Tài liệu Luyện thi Đại học – Cao đẳng Giáo viên: Lê Minh Chơn 1 Trường THPT số 2 Đức Phổ Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC Phần I. CÔNG THỨC LƯNG GIÁC I. Các hệ thức lượng giác cơ bản. 1) sin tan cos α α α = , với 2 k π α π ≠ + 2) cos s n cot i α α α = , với k α π ≠ 3) .co 1 tan t α α = , với 2 k π α ≠ 4) 2 2 cos 1 sin α α + = 5) 2 2 1 1 tan cos α α = + , v ớ i 2 k π α π ≠ + 6) 2 2 1 1 cot sin α α = + , v ớ i k α π ≠ 7) 2 )n( sin si k α π α + = , k ∀ ∈ ℤ 8) 2 )s( cos co k α π α + = , k ∀ ∈ ℤ 9) ) tan tan( k α π α + = , k ∀ ∈ ℤ (bi ể u th ứ c có ngh ĩ a) 10) ) cot cot( k α π α + = , k ∀ ∈ ℤ (bi ể u th ứ c có ngh ĩ a) II. Cơng thức cung có liên quan đặc biệt 1. Cung đối nhau 2. Cung bù nhau ) sin cos( ) cos tan( ) tan cot( ) c si o n t ( α α α α α α α α = − − = − = − − = − − sin( cos( tan( ) sin ) cos c ) t ot o ( an ) c t π α α π α α π α α π α α − = − = − − = − − = − 3. Cung hơn kém π sin( cos( ) sin ) cos π α α π α α + = − + = − tan( cot( ) tan ) cot π α α π α α + = + = 4. Cung phụ nhau 5. Cung hơn kém 2 π sin cos 2 cos sin 2 tan cot 2 cot tan 2 π α α π α α π α α π α α − = − = − = − = sin cos 2 cos sin 2 tan cot 2 cot tan 2 π α α π α α π α α π α α + = + = − + = − + = − III. Các cơng thức lượng giác 1. Cơng thức cộng cos( ) cos cos sin sin + = − a b a b a b cos( ) cos cos sin sin a b a b a b − = + sin( ) sin cos sin cos a b a b b a + = + sin( ) sin cos sin cos a b a b b a − = − tan tan tan( ) 1 tan tan a b a b a b − − = + (bi ể u th ứ c có ngh ĩ a) tan tan tan( ) 1 tan tan a b a b a b + + = − (bi ể u th ứ c có ngh ĩ a) 2. Cơng thức nhân đơi sin 2 2sin cos a a a = 2 2 2 2 sin 2cos 1 1 2scos i2 cos n a a aa a − = − = −= 2 2tan tan2 1 tan a a a = − (bi ể u th ứ c có ngh ĩ a) 3. Cơng thức hạ bậc 2 1 sin cos2 2 a a − = , 2 1 cos2 cos 2 a a + = 2 1 cos ta s n 2 1 co 2 a a a − = + (bi ể u th ứ c có ngh ĩ a) 4. Cơng thức nhân ba 3 sin3 3sin 4sin a a a= − 3 cos3 4cos 3cos a a a −= 3 2 3tan tan tan3 1 3tan a a a a − = − (bi ể u th ứ c có ngh ĩ a) 5. Cơng thức biến tích thành tổng [ ] 1 cos cos cos( ) cos( ) 2 a b a b a b = − + + [ ] 1 sin sin cos( ) cos( ) 2 a b a b a b = − − + [ ] 1 sin cos sin( ) sin( ) 2 a b a b a b = − + + 6. Cơng thức biến tổng thành tích cos 2cos s 2 2 cos co α β α β α β + − + = cos 2sic n sinos 2 2 α β α β α β + − − = − sin 2sin s 2 2 sin co α β α β α β + − + = Tài liệu Luyện thi Đại học – Cao đẳng Giáo viên: Lê Minh Chơn 2 Trường THPT số 2 Đức Phổ sin 2cos n 2 2 sin si α β α β α β + − − = sin( tan ) tan cos .cos α β α β α β + + = (biểu thức có nghĩa) sin( tan ) tan cos .cos α β α β α β − − = (biểu thức có nghĩa) *Chú ý. Ngồi ra ta cũng chứng minh được các cơng thức sau: cos sin 2cos 4 x x x π + = − cos sin 2 cos 4 x x x π − = + Phần II. PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC I. Phương trình lượng giác cơ bản 1. Phương trình sinx = m (1) • Nếu 1 m > thì ph ươ ng trình (1) vơ nghi ệ m. • N ế u 1 m ≤ , thay sin m α = . Khi đ ó ta có: 2 in 2 s sin x k x x k α π α π α π = + − + = ⇔ = *Chú ý. • N ế u 1 m ≤ thì ph ươ ng trình (1) có nghi ệ m là arcsin 2 x m k π = + và arcsin 2 mx k π π − = + (nên dùng khi 1 m ≤ mà m khơng ph ả i là giá tr ị l ượ ng giác c ủ a m ộ t góc đặ c bi ệ t) • N ế u ( ) u u x = , ( ) v v x = là các hàm s ố theo x thì ta c ũ ng có: 2 sin s 2 in u v k u v k u v π π π = − = + + = ⇔ Ví dụ. Gi ả i các ph ươ ng trình sau: a) 3sin 2 1 0 x + = ; b) sin 2 cos3 0 x x − = 2. Phương trình cosx = m (2) • N ế u 1 m > thì ph ươ ng trình (2) vơ nghi ệ m. • N ế u 1 m ≤ , thay cos m α = . Khi đ ó ta có: cos cos 2 x k x α α π ⇔ = ± + = *Chú ý • N ế u 1 m ≤ thì ph ươ ng trình (2) có nghi ệ m là: arccos 2 x m k π = ± + (nên dùng khi 1 m ≤ mà m khơng ph ả i là giá tr ị l ượ ng giác c ủ a m ộ t góc đặ c bi ệ t). • N ế u ( ) u u x = , ( ) v v x = là các hàm s ố theo x thì ta c ũ ng có: cos cos 2 u v u v k π = ⇔ = ± + . Ví dụ. Gi ả i các ph ươ ng trình: a) 3cos 1 0 x − = ; b) sin 2 cos3 0 x x + = 3. Phương trình tanx = m (3) Đ i ề u ki ệ n: 2 x k π π ≠ + Thay tan m α = , ta có: tan tan x k x α α π ⇔ = + = *Chú ý • V ớ i m ọ i m ∈ ℝ thì ph ươ ng trình (3) ln có nghi ệ m là arctan k x m π = + (nên dùng khi m khơng ph ả i là giá tr ị l ượ ng giác c ủ a góc đặ c bi ệ t). • N ế u ( ), ( ) u u x v v x = = là các hàm s ố theo x thì ta c ũ ng có: tan tan u v u v k π = ⇔ = + . Ví dụ. Gi ả i các ph ươ ng trình: a) tan(3 2) 5 x + = ; b) tan(3 3) tan3 x x + = 4. Phương trình cotx = m (4) Đ i ề u ki ệ n: x k π ≠ Thay cot m α = , ta có: cot cot x k x α α π ⇔ = + = *Chú ý • V ớ i m ọ i m ∈ ℝ thì ph ươ ng trình (4) ln có nghi ệ m là arccot k x m π = + (nên dùng khi m khơng ph ả i là giá tr ị l ượ ng giác c ủ a góc đặ c bi ệ t). • N ế u ( ), ( ) u u x v v x = = là các hàm s ố theo x thì ta c ũ ng có: cot cot u v u