tich luy cm

Tích Luỹ Chuyên Môn Năm Hoc 2010 - 2011 Tháng 09/2010 Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỷ bậc thcs _______________ _______________ 1. Khái niệm phơng trình vô tỉ Phơng trình vô tỉ là phơng trình chứa ẩn trong dấu căn 2. Các ví dụ : a) 11 =x c) 3+ xx 1 2 + xx =3 b) 2173 =++ xx d) 4 1 1 1 1 3 3 2 3 2 3 = + x x x xx 3.Phơng pháp chung : Để giải phơng trình chứa dấu căn ta tìm cách khử dấu căn . Cụ thể : - Tìm ĐKXĐ của phơng trình . - Biến đổi đa phơng trình về dạng đã học. - Giải phơng trình vừa tìm đợc . - So sánh kết quả với ĐKXĐ rồi kết luận nghiệm . 4. Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ cơ bản: TT Nội dung 1 Phơng pháp 1 : Nâng lên luỹ thừa 2 Phơng pháp 2 : Đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối 3 Phơng pháp 3 : Đặt ẩn phụ 4 Phơng pháp 4 : Đa về phơng trình tích 5 Phơng pháp 5 : Đa về hệ phơng trình 6 Phơng pháp 6 : Chứng tỏ tập giá trị của hai vế là rời nhau khi đó phơng trình vô nghiệm 7 Phơng pháp 7 : Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế 8 Phơng pháp 8 : Sử dụng tính đơn điệu của hàm số 9 Phơng pháp 9 : Sử dụng điều kiện xảy ra dấu = ở bất đẳng thức không chặt Nội dung Cụ THể a. Phơng pháp1: Nâng lên luỹ thừa: a.1 Giải phơng trình dạng : )()( xgxf = Các ví dụ : Ví dụ 1: Giải phơng trình : 11 =+ xx (1) ĐKXĐ : x+1 0 x -1 Với x -1 thì vế trái của phơng trình không âm .Để phơng trình có nghiệm thì GV:Bùi Văn Tuấn 1 Tích Luỹ Chuyên Môn Năm Hoc 2010 - 2011 x -1 0 x 1.Khi đó phơng trình (1) tơng đơng với phơng trình : x +1 = (x - 1) 2 x 2 - 3x= 0 x(x - 3) = 0 0 3 x x = = Chỉ có nghiệm x =3 thoả mãn điều kiện x 1 Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x =3 . Ví dụ 2: Giải phơng trình: 131 =+ xx 1 13x x = ( 1) ĐKXĐ : 013 01 x x 13 1 x x 1 13 x (2) Bình phơng hai vế của (1) ta đợc : 2 )13(1 xx = 017027 2 =+ xx Phơng trình này có nghiệm 10 1 =x và 17 2 =x .Chỉ có 10 1 =x thoã mãn (2) Vậy nghiệm của phơng trình là 10=x a.2 Giải phơng trình dạng : )()()( xgxhxf =+ Ví dụ 3: Giải phơng trình: 121 =+ xx xx ++= 211 (1) ĐKXĐ: 1 0 2 0 x x + 1 2 x x 12 x Bình phơng hai vế của phơng trình (1) ta đợc : xxx ++++= 22211 01 2 =+ xx Phơng trình này có nghiệm 2 51 =x thoã mãn (2) Vậy nghiệm của phơng trình là 2 51 =x Ví dụ 4: Giải phơng trình: 3 1+x 27 3 =+ x (1) Lập phơng trình hai vế của (1) ta đợc: 82).7)(1(371 3 =++++ xxxx ( ) ( ) 1 7 0x x = -1 7 x x = = (Đều thoả mãn (1).) Vậy 7;1 == xx là nghiệm của phơng trình . a.3 Giải phơng trình dạng : =+ )()( xhxf )(xg Ví dụ5: Giải phơng trình 1+x - 7x = x12 GV:Bùi Văn Tuấn 2 Tích Luỹ Chuyên Môn Năm Hoc 2010 - 2011 1+x = x12 + 7x (1) ĐKXĐ: 121 7 12 1 07 012 01 + x x x x x x x Bình phơng hai vế ta đợc: x- 4 = 2 )7)(12( xx (3) Ta thấy hai vế của phơng trình (3) đều thoã mãn (2) vì vậy bình phơng 2 vế của phơng trình (3) ta đợc : (x - 4) 2 = 4(-x 2 + 19x- 84) 5x 2 - 84x + 352 = 0 Phơng trình này có 2 nghiệm x 1 = 5 44 và x 2 = 8 đều thoả mãn (2) . Vậy x 1 = 5 44 và x 2 = 8 là nghiệm của phơng trình. a.4 Giải phơng trình dạng : =+ )()( xhxf )(xg + )(xq Ví dụ 6: Giải phơng trình : 1+x + 10+x = 2+x + 5+x (1) ĐKXĐ : + + + + 05 02 010 01 x x x x 5 2 10 1 x x x x x -1 (2) Bình phơng hai vế của (1) ta đợc : x+1 + x+ 10 + 2 )10)(1( ++ xx = x+2 + x+ 5 + 2 )5)(2( ++ xx 2+ )10)(1( ++ xx = )5)(2( ++ xx (3) Với x -1 thì hai vế của (3) đều dơng nên bình phơng hai vế của (3) ta đợc : )10)(1( ++ xx = 1- x (Điều kiện ở đây là x -1) (4) Ta chỉ việc kết hợp giữa (2) và (4) 1 1 x x x = 1 là nghiệm duy nhầt của phơng trình. Nhận xét : Phơng pháp nâng lên luỹ thừa đợc sử dụng vào giải một số dạng phơng trình vô tỉ quen thuộc, song trong quá trình giảng dạy cần chú ý khi nâng lên luỹ thừa bậc chẵn Với hai số dơng a, b nếu a = b thì a 2n = b 2n và ngợc lại (n= 1,2,3 ) Từ đó mà chú ý điều kiện tồn tại của căn, điều kiện ở cả hai vế của phơng trình đó là những vấn đề mà học sinh hay mắc sai lầm, chủ quan khi sử dụng phơng pháp này. Ngoài ra còn phải biết phối hợp vận dụng phơng pháp này với cùng nhiều phơng pháp khác lại với nhau. GV:Bùi Văn Tuấn 3 Tích Luỹ Chuyên Môn Năm Hoc 2010 - 2011 Trong khi dạy các phơng pháp giáo viên cần lu ý cho học sinh thấy đợc sợ khác nhau của dấu và dấu Bài tập áp dụng: 1. 4 2 x = x- 2 2. 3 45+x - 3 16x =1 3. 41 2 ++ xx = x+ 1 4. x1 = x6 - )52( + x 5. x1 + x+4 =3 6. 3 1x + 3 2x = 3 32 x b. Phơng pháp 2 : Đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối: Các ví dụ : Ví dụ1: Giải phơng trình: 416249 2 +=+ xxx (1) ĐKXĐ: + + 04 016249 2 x xx 4 0)43( 2 x xx x 4 Phơng trình (1) 43 x = -x + 4 = += 443 443 xx xx = = 0 2 x x Với x=2 hoặc x=0 đều là nghiệm của phơng trình (đều thoả mãn x 4) Ví dụ 2 : Giải phơng trình : 44 2 = xx + 168 2 + xx = 5 ĐKXĐ: x R Phơng trình tơng đơng : 2x + 4x = 5 Lập bảng xét dấu : x 2 4 x- 2 - 0 + + x- 4 - - 0 + Ta xét các khoảng : + Khi x < 2 ta có (2) 6-2x =5 x = 0,5(thoả mãn x 2) + Khi 2 x 4 ta có (2) 0x + 2 =5 vô nghiệm + Khi x > 4 ta có (2) 2x - 6 =5 x =5,5 (thoả mãn x > 4 ) Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm là x = 0,5 và x = 5,5 Ví dụ 3 : Giải phơng trình: 314 + xx + 816 + xx = 1 ; ĐKXĐ: x 1 Phơng trình đợc viết lại là : 414)1( + xx + 916)1( + xx = 1 GV:Bùi Văn Tuấn 4 Tích Luỹ Chuyên Môn Năm Hoc 2010 - 2011 2 )21( x + 2 )31( x = 1 21 x + 31 x =1 (1) Nếu 1 x < 5 ta có (1) 2- 1x + 3 - 1x = 1 1x =2 x= 5 không thuộc khoảng đang xét Nếu 5 x 10 thì (1) 0x = 0 Phơng trình có vô số nghiệm Nếu x > 10 thì (1) -5 = 1 phơng trinh vô nghiệm Vậy phơng trình có vô số nghiệm : 5 x 10 Nhận xét : Phơng pháp đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối đợc sử dụng giải một số dạng phơng trình vô tỉ quen thuộc nh trên song trong thực tế cần lu ý cho học sinh : áp dụng hằng đẳng thức 2 A = A Học sinh thờng hay mắc sai lầm hoặc lúng túng khi xét các khoảng giá trị của ẩn nên giáo viên cần lu ý để học sinh tránh sai lầm . Bài tập áp dụng 1) 96 2 + xx + 2510 2 ++ xx = 8 2) 12 2 ++ xx + 44 2 + xx = 44 2 ++ xx 3) 143 ++ xx + 168 + xx = 5 4) 5233 ++ xx + 522 xx = 2 2 c.Phơng pháp 3 : Đặt ẩn phụ: Các ví dụ : Ví dụ 1: Giải phơng trình: 2x 2 + 3x + 932 2 ++ xx =33 ĐKXĐ : x R Phơng trình đã cho tơng đơng với: 2x 2 + 3x +9 + 932 2 ++ xx - 42= 0 (1) Đặt 2x 2 + 3x +9 = y > 0 (Chú ý rằng học sinh thờng mắc sai lầm không đặt điều kiện bắt buộc cho ẩn phụ y) Ta đợc phơng trình mới : y 2 + y - 42 = 0 y 1 = 6 , y 2 = -7 .Có nghiệm y =6 thoả mãn y> 0 Từ đó ta có 932 2 ++ xx =6 2x 2 + 3x - 27 = 0 Phơng trình có nghiệm x 1 = 3; x 2 = - 2 9 Cả hai nghiệm này chính là nghiệm của phơng trình đã cho. GV:Bùi Văn Tuấn 5 Tích Luỹ Chuyên Môn Năm Hoc 2010 - 2011 Ví dụ 2: Giải phơng trình: x + 4 x = 12 (ĐKXĐ : x o) Đặt 4 x = y 0 x = y 2 ta có phơng trình mới y 2 + y -12 = 0 phơng trình có 2 nghiệm là y = 3 và y = - 4 (loại) 4 x = 3 x = 81 là nghiệm của phơng trình đã cho. Ví dụ 3: Giải phơng trình: 1+x + x3 - )3)(1( xx + = 2 (1) ĐKXĐ : + 03 01 x x 3 1 x x -1 x 3 Đặt 1+x + x3 = t 0 t 2 = 4 + 2 )3)(1( xx + )3)(1( xx + = 2 4 2 t (2) .thay vào (2) ta đợc t 2 - 2t = 0 t(t - 2) = 0 = = 2 0 t t + Với t = 0 phơng trình vô nghiệm. + Với t = 2 thay vào (2) ta có : )3)(1( xx + = 0 x 1 = -1; x 2 = 3 (thoả mãn) Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x 1 = -1 và x 2 = 3 Ví dụ 4: Giải phơng trình : 5 1 3 +x = 2( x 2 + 2) Ta có 1 3 +x = 1+x 1 2 + xx Đặt 1+x = a 0 ; 1 2 + xx = b 0 và a 2 + b 2 = x 2 + 2 Phơng trình đã cho đợc viết là 5ab = 2(a 2 + b 2 ) (2a - b)( a - 2b) = 0 = = 02 02 ba ba + Trờng hợp: 2a = b 2 1+x = 1 2 + xx 4x + 4 = x 2 - x +1 x 2 - 5x - 3 = 0 Phơng trình có nghiệm x 1 = 2 375 ; x 2 = 2 375 + + Trờng hợp: a = 2b 1+x = 2 1 2 + xx x+ 1 = 4x 2 -4x + 3 = 0 4x 2 -5x + 3 = 0 phơng trình vô nghiệm. GV:Bùi Văn Tuấn 6 Tích Luỹ Chuyên Môn Năm Hoc 2010 - 2011 Vậy phơng trình đã cho có nghiệm x= 2 375 + và x= 2 375 Ví dụ 5: Giải phơng trình: 1+x + 2 (x+1) = x - 1 + x1 + 3 2 1 x (1) Đặt 1+x = u 0 và x1 = t 0 ĐKXĐ: -1 x 1 thì phơng trình (1) trở thành. u + 2u 2 = -t 2 + t +3ut (u - t ) 2 + u(u - t) + (u - t) = 0 (u - t)(2u - t +1 ) = 0 2 1 u t u t = + = 1 1 2 1 1 1 x x x x + = + + = 0 24 25 x x = = thoả mãn điều kiện -1 x 1 là nghiệm của phơng trình đã cho. Ví dụ 6: Giải phơng trình: 12 xx + 12 + xx = 2 3+x ĐKXĐ : x 1 Đặt 1x = t 0 x = t 2 + 1 phơng trình đã cho trở thành 2 )1( +t + 2 )1( t = 2 4 2 +t 1+t + 1t = 2 4 2 +t = =+ 0 044 2 2 t tt (t 1) = = 0 2 t t = = 1 5 x x ĐkXĐ: x 1 Vậy phuơng đã cho có nghiệm x = 1và x = 5 Nhận xét : Phơng pháp đặt ẩn nhằm làm cho phơng trình đợc chuyển về dạng hữu tỉ. Song để vận dụng phơng pháp này phải có những nhận xét, đánh giá tìm tòi hớng giải quyết cách đặt ẩn nh thế nào cho phù hợp nh : Đặt ẩn phụ để đợc phơng trình mới chứa ẩn phụ (VD 1, 2, 3) Đặt ẩn phụ để đa về một biểu thức nhóm (VD 4; 5) Bài tập áp dụng: 1) x 2 - 5 + 6 2 x = 7 3) 3 2 x - 3 3 x =20 2) x x 1 - 2x 3 x = 20 4) 8 3 +x = 2x 2 - 6x +4 5) 96 + xx + 96 xx = 6 23+x GV:Bùi Văn Tuấn 7 Tích Luỹ Chuyên Môn Năm Hoc 2010 - 2011 Tháng 10/2010 Một số phơng pháp giải ph- ơng trình vô tỷ bậc thcs _______________ _______________ d. Phơng pháp 4 : Đa về phơng trình tích : Các ví dụ : Ví dụ 1: Giải phơng trình: 2110 ++ xx = 3 3+x + 2 7+x - 6 (1) ĐKXĐ : x -3 Phơng trình (1) có dạng : )7)(3( ++ xx - 3 3+x + 2 7+x +6 = 0 3+x ( )37 +x -2( )37 +x ) =3 ( )37 +x ( 23 +x ) =0 7 3 0 3 2 0 x x + = + = 7 9 3 4 x x + = + = 2 1 x x = = ĐKXĐ. Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x = 1; x = 2 Ví dụ 2: Giải phơng trình: 3 1 x + 2+x =1 ĐKXĐ : x -2 Đặt 2+x = t 0 Khi dó 3 1 x = 3 2 3 t Phơng trình (1) 3 2 3 t + t = 1 3 2 3 t = 1- t 3- t 3 = (1 - t) 3 t 3 - 4t 2 + 3t + 2 =0 (t - 2)( t 2 -2t -1) = 0 Từ phơng trình này ta tìm đợc x=2 ; x= 1 + 2 2 là nghiệm của phơng trình (1) Ví dụ 3: Giải phơng trình: (4x -1) 1 2 +x = 2(x 2 + 1) + 2x - 1 (1) Đặt 1 2 +x = y ; y 0 (1) (4x-1)y = 2y 2 + 2x -1 GV:Bùi Văn Tuấn 8 Tích Luỹ Chuyên Môn Năm Hoc 2010 - 2011 2y 2 - (4x -1) y + 2x - 1= 0 ( 2y 2 - 4xy + 2y) - (y- 2x+1) = 0 (y- 2x+1) (2y- 1) = 0 Giải phơng trình này ta tìm đợc x = 0 ; x = 3 4 là nghiệm của phơng trình (1) Ví dụ 4: Giải phơng trình: ( 11 + x )( 11 + x ) = 2x ĐKXĐ: -1 x 1 (1) đặt x+1 = u (0 u 2 ) suy ra x = u 2 -1 phơng trình (1) trở thành : (u -1 ) ( )12 2 + u = 2 ( u 2 -1) (u - 1 ){ ( )12 2 + u - 2 (u + 1)} = 0 (u - 1) ( )122 2 uu = 0 = = 0122 01 2 uu u (+) u-1 = 0 u =1 ( Thoả mãn u 0 ) suy ra x = 0 thoả mãn (1) (+) 122 2 uu = 0 2 2 u = 2u + 1 += + )12(2 012 2 uu u ( Thoả mãn vì u 0 ) 5u 2 + 4u - 1 = 0 1 2 1 0 ( ) 1 5 u loai u = < = nên có x = u 2 2 -1 = ( 5 1 ) 2 - 1 = 25 24 thoã mãn điều kiện (1) Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x = 0 và x = 25 24 . Nhận xét : Khi sử dụng phơng pháp đa về phơng trình tích để giải phơng trình vô tỉ ta cần chú ý các bớc sau . Tìm tập xác định của phơng trình . Dùng các phép biến đổi đại số , đa phơng trình về dạng f(x)g(x)=0 ( gọi là phơng trình tích ). Từ đó ta suy ra f(x) = 0; g( x) = 0 ; là những phơng trình quen thuộc. Nghiệm của phơng trình là tập hợp các nghiệm của các phơng trình f(x) = 0 g( x) = 0 ; thuộc tập xác định . GV:Bùi Văn Tuấn 9 Tích Luỹ Chuyên Môn Năm Hoc 2010 - 2011 Biết vận dụng,phối hợp một cách linh hoạt với các phơng pháp khác nh nhóm các số hạng, tách các số hạng hoặc đặt ẩn phụ thay thế cho một biểu thức chứa ẩn đa về phơng trình về dạng tích quen thuộc đã biết cách giải . Bài tập áp dụng: 1) 67 3 xx = 0 4) x(x + 5) = 2 225 3 2 + xx 2) 2 2 xx - 2 2 2 + xx = 1x 3) 2( x 2 + 2x + 3) = 5 233 23 +++ xxx e. Phơng pháp 5 : Đa về hệ phơng trình : Các ví dụ : Ví dụ 1: Giải phơng trình: 2 25 x - 2 15 x =2 (ĐKXĐ: 0 x 2 15) Đặt: 2 25 x = a (a 0) (* ) 2 15 x = b ( b 0) ( ** ) Từ phơng trình đã cho chuyển về hệ phơng trình : + +=+ = 0 )(2))(( 2 ba bababa ba =+ = 5 2 ba ba = = 2 3 2 7 b a Thay vào phơng trình (*) ta có 25 - x 2 = 4 49 x 2 = 4 51 x = 2 51 ( ĐkXĐ ) . Vậy phơng trình đã cho có nghiệm x = 2 51 . Ví dụ 2: Giải phơng trình: 35 3)3(5)5( + + xx xxxx = 2 (1) (ĐKXĐ : 3 x 5) Đặt = = )0(3 )0(5 ttx uux Phơng trình (1 ) trở thành hệ phơng trình : =+ =+ 2 2 22 22 tutu tu ut = 0 0 0 u t = = 3 5 x x = = ( Thỏa mãn điều kiện ) Vậy phơng trình đẫ cho có nghiệm x =3 ; x= 5. Ví dụ 3: Giải phơng trình: 3 2 x + 1 x = 1 (ĐKXĐ: x 1) GV:Bùi Văn Tuấn 10 [...]