Đại số và giải tích 11 từ tiết 47 đến 70

Chương III- DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN. BÀI 1- PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC (tiết 47+48 NC ĐS&GT11) A. Mục tiêu: 1. Kiến thức: Giúp cho học sinh - Có khái niệm về suy luận quy nạp; - Nắm được phương pháp quy nạp toán học. 2. Kĩ năng: - Giúp học sinh biết cách vận dụng phương pháp quy nạp toán học để giải quyết các bài toán cụ thể đơn giản. 3. Thái độ, tư duy: - Thái độ: tích cực tiếp thu tri thức mới, hứng thú tham gia trả lời câu hỏi. - Tư duy: phát triển tư duy logic, tính chặc chẽ trong giải toán. B. Chuẩn bị của thầy và trò: 1. Giáo viên: đọc kĩ SGK, SGV, SBT. 2. Học sinh: đọc trước bài ở nhà. C. Phương pháp giảng dạy: gợi mở vấn đáp kết hợp các hoạt động. D. Tiến trình bài học: (tiết 1: mục 1 và ví dụ 1 mục 2; tiết 2: tiếp mục 2 và BT SGK) 1. Ổn định tổ chức: 2. Bài mới: Hoạt động 1: HĐ của GV HĐ của HS Ghi Bảng -H1: Hãy kiểm tra với n=1,2? -H2: c/m n=3 đúng bằng cách sử dụng H1 -H3: có thể thử với mọi n không? - Tuy nhiên dựa vào lập luận trên ta có thể đưa ra cách c/m bài toán. +n = 1,2: (1) đúng +Cộng thêm hai vế với 2.3 ta c/m đc (1) đúng. + không thể. 1. Phương pháp quy nạp toán học: Bài toán: Chứng minh mọi số nguyên dương n ta có: 3 )2)(1( )1( .3.22.1 ++ =++++ nnn nn (1) Khái quát: Ta có thể c/m được mệnh đề sau: Nếu (1) đúng với n=k (nguyên dương) thì nó cũng đúng với n=k+1. Giái bài toán trên: + n = 1: 1=1 (đúng) + Giả sử (1) đúng với n=k (ng dương) Ta có: 3 )2)(1( )1( .3.22.1 ++ =++++ kkk kk suy ra 3 )3)(2)(1( )2)(1( 3 )2)(1( )2)(1()1( .3.22.1 +++ =+++ ++ =+++++++ kkk kk kkk kkkk Vậy (1) đúng với mọi n nguyên dương. Phương pháp quy nạp toán học: Để c/m mệnh đề A(n) đúng ∀ n ∈ N * ta thực hiện: B1: C/m A(n) đúng khi n=1. B2: ∀ n ∈ N * giả sử A(n) đúng với n=k, cần chứng minh A(n) cũng đúng với n=k+1. Hoạt động 2: HĐ của GV HĐ của HS Ghi Bảng H1: Thử với n=1 H2: Thực hiện bước 2 + 1=1 ( đúng) + Giả sử đúng với n=k, cần chứng minh đúng với n=k+1. 2.Một số ví dụ: Vídụ1: CMR ∀ n ∈ N * , ta luôn có: 4 )1( .321 22 3333 + =++++ nn n HD: 4 )2()1( )44.( 4 )1( )1( 4 )1( )1( .321 22 2 2 3 22 33333 ++ =++ + = ++ + =++++++ kk kk k k kk kk Hoạt động 3: HĐ của GV HĐ của HS Ghi Bảng +Gọi 2 hs lần lượt làm 2 bước + HS tự làm +n=1: u 1 =10  5 +Giả sử đúng n=k, cần cm đúng khi n=k+1. + 2 k+1 =2.2 k >2(2k+1)= 4k+2>2k+3>2(k+1)+1 ( vì k ≥ 3) Ví dụ 2: CMR u n =7.2 2n-2 + 3 2n-1  5, ∀ n ∈ N * . HD: u k+1 =7.2 2(k+1)-2 + 3 2(k+1)-1 =7.2 2k-2+2 + 3 2k-1+2 =28.2 2k-2 + 9.3 2k-1 =4(7.2 2k-2 + 3 2k-1 )+5.3 2k-1  5 Chú ý: trong thức tế ta có thể gặp bài toán yêu cầu CM A(n) đúng ∀ n ≥ p. Khi đó ta cũng cm tương tự nhưng ở B1 thì thử với n=p. Ví dụ 3: CMR 2 n >2n+1, ∀ n ≥ 3. Bài tập SGK HĐ của GV HĐ của HS Ghi Bảng + Gọi HS lên bảng làm + Gọi HS lên bảng làm + Gọi HS nói cách làm + Gọi HS trả lời tại chỗ + HS làm bài. + HS làm bài. + HS trả lời. + Không được vì chưa thử với n=1. Bài 1: HS tự làm. Bài 2: HS tự làm. Bài 3: Khi n=k+1, ta có: 1 1 2 1 11 . 2 1 1 + +< + ++++ k k kk 1 1 11 1 1)1(2 += + +++ < + ++ = k k kk k kk VP (Côsi và k ≠ k+1) Bài 4: HS tự làm ( lưu ý n ≥ 2). Bài 5: Khi n=k+1: )1(2 1 12 1 2 1 . 3 1 2 1 + + + +++ + + + kkkkk 1 1 )1(2 1 12 1 2 1 . 3 1 2 1 1 1 + − + + + +++ + + + + + = kkkkkkk 24 13 )12)(1(2 1 2 1 . 