v k π = ⇔ = + . Ví dụ. Gi ả i các ph ươ ng trình: a) 3cot(2 1) 4 x − = ; b) cot(2 1) cot(3 ) 0 xx π − − = + II. Một số phương trình lượng giác thường gặp 1. Phương trình bậc hai theo cùng một hàm số lượng giác Định nghĩa. Là ph ươ ng trình có m ộ t trong các d ạ ng: (a) 2 sisi n 0 n x b x ca + + = (b) 2 coco s 0 s x b x ca + + = (c) 2 tata n 0 n x b x ca + + = (d) 2 coco t 0 t x b x ca + + = Trong đ ó: , ,a b c ∈ ℝ và 0 a ≠ ; x là N n s ố . Cách giải. Đặ t N n ph ụ t là hàm s ố l ượ ng giác có trong ph ươ ng trình, đượ c ph ươ ng trình b ậ c hai theo t : 2 0 at bt c + + = Tài liệu Luyện thi Đại học – Cao đẳng Giáo viên: Lê Minh Chơn 3 Trường THPT số 2 Đức Phổ Giải phương trình này tìm t , sau đó tìm x . *Chú ý. Nếu đặt sin t x = hoặc cos t x = thì đ i ề u ki ệ n c ủ a t là 1 t ≤ . 2. Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx (phương trình cổ điển) Định nghĩa. Là ph ươ ng trình có d ạ ng : sin cos a x b x c + = (5) Trong đ ó : , ,a b c ∈ ℝ và 0 .ab ≠ ; x là N n s ố . Cách giải Cách 1. Chia ph ươ ng trình cho 2 2 a b + , ta đượ c : 2 2 2 2 2 2 sin cos a b c x x a a b b b a+ + + + = (*) Đặ t: 2 2 cos b a a α = + , 2 2 sin b b a α = + , thay vào (*) ta đượ c: 2 2 sisin c n cosos a x c x b α α + = + 2 2 )sin( a x c b α = + ⇔ + (**) Ph ươ ng trình (**) là ph ươ ng trình l ượ ng giác c ơ b ả n d ạ ng sin x m = . Cách 2. Vì a và b khác 0 nên gi ả s ử 0 a ≠ . Chia ph ươ ng trình cho 0 a ≠ , ta đượ c: sin cos b c x x a a + = Đặ t: tan b a α = , thay vào ph ươ ng trình trên ta đượ c: sin tan .cos c a x x α = + sin sin .cos cos c x x a α α ⇔ + = sis nin .cos .co .cos s a x c x α α α =⇔ + ) .co sin( s x c a α α =⇔ + Đ ây là ph ươ ng trình d ạ ng sin x m = . (Cách gi ả i 2 ít đượ c dùng) *Chú ý. Ph ươ ng trình (5) có nghi ệ m 2 2 2 b a c ⇔ + ≥ 3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx Định nghĩa. Là ph ươ ng trình có d ạ ng: 2 2 sin cos cos 0 sin x b x x ca x + + = (6) Trong đ ó: , ,a b c ∈ ℝ và 0 0 0 b ca ≠ ∨ ≠ ∨ ≠ ; x là N n. Cách giải Cách 1. Th ự c hi ệ n theo 2 b ướ c sau : • B ướ c 1. Ki ể m tra xem cos 0 x = , t ứ c là 2 x k π π = + có ph ả i là nghi ệ m c ủ a (6) khơng, n ế u là nghi ệ m thì ghi nh ậ n nghi ệ m này. • B ướ c 2. Xét cos 0 x ≠ , chia ph ươ ng trình (6) cho 2 cos x ta đượ c ph ươ ng trình b ậ c hai theo tan x : 2 tata n 0 n x b x ca + + = , gi ả i ph ươ ng trình này tìm nghi ệ m. Cách 2. Dùng