MỐI QUAN HỆ CỦA CÁC CUNG LƯỢNG GIÁC ĐẶC BIỆT 1.. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC – P2 Thầy Đặng Việt Hùng... Vậy biểu thức A không phụ thuộc vào biến x.. tan Nhận xét: Cách giải trên là c
Trang 1III MỐI QUAN HỆ CỦA CÁC CUNG LƯỢNG GIÁC ĐẶC BIỆT
1 Hai cung đối nhau: x và –x
2 Hai cung bù nhau: x và π – x
tan(π – x) = –tanx cot(π – x) = –cotx
3 Hai cung phụ nhau: x và π/2 – x
sin(π/2 – x) = cosx cos(π/2 – x) = sinx
tan(π/2 – x) = cotx cot(π/2 – x) = tanx
4 Hai cung hơn nhau π: x và π + x
sin(π + x) = –sinx cos(π + x) = –cosx
5 Hai cung hơn nhau π/2: x và π/2 + x
sin(π/2 + x) = cosx cos(π/2 + x) = –sinx
tan(π/2 + x) = –cotx cot(π/2 + x) = –tanx
Chú ý: Với k là số nguyên thì ta có:
sin(x + k2π) = sinx cos(x + k2π) = cosx
tan(x + kπ) = tanx cot(x + kπ) = cotx
Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức sau:
= + + − + − + −
= + − +
2 sin 2550 cos 188 1
tan 368 2 cos 638 cos 98
+
Hướng dẫn giải:
= + + − + − + −
sin sin cot tan π π cot cot 0
2
= − + − + + − = − + =
= + − + = + + − − + +
sin π cos( π).cot π cos ( cos ).( tan ) sin cos
= − + − + = − − − = −
2 sin 2550 cos 188 2 sin 7.360 30 os 180 8
7 tan 368 2 cos 638 cos 98 tan 360 8
2 cos 180 8 os 90 8
2
c C
c
0
1 2 sin 30 ( cos8 ) 1 cos8 2
tan 8 2 sin 8 sin 8 tan 8 sin 8 tan 8
−
Tài liệu bài giảng:
01 CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC – P2
Thầy Đặng Việt Hùng
Trang 2Ví dụ 2: Chứng minh các đẳng thức sau
a) sin 11π sin 21π sin 9π sin 29π 2cos 2π
2 0
sin515 cos 475 cot 222 cot 408 1
cos 25 2 cot 415 cot 505 tan197 tan 73
=
tan105 +tan 285 −tan −435 −tan −75 =0
Hướng dẫn giải:
a) sin 11π sin 21π sin 9π sin 29π
= + + − + − =
= − + + − + − =
= − + − − = − = − − = −
sin 515 cos 475 cot 222 cot 408
cot 415 cot 505 tan197 tan 73
sin(360 180 25 ).cos( 360 90 25 ) cot(180 42 ).cot(360 48 )
cot(360 55).cot( 360 90 55) tan(180 17) tan(90 17)
sin 25 ( sin 25 ) cot 42 cot(90 42 ) sin 25 1 cos 25
cot 55 tan 55 tan17 cot17 2
+
0 2
tan105 tan 285 tan 435 tan 75
( )
tan(180 75 ) tan(360 75 ) tan( 360 75 ) tan 75
tan 75 tan 75 tan 75 tan 75 0
Ví dụ 3: Rút gọn các biểu thức sau:
= + − − − +
= − + − + − + −
= − − − + − −
= − − − − − + − −
Ví dụ 4: Rút gọn các biểu thức sau
= − + − − + −
sin 270 2 sin 450 cos 900 2 sin 720 cos 540
3
cos tan
C
=
= + − + − + − − −
Trang 3Ví dụ 5: Cho 3sin4 2 cos4 98.
