I . PHÉP TỊNH TIẾN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ : 1. Phép dời trục tọa độ từ O(0;0) sang 0 0 I(x ;y ) : Công dời trục tọa độ : 0 0 x X x y Y y khi đó hệ trục tọa độ mới là IXY 2. Pt đối với hệ tọa độ mới : Nếu y =f(x) thì pt đối với hệ tọa độ IXY là Y = F(X+x 0 ) + y 0 II . TÂM ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG CONG : 1. Định nghĩa : Đồ thị (C) của đồ thị hàm số y = f(x) xác định trên miền D nhận điểm 0 0 ( ; ) I x y làm tâm đối xứng khi và chỉ khi f(x) thỏa mãn tính chất sau : 0 0 0 0 ( ) ( ) 2 f x x f x x y vôùi x x D 2. chú ý : hàm số lẻ nhận O(0;0) làm tâm đối xứng vì 0 0 0 ( ) ( ) ( 0) (0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 f x x f x x f x f x f x f x f x f x y 3. Phương pháp giải tóan : a) C/m 0 0 ( ; ) I x y là tâm đối xứng của (C) : Chuyển hệ trục tọa độ từ oxy sang IXY Tìm phương trình của (C ) theo IXY C/m Y= F( X ) là hàm số lẻ Sử dụng chú ý thì ( C ) nhận I làm tâm đối xứng b) Tìm tâm đối xứng I Gọi 0 0 ( ; ) I x y là tâm đối xứng Chuyển hệ trục tọa độ từ oxy sang IXY Tìm phương trình của (C ) theo IXY Xác định 0 0 , x y sao cho Y= F( X ) là hàm số lẻ ( cho các hệ số bậc chẳn bằng 0 ) III. TRỤC ĐỐI XỨNG : 1. Định nghĩa : Đồ thị (C) của đồ thị hàm số y = f(x) xác định trên miền D nhận đường thẳng 0 x x làm trục đối xứng khi và chỉ khi f(x) thỏa mãn tính chất sau : 0 0 0 ( ) ( ) f x x f x x vôùi x x D 2. Chú ý : hàm số chẳn đối xứng qua oy vì 0 0 ( ) (0 ) ( ) ( ) (0 ) ( ) f x x f x f x f x f x f x x 3. Phương pháp giải tóan : a. C/m 0 x x là trục đối xứng của (C) : Chuyển hệ trục tọa độ từ oxy sang IXY với 0 ( ;0) I x Tìm phương trình của (C ) theo IXY C/m Y= F( X ) là hàm số chẳn Sử dụng chú ý thì ( C ) nhận IY làm trục đối xứng b. Tìm trục đối xứng biết có phương song song oy : Gọi 0 x x là trục đối xứng cần tìm Chuyển hệ trục tọa độ từ oxy sang IXY với 0 ( ;0) I x Tìm phương trình của (C ) theo IXY Cho Y= F( X ) là hàm số chẳn ( cho các hệ số bậc lẻ bằng 0 ) giải hệ tìm 0 x c. C/m (d) y ax b là trục đối xứng của (C) : Dùng đường thẳng (d’) : 1 y x m a vuông góc với ( d) và m thay đổi Tìm ĐK của m để ( d’) cắt ( C) tại 2 điểm phân biệt E, F C/m rằng m là trung điểm EF thì M thuộc ( d) vậy ( d) là trục đối xứng của ( C ) IV . VÍ DỤ : 1 . CMR các hàm số sau nhận điểm đã cho làm tâm đối xứng : a. 3 2 3 2 4 (1;4) y x x x I 0 0 1 4 (1;4) x X x X y Y y Y Giải Phéptònhtiếntheo OI biếnoxy thành IXY the ocôngthức đổi hệtrục Gọi (x,y) và ( X,Y) là tọa độ của M thuộc ( C ) đối với oxy và IXY 3 2 3 ( ) 4 3 3 1 2 1 4 M C Y X X X Y F X X X 3 3 1;4 F F F MXĐ của Y F X là D R X D X D F X X X X X F X Y F X là hàm số lẻ Vậy I là tâm đối xứng b. 2 3 1; 2 1 y x I x 0 0 1 2 ( 1;2) x X x