cơng th ứ c h ạ b ậ c: Ta có: 1 cos2 1 cos2 (6) sin2 0 2 2 2 x b x a x c − + ⇔ + + = (1 cos2 ) sin 2 (1 cos2 ) 0 a x b x c x ⇔ − + + + = sin2 ( )cos2 ( ) b x c a x a c ⇔ + − = − + Đ ây là ph ươ ng trình c ổ đ i ể n, đ ã bi ế t cách gi ả i. *Chú ý • Đố i v ớ i ph ươ ng trình d ạ ng: 2 2 sin cos cin os s x b x x c x d a + + = ( 0 d ≠ ) ta để ý r ằ ng: 2 2 (si cn os ) x x d d += ho ặ c: 2 2 1 1 tan cos x x = + t ừ đ ó gi ả i t ươ ng t ự nh ư ph ươ ng trình (6). • Khi ki ể m tra 2 x k π π = + có là nghi ệ m c ủ a (6), ta khơng thay 2 x k π π = + vào PT mà thay cos 0 x = và để ý r ằ ng khi cos 0 x = thì sin 1 x = ± . III. Một số chú ý khi giải phương trình lượng giác Chú ý các bi ế n đổ i th ườ ng dùng sau đ ây: • sin sin sin sin( ) u v u v = − ⇔ = − • cos cos cos co ) s(u v u v π = − ⇔ − = • tan tan tan tan( ) u v u v = − ⇔ = − • cot cot cot cot( ) u v u v = − ⇔ = − • sin cos 0 tan b a u b u u a ± = ⇔ = ∓ ( 0 .a b ≠ ) • N ế u trong ph ươ ng trình ch ỉ ch ứ a l ũ y th ừ a b ậ c 2 c ủ a sinu và cosu ta th ườ ng dùng ph ươ ng pháp h ạ b ậ c. • N ế u trong ph ươ ng trình có ch ứ a tích (t ổ ng), th ườ ng dùng cơng th ứ c bi ế n tích thành t ổ ng (t ổ ng thành tích). Tài liệu Luyện thi Đại học – Cao đẳng Giáo viên: Lê Minh Chơn 4 Trường THPT số 2 Đức Phổ Đối với phương trình tích, chú ý xem có thể gộp nghiệm được khơng. Đối với phương trình có điều kiện, chú ý chọn nghiệm thỏa mãn điều kiện. BÀI TẬP I. Phương trình lượng giác cơ bản Bài 1. Giải các phương trình sau trên các miền đã cho: a) cos3 4cos2 3cos 4 0 x x x − + − = , [0;14] x ∈ b) 2 sin 2 6 5 x π + = , ; 3 6 x π π ∈ − c) 3 tan 3 5 x π − = − , 7 ; 2 6 x π π ∈ − d) 2 2 2 4sin 7 sin cos4 sin 4 2 2 x x x x π − − − = , v ớ i 1 3 x − < Bài 2. Gi ả i các ph ươ ng trình: a) cos cos2 cos3 cos4 0 x x x x + + + = b) sin3si cos cos2 cn si o 3 n 2 s x x x x x x = + + + + c) sisi n 2n c c 0 1 s2s oo xx x x + + + = + d) 2 2 2 2 sin 3 csin 2 os cos 4 x x x x + = + e) 2 2 2 2 3 cos 4 sinsin 5 cos 6 x x x x − = − f) 6 6 8 8 cos 2(sin sin cos ) x x x x + = + Bài 3. Gi ả i các ph ươ ng trình: a) 3 3 2 3cos 3sin sin cossi 0 4 n x x x x x + − − = b) 1 cos cos2 cos4 cos8 16 x x x x = c) 3 8cos cos3 3 x x π + = ( đặ t 3 t x π = + ) d) 2 tan tanta 3 2 n x x x − = e) 2 2 2 sin tan 0 2 4 os 2 cx x x π − = − f) 2 2 cot 16(1 cos4 ) cos2 tan x x x x = + − Bài 4. Gi ả i các ph ươ ng trình: a) 1 1 7 