81
x+ x= Tính giá trị biểu thức A=2 sin4x+3cos4 x
Ví dụ 6: Chứng minh các đẳng thức sau:
cos 20 sin 70
1 sin 160 cos 340 tan 250
−
cos sin
sin cos cot tan
c)
sin( 328 ).sin 958 cos( 508 ).cos( 1022 )
1 cot 572 tan( 212 )
e)
IV CÔNG THỨC CỘNG
sin(x±y)=sin cosx y±cos sinx y
cos(x±y)=cos cosx y∓sin sinx y
tan( ) tanx tan
1 tanx tan
y
x y
y
±
± =
∓
Ta xét một số các trường hợp đặc biệt
Trường hợp 1: Với y = x, ta được công thức góc nhân đôi
sin2x = 2sinx.cosx
cos2x = cos2x – sin2x = 2cos2x – 1 = 1 – 2sin2x
tan 2 2 tan2
1 tan
x x
x
=
−
Hệ quả (Công thức hạ bậc 2):
2
2
1 cos 2 sin
2
1 cos 2 cos
2
x x
x x
−
=
+
Trường hợp 2: Với y = 2x, ta được công thức góc nhân ba:
sin3x = 3sinx – 4sin3x
cos3x = 4cos3x – 3cosx
3 2
3 tan tan
tan 3
1 3 tan
x
x
−
=
Hệ quả (Công thức hạ bậc 3):
3
2
3sin sin 3 sin
4 3cos cos 3 cos
4
x
x
−
=
+
Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau
4
= −
, với
x= − < <x
b) Cho a, b là các góc nhọn thỏa mãn: sin 8 , tan 5
Tính: sin(a b− ), cos(a b+ ), tan(a b− )
Hướng dẫn giải:
a) cos 9 sin2 1 cos2 1 81 1600 sin 40
x
x
< < → < → = − → = =
Trang 4Từ đó ta được
40 π
1 tan tan
1 tan tan 1
x
x
−
−
b) Ta có:
sin a 8 cos a 15
= → = ±
Do a là góc nhọn cos 0 cos 15 tan 8
⇒ > → = → =
tan 5 sin 5 cos
Từ đó ta có
5
12
12 cos
13
b
b
⇔
Do b là góc nhọn nên
5 sin
13 sin 0; cos 0
12 cos
13
b
b
=
> > →
• sin( ) sin cos cos sin 8 12 15 5 21
17 13 17 13 221
• cos( ) cos cos sin sin 15 12 8 5 140
17 13 17 13 221
•
tan( )
8 5
15 12
a b
−
−
Ví dụ 2: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến
a) cos2 cos2 π cos2 π
= + + + −
b)
3cos cos 3 3sin sin 3
B
Hướng dẫn giải:
a) Cách 1 :
Cách 2: Sử dụng công thức hạ bậc:
x
+ + + −
+
= + + + + − = + + =
Trang 5Vậy biểu thức A không phụ thuộc vào biến x
b) Ta có
3cos cos 3 3sin sin 3 3cos 4 cos 3cos 3sin 4 sin 3sin
B
Vậy biểu thức B không phụ thuộc vào biến x
Ví dụ 3: Chứng minh các đẳng thức sau
tan tan
cos cos
b) sin4 cos4 1cos 4 3
c) 6 2 cos 4 cot2 tan2
1 cos 4
x
x
−
Hướng dẫn giải:
a)
sin sin sin cos sin cos tan tan
−
(sin cos sin cos )(sin cos sin cos ) sin( ) sin( )
sin cos sin cos 2(sin cos ) 1 2 sin 2 1 (1 cos 4 ) cos 4
c)
tan cot
+
2 2
sin 2
x
x
−
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC, chứng minh các đẳng thức sau:
a) sinA=sin cosB C+sin cosC B
b) tanA+tanB+tanC=tan tan tanA B C
Hướng dẫn giải:
a) sinBcosC+cosBsinC =sin(B C+ )=sin(π−A)=sinA→đpcm
b) tan tan tan sin sin sin
sin cos cos sin cos cos sin cos cos
cos cos cos cos (sin cos sin cos ) sin cos cos
cos cos cos cos sin( ) sin cos cos cos sin sin cos cos
sin (cos cos cos )
cos cos
A
=
=
−
tan tan tan
Nhận xét:
Cách giải trên là cách giải tương đối cổ điển, dựa vào phép biến đổi sơ cấp Ngoài ra chúng ta có thể thực hiện phép biến đổi theo hương khác nhanh gọn hơn như sau
1 tan A tan
B
B
+ + + = ⇔ + = − → + = − ⇔ = −
−
tanA tanB tanC tan tan tanA B C tanA tanB tanC tan tan tanA B C dpcm
V CÔNG BIẾN ĐỔI TỔNG SANG TÍCH VÀ TÍCH SANG TỔNG
Trang 6Ví dụ 1: Chứng minh các đẳng thức sau
tan tan 2
x
2 cos
x
x x
+ =
Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức sau
= − − + − −
B=sin 4 cot 2x x−cos 4x
= − + − + −
= + + + +
2 π
1 sin 2 sin
4 2
4 cos
2
x x
E
x
+ − −
cos sin sin cos sin 2 cos 2
F
−
=
sin 4 cos 2
(1 cos 4 )(1 cos 2 )
G
=
H
−
=
2 2(sin 2 2 cos 1)
cos sin cos 3 sin 3
I
=
cos sin cos sin cos sin cos sin
J
sin sin 3 sin 5 sin 7
cos cos 3 cos 5 cos 7
K
=
cos , 0
= + + + < <
Ví dụ 3: Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
tan 2 tan
tan tan 3
1 tan 2 tan
cos sin
1 tan cot
= −
1 tan tan cos cos
e) 4 cos4 2 cos 2 1cos 4 3
4
x
Chứng minh: x x
+
Ví dụ 5: Chứng minh các đẳng thức sau:
g)
x x
x
1 cos
2
4 2
sin 2
π π
π
+ +
+
x
1 sin 2 tan
π
+ = +
x
1 sin π4 2
= −
tan 2 tan tan tan3
1 tan tan 2
−
=
−
c) sin cosx 3x cos sinx 3x 1sin 4x
4
2 2
Ví dụ 6: Chứng minh các đẳng thức sau:
Trang 7a) cotx−tanx−2 tan 2x = 4 cot 4x b) x x
2
2 6
1 sin 2 cos2 tan 4
cos4 sin 2 cos2
−
+
e) tan 6x−tan 4x−tan 2x = tan 2 tan 4 tan 6x x x f) x x x x
x
sin 7
1 2 cos2 2 cos4 2 cos6
g) cos5 cos3x x+sin 7 sinx x=cos2 cos4x x