3 1 2 1 1 1 > ++ +++ + + + + + = kkkkkk Bài 6:(là ví dụ 2) Bài 7: Cho số thực x>-1. CMR nxx n +≥+ 1)1( Khi n=k+1: (1+x) k+1 =(1+x) k (1+x) ≥ (1+kx)(1+x) =1+(k+1)x +kx 2 ≥ 1+(k+1)x Bài 8: Không đúng vì chưa thử với n=1. 3. Củng cố: Nhắc lại phương pháp chứng minh quy nạp và cách vận dụng. 4. Bài về nhà: - Hết tiết 39: các bài tập SGK trang 100, 101. - Hết tiết 40: 1) CMR u n =13 n -1  6 , ∀ n ∈ N. 2) CMR 6 )12)(1( .321 2222 ++ =++++ nnn n , ∀ n ∈ N * . Bai 2 DÃY SỐ Tiết 49 + 50 A. Mục tiêu: 1. Kiến thức: - Giúp học sinh có một cách nhìn nhận mới, chính xác đối với khái niệm dãy số - cách nhìn nhận theo quan điểm hàm số. - Học sinh nắm vững các khái niệm: dãy số vô hạn, dãy số hữu han. - Nắm được khái niệm dãy số không đổi. 2. Kỹ năng: - Biết cách ký hiệu một dãy số và biết rằng ngoài cách ký hiệu dãy số như SGK, người ta còn dùng các ký hiệu khác để ký hiệu một dãy số, chẳng hạn ∞ = 1 }{ nn x hay n un  , . - Biết xác định các số hạng trong dãy số cho trước, viết dãy số đã cho dưới dạng khai triển. - Biết cho ví dụ về dãy số để khắc sâu định nghĩa. 3. Tư duy và thái độ: - Tích cực tham gia xây dựng bài học, có tinh thần làm việc theo nhóm. - Biết khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự. B. Chuẩn bị của thầy và trò: 1. Chuẩn bị của giáo viên: - Dụng cụ dạy học, bảng phụ. 2. Chuẩn bị của học sinh: - Dụng cụ học tập. C. Phương pháp dạy học: Phương pháp gợi mở vấn đáp, đan xen hoạt động nhóm. D. Tiến trình bài dạy: Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung ghi bảng Hoạt động 1: Nêu vấn đề học bài mới. - Giáo viên trình bày như SGK trang 101 để giới thiệu cho học sinh dãy số 0 ) 2 1 ( − , 1 ) 2 1 ( − , 2 ) 2 1 ( − , . (1) - Học sinh hiểu vấn đề giáo viên trình bày: có thể coi dãy số (1) là một hàm số xác định trên tập các số nguyên dương. ξ 2 DÃY SỐ 1. Định nghĩa và ví dụ: Hoạt động 2: Hình thành định nghĩa: - Giáo viên yêu cầu học sinh đọc Định nghĩa 1 (SGK trang 101). - Giáo viên giới thiệu các khái niệm: giới hạn của dãy số, số hạng thứ nhất, số hạng thứ hai, . và ký hiệu các giá trị đó. - Học sinh đọc định nghĩa theo yêu cầu của giáo viên. - Học sinh nghe và hiểu các khái niệm và cách ký hiệu các số hạng của dãy số. Định nghĩa: (SGK) Hoạt động 3: Cho ví dụ minh họa. - Ví dụ 1: hàm số 12 )( − = n n nu , xác định trên tập N*, là một dãy số. - Sau đó yêu cầu học sinh tìm năm số hạng đầu của dãy trên. - Giáo viên cho học sinh tìm ví dụ để khắc sâu định nghĩa dãy số - hoạt động theo nhóm và trình bày trước lớp. - Giáo viên giới thiệu ký hiệu dãy số )(nuu = như SGK và cho ví dụ minh họa, chẳng hạn có thể ký hiệu dãy số ở ví dụ 1 bởi       − 12 n n . - Học sinh thực hiện các yêu cầu của giáo viên trong tinh thần hợp tác lẫn nhau. - Học sinh tìm ví dụ trong tinh thần hợp tác theo nhóm và trình bày kết quả trước lớp - Cả lớp nhận xét và bổ sung ý kiến cho kết quả của bạn. - Học sinh hiểu nội dung giáo viên truyền đạt. Ví dụ 1: hàm số 12 )( − = n n nu với ∈ n N* là 1 dãy số có 1 1 = u , 3 2 2 = u , 7 3 3 = u , . Ký hiệu: SGK trang 102. Người ta cũng thường viết dãy số )( n u dưới dạng khai triển: - Giáo viên giới thiệu dãy số trên còn có ký hiệu khác như ∞ =       − 1 12 n n n hay 12 − n n n  , . - Giáo viên yêu cầu học sinh viết dãy số dười dạng khai triển. - Ví dụ 2: Cho hàm số 3 )( nnu = xác định trên tập { } 5;4;3;2;1 = M . Tính ).5(),4(),3(),2(),1( uuuuu - Giáo