4sin 3 sin 4 sin 2 x x x π π + = − − (KA–08) b) 2sin (1 cos sin 2 1 2c s ) o 2x x x x + + = + (KD–08) c) 2 2 )cos (1 cos )si(1 sin n 1 sin2 x x x x x + + = ++ (Khối A – 2007) d) 2 2 sin2 7 1 ss n in i x x x + − = (KB – 2007) e) cot sin 1 tan tan 4 2 x x x x + + = (KB – 2006) f) cos3 cos2 cos 1 0 x x x + − − = (KD – 2006) g) 2 (1 2sin ) cos 1 sin cos x x x x + = + + (CĐ – 2009) II. Phương trình bậc hai đối với cùng một hàm số lượng giác Bài 5. Gi ả i các ph ươ ng trình: a) 2 2 7cos2 33sin 0 x x + − = b) cos2 5sin 3 0 x x − − = c) cos2 cos 1 0 x x + + = d) 2 3 cos6si 4 n 12x x + = e) 4 2 12cos 4sin 7 x x+ = f) 7tan 4cot 12 0 x x − − = g) ( ) 2 3 1 cot 3 0 cot x x + − − = Bài 6. Gi ả i các ph ươ ng trình: a) cos3 5 sin 3 cos2 1 2 sin3 sin2 x x x x x + + = + + (KA – 02) b) 4 4 3 sin coco s sin 3 0 4 4 2 s x x x x π π + + − − − = (Kh ố i D – 2005) c) 2 sin3 2 3(1 s )5 in tan x x x − = − (KB – 2004) d) ( ) 2 cos 2sin 3 2 2cos 1 1 1 sin 2 x x x x + −+ − = e) (1 sin cos2 )sin 1 4 cos 1 tan 2 π + + + = + x x x x x (Khối A – 2010) f) sin 2 2tan 3 x x + = g) 5 3 4cos cos 2(8sin 1)cos 5 2 2 x x x x + − = (CĐ–10) III. Phương trình cổ điển Bài 7. Gi ả i các ph ươ ng trình sau: a) 2 sin cos 2 x x− = b) sin7 3cos7 2 0 x x + − = c) sin2 3cos2 13sin14 2 x x x + = d) sin3 3cos3 2sin 2 x x x + = (Cao đẳng 2008) Bài 8. Gi ả i các ph ươ ng trình: a) 3 3 2 2 3cos sin cossin 3sin cos x x x x x x − = − (Khối B – 2008) b) (1 2sin )cos 3 (1 2sin )(1 sin ) x x x x − = + − (KA – 2009) c) 3 sin 2 3cos3 2(csin c os4s n ) o six x xx x x ++ + = (Khối B – 2009) d) sin3cos5 3 c2 os2 sin 0 x x xx −− = (KD–2009) Bài 9. Tìm các nghi ệ m thu ộ c kho ả ng 2 6 ; 5 7 π π c ủ a ph ươ ng trình: cos7 3sin7 2 x x− = − . Tài liệu Luyện thi Đại học – Cao đẳng Giáo viên: Lê Minh Chơn 5 Trường THPT số 2 Đức Phổ Bài 10. Giải các phương trình: a) 3 sin3 3cos9 1 4si 3 n3 x x x− = + b) 1 tan sin2 cos2 2 2cos 0 cos x x x x x − − + − = c) 3 1 8sin cos sin x x x = + d) s9 isi n 2n 6 cos3 2o 8 c s xx xx + + − = Bài 11. Gi ả i các ph ươ ng trình: a) sin 2 2cos2 1 sin 4cos x x x x + = + − b) sin 2 cos2 7si o 4 2 n 2c sx x x x − = + − c) sin 2 cos2 3sin cos 2 x x x x − = + − d) sin 2 cos2 3sin cos 1 0 x x x x − + − − = (KD–10) Bài 12. Gi ả i các ph ươ ng trình: a) (sin2 cos2 )cos 2cos2 sin 0 x x x x x + + − = (Khối B – 2010) b) ( ) 2 sin2 3co 5 cos 2 6 s2x x x π − = − + c) 2 1 cos2 1 