BO GIAO DUC VA DAO TAO Trường Đại Học Vinh
HỒ SỸ DŨNG
Trang 21.1 Định nghĩa và ví dụ cà 7 1.2 Một số tính chất cccccŸcŸ c2 8 CHƯƠNG 2 TẬP ð-LỔI -c 2c 2c sy 2.1 Định nghĩa và ví dụ cày 2.2 Mot s6 tinh chat CHƯƠNG 3 ĐỊNH LÍ HELLY - 3.1 Định lí Helly cho các tập lồi cà 3.2 Định lí Helly cho các tập ỏ-lồi
3.3 Một số ví dụ ứng dụng của Định lí Helly cho các tập lồi 29 3.4 Một số ví dụ ứng dụng của Định lí Helly cho các tập ð-lồi : 37 KẾT LUẬN HT TH nh kh nh nen 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO .c 33
Trang 3Mo dau
Tập lồi là một khái niệm xuất hiện từ lâu trong nhiều nghành Tốn học, nĩ được nhiều nhà Tốn học quan tâm nghiên cứu, đĩ là: E Buchman and F A Valentine, V L Klee, C Carathéodery Đặc biệt là nhà Tốn học E Helly Định lý Helly cho các tập lồi đã cĩ nhiều ứng dụng, trong đĩ cĩ việc giải một số bài tốn phổ thơng (xem [/1])
Tuy nhiên, trong thực tế chúng ta thường gặp những tập khơng đủ "mịn" như tập lồi, nhưng lại cĩ một số tính chất như tập lồi Đĩ là: Tập +-lồi ngồi (Do GS-TSKH Hồng Xuân Phú đưa ra năm 1999) Nhiều tính chất của tập +-lồổi ngồi được tìm ra (Xem [8J) Một trường hợp đặc biệt của tập +-lơi ngồi đĩ là tập ư-lồi được xét trong [4] Trong luận văn này chúng tơi tập trung nghiên cứu những tính chất đặc trưng của tập d-lồi, dựa trên tính chất của các tập lơi Ngồi ra luận văn cịn phát biểu và chứng minh Định lý Helly cho các tập ơ-lơi, dựa vào kết quả nghiên cứu trong [2] và
[5]
Luận văn gồm 3 chương
Chương 1 Một số kiến thức bổ sung
Trong chương này chúng tơi trình bày lại những định nghĩa và tính chất quan trọng của tập lồi Đây là cơ sở để nghiên cứu một số tính chất của tập d-lơi
Chương 2 7áp ð-li
Trong chương này chúng tơi trình bày lại những định nghĩa và tính chất quan trọng của tập ỏ-lồi, dựa trên những tính chất đặc trưng của tập lồi, những tính chất cĩ được do đặc tính riêng của tập ỏ-ÌƠi
Trong mục 2.1 chúng tơi trình bày lại định nghĩa và đưa ra các ví dụ về tập ơ-lồi
Trang 4Đưa ra được một số nhận xét và phản ví dụ để làm rõ được mối quan hệ giữa tập lơi và tập ơ-lồi
Chương 3 Định lý Helly
Trong chương này chúng tơi trình bày lại chứng minh Định lý Helly cho các tập lơi Ngồi ra chúng tơi cịn phát biểu và chứng minh Định lý Helly cho các tập d-lồi, dựa vào kết quả trong [2] và [5]
Chúng tơi trình bày lại một số ví dụ ứng dụng của Định lý Helly cho các tập lơi và đưa ra một số ví dụ ứng dụng trực tiếp Dinh ly Helly cho các tập -lồi
Luận văn được hịan thành dưới sự hướng dẫn của TS Phan Thành An Tác giả xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ tận tình, chu đáo và đầy trách nhiệm của Thầy
Tác giả xin cảm ơn sự chỉ bảo, dạy dỗ nhiệt tình và khoa học của các Thầy, cơ giáo Khoa Tốn trường Đại học Vĩnh, đặc biệt là PGS-TS Nguyễn Hữu Quang, TS Phạm Ngọc Bội, TS Nguyễn Duy Bình đã giúp đỡ tác giả rất nhiều trong thời gian học tập và đào tạo tại trường
Tác giả xin cảm ơn Th.s Phạm Hải Châu đã giúp đỡ trong thời gian tác giả làm luận văn để luận văn đạt kết quả cao hơn
Tác giả xin chan thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Khoa Sau Đại học trường Đại học Vinh đã quan tâm và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hồn thành khĩa học của mình
Xin chan thanh cam on!
