Ph¬ng Tr×nh HÖ ph¬ng tr×nh 1. Hệ phương trình bậc 1 : + = + = ' ' ' ax by c a x b y c . Tính : D = ' ' a b a b , D x = ' ' c b c b , D y = ' ' a c a c D ≠ 0 : nghiệm duy nhất x = D x /D , y = D y /D. D = 0, D x ≠ 0 ∨ D y ≠ 0 : VN D = D x = D y = 0 : VSN hay VN (giải hệ với m đã biết). 2. Hệ phương trình đối xứng loại 1 : Từng phương trình đối xứng theo x, y. Đặt S = x + y, P = xy. ĐK : S 2 – 4P ≥ 0. Tìm S, P. Kiểm tra đk S 2 – 4P ≥ 0; Thế S, P vào pt : X 2 – SX + P = 0, giải ra 2 nghiệm là x và y. (α, β) là nghiệm thì (β, α) cũng là nghiệm; Nghiệm duy nhất ⇒ α = β ⇒ m = ? Thay m vào hệ, giải xem có duy nhất nghiệm không. 3. Hệ phương trình đối xứng loại 2 : Phương trình này đối xứng với phương trình kia. Trừ 2 phương trình, dùng các hằng đẳng thức đưa về phương trình tích A.B = 0. Nghiệm duy nhất làm như hệ đối xứng loại 1. 4. Hệ phương trình đẳng cấp : + + = + + = 2 2 2 2 ' ' ' ' ax bxy cy d a x b xy c y d Xét y = 0. (Có thể xét x = 0, xét x ≠ 0, đặt y = tx) . Xét y ≠ 0 : đặt x = ty, chia 2 phương trình để khử t. Còn 1 phương trình theo y, giải ra y, suy ra t, suy ra x. 5. HOÁN VỊ VÒNG QUANH : = = = ( ) ( ) ( ) x f y y f z z f x Xét hàm số f(t) luôn đồng biến (nghịch biến) trên D. Với x, y, z ∈ D, từ tính đơn điệu của f(t) trên D suy ra x = y = z. Thế vào hệ, giải pt x = f(x) trên D. A– Cơ bản: 1) (A–03) − = − = + 3 1 1 (1) 2 1 (2) x y x y y x ⇔ (2) (2) 1 5 1; 2 1 x y x y xy vn − ± = = = = − → → 2) (B–02) − = − + = + + 3 (1) 2 (2) x y x y x y x y (1)⇔ = → = = = + → = = (2) (2) 1 3 1 1 ; 2 2 x y x y x y x y 3) A2–05) + + − + = + = 2 1 1 3 2 4 x y x y x y Đặt u = = + + ≥ = + ≥2 1 0; 0u x y v x y Có − = = ⇔ = + = 2 2 1 2 1 5 u v u v u v . ĐS (2; −1) 4) (D1–06) − + = − + + = − 2 2 2 2 2 3( ) 7( ) x xy y x y x xy y x y . Đặt = − = u x y v xy 0978541185 1 Ph¬ng Tr×nh HÖ ph¬ng tr×nh − + = = = ⇔ = = = 2 2 3 0 0 1; 2 2 u u v u v u v v u .ĐS: (0;0),(2; 1),(−1; −2) 5) (D–02) + = − + = + 3 2 1 2 5 4 (1) 4 2 (2) 2 2 x x x x y y y (2) ⇔ 2 x = y >0 → (1) (0;1),(2;4) 6) (B–05) − + − = − = 2 3 9 3 1 2 1 (1) 3log (9 ) log 3 (2) x y x y (2) ⇔ x = y + → (1) (1;1),(2;2) ñk 7) (A–04) − − = + = 1 4 4 2 2 1 log ( ) log 1 (1) 25 (2) y x y x y (1) ⇔ + = → (2) 3 (3;4) 4 ñieáu kieän y x 8) (D2–06) + − + = − − + 2 2 ln(1 ) ln(1 ) (1) 12 20y =0 (2) x y x y x xy (2) ⇔ x= 2y; x = 10y → x và y cùng dấu Xét f(t) = ln(1+t) – t (t > –1); (1) ⇔ f(x) = f(y) Từ tính đơn điệu của f(t)→ x = y → ĐS: (0; 0) 