I I . Ta có : AB u,BC v AC AB BC u v (4; 2)= = ⇒ = + = + = − uuur uuur uuur uuur uuur r r r r − − − →  → r r r r r r u v 17 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho 3 điểm K(1;2) , M(3; 1),N(2; 3) và 2 vectơ u = (2;3) ,v = ( 1;2) . Tìm ảnh của K,M,N qua phép tònh tiến T rồi T . u v T T HD : Gỉa sử : A(x;y) BI I ′ ′  = = ⇒ = + = + = ′ ′   − = = ′ ′ ′ ⇔ = ⇔ ⇔ ⇒   + ′ ′ − = =   ′ ′ uuur uuur uuur uuur uuur r r r r uuuur r r C(x ;y ) . Ta có : AB u,BC v AC AB BC u v (1;5) x 1 1 x 2 Do đó : K =T (K) KK (1;5) K (2;7) . u v y 2 5 y 7 Tương tự : M (4;4) , N (3;2) . 18 Trong hệ trụ ∆ − − ∆ ′ ≠ ′ ′ ′ → − → r r r r r u u c toạ độ Oxy , cho ABC : A(3;0) , B( 2;4) , C( 4;5) . G là trọng tâm ABC và phép tònh tiến theo vectơ u 0 biến A thành G . Tìm G = T (G) . u Giải T T A(3;0) G( 1;3) G (x ;yI I ′ ′   + = − = − ′ ′ = − = = ⇔ ⇔ ⇒ −   ′ ′ − = =   ′ − + + = + − + + = uuur uuuur r r ) x 1 4 x 5 Vì AG ( 4;3) u . Theo đề : GG u G ( 5;6). y 3 3 y 6 2 2 2 2 19 Trong mặt phẳng Oxy , cho 2 đường tròn (C) : (x 1) (y 3) 2,(C ): x y 10x 4y 25 0. Có hay không phe ′ ′ ′ ′ − − ′ r r ùp tònh tiến vectơ u biến (C) thành (C ) . HD : (C) có tâm I(1; 3), bán kính R = 2 ; (C ) có tâm I (5; 2), bán kính R = 2 . Ta thấy : R = R = 2 nên có phép tònh tiến theo vectơ u ′ − ∈∆ − − = uuur g = (4;1) biến (C) thành (C ) . 20 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho hình bình hành OABC với A( 2;1) và B :2x y 5 = 0 . Tìm tập hợp đỉnh C ? Giải Vì OABC là hình bình hành nên : BC = − ⇒ = − ′ ′   − = = − ′ ′ → = ⇔ ⇔   ′ ′ − = − = +   ′ ′ ′ ′ ′ ∈∆ ⇔ − − ⇔ − − ⇔ ∈∆ − − ∆ r uuur r r uuur r g g u AO (2; 1) C T (B) với u = (2; 1) u T x x 2 x x 2 B(x;y) C(x ;y ) . Do : BC u y y 1 y y 1 B(x;y) 2x y 5 = 0 2x y 10 = 0 C(x ;y ) :2x y 10 = 0 21 Cho ABC . Gọi A ,B ,C 1 1 1 I lần lượt là trung điểm các cạnh BC,CA,AB. Gọi O ,O ,O và I ,I ,I 1 2 3 1 2 3 tương ứng là các tâm đường tròn ngoại tiếp và các tâm đường tròn nội tiếp của ba tam giác AB C , 1 1 BC A 1 ∆ = ∆ → → → ⇒ ∆ →∆ → → ⇒ uuur uuur uuur uuur 1 1 1 AB AB AB 2 2 2 , và CA B . Chứng minh rằng : O O O I I I . 1 1 1 1 2 3 1 2 3 HD : Xét phép tònh tiến : T biến A C,C B,B A . 1 1 1 1 AB 2 T T T AB C C BA ;O O ;I I . 1 1 1 1 1 2 1 2 I I I I I I w = ⇒ = = = ⇒ = = ⇒ ∆ = ∆ uuuuuur uuuur uuur uuur uuuuuur uuuur uuuuuur uuuur O O I I O O I I . 