Trang 5Chuong 1
MOT SO KIEN THUC BO SUNG
Trong chương này, chúng tơi trình bày lại định nghĩa về tập lồi và nĩn lồi Đưa ra ví dụ về tập lồi, đồng thời hệ thống một số tính chất quan trọng của tập lồi và nĩn lồi, làm cơ sở cho việc nghiên cứu các chương sau
Giả sử zọo,#¡ € R”, À € |0 1], ký hiệu: a) := Aw + (1— Ajay [t,t] = {x 0K AK 1} [#o, #1[ := [#ø,#1ÌN {#1} ]#ø.#1] = [>e,#i]ÌŠ{#è} ]Zs,#i[ = [#a, #1] N{#s, #1} Với ||.|| là một chuẩn trong lR”,r > 0, ta ký hiệu: B(x,r) = {y ER": |lx — yl] <r} là hình cầu mở tâm z, bán kính r BQ.r) — {y €R": llz — || < r}
là hình cầu đĩng tâm z, bán kính r Như thường lệ, ta ký hiệu clA/ và intM/ lần lượt là bao đĩng và phần trong của tập Àƒ € IR"
1.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ VÍ DỤ
1.1.1 Định nghĩa (Xem /13J) Tập A/ C IR" được gọi là /i nếu Vz+„, #¡ € M => [a.m] eM
Ta cĩ thể phát biểu Định nghĩa 1.1.1 một cách tương đương như sau: Tập Ä/ C IR" được gọi là /ổi nếu A/ chứa đọan thẳng nối hai điểm bất kỳ thuộc nĩ
Chú ý: Theo định nghĩa, tập được xem là tập lồi
Trang 61.1.2 Ví dụ Giả sử z ¢ R",r € Rt thé thi B(x, r) va B(x,r) 1a cdc tập lồi Ngồi ra các hình tam giác, hình thoi, hinh vuong trong R? 1A cdc tap lơi 1.1.3 Định nghĩa (Xem /7J) Tập ⁄ C ]R” được gọi là nĩn cĩ đỉnh tại 0, nếu: Vz€K,VÀA>0U == AEK
+ được gọi là nĩn cĩ đỉnh tại +, nếu /#£ — z là nĩn cĩ đỉnh tại za 1.1.4 Định nghĩa (Xem /7J) Nĩn £ cĩ đỉnh tại 0 được gọi là nĩn lồi nếu là một tập lơi, cĩ nghĩa là: Vz.u€,VÀ >0 => Àrz+JuCK Ví dụ Trong lĐ” ta xét các tập sau { (6.6.56) € R”:@>0,7=1,/2, n} {(@.@, ,É„) € R”:&@ >0,/=1.2, ,n} là các nĩn lồi trong IR”, 1.2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT
1.2.1 Định nghĩa (Xem [7J) z € A1 được gọi là tổ hợp lơi #\, #a, , #„, € A7, nếu tồn tại À; > 0 (2 = 1, rm), Ð À; = 1, sao cho & = È Aja}
i=1 i=1
1.2.2 Mệnh đề (Xem /7J) Giả sử Aƒ C ]R" lồi, zị,z», #„ € M_ Khi đĩ, A/ chứa tất cả các tổ hợp lồi của #, #¿, , #„
Chứng minh Ta chứng minh bằng quy nạp
a) m = 2: v6i moi Ao, Ay > 0,Ao + At = 1,zo,# € M, theo Dinh nghĩa 1.1.1, ta cĩ
Trang 81.2.4 Định nghĩa (Xem [7/)
a) Hệ điểm {zo,z¡, ,z„} trong R” được gọi là độc lập affine néu hé vectơ {đi — #o,đ2 — #o, đ„ — #o} độc lập tuyến tính
b) Hệ điểm {zọ, z¡, #„ } trong JR” được gọi là phụ thuộc affine nếu hệ VeCt0 {đi — #o,đ2 — #o, đ„„ — #o} phụ thuộc tuyến tính
1.2.5 Nhận xét (Xem [7])
a) Hệ điểm {zo, z¡, , #„ } độc lập affine khi va chi khi với ¿ € {1, ,}
Trang 91.2.7 Dinh nghĩa (Xem [/3]) Tap M trong R” được gọi là /ổi ngặt nếu với mọi #, € ă,z # ,0 < À < 1 thì z := Àz + (1— À) € mtA 1.2.8 Chú ý Tính lồi ngặt phụ thuộc vào chuẩn đã cho trong IR” Chẳng
han ta xét trong R?,2 = (21,22), véi chuẩn Euclide: |z|| = v⁄#‡ + #§ thì hình trịn là tập lồi ngat, con v6i chuan |||] = max{|ay ||} thì hình trịn khơng phải là tap lồi ngặt