9) D08) + + = − − − = − 2 2 2 (1) 2 1 2 2 (2) xy x y x y x y y x x y (1)⇔(x+y)(x–2y–1)=0 ≥ ≥ → ñk:x 1;y 0 x= 2y+1 → (2) (5;2) 10) (A08) + + + + + = − + + + = − 2 3 2 4 2 5 4 5 (1 2 ) 4 x y x y xy xy x y xy x Đặt = + = 2 u x y v xy có + + = − + = − 2 5 (1) 4 5 (2) 4 u v uv u v (1) ⇔ = = − → − ÷ ÷ = − − → = − = − → − ÷ 3 3 2 (2) 5 5 25 0; ; 4 4 16 5 4 1 3 3 ; 1; 2 2 2 u v v u u v 11) (B–08) + + = + + = + 4 3 2 2 2 2 2 9(1) 2 6 6 (2) x x y x y x x xy x (2) ⇔ xy = + − → − 2 (1) 17 3 3 ( 4; ) 2 4 x x 12) (B2–08) − − = − − = 3 4 1 8 (1) ( 1) (2) x y x x y Thế (2) vào (1)⇒ − − − + − = ≥ 2 3 1 ( 1) 8 0 ( 1)x x x x Cách 1: đặt t = −1x → t =1 → (2; 1) Cách 2: f(x) = − − − + − ≥ 2 3 1 ( 1) 8 ( 1)x x x x Có f(x) đồng biến ∀x > 1 ⇒ x =2 là nghiệm duy nhất. 0978541185 2 Ph¬ng Tr×nh HÖ ph¬ng tr×nh 13) (A–06) + − = + + + = 3 (1) . 1 1 4 (2) x y xy x y Bình phương 2 vế pt(2)→ pt(3) . Đặt t = xy → + = + (1) 3x y t ; thay vào (3) ⇒ t =3⇒ đáp số (3; 3) B- Đối xứng loại I (S; P) 14) (A1−05) + + + = + + + + = 2 2 4 ( 1) ( 1) 2 x y x y x x y y y ĐS: − − − −( 2; 2),( 2; 2),(1; 2),( 2;1) 15) (CĐ–06) + + + 2 2 y =8 xy(x+1)(y+1)=12 x y x 16) (A1–06) + + + = + + − = 2 2 1 ( ) 4 (1) ( 1)( 2) (2) x y y x y x y x y Cách 1: (1)⇒ y ≠ 0. chia 2 pt cho y , đặt + = = + − 2 1 2 x u y v x y + = ⇔ = = = 2 1 . 1 u v u v u v .ĐS −(1;2),( 2;5) Cách 2: Thay y từ (2) vào (1)⇒ y+x–2=1. ĐS(1;2), (–2;5) 17) (A2–07) − + = − + = − 4 3 2 2 3 2 1 1 x x y x y x y x xy Đặt u = –x 2 ; v = xy = − + + = ⇔ = + − = − 2 2 1 1 0 1 u u v uv v u v uv ĐS: (1; 0), (–1; 0) C- Đối xứng loại II 18) (B–03) + = + = 2 2 2 2 2 3 2 3 y y x x x y 19) (ĐH –99) + = + = 1 3 2 1 3 2 x y x y x y − − ÷ ÷ ( 2; 2),( 2; 2) (1;1), (-1;-1) 20) (A1–07) − − + − + = + + − + = + 2 1 2 1 2 2 3 1 (1) 2 2 3 1 (2) y x x x x y y y Đặt u =x –1; v =y –1. Lấy (1)–(2)⇒ pt (3): f(u) =f(v) Với hàm số f(t) = + + + 2 1 3 t t t đồng biến trên D ⇒u=v ⇒ g(u)= + + − 2 1 1 3 u u u =0; g(u) nghịch biến ⇒ u =0 là nghiệm duy nhất ⇒ x = y =1 21) (B2–07) + = + − + + = + − + 2 3 2 2 2 3 2xy (1) 2 9 2xy (2) 2 9 x x y x x y y x y y C1: (1)– (2) có (x–y).A = 0 (A ≠ 0 )⇔ x = y. C2: (1)+(2)có + − + − + ÷ ÷ 2 2 3 3 1 1 2 ( 1) 8 ( 1) 8 xy x y =x 2 +y 2 ≥ ≥2 xyVP VT vì < + ≤ − + − + 2 2 3 3 1 1 0 1 ( 1) 8 ( 1) 8x y ĐS (0; 0), (1; 1) 0978541185 3 HD: TH1 x=y suy ra x=y=1 TH2 chú ý: x>0 , y> 0 suy ra vô nghiệm Phơng Trình Hệ phơng trình 22) B1_07)CMR = = 2 2 2007 (1) 1 2007 (2) 1 x y y e y x e x cú ỳng 2 n 0 > > 0 0 x y T x>0; y > 0 e x >1; e y >1 Ly (1) (2) (3): f(x)=f(y), Vi f(t)= > 2 ( 1) 1 t t e t t f(t)ng bin t >1 x =y g(x) = + = 2 2007 0 1 x x e x g(x) > 0 ; kt hp tớnh liờn tc ca hm s pcm 23) HSG) + + + = + + + = 2 2 3 ln(2 1) (1) 3 ln(2 1) (2) x x x y y y y x k: x> 1/2; y>1/2. Ly (1) (2) f(x) = f(y) Vi f(t)= t 2 +4t+ln(2t +1) > 1 ( ) 2 t f ng bin x = y g(x) = x 2 +4x+ln(2x +1) = 0; g(x) ng bin x = 0 l nghim duy nht thử ỷ laùi ỏp s x = y = 0 D- H ng cp: 24) + + = = 2 2 2 2 3 3 x xy y a)Giaỷi heọ phửụng trỡnh khi m = 3 b)Tỡm m ủeồ heọ phửụng trỡnh co ự nghieọm x xy y m x = 0 y 2 = 3= m/3 m = 9 x 0 y = tx + = + + 2 2 3 1 3 1 m t t t t (t Ă ) (*) C1: KSHS f(t) = + + + 2 2 3 1 1 t t t t +3 4 3 3 4 3m C2: (*) pt b2 theo t ẹKCN: 0 ỏp s 25) Cho x, y l cỏc s thc tha món: x 2 xy +y 2 3. Chng minh: + + 2 2 1 2 7 2 1 2 7x xy y E- H hoỏn v vũng quanh 26) D208) + = + = + = 2 2 2 2 2 2 36 60 25 0 36 60 25 0 36 60 25 0 x y x y y z y z z x z x = + = + = + 2 2 2 2 2 2 60 36 25 60 36 25 60 36 25 x y x y z y z x z x; y ; z khụng õm x = 0 y = z = 0 x = y = z = 0 l 1 nghim ca h. x > 0 y > 0; z > 0 Xột f(t) = + 2 2 60 36 25 t t f ng bin x = y = z= 5 6 l 1 n 0 27) (A206) = + = + 3 3 2 2 8 2 3 3( 1) x x y y x y ữ ữ ữ ữ ữ ữ 6 6 6 6 (3;1),( 3; 1), 4 ; , 4 ; 13 13 13 13 28) (B206) + = + = 2 2 2 2 ( )( ) 13 ( )( ) 25 x y x y x y x y ( (3;2), (2;3) ) 29) (D104) + + = + = 2 2 1 2 2 x y x x y y x x y (x=y=1; x=1,y=0) 0978541185 4 Ph¬ng Tr×nh HÖ ph¬ng tr×nh 30) (A1–03) = + = log log 2 2 3 y x x y xy y = = ÷ 2 3 log 2 x y 31) (B1–02) − + = − = 4 2 4 3 0 log log 0 x y x y ((1;1), (9;3)) 32) Đề 2009 : B + + = ∈ + + = ¡ 2 2 2 1 7 ( , ) 1 13 xy x y x y x y xy y ; D + + − = + − + = 2 2 ( 1) 3 0 5 ( ) 1 0 x x y x y x 33) − = − = + 2 2 10 20 (1) 5 (2) xy x xy y HD : Rút ra + = = + 2 5 5 y x y y y . Cô si = + ≥ 5 2 5 x y y . x 2 ≥ 20 theo (1) x 2 ≤ 20 suy ra x 2 =20 ⇒ x,y. 0978541185 5 . s x = y = 0 D- H ng cp: 24) + + = = 2 2 2 2 3 3 x xy y a)Giaỷi he phửụng trỡnh khi m = 3 b)Tỡm m ủeồ he phửụng trỡnh co ự nghieọm x xy y m x = 0 y 2 = 3= m/3 m = 9 x 0 y. x ≠ 0, đặt y = tx) . Xét y ≠ 0 : đặt x = ty, chia 2 phương trình để khử t. Còn 1 phương trình theo y, giải ra y, suy ra t, suy ra x. 5. HOÁN VỊ VÒNG QUANH : = = = ( ) ( ) ( ) x f. hay VN (giải hệ với m đã biết). 2. Hệ phương trình đối xứng loại 1 : Từng phương trình đối xứng theo x, y. Đặt S = x + y, P = xy. ĐK : S 2 – 4P ≥ 0. Tìm S, P. Kiểm tra đk S 2 – 4P ≥ 0; Thế