viên giới thiệu hàm số trên là một dãy số hữu hạn. Viết dưới dạng khai triển ta được: 1;8;27;64;125. - Giáo viên treo bảng phụ có ghi phần chú ý trang 102 để giới thiệu dãy số hữu hạn. - Thực hiện theo yêu cầu của giáo viên: 1 , 3 2 , 3 7 , ., 12 − n n , . - Thực hiện theo yêu cầu của giáo viên và đứng tại chỗ trả lời kết quả. - Học sinh đọc nội dung trên bảng phụ để hiểu và nắm khái niêm dãy số hữu hạn. 1 u , 2 u , ., n u , . Chú ý: (SGK) Hoạt động 4: Củng cố. - Cho học sinh làm bài tập 6 H a, b trang 105. - Giáo viên cho dãy số 02 ) 1 (3)( n n u n += cho cả lớp nhận xét dãy số trên và giới thiệu khái niệm dãy số không đổi cho học sinh. - Giáo viên nhấn mạnh: định nghĩa dãy số vô hạn trong SGK thực chất là cách gọi tên cho một loại hàm số xác định trên tập số N* . - Cho học sinh làm bài 9b trang 105. E. Hướng dẫn học ở nhà: - Học kỹ lại lý thuyết, làm bài tập 9a,c/105. - Đọc phần 2/103: cách cho dãy số. - Đọc phần 3/103: dãy số tăng, dãy số giảm. F. Bài tập làm thêm: Bài 1. a. Viết 5 số hạng đầu của dãy có số hạng tổng quát cho bởi công thức )12()1( 1 +−= − nn n u . b. Tìm ví dụ về dãy số vô hạn; dãy số hữu hạn. Tiết 51 LUYỆN TẬP VỀ DÃY SỐ I/ Mục tiêu 1/ Về kiến thức - Nắm được khái niệm về dãy số, số hạng của dãy số, các cách cho một dãy số. - Nắm được định nghĩa dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn. - Nắm được phương pháp quy nạp toán học. 2/ Về kĩ năng - Vận dụng được phương pháp quy nạp vào chứng minh bài tập về dãy số. - Vận dụng kiến thức tìm các số hạng của dãy số. 3/ Về tư duy, thái độ - Rèn luyện tư duy logic, khả năng phân tích tổng hợp. - Có thái độ cẩn thận, chính xác khi làm toán. II/ Chuẩn bị - Giáo viên: Đồ dùng dạy học. - Học sinh : Học bài cũ, làm bài tập ở nhà. III/ Phương pháp dạy học - Phưong pháp gợi mở, vấn đáp. IV/ Tiến trình bài học 1) Ổn định, điểm danh 2) Nội dung Hoạt động 1 Bài 15/sgk. Cho dãy số (u n ) xđịnh bởi u 1 = 3 và u n+1 = u n + 5 với mọi n ≥ 1. a) Hãy tính u 2, u 4 và u 6 . b) Cmr u n = 5n - 2 với mọi n ≥ 1. HĐ của HS HĐ của GV Ghi bảng - Nghe, hiểu câu hỏi - Trả lời câu hỏi - Lên bảng trình bày. - Theo dõi bài bạn, đưa ra nhận xét - Tái hiện lại kiến thức, trả lời câu hỏi. - Nghe, làm theo huớng dẫn. -Làm ra vở nháp, lên bảng trình bày. - Theo dõi bài làm, nhận xét, chỉnh sửa -Tiếp nhận ghi nhớ. - Muốn tính u 2, u 4 và u 6 ta áp dụng kiến thức nào? - Gọi HS lên bảng trình bày câu a -Gọi 1 HS nhận xét - GV nhận xét - Nêu cách hiểu của em về phương pháp quy nạp toán học ? - GV hưóng dẫn HS vận dụng vào cm câu b - Yêu cầu HS trình bày hướng giải quyết theo các bước đã học. - GV nhận xét bài giải, chính xác hoá. - Củng cố kiến thức a) Theo gt u 1 = 3 và u n+1 = u n + 5 ta c ó u 2 = u 1 + 5 = 8 u 4 = u 3 + 5 = 18 u 6 = u 5 + 5 = 28 b) Cm u n = 5n - 2 (1) * Nn ∈∀ Với n = 1, ta có u 1 = 3 = 5.1- 2. Như thế (1) đúng khi n = 1. Giả sử (1) đúng khi n = k, k * N ∈ , ta sẽ cm nó cũng đúng khi n = k +1. Thật vậy, từ công thức xđịnh dãy số (u n ) và giả thiết quy nạp ta có u k+1 = u k + 5 = 5k-2+5= = 5(k+1) -2. Vậy (1) đúng * Nn ∈∀ . Hoạt động 2 Bài 16/sgk 109 HĐ của HS HĐ của GV Ghi bảng -Tái hiện kiến thức, trả lời câu hỏi. - Vận dụng gt vào cm -Tiếp nhận - Làm bài vào vở. - Nêu cách cm dãy số tăng? -Yêu cầu HS cm. -Nhận xét,chỉnh sửa -Tương tự bài 15, yêu cầu HS tự cm câu b a) Từ gt ta có u n+1 -u n = (n+1).2 n > 0, 1 ≥∀ n . Do đó (u n ) là 1 dãy số tăng. Hoạt động 3 Bài 17/sgk 109 HĐ của HS HĐ của GV Ghi bảng - Tiếp nhận tri thức mới. - Suy nghĩ, trả lời câu hỏi - Giới thiệu cho HS khái niệm dãy số không đổi. - Nêu câu hỏi gợi ý: Muốn Ta sẽ cm u n = 1, 1 ≥∀ n , bằng phương pháp quy nạp. Với n = 1, ta có u 1 = 1. -Thảo luận theo nhóm, cử đại diện trình bày - Nhận xét, chỉnh sửa - Tiếp nhận, ghi nhớ cm (u n ) là dãy số không đổi ta cm điều gì? -Cho HS thảo luận theo nhóm -Nhận xét lời giải - Củng cố kiến thức Với n = k, ta có u 1 = u 2 = . . .= u k = 1 và u k+1 = 1 1 2 2 = + k u Ta sẽ cm n = k +1 thì thì u n = 1, 1 ≥∀ n . Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số (u n ) và giả thiết quy nạp ta có u k+2 = 1 11 2 1 2 2 1 = + = + + k u Vậy (u n ) là dãy không đổi 3/ Củng cố toàn bài - Kiền thức về tìm số hạng của dãy. - Vận dụng phương pháp quy nạp vào chứng minh. Bài tập củng cố: Bài 18/sgk Dặn dò: làm các bài tập tương tự trong sách bài tập. Xem trước bài Cấp số cộng. 52 - 53 DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN. BÀI 3- CẤP SỐ CỘNG -------------------------***---------------------- E. Mục tiêu: 1. Kiến thức: Giúp cho học sinh - Nắm được khái niệm cấp số cộng; - Nắm được một số tính chất cơ bản của ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng. - Nắm được công thức số hạng tổng quát và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên. 2. Kĩ năng: - Biết dựa vào định nghĩa để nhận biết một cấp số cộng. - Biết cách tìm số hạng tổng quát và tông n số hạng đầu. - Biết vận dụng CSC để giải quyết một số bài toán ở các môn khác hoặc trong thức tế. 3. Thái độ, tư duy: - Thái độ: tích cực tiếp thu tri thức mới, hứng thú tham gia trả lời câu hỏi. - Tư duy: phát triển tư duy logic, lên hệ trong thực tế. F. Chuẩn bị của thầy và trò: 1. Giáo viên: đọc kĩ SGK, SGV, SBT. 2. Học sinh: đọc trước bài ở nhà. G. Phương pháp giảng dạy: gợi mở vấn đáp kết hợp các hoạt động. H. Tiến trình bài học: (tiết 45: mục 1, 2, 3; tiết 46: mục 4 và bài tập) 1. Ổn định tổ chức: 2. Kiểm tra bài cũ: - Nêu các tính chất của dãy số. - Xác định tính đơn điệu và bị chặn của các dãy số: )13( + n ; n 2 12 2 − . 3. Bài mới: Hoạt động 1: HĐ của GV HĐ của HS Ghi Bảng + Có nhận xét gì các sồ hạng của dãy số? +Từ ví dụ trên hãy đưa ra ĐN về cấp số cộng. + Số hạng sau hơn số hạng ngay trước nó 1 đơn vị. 1. Định nghĩa: Ví dụ1: Nhận xét dãy số: 0, 1, 2,…, n, n+1, . Nhận xét: Từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng bằng tổng số hạng ngay trước nó cộng với 1. ĐN: Dãy số hữu hạn hoặc vô hạn (u n ) là CSC ⇔ u n =u n-1 + d, ∀ n ≥ 2. + Dãy số đã cho có phải là CSC không? Nếu có hãy nêu công sai và u 1 . a) là CSC có d= 2 và u 1 =0. b)CSC:d=1,5và u 1 =3,5 + d không đổi gọi là công sai. + Kí hiệu CSC: ÷ u 1 , u 2 , u 3 , …, u n , … Ví dụ 2: a) Dãy số 0, 2, 4, …, 2n, … b) Dãy số 3,5; 5; 6,5; 9; 10,5; 12. Hoạt động 2: HĐ của GV HĐ của HS Ghi Bảng +Tính u k-1 , u k+1 theo u k và d rồi tìm quan hệ giữa 3 số hạng u k , u k-1 , u k+1 . + Gọi HS lên bảng làm. + u k-1 = u k -d u k+1 = u k +d suy ra 2 11 +− + = kk k uu u +Giả sử A ≤ B ≤ C,ta có:      += = =++ CAB C CBA 2 90 180 0 0 ⇒ A=30 0 ; B=60 0 và C=90 0 . 