V6i méi x € R”, tập các điểm gần nhất của z đối với A1 được ký hiệu là:
Mựy:= 1, {` € AI: ` CAI : [+ — ÿ`| |lz — || = 1 inf Ile w||} xe
Trang 101.2.12, Nhan xét (Xem [/3/)
a) convM la một tập lơi, đĩ là tập lơi nhỏ nhất chứa M b) A1 là một tập lơi khi và chỉ khi MI = convM
c) convAJ là một tập lơi, đĩ là tập lơi đĩng nhỏ nhất chứa M
1.2.13 Ménh dé (Xem [7]) Bao lơi đĩng của A1 trùng với bao đĩng của bao lơi À1, tức là:
c€ưnVA/ = convA/J
Chứng minh Theo Mệnh 1.2.6 do convAƒ là tập lồi nên convA/ cũng là tập lơi Như vậy convA7 là tập lơi đĩng chứa A7, từ Nhận xét 1.2.12 suy ra conv c convAf (1.1) Mặt khác, do convA7 là giao của tất cả các tập lồi (khơng cần đĩng) chứa A/ nên conv Cc tonvM, Do đĩ convă C €ðnVÀ (1.2)
Từ (1.1) và (1.2) ta suy ra €ðRVAƒ = convAf Oo
1.2.14 Ménh dé (Xem [7]) convM la tap hợp tất cả các tổ hợp lơi của M
Chứng mình Gia sử Œ là tập tất cả các tổ hợp lồi của A⁄/ Vì convM là
Trang 11trong đĩ a¡,bj¡ C A,Vi,j Cl Shai =1, 9° 6) =1.0;,8; > 0 i,j € 1 iel jel Với Ư < À < 1, ta cĩ (1— À)z + À = }})(— À)œ;a + 3) Ađjb¿ iel jel Mà
Sod = Ajai + )Ađ; =—A)À ai + 0
iel jel iel gel =(1—-A)+\ =1 Do đĩ 3 2Œ —À)ajø + Ư `Àđjb; € Œ, iel jal hay (1— À)z + Àụ € G Suy ra Œ lơi Mặt khác Aƒ C Œ mà conv1/ là tập lồi nhỏ nhất chứa 7 nén convM C Œ,
Từ Mệnh đề 1.2.14 ta cĩ ngay kết quả sau
1.2.15 Hệ quả Táp A1 là lơi khi và chỉ khi MI chứa tất cả các tổ hợp lơi của nĩ
1.2.16 Mệnh đề (Xem [12]) Bao lơi của tập mở là một tập mở Để chứng minh Mệnh để 1.2.16 trước tiên ta chứng minh bổ đề sau 1.2.17 B6 dé (Xem J4J]) Nếu AI là tập lơi thì InLMT cũng là tập lơi
Trang 12Chứng mình Lay x, € intM,x2 € M, hién nhién x2 € int Khi dé
ton tai lan cận U ctia x; sao cho U Cc M Dat
v= Ax, + (1 — À)#›¿, với 0 < À < 1
Ta cĩ À/ + (1— À)z› là một lân cận của # và AU + (1 — Aja C M Suy ra x € intA/ Do đĩ intA/ lơi
Ching minh Ménh dé 1.2.16 Gia sit M 1a tap mo, khi dé M = int, mà M C convÄ/ nên ta cĩ intă C int(convÄ?) vi vay M C int(convM) Tir B6 dé 1.2.17 suy ra int(convA/) là tập lồi, mà nĩ chứa A⁄/, vì thế conv C int(conv//) Mà ta luơn cĩ int(convA) C conv] Vậy convM = int(conv) Suy ra convÄ/ là tập mở Oo
1.2.18 Ménh dé (Xem [/2]) Bao léi cia tap compact la tap compact Chứng mình Gia str M 1a tap compact va day {a"} C convA/ Theo Mệnh đề 1.2.2 ta cĩ
k Ok k k
+Ê = AordÐế + AigabÊ + + Au at
với a°# € AI, À;¿ >0(¿=0,1, ,&) và S)À;¿ = 1
¿=0
Trang 13voia' € M, pw; >0(¢=0.1, ,k), Dw =1
i=0 Khi đĩ ta cĩ
at pa? + puya! + + pa” € convM
Vay conv/ 1a tap compact L]
1.2.19 Nhận xét Bao lơi của tập đĩng chưa chắc là tập đĩng ta xét vi
dụ sau
1.2.20 Ví dụ Trong IR? xét đường thẳng d và điểm a khơng thuộc d Bao lồi của d U {a} khong phai là tập đĩng
1.2.21 Dinh ly (Dinh ly Caratheodory) (Xem [7]) Gid sit A CR” Khi