1 2 1 2 1 2 1 2 Lý luận tương tự : Xét các phép tònh tiến T ,T suy ra : 1 1 BC CA 2 2 O O I I và O O I I O O I I ,O O I I O O O I I I ( 2 3 2 3 3 1 3 1 2 3 2 3 3 1 3 1 1 2 3 1 2 3 w c.c.c). - 8 - Ch¬ng 1 phÐp biÕn h×nh µ µ µ · = = = = → ⇔ = = uuur o o o uuuur uuur BC 22 Trong tứ giác ABCD có AB = 6 3cm ,CD 12cm , A 60 ,B 150 và D 90 . Tính độ dài các cạnh BC và DA . HD : T Xét : A M AM BC.Ta có : ABCM là hình bình hành và BCM 3Iw µ = o o 0 (vì B 150 ) · · = − + + = ⇒ = ∆ = + − = + − = ⇒ ⇒ ∆ o o o o o o o Lại có : BCD 360 (90 60 150 ) 60 MCD 30 . Đònh lý hàm cos trong MCD : 3 2 2 2 2 2 MD MC DC 2MC.DC.cos30 (6 3) (12) 2.6 3.12. 36 2 MD = 6cm . 1 Ta có : MD = CD và MC = MD 3 MDC là tam giác 2 · · · · · ⇒ ∆ ⇒ = = = = = ⇒ ∆ o o o đều MCD là nửa tam giác đều DMC 90 và MDA 30 . Vậy : MDA MAD MAB 30 AMD là tam giác cân tại M . ⊥ ⇒ ⇒ = ⇒ = o 6 3 Dựng MK AD K là trung điểm của AD KD=MDcos30 cm AD 6 3cm 2 Tóm lại : BC = AM = MD = 6cm , AD = AB = 6 3cm Vấn đề 3 : PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC A , KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 ĐN1:Điểm M gọi là đối xứng với điểm M qua đường thẳng a nếu a là đường trung trực của đoạn MM . Phép đối xứng qua đường thẳng còn gọi là phép đối xứng trục . Đườ ′ ′ ng thẳng a gọi là trục đối xứng. ĐN2 : Phép đối xứng qua đường thẳng a là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M đối xứng với M qua đường thẳng a . Kí hiệ ′ a o o o u : Đ (M) M M M M M , với M là hình chiếu của M trên đường thẳng a . ′ ′ = ⇔ = − uuuuuur uuuuuur Khi đó : ∈ =g a Nếu M a thì Đ (M) M : xem M là đối xứng với chính nó qua a . ( M còn gọi là điểm bất động ) ′ ′ ∉ = ⇔ g a M a thì Đ (M) M a là đường trung trực của MM a a Đ (M) M thì Đ (M ) M ′ ′ = =g a a Đ (H) H thì Đ (H ) H , H là ảnh của hình H . ′ ′ ′ = =g ⇔ =g g d ĐN : d là trục đối xứng của hình H Đ (H) H . Phép đối xứng trục hoàn toàn xác đònh khi biết trục đối xứng của nó . Chú ý : Một hình có thể không có trục đối xứng ,có thể có một hay nhiều trục đối xứng . ′ ′ ′ → = = ′ ′   − ≡ ≡   ′ ′ −   d 2 Biểu thức tọa độ : M(x;y) M Đ (M) (x ;y ) x = x x = x ª d Ox : ª d Oy : y = y y = y I - 9 - Ch¬ng 1 phÐp biÕn h×nh g 3 ĐL : Phép đối xứng trục là một phép dời hình . 1.Phép đối xứng trục biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự của các điểm tương ứ HQ : → ng . 2. Đường thẳng thành đường thẳng . 3. Tia thành tia . 4. Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó . 5. Tam giác thành tam giác bằng nó . (Trực tâm trực tâm , trọn I → ′ ′ → g tâm trọng tâm ) 6. Đường tròn thành đường tròn bằng nó . (Tâm biến thành tâm : I I , R = R ) 7. Góc thành góc bằng nó . I I a PP : Tìm ảnh M = Đ (M) 1. (d) M , d a 2. H = d a 3. H là trung điểm của MM M ? ′ • ∋ ⊥ ∩ ′ ′ → ′ ∆ ∆ ∆ ∈ ∆ ≠ ′ ′ ′ ′ ′ ∆ ∋ ∆ → ∆ a a ª PP : Tìm ảnh của đường thẳng : = Đ ( ) TH1:( )// (a) 1. Lấy A,B ( ) : A B 2. Tìm ảnh A = Đ (A) 3. A , // (a) w ∆ ∆ ∩ ∈∆ ≠ ′ ∆ ≡ a TH2 : // a 1. Tìm K = a 2. Lấy P : P K .Tìm Q = Đ (P) 3. (KQ) w ª PP : ∈ ∆ min Tìm M ( ) : (MA + MB) . ∈ ∆ ∆ ′ ∆ ′ ′ ∀ ∈ ∆ = ≥ ′ ′ ⇔ ∩ ∆ min min Tìm M ( ) : (MA+ MB) Loại 1 : A, B nằm cùng phía đối với ( ) : 1) gọi A là đối xứng của A qua ( ) 2) M ( ), thì MA + MB MA + MB A B Do đó: (MA+MB) = A B M = (A B) ( ) w ∆ ∀ ∈ ∆ ≥ ⇔ ∩ ∆ min Loại 2 : A, B nằm khác phía đối với ( ) : M ( ), thì MA + MB AB Ta có: (MA+MB) = AB M = (AB) ( ) w B . BÀI TẬP - 10 - [...]... 29 Trong các hình sau , hình nào có nhiều trục đối xứng nhất ? A Hình chữ nhật B Hình vuông C Hình thoi ĐS : Chọn B Vì : Hình vuông có 4 trục đối xứng µ µ D B = C = 35o D Hình thang cân - 15 - Ch¬ng 1 phÐp biÕn h×nh 30 Trong các hình sau , hình nào có ít trục đối xứng nhất ? A Hình chữ nhật B Hình vuông C Hình thoi ĐS : Chọn D Vì : Hình thang cân có 1 trục đối xứng 31 Trong các hình sau , hình nào... A Hình thoi B Hình vuông ĐS : Chọn C Vì : ∆ đều có 3 trục đối xứng C ∆ đều 32 Trong các hình sau , hình nào có nhiều hơn 4 trục đối xứng ? A Hình vuông B Hình thoi C Hình tròn ĐS : Chọn C Vì : Hình tròn có vô số trục đối xứng D Hình thang cân D ∆ vuông cân D Hình thang cân 33 Trong các hình sau , hình nào khôn g có trục đối xứng ? A Hình bình hành B ∆ đều C ∆ cân D Hình thoi ĐS : Chọn A Vì : Hình. .. hình vuông Vấn đề 6 : HAI HÌNH BẰNG NHAU A KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 ĐL : Nếu ABC và A′B′C′ là hai tam giác bằng nhau thì có phép dời hình biến ∆ABC thành ∆A′B′C′ 2 Tính chất : 1 Nếu thực hiện liên tiếp hai phép dời hình thì được một phép dời hình 2 Hai hình gọi là bằng nhau nếu có phép dời hình biến hình này thành hình kia B BÀI TẬP 1 Cho hình chữ nhật ABCD Gọi E,F,H,I theo thứ tự là trung điểm của các. .. là trung điểm của các cạnh AB,BC,CD,DA,AH,OG Chứng minh rằng : Hai hình thang AIOE và GJFC bằng nhau HD : uuu r Phép tònh tiến theo AO biến A,I,O,E lần lượt thành O,J,C,F Phép đối xứng qua trục của OG biến O,J,C,F lần lượt thành G,J,F,C Từ đó suy ra phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép biến hình trên sẽ biến hình thang AJOE thành hình thang GJFC Do đó hai hình thang ấy bằng... ĐAH (∆) Vậy : Tập hợp các điểm C là đường thẳng ∆′ b) Tương tự : Tập hợp các điểm C là đường tròn tâm J , bán kính R là ảnh của đường tròn (I) qua ĐAH Vấn đề 4 : PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM A , KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 ĐN : Phép đối xứng tâm I là một phép dời hình biến mỗi điểm M thàn h điểm