2. Tính chất ĐL1: (u n ) là CSC ⇔ 2 11 +− + = kk k uu u , (k ≥ 2) <H2> Cho CSC (u n ) có u 1 =-1 và u 3 =3. Tìm u 2 , u 4 . Ví dụ 3: Ba góc A, B, C của tam giác vuông ABC theo thứ tự lập thành CSC. Tính 3 góc đó. Hoạt động 3: HĐ của GV HĐ của HS Ghi Bảng +CSC có u 1 và d. Hình thành công thức tính u n bất kỳ. + Gọi HS làm tại chỗ +Cho học sinh tự nghiên cứu. + u 1 = u 1 + 0.d u 2 =u 1 + d u 3 =u 2 + d=u 1 +2d u 4 =u 3 + d=u 1 +4d … u n =u 1 +(n-1)d. Chứng minh lại bằng quy nạp. + u 31 =-77. 3. Số hạng tổng quát: ĐL 2: Cho cấp số nhân (u n ). Ta có: u n =u 1 +(n-1)d. <H3>Cho CSC (u n )có u 1 =13, d=-3. Tính u 31. <Ví dụ 2> trang 111 SGK. Hoạt động 4: HĐ của GV HĐ của HS Ghi Bảng + Nhận xét tích của hai số hang trong cùng một cột ở sơ đồ trong SGK Từ đó rút ra S n . + Viết lại CT trên dựa vào CT u n =u 1 +(n-1)d. + Gọi HS nêu cách làm ví dụ 3 trang 113 SGK. +<H4> Sử dụng chú ý của ĐL3 làm cho nhanh. +<H5>Yêu cầu học sinh tính tiền lương sau n năm + bằng u 1 +u n . 2 )( 1 nuu S n n + = + u n là mức lương ở quý n. (u n ) là CSC với u 1 =4,5 và d=0,3. Cần tính u 12 . + Hoc sinh tinh rồi đọc kết quả 4. Tổng n số hạng đầu tiên của một CSC: ĐL 3: Cho CSC (u n ), gọi S n =u 1 +u 2 +…+u n 2 )( 1 nuu S n n + = , ∀ n ≥ 1. Chú ý: [ ] 2 )1(2 1 ndnu S n −+ = , ∀ n ≥ 1. <Ví dụ 3>trang 113 SGK. Giải: Gọi u n là mức lương ở quý thứ n thì: u 1 = 4,5 và d=0,3 ⇒ u 12 =4,5+(12-1).0,3=7,8. ( ) ( ) 8,73 6 12.8,75,4 2 12 131 12 = + = + = uu S triệu. <H4> HS tự làm. <H5> ( ) [ ] ( ) 2 233 2 3136.2 1 + = −+ = nnnn T theo 2 phương án. Dựa vào kết quả T 1 -T 2 cho học sinh phát biểu cách chọn. + Trả lời ( ) [ ] ( ) )3( 2 5 5,1322 2 5,0.147.24 21 2 n n TT nn nn T −=−⇒ += −+ = Nếu làm trên 3 năm thì chọn PA 2, dưói 3 năm thì chọn PA 1. Hoạt động 5: bài tập SGK HĐ của GV HĐ của HS Ghi Bảng + Gọi học sinh nêu PP và giải bài 19. + Gọi học sinh nêu PP và giải bài 20. + Gọi HS trả lời TN. + Gọi HS làm tại chỗ và đọc kết quả. + Bài 23: HDHS đưa u 20 và u 51 về u 1 và d rồi tính u 1 và d sau đó viết công thức u n . + Biểu diễn u m , u k qua u 1 và d. + DH hs c/m bằng quy nạp. + Có thể tính u 1 và d (AD bài 24) rồi tính S 13 . + Học sinh trả lời. + Học sinh trả lời. + Học sinh trả lời. + Học sinh trả lời. + HS trả lời Bài19: a) u n+1 -u n = 19, ∀ n ≥ 1 ⇒ (u n ) là CSC. b) u n+1 -u n = a, ∀ n ≥ 1 ⇒ (u n ) là CSC. Bài 20: Ta có: ( ) [ ] ( ) 12 8 1 8 1 2 2 −=−−= nnnu n π π 4 1 π =−⇒ + nn uu , ∀ n ≥ 1 ⇒ (u n ) là CSC Chú ý: Để CM (u n ) là CSC ta cần CM u n+1 -u n không đổi, ∀ n ≥ 1 . Bài 21: Trắc nghiệm: a) Tăng; b) Giảm. Bài 22: 28=u 1 +u 3 =2u 2 ⇒ u 2 =14 40=u 3 +u 5 =2u 4 ⇒ u 4 =20 u 3 =(u 2 +u 4 )/2=17 u 1 =28-u 3 =11 và u 5 =40-u 3 =23. Bài 23: ĐS: u n =-3n+8. Bài 24: u m =u 1 +(m-1)d và u k =u 1 +(k-1)d ⇒ u m -u k =(m-k)d ⇒ u m =u k +(m-k)d. Áp dụng: HS tự làm. ĐS: d=5. Bài 25: ĐS: u n =5-3n. Bài 26:CM bằng quy nạp: HD: ( )( ) 2 1 11 11 + ++ ++ =+= k kkk uuk uSS Bài 27: HS tự làm. HD: ( ) ( ) .690 2 23 2 23 222 231 23 = + = + = uu uu S Bài 28:là ví dụ 3 trong phần bài học. 4. Củng cố: Nắm được các công thức và cách áp dụng. Chú ý kết quả bài 24. 5. Bài về nhà: - Hết tiết 45: Bài tập SGK trang114, 115. - Hết tiết 46: Bài 1: CM các dãy số sau là CSC: a) u n =3n-7 b) u n =(3n+2)/5. Bài 2: Xác định số hạng đầu và công sai CSC (u n ) biết:    = =− 75. 