... AN = CM Gi K l giao im ca AN v CM Chng minh rng KD l tia phõn giỏc ca gúc AKC Gii : (h.4) K DH vuụng gúc vi KA, DI vuụng gúc vi KC Ta cú : GV:Bùi Văn Tuấn 32 Tích Luỹ Chuyên Môn Năm Hoc 2010 - 2011 DH AN = 2 SADN (1) DI CM = 2 SCDM (2) Ta li cú SADN = 1/2.SABCD (tam giỏc v hỡnh bỡnh hnh cú chung ỏy AD, ng cao tng ng bng nhau), SCDM = 1/2.SABCD nờn SADN = SCDM (3) T (1), (2), (3) => DH AN = DI CM. .. thang ABCD (AB // CD), cỏc ng chộo ct nhau ti O Qua O, k ng thng song song vi hai ỏy, ct cỏc cnh bờn AC v BC theo th t ti E v F Chng minh rng OE = OF Gii : Cỏch 1 : (h.2) K AH, BK, CM, DN vuụng gúc vi EF t AH = BK = h1, CM = DN = h2 GV:Bùi Văn Tuấn 31 Tích Luỹ Chuyên Môn Ta cú : Năm Hoc 2010 - 2011 T (1), (2), (3) => : Do ú OE = OF Cỏch 2 : (h.3) Kớ hiu nh trờn hỡnh v Ta cú SADC = SBDC Cựng tr i S5... z2] 3xy(x + y + z) = (x + y + z)[(x + y)2 (x + y)z + z2 3xy] = x2 + y2 + z2 xy yz zx 1 2 x 2 xy + y 2 + ( y 2 2 yz + z 2 ) + ( x 2 2 xz + z 2 ) 2 1 2 2 2 = ( x y ) + ( y z ) + ( x x ) dpcm 2 2007 + 2008 x 2007 < 2008 >0 Bi 6) iu kin x 0 , bt phng trỡnh x x (2008 x + 2007) x > 0 = ( ) x > 0 x < 2007 2008 Hoc biu din trờn trc s : 2007 2008 HT GV:Bùi Văn Tuấn 21 0 Tích Luỹ Chuyên... (E) 30 Bi 5 (2 im) hỡnh di õy, ta cú hai hỡnh trũn (1) v (2) Tõm C1 ca ng trũn (1) nm trờn ng trũn (2) v tõm C2 ca ng trũn (2) nm trờn ng trũn (1) Gi A, B l hai giao im ca hai ng trũn Bit rng C1C2 = 2 cm v Tỡm din tớch phn giao nhau ca hai hỡnh trũn Bi 6 (3 im) Trong mt cuc thi ỏnh tennis, cú 10 ngi tham gia chia thnh 5 i nh sau: * Fred v Alice * Jayne v David * Shen v Felicity * Lynne v Brian * Gina... SADN (1) DI CM = 2 SCDM (2) Ta li cú SADN = 1/2.SABCD (tam giỏc v hỡnh bỡnh hnh cú chung ỏy AD, ng cao tng ng bng nhau), SCDM = 1/2.SABCD nờn SADN = SCDM (3) T (1), (2), (3) => DH AN = DI CM Do AN = CM nờn DH = DI Do ú KI l tia phõn giỏc ca gúc AKC Nh vy khi xột quan h gia di cỏc on thng, ta nờn xột quan h gia din tớch cỏc tam giỏc m cnh l cỏc on thng y iu ú nhiu khi giỳp chỳng ta i n li gii ca bi