LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Lượng giác Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
Chuyên đề Lượng giác LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Tài liệu giảng: 01 CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC – P1 Thầy Đặng Việt Hùng I CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 2 sin x = − cos x sin x + cos x = ⇒ 2 cos x = − sin x 2 1 = + tan x ⇒ tan x = −1 cos x cos x 1 = + cot x ⇒ cot x = −1 sin x sin x tan x.cot x = ⇒ cot x = tan x sin x + cos x = − sin x cos x; sin x + cos x = − 3sin x cos x sin x + cos3 x = (sin x + cos x)(1 − sin x.cos x); sin x − cos3 x = (sin x − cos x)(1 + sin x.cos x) II DẤU CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Góc I Góc II Góc III Góc IV sinx + + – – cosx + – – + tanx + – + – cotx + – + – Ví dụ Tính giá trị hàm lượng giác lại cung x sau: π π a) sin x = ;0 < x < b) cos x = − ; → sin x = Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95 Chuyên đề Lượng giác LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng sin x −1 = cos x = −2 tan x 1 = c) Từ tan x = ⇒ cot x = tan x tan x = Từ ta được: cot x = sin x = ± sin x cos x = sin x cos x = tan x = = Ta có ⇔ ⇔ ⇔ cos x sin x + cos x = 5 cos x = sin x = cos x = ± 5 −2 sin x = sin x < 3π Do π < x < ⇒ ⇒ cos x < cos x = −1 1 d) cot x = − ⇒ tan x = = −2 cot x sin x = ± sin x cos x = = −2 sin x = −2 cos x tan x = Ta có ⇔ ⇔ ⇔ cos x 5cos x = sin x + cos x = sin x = cos x = ± 5 −2 sin x = sin x < 3π Do < x < 2π ⇒ ⇒ cos x > cos x = Ví dụ Chứng minh đẳng thức sau: sin x + cos x − cos x = sin x − cos x + 1 + sin x 2 sin x cos x tan x + tan y c) − − = sin x cos x d) tan x.tan y = + cot x + tan x cot x + cot y Hướng dẫn giải: 2 sin x sin x − sin x cos x sin x(1 − cos x) a) tan x − sin x = − sin x = = = tan x sin x ⇒ đpcm 2 cos x cos x cos x b) Áp dụng công thức góc nhân đôi phần IV ta được: x x x 2sin x cos x − sin x x x sin cos − 2sin cos − sin sin x + cos x − 2 = 2 = 2 , (1) = x x x x x sin x − cos x + 2sin x cos x + 2sin x 2sin cos + sin cos − sin 2 2 2 2 x x x x cos − sin cos − sin cos x 2 = 2 , ( 2) Mặt khác = x x + sin x x x cos + sin sin + cos 2 2 Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh sin x cos x sin x cos x sin x cos3 x sin x + cos3 x c) − − = 1− − = 1− − = 1− = cos x sin x + cot x + tan x sin x + cos x sin x + cos x sin x + cos x 1+ 1+ sin x cos x a) tan x − sin x = tan x sin x Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt điểm Toán – www.moon.vn b) facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95 Chuyên đề Lượng giác LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng (sin x + cos x)(sin x − sin x cos x + cos x) = − (1 − sin x cos x) = sin x cos x ⇒ đpcm sin x + cos x sin x sin y sin x cos y + sin y cos x + tan x + tan y cos x cos y sin x sin y cos x cos y d) = = = = tan x tan y ⇒ đpcm cot x + cot y cos x + cos y sin x cos y + sin y cos x cos x cos y sin x sin y sin x sin y Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức sau = 1− A= cos x + cos x cot x sin x + sin x tan x B= cos x − 2sin x(1 − sin x) 2(1 + sin x) (1 − sin x) cos x + (1 + sin x) cos x − sin x C = (1 + cot x) sin x + (1 + tan x) cos3 x − sin x cos x D = sin x + cos x + cos x + 4sin x Hướng dẫn giải: cos x cos x(sin x + cos x) cos x + cos x 2 2 cos x + cos x cot x cos x sin x sin x = = = = cot x Ta có A = 2 2 2 sin x sin x(cos x + sin x) sin x sin x + sin x tan x sin x + sin x cos x cos x Ta có cos x − 2sin x(1 − sin x) − sin x − 2sin x(1 − sin x) (1 − sin x)(1 + sin x − 2sin x) (1 − sin x) = = = (1 − sin x) cos x + (1 + sin x) cos x (1 − sin x + + sin x) cos x cos x cos x (1 − sin x)2 2(1 + sin x) (1 − sin x)(1 + sin x) − sin x = = = cos x cos x − sin x cos x cos x cos x sin x C = (1 + cot x) sin x + (1 + tan x) cos3 x − sin x cos x = 1 + sin x + 1 + cos x − sin x cos x = sin x cos x = sin x + cos3 x + cos x sin x + cos x sin x − sin x cos x →B = = (sin x + cos x)(sin x + cos x − sin x cos x) + cos x sin x(sin x + cos x) − sin x cos x = (sin x + cos x)(1 − sin x cos x) + sin x cos x(sin x + cos x − 1) = sin x + cos x − sin x cos x (1 − cos x ) + cos x + (1 − sin x ) + 4sin x ( cos x + 1) + ( sin x + 1) = sin x + cos x + = Ta có D = sin x + cos x + cos x + sin x = = cos x + cos x + + sin x + 2sin x + = 2 2 2 2 2 2 Ví dụ Chứng minh đẳng thức sau: a) sin x sin x + cos x − = sin x + cos x sin x − cos x tan x − b) − cot x = c) + sin x = + cot x − cos x d) 2(1 − sin x)(1 + cos x) = (1 − sin x + cos x) e) sin x(1 + cos x) sin x + tan x = cos x(1 + sin x) cos x + cot x f) cos x − sin x = sin x.cos x 2 cot x − tan x g) − 4sin x cos x = (sin x − cos x) 2 (sin x + cos x) h) sin x − cos x + cos x = tan x 2 cos x − sin x + sin x − sin x sin x Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức sau Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95 Chuyên đề Lượng giác LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng a) A = c) C = − cos x − sin x + cos x b) B = − cos x + cos x − + cos x − cos x − sin x.cos x − cos x cos x d) D = − cot x.sin x + Ví dụ 6: Tính giác trị hàm số lượng giác a) sin x = π ;0 < x < c) tan x + cot x = 2; < x < e) tan x − cot x = − b) cot x = − 2; − π 2 3π ;π < x < d) cos x = f) tan x = − π < x