8 72 37 uu uu (ĐS: u 1 =3, -17; d=2). Bài 3: Bốn số lập thành CSC. Tổng của chúng bằng 22 và tổng bình phương thì bằng 166. Tìm 4 số đó. (ĐS: 1, 4, 7, 10). I. Rút kinh nghiệm: CẤP SỐ NHÂN (TIẾT 54+55 + 56) A. MỤC TIÊU: 1. Về kiến thức : Giúp học sinh : - Nắm vững khái niệm cấp số nhân ; - Nắm được tính chất đơn giản về ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân ; - Nắm vững công thức xác định số hạng tổng quát và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân . 2. Về kĩ năng : Giúp học sinh : - Biết dựa vào định nghĩa để nhận biết một cấp số nhân ; - Biết cách tìm số hạng tổng quát và cách tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân trong các trường hợp không phức tạp ; - Biết vận dụng các kết quả lý thuyết đã học để giải quyết các bài toán đơn giản liên quan đến cấp số nhân ở các môn học khác , cũng như trong thực tế cuộc sống . 3. Về tư duy và thái độ : Biết khái quát hoá , tương tự . Tích cực hoạt động, trả lời câu hỏi . B. CHUẨN BỊ CỦA THẦY & TRÒ: 1. Giáo viên : SGK , Giáo án . Cần chuẩn bị trước ở nhà bảng tóm tắt nội dung của bài toán mở đầu và bài toán nêu trong mục Đố vui . 2. Học sinh : Học thuộc bài cũ .Xem trước bài CSN , SGK , dụng cụ học tập . C. PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC: Phát hiện và giải quyết vấn đề . D. TIẾN HÀNH BÀI DẠY: 1. Ổn định lớp 2. Kiểm tra bài cũ + Định nghĩa cấp số cộng ? + Một CSC có 11 số hạng .Tổng các số hạng là 176. Hiệu giữa số hạng cuối và số hạng đầu 30 . Tìm CSC đó ? 3. Bài mới HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH GHI BẢNG GV treo bảng phụ tóm tắt nội dung của bài toán mở đầu : .Giả sử có 1 người gửi 10 triệu đồng với kỳ hạn một tháng vào ngân hàng nói trên và giả sử lãi suất của loại kỳ hạn này là 0,04%. a) Hỏi nếu 6 tháng sau , kể từ ngày gửi , người đó đến ngân hàng để rút tiền thì số tiền rút được (gồm cả vốn và lãi ) là bao nhiêu ? b) Cùng câu hỏi như trên , với thời điểm rút tiền là 1 năm kể từ ngày gửi ? * Gọi HS làm câu a) . Sau đó gọi HS khác trả lời câu b) . Với mỗi số nguyên dương n , ký hiệu u n là số tiền người đó rút được (gồm cả vốn lẫn lãi) sau n tháng kể từ ngày gửi . Ta có : u 1 = 10 7 + 10 7 .0,004 = 10 7 .1,004 ; u 2 = u 1 + u 1 .0,004 = u 1 .1,004 ; u 3 = u 2 + u 2 .0,004 = u 2 .1,004 ; . u n = u n - 1 + u n - 1 .0,004 = u n -1 .1,004 Tổng quát , ta có : u n = u n -1 + u n - 1 .0,004 = u n - 1 . 1,004 2n ∀ ≥ a) Vậy sau 6 tháng người đó rút được u 6 = ? u 5 .1,004 b) Sau 1 năm người đó rút được : u 12 = ? u 11 .1,004 Bài toán mở đầu: + Với mỗi số nguyên dương n ,ký hiệu u n là số tiền người đó rút được (gồm cả vốn lẫn lãi) sau n tháng kể từ ngày gửi .Ta có : u 1 = 10 7 .1,004 ; u 2 = u 1 .1,004 ; u 3 = u 2 .1,004 ; u n = u n - 1 .1,004 . Tổng quát , ta có : u n = u n - 1 . 1,004 2n ∀ ≥ * Nhận xét tính chất dãy số (u n ) nói trên ? + Kể từ số hạng thứ hai , mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó và 1,004 . * Tổng quát dãy số (u n ) được gọi là cấp số nhân khi nào ? (u n ) là cấp số nhân 1.