X y Y y Y Giải Phéptònhtiếntheo OI biếnoxy thành IXY the ocôngthức đổi hệtrục Gọi (x,y) và ( X,Y) là tọa độ của M thuộc ( C ) đối với oxy và IXY 2 2 ( ) 2 1 3 1 1 2 2 M C Y X X X Y F X X X X 2 2 \ 0 ( ) 2 2 1;2 F F F MXĐ của Y F X là D R X D X D X F X X X X F X Y F X là hàm số lẻ Vậy I là tâm đối xứngcủồ thò 2. Tìm tâm đối xứng của hàm số : 2 1 1 x y x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 ; : 2 2 1 2 1 2 1 1 2 3 1 2 3 1 2 ( 1) 1 4 2 6 1 0 Giải Gọi I x y là tâm đối xứng của đồthò C ta có f x x f x x y x x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x y x x x 0 0 1 , 2 1;2 Do đó x y Vậy I là tâm đối xứng của đồ thò 3.CMR các đường cong ( C ) sau đây nhận đường thẳng đã cho làm tâm đối xứng : a. 2 4 : : 2 2 C y với d x x 2;0 2 Giải Phép tònh tiến theo OI biến hệ trục oxy thà nh IXY theo công thức đổi trục x X y Y Gọi (x,y) và (X, Y) là tọa độ của M đối với oxy và IXY 2 2 4 2 2 4 \ 0 F M C Y X X Miền xác dònh của F X là D R x D X D 2 2 4 4 2 F X X X F X F X là hàm số chẳn Vậy x là trục đối xứng của C b. 2 : 1 2 x C y với d y x x 2 ' ' : ' : 2 2 2 1 2 2 0 * Giải Gọi d là đường thẳng vuông góc với d ptđt d y x m Phươngtrình hòanh độ giao điểm của C và d la ø x x m x x x m x m 2 * 2 : 0 1 4.1. 2 2 0 1 7 Đểpt có nghiệm phân biệt thì m m m hoặc m ' 2 , , 1 1 2 2 2 1 1 1 7 F E M M M M M M Do d cắt C tại điểm phân biệt E F nên tọa độ trung điểm M của E F là x x x m y x m m x y x M d với m hoặc m Vậy d là trục đối xứng của C V. Bài Tập : 3 3 3 2 2 1. : . 3 . 6 2 . . 6 13 4 . 2 1 0 . 1 1 2 . . 1 Tìm tâm đối xứng của các hàm số sau a y x x e y x x b y f y x x x x c xy x y g y x x x d y x h y x x 3 2 2 2. : . 6 9 4 2 ; 2 2 1 . 1 ;2 1 2 . 1 ; 2 1 CMR các đường cong sau nhận điểm đã chỉ làm tâm đối xứng a y x x x với I x b y với I x x c y với I x 4 2 2 2 4 3 2 3. : . 5 4 4 . . 4 3 2 Tìm trục đối xứng của các hàm số sau biết trục đối xứng song song oy a y x x x b y x c y x x x x 4 3 2 2 2 4 3 2 4. : . 4 4 16 1 4 5 . 2 4 4 . 4 6 4 1 1 2 2 . 4 2 4 . 2 1 CMR các đường cong sau nhận đường thẳng đả chỉ ra làm trục đối xứng a y x x x x với x x x b y với x x x c y x x x x với x x d y với y x và y x x x e y với y x và y x x . Sử dụng chú ý thì ( C ) nhận IY làm trục đối xứng b. Tìm trục đối xứng biết có phương song song oy : Gọi 0 x x là trục đối xứng cần tìm Chuyển hệ trục tọa độ từ oxy sang IXY với 0 (. đã chỉ làm tâm đối xứng a y x x x với I x b y với I x x c y với I x 4 2 2 2 4 3 2 3. : . 5 4 4 . . 4 3 2 Tìm trục đối xứng của các hàm số sau biết trục đối xứng song. lẻ Sử dụng chú ý thì ( C ) nhận I làm tâm đối xứng b) Tìm tâm đối xứng I Gọi 0 0 ( ; ) I x y là tâm đối xứng Chuyển hệ trục tọa độ từ oxy sang IXY Tìm phương trình của (C ) theo