cot2 si 2 n x x x − + = d) 4 4 cos4(s )in 3sin 4 2 x x x + + = Bài 13. Cho PT: 2 2 sin c2 o si con ss x x x x m − − = a) Gi ả i ph ươ ng trình khi 1 m = − . b) Tìm t ấ t c ả các giá tr ị c ủ a tham s ố m để ph ươ ng trình có nghi ệ m. Bài 14. Cho ph ươ ng trình sin cos 1 x m x + = (1) a) Gi ả i ph ươ ng trình (1) khi 3 m = − . b) Tìm m để (1) vơ nghi ệ m. c) Xác đị nh m để nghi ệ m c ủ a (1) c ũ ng là nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình 2 sin cos m x x m + = (2) Bài 15. Tìm GTLN, GTNN c ủ a các hàm s ố sau: a) sin cos 1 sin cos 3 x x y x x + − = − + ; b) cos 2sin 3 2cos sin 4 x x y x x + + = − + Bài 16. Cho hàm s ố sin 1 cos 2 k x y x + = + a) Khi 2 k = , hãy tìm GTLN, GTNN c ủ a hàm s ố . b) Tìm t ấ t c ả các giá tr ị c ủ a k để GTNN c ủ a hàm s ố b ằ ng 2 − . Bài 17. Tìm các giá tr ị 3 ; 4 x π π ∈ − th ỏ a mãn ph ươ ng trình sau v ớ i m ọ i m : 2 2 2 2 sin sin cos cos cos sin x m x m x x x m m x− − + = − IV. Phương trình thuần nhất đối với sinx và cosx Bài 18. Gi ả i các ph ươ ng trình: a) 2 2 sin2s os 0 in 3cx x x − − = b) 2 2 sin cos cos6 in 2 s x x x x + − = c) 2 sin2 2sin 2cos2 x x x − = d) 3 )co4s s 2sinin cos 4sin( 2 cos( ) 1 2 x xx xx x π π π π + − + = − + + Bài 19. Gi ả i các ph ươ ng trình: a) 3 3 4cos 3s 2 i n s n i x x x + = b) 2 2 3sin 2 1cos sin x x x − = + c) 3 3 2 4sin 3cos sincos sin 0 x x x x x − − + = d) 4 2 2 4 4sin cos3co s ns i 0 x x x x − + = Bài 20. Gi ả i các ph ươ ng trình: a) 2 cos2 cot 1 sin 1 tan 1 sin2 2 x x x x x −− = + + b) 3 5sin4 6sin cos 2cos2 2cos x x x x x − = c) 3 2 2 3 4cos sin cos sin 0 o 2sc ins x x x x x x − + + = d) 3 2 3 1 cos 1 a i t n s n x x x − = − Bài 21. Cho ph ươ ng trình: 2 2 2( 1)sin cos (si on 1)c s x m x x m x m + − − + = a) Tìm m để ph ươ ng trình có nghi ệ m. b) Gi ả i ph ươ ng trình khi 2 m = . . x π − = + Phần II. PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC I. Phương trình lượng giác cơ bản 1. Phương trình sinx = m (1) • Nếu 1 m > thì ph ươ ng trình (1) vơ nghi ệ m. • N ế u. ph ươ ng trình: a) 3cot(2 1) 4 x − = ; b) cot(2 1) cot(3 ) 0 xx π − − = + II. Một số phương trình lượng giác thường gặp 1. Phương trình bậc hai theo cùng một hàm số lượng giác Định. Đối với phương trình tích, chú ý xem có thể gộp nghiệm được khơng. Đối với phương trình có điều kiện, chú ý chọn nghiệm thỏa mãn điều kiện. BÀI TẬP I. Phương trình lượng giác cơ bản