Định nghĩa: (u n ) là cấp số nhân 1 2, . n n n u u q − ⇔ ∀ ≥ = ( q là số không đổi , gọi là công bội của CSN ) Ví dụ 1: SGK Tr 116 H1: Trong các dãy số sau , dãy nào là cấp số nhân ? Vì sao? a) 4 ; 6 ; 9 ; 13,5 . b) -1,5 ; 3 ; -6 ; -12 ; 24 ; - 48 ; 96 ; -192 c) 7 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 . Ví dụ 2: SGK Tr 116 . * Gọi từng HS đứng tại chỗ với mỗi VD Từ VD1b) sau đó là 1a) cho học sinh nhận xét kể từ số hạng thứ hai , bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đ/v CSN hữu hạn) liên hệ thế nào với hai số hạng kề nó trong dãy ? * Hãy phát biểu tính chất nêu trên ? C/m:Gọi q là công bội của CSN (u n ) .Xét 2 trường hợp : + q = 0 : hiển nhiên . + q ≠ 0 : Viết u k qua số hạng đứng trước và ngay sau nó ? H2: Có hay không CSN (u n ) mà u 99 = -99 và u 101 = 101 ? Ví dụ 3: SGK Tr 118 . * PP c/minh dãy số là CSN ? Áp dụng ? * Từ bài toán mở đầu , biểu diễn các số hạng u n ( 2n ≥ ) theo u 1 và công bội q = 1,004 ? * Tổng quát CSN (u n ) có số hạng đầu u 1 và công bội q ≠ 0 có số hạng tổng quát u n = ? Ví dụ 4: Từ bài toán mở đầu , tìm u 6 và u 12 ? H3 : SGK Tr 119 . *Gọi HS đứng tại chỗ giải ( có thể gợi ý xét sự tương đồng giữa BT này và BT mở đầu để làm ) ? * CSN (u n ) có số hạng đầu u 1 và công bội q .Mỗi số nguyên dương a) Dãy số là cấp số nhân ; vì kể từ số hạng thứ hai , mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với 1,5 . b) không là cấp số nhân . c) là cấp số nhân , công bội q = 0 . + Đối với CSN 1b) + Đối với CSN 1a) + Nếu (u n ) CSN thì u k 2 = u k - 1 .u k +1 , 2k ∀ ≥ + u k = u k - 1 . q ( 2k ≥ ) 1 k k u u q + = ( 2k ≥ ) Nhân các vế tương ứng , ta có (đpcm) + Không tồn tại , vì nếu ngược lại ta sẽ có : u 2 100 = u 99 . u 101 = - 99 .101 < 0 + v n = q.v n -1 , 2n ∀ ≥ + v n = u n - 1 2 = 3u n - 1 - 1 - 1 2 = 3v n -1 , 2n∀ ≥ + u 1 = 10 7 .1,004 ; u 2 = u 1 .1,004 ; u 3 = u 2 .1,004 = u 1 .(1,004) 2 ; . u n = u n - 1 .1,004 = u 1 . (1,004) n - 1 , 2n ∀ ≥ + u n = u 1 . ( q ) n - 1 , 2n∀ ≥ + u n = 10 7 .1,004.(1,004) n - 1 = 10 7 .(1,004) n , 1n ∀ ≥ + u n = 3.10 6 .(1 + 0,02) n = 3.10 6 . (1,002) n . + Khi q = 1 thì u n = u 1 và S n = n.u 1 . 2. Tính chất : Định lý 1: Nếu (u n ) CSN thì u k 2 = u k - 1 .u k +1 , 2k ∀ ≥ 3. Số hạng tổng quát: Từ bài toán mở đầu : u 1 = 10 7 .1,004 ; u 2 = u 1 .1,004 ; u 3 = u 1 .(1,004) 2 ; . u n = u 1 . (1,004) n - 1 , 2n∀ ≥ + u n = u 1 . ( q ) n - 1 , 2n ∀ ≥ Định lý 2 : SGK Tr 118 . Nếu CSN (u n ) có số hạng đầu u 1 và công bội q ≠ 0 thì có số hạng tổng quát : [...]... 1 và b < ) 1 Bài soạn: Dãy số có giới hạn vô cực (Đại số và giải tích 11 nâng cao) Tiết: 62 A MỤC TIÊU: 4 Về kiến thức: - Nắm được khái niệm dãy số có giới hạn vô cực - Hiểu và vận dụng được các quy tắc trong bài 5 Về kỹ năng: - Biết cách sử dụng định nghía để tính một số giới hạn - Biết cách áp dụng các quy tắc vào giải toán 6 Về tư duy và thái độ: - Biết khái quát hoá Biết quy lạ thành quen - Tích. .. Xét tính tăng, giảm của dãy số (un ) với un = 4n Bài 3 Tìm hai số a và b biết ba số : 1 , a + 8 , b theo thứ tự lập thành một cấp số cộng và ba số 1, a, b theo thứ tự lập thành một cấp số nhân 1 Bài 4 Một cấp số nhân (un ) có 5 số hạng, biết công bội q = và u1 + u4 = 24 Tìm các số 4 hạng của cấp số nhân này -Bài soạn: §1: DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN 0 PPCT: Tiết 60 I Mục tiêu bài học:... chương III (Đại số và giải tích 11 nâng cao) Tiết: 57+58 A MỤC TIÊU: 1 Về kiến thức: - Nắm được các kiến thức về dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân và mạch kiến thức của cả chương - Hiểu và vận dụng được các định nghĩa, tính chất, định lý và công thức trong chương 2 Về kỹ năng: - Biết cách chứng minh một mệnh đề bằng phương pháp quy nạp - Biết các cách cho một dãy số; xác định tính tăng, giảm và bị chặn... → +∞ ĐỊNH NGHĨA 