M′ đối xứng với M qua I Phép đối xứng qua một điểm còn gọi là phép đối tâm Điểm I gọi là tâm của của phép đối xứng hay đơn... A( − 3; 0),B(0;3),C(2; 4) Phép biến hình f biến A thành A′( − 1;3) , B thành B′(2;6) , C thành C′(4;7) Khẳng đònh nào sau đây đúng ? A) f là phép quay Q (O;90o ) 3 B) f là phép đối xứng tâm I( − 1; ) 2 D) f là phép đối xứng trục r C) f là phép tònh tiến theo vectơ u = (2;3) ĐS : C) Vấn đề 7 : PHÉP VỊ TỰ A KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 ĐN : Cho điểm I cố đinh và một số k ≠ 0 Phép vò tự tâm I tỉ số k uuu... Hãy tìm toạ độ các đỉnh A′, B′ và C ĐS : A′(1;5), B′(4;6) và C( − 3;1) - 14 - Ch¬ng 1 phÐp biÕn h×nh 24 Xét các hình vuông , ngũ giác đều và lục giác đều Cho biết số trục đối xứng tương ứng của mỗi loại đa giác đều đó và chỉ ra cách vẽ các trục đối xứng đó ĐS : gHình vuông có 4 trục đối xứng , đó là các đường thẳng đi qua 2 đỉnh đối diện và các đường thẳng đi qua trung điểm của các cặp cạnh đối... đều Vấn đề 5 : PHÉP QUAY A KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 ĐN : Trong mặt phẳng cho một điểm O cố đònh và góc lượng giác ϕ Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M′ sao cho OM = OM′ và (OM;OM′) = ϕ được gọi là phép quay tâm O với góc quay ϕ gPhép quay hoàn toàn xác đònh khi biết tâm và góc quay gKí hiệu : Qϕ O Chú ý : Chiều dương của phép quay ≡ chiều dương của đường tròn lựơng giác gQ2kπ ≡ phép đồng nhất... Trong mpOxy cho các điểm A( − 3;2),B( − 4;5) và C( − 1;3) a) Chứng minh rằng : Các điểm A ′(2;3),B′ (5;4) và C′(3;1) theo thứ tự là ảnh của A,B và C qua Q (O;− 90o ) b) Gọi ∆A1B1C1 là ảnh của ∆ABC qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép - 30 - Ch¬ng 1 phÐp biÕn h×nh Q và phép đối xứng ĐOx Tìm toạ độ các đỉnh của ∆A1B1C1 (O;− 90o ) HD : a) Gọi M,N lần lượt là hình chiếu của A... cho A(3;4) Hãy tìm toạ độ điểm A′ là ảnh của A qua phép quay tâm O góc 90o HD : Gọi B(3;0),C(0;4) lần lượt là hình chiếu của A lên các trục Ox,Oy Phép quay tâm O góc 90o biến hình chữ nhật OABC thành hình chữ nhật OC′A′B′ Khi đó : C′(0;3),B′( − 4;0) Suy ra : A′( − 4;3) - 23 - Ch¬ng 1 phÐp biÕn h×nh 6 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy Tìm phép quay Q biến điểm A( − 1;5) thành điểm B(5;1) uuu r uuu r OA . CHƯƠNG I : PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG Vấn đề 1 : PHÉP DỜI HÌNH A. KIẾN THỨC CƠ BẢN ′ ′ 1 Phép biến hình . ª ĐN : Phép biến hình là một. . f là phép biến hình đồng nhất f(M) = M , M H . Điểm M gọi là điểm bất động , kép , bất biến . f ,f là các phép biến hình thì f f là phép biến hình .