Cú nhiều bài toỏn hỡnh học tưởng như khụng liờn quan đến diện tớch, nhưng nếu ta sử dụng diện tớch thỡ lại dễ dàng tỡm ra lời giải của bài toỏn.
Bài toỏn 1 : Tam giỏc ABC cú AC = 2 AB. Tia phõn giỏc của gúc A cắt BC ở D. Chứng minh rằng DC = 2 DB.
Phõn tớch bài toỏn (h.1)
Để so sỏnh DC và DB, cú thể so sỏnh diện tớch hai tam giỏc ADC và ADB cú chung đường cao kẻ từ A. Ta so sỏnh được diện tớch hai tam giỏc này vỡ chỳng cú cỏc đường cao kẻ từ D bằng nhau, và AC = 2 AB theo đề bài cho.
Giải : Kẻ DI vuụng gúc với AB, DK vuụng gúc với AC. Xột ΔADC và ΔADB :
cỏc đường cao DI = DK, cỏc đỏy AC = 2 AB nờn SADC = 2 SADB.
Vẫn xột hai tam giỏc trờn cú chung đường cao kẻ từ A đến BC, do SADC = 2 SADB
nờn DC = 2 DB.
Giải tương tự như trờn, ta chứng minh được bài toỏn tổng quỏt : Nếu AD là phõn giỏc của ΔABC thỡ DB/DC = AB/AC.
Bài toỏn 2 : Cho hỡnh thang ABCD (AB // CD), cỏc đường chộo cắt nhau tại O. Qua O, kẻ đường thẳng song song với hai đỏy, cắt cỏc cạnh bờn AC và BC theo thứ tự tại E và F.
Chứng minh rằng OE = OF.
Giải :
Cỏch 1 : (h.2) Kẻ AH, BK, CM, DN vuụng gúc với EF. Đặt AH = BK = h1, CM = DN = h2.
Ta cú :
Từ (1), (2), (3) => : Do đú OE = OF.
Cỏch 2 : (h.3) Kớ hiệu như trờn hỡnh vẽ. Ta cú SADC = SBDC .
Cựng trừ đi S5 được : S1 + S2 = S3 + S4 (1)
Giả sử OE > OF thỡ S1 > S3 và S2 > S4 nờn S1 + S2 > S3 + S4, trỏi với (1). Giả sử OE < OF thỡ S1 < S3 và S2 < S4 nờn S1 + S2 < S3 + S4, trỏi với (1). Vậy OE = OF.
Bài toỏn 3 : Cho hỡnh bỡnh hành ABCD. Cỏc điểm M, N theo thứ tự thuộc cỏc cạnh AB, BC sao cho AN = CM. Gọi K là giao điểm của AN và CM. Chứng minh rằng KD là tia phõn giỏc của gúc AKC.
Giải : (h.4) Kẻ DH vuụng gúc với KA, DI vuụng gúc với KC. Ta cú :