2: Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là -∞ nếu với mọi số âm tuỳ ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó Khi đó ta viết: lim(un)=-∞; limun=∞ hoặc u n → −∞ CHÚ Ý: Ta gọi các dãy số có giới hạn như trên là dãy số có giới hạn vô cực hay dân đến vô cực -Các nhóm tích cực trao đổi đề giải ví dụ 3 và cử đại diện trả lời -Tổ chức cho các... Chia tử và mẫu cho nghĩa giải luỹ thừa bậc cao nhất của xn Chia HS thành 4 nhóm và làm trong tử và mẫu bài trên giấy trong Câu c) Nhân cả tử và mẫu cho Gọi đại diện nhóm lên trình bày biểu thức liên hợp Nhận xét lời giải và các ý kiến → −∞ Câu d) |x| =-x khi x của HS Thảo luận theo nhóm và cử Trình chiếu bài giải trên màn đại diện nhóm lên trình bày hình Các nhóm theo dõi bài giải và nhận xét lời giải. .. §2.DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN A MỤC ĐÍCH YÊU CẦU • Giúp HS nắm được định nghĩa dãy số có giới hạn là một số thực L và các định lí về giới hạn hữu hạn • Hiểu cách lập công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn Từ đó áp dụng công thức vào giải một số bài toán cơ bản • HS biết áp dụng định nghĩa và các định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số để tìm giới hạn của một dãy số B CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS:... dụ và nhận xét HĐ2: Tìm hiểu dãy số có giới 1 Dãy số có giới hạn +∞ hạn + ∞ Đn (sgk) Khác với dãy số có giới hạn 0, với dãy số (un) với un=2n−3, ta thấy khi n tăng thì un ngày càng lớn, lớn bao nhiêu cũng được miễn là n đủ lớn Nói cách khác, mọi số hạng của dãy đều lớn hơn một số nguyên dương tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi H: để un>50 thì n phải lấy từ số hạng thứ mấy trở đi ? Dãy số. .. nghĩa dãy số có giới hạn: (−1) n Tính lim(un – limu = L ⇔ lim(u – L ) = 0 n n n 3)? GV kết luận dãy số có giới hạn là Dãy số (un) có giới hạn là số thực L 3 và đi đến định nghĩa một dãy số có giới hạn L Tính nhanh limC (C là Ví dụ 2:Cho dãy số không đổi limC = C (C: hằng số) hằng số) (un): un = C(hằng số) thì limC ? Ví dụ 3: CMR  ( −1)    n − 3  = −3    n *Chú ý: Không phải mọi dãy số lim đều... BỊ CỦA GV VÀ HS: - GV: Chuẩn bị các ví dụ và bảng phụ - HS: Ôn tập lại kiến thức bài 1 và 2 và chuẩn bị trước bài mới ở nhà C PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC: - Sử dụng PP gợi mở vấn đề, vấn đáp, đan xem hoạt động nhóm D TIẾT TRÌNH BÀI HỌC: HĐ HS HĐ GV GHI BẢNG và BẢNG PHỤ HĐ1: ĐẶT và NÊU VẤN ĐỀ I DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN +∞ hoặc -∞ : -Nắm được vấn đề đặt ra và thao luận tìm câu trả lời -Cử đại diện tra lời và nhận xét... trong hoạt động này và phân công các nhóm thực hiện -Định hướng HS tìm các DS có đủ các yếu tố trong bảng -Từng nhóm trao đổi và HĐ3: ÔN phác thảo TẬP sự so sánh CSC lên giấy , và cử đại CSN diện trả lời -Yêu cầu HS so sánh lại các kiến thức về CSC và CSN trên các phương diện ĐN, số -Từng hạng TQ, nhóm trao TC và tổng đổi thực n số hạng hiện yêu đầu tiên cầu của GV -Tổ chức -Cử đại cho HS làm diện . chương III (Đại số và giải tích 11 nâng cao) Tiết: 57+58 A. MỤC TIÊU: 1. Về kiến thức: - Nắm được các kiến thức về dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân và mạch. này và BT mở đầu để làm ) ? * CSN (u n ) có số hạng đầu u 1 và công bội q .Mỗi số nguyên dương a) Dãy số là cấp số nhân ; vì kể từ số hạng thứ hai , mỗi số