đĩ, mỗi điểm của tập convA1 là tổ hợp lơi của khơng quá n + 1 điểm khác nhan của AI Chứng mình Xét tập hợp: B=(1}xA=({(1.z):zcA4}cCRxR" Ta cĩ convB = {1} x convA Giả sử kK; 1a non 16i sinh bởi B Khi đĩ convB Cc Kp
Nếu (1,z) € conv? thì tồn tại z điểm (1,z¡), ,(1,#;) € và r số
Trang 141.2.22 Ménh dé Xem [7] Gia str tap MZ C R” đĩng, bị chặn Khiđĩ,
Trang 15Khi dé voi Vx € A, y € B,O<A<1, viz, y thudc tap 161 A U B nén ta cĩ Au + (1 —Ajy € (AUB), do đĩ Au + (1— A)y € conv(AU B) Suy ra C C conv(A U B)
Để chứng minh bao hàm thức ngược lại ta sẽ chứng minh Œ là tập lơi
chứa (4U PB) Hiển nhiên (4U B) C C, ta chứng minh Œ lồi Thật vậy, lấy u,v € Œ, giả sử
u = Ài#t + (L— À1)
v= Àz#› + (1 — Àz)1a trong d6 21,22 € ,14,a € B và 0 < À¡,À›; < 1 Đặt
z:= Aut (1—A)v
a) Néu A = 0 hoac \ = 1 thi z = v hoac z = u, nén hién nhiên z € Œ b) Nếu À¡ = 0 hoặc À¡ = 1 và À; = 0 hoặc À; = 1 thì ta cĩ ngay z € 4 hoặc z € , do đĩ z € Œ c) Bây giờ ta xét 0 < À,À¡, Àz < 1 Ta cĩ z=Àl|Aizi +(1— Ài)øi| + (T— À)[À¿zz¿ + (L— À2)32] =|AAi+(1—A)Àjj] Loto + tM oe] +ÍA1—Ai)# A(—Ai) ~A)—Aaz)
(1—A)(1—2)] [sa MHI N oa YL + XT=M)r(=Md= ae
= (a+8) (2501 + 5rr) +[1-(0+0)] [ata + Su]:
Trang 16À-œ + 1—À-( 1-(a+ By" l-—a+ 8) Do đĩ z € C Vay C là tập lồi
Trang 17Chuong 2
TAP 6-LOI
Trong chương này, chúng tơi tập trung nghiên cứu về tập ỏ-lồi, trình bày lại định nghĩa và đưa ra các ví dụ về tập ỏ-lồi Hệ thống một số tính chất của tập 0-16i
2.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ VÍ DỤ
2.1.1 Định nghĩa ( /4/) Cho ở là một số thực dương Tập Àƒ C R” được gọi là ơ-lồi (với độ thơ 6) nếu: Với mọi z„,z+¡ € A7 mà ||z¡ — z¿|| > ơ thì #A € [0,0 AF với mọi #\ € [#„, #¡] thỏa mãn: |lzA — #ø|| > NI LIS |lza — zA|| > 2.1.2 Ví dụ a) Với ơ = 2 thì tập AM = |2.5]`]2 3C R là tập ð-lơi b) Trong R? voi 6 = V3 va chuan Eclide thì nếu: A là hình tron tam O bán kính 3 B là đường trịn tâm O bán kính bằng 1 M = AU B là tập ð-lơi Thật vậy, lấy zo.z¡ € A/ mà || đị — #o ||> 6 Khi đĩ, zo,z¡ € Giả sử #A € |#o,#a] với | #a — #o || s và || a — ay ||> 5 mà zA ý Ä/, tức là ay € A Suy ra || 2, —20 ||< ; Điều này là vơ lý vì | #—zo ||> ° = vã 3 và || #i — #A |Ì> ~ = vs Vay x) € A Suy rar) € M LO] &
2.1.3 Nhận xét Một tập lơi luơn là ð-lơi với mọi ị > 0 Ngược lại nếu tập ÁMI C TR" là ð-lơi với mọi ð > 0 thì nĩ là một tập lơi
Trang 18Thật vậy, khơng mất tính tổng quát ta giả sit M C R 1a tap 6-16i Lay hai diém x,y € M,d € [0,1] Gid st x < y; ay —@ < y— ay va dat: b= 2(#A — #o} 3 Khi đĩ ta cĩ LYE [x, yl ồ #A — z| > 5 ỗ U—#A|® 5 Vi M 1a 0-16i nén x, € M Vay A7 là tập lồi
2.2 MOT SO TINH CHAT
2.2.1 Mệnh đề ( Xem (4J) Giả sử Aƒ © R” 1a tap 0-léi va x,x, © M
Khi d6 néu Ja‘, a5 [C |za.#1]``M thì |lz, — z1|| < ổ o
Trang 19Mệnh đề sau cho ta mối quan hệ giữa diamA/„ và độ thơ ơ của tập Aƒ 2.2.2 Mệnh đề (Xem J4) Giả sử A/ là tập khác rỗng và ổ-lồi trong R” với hình câu đĩng (0, 1) là lồi ngặt thì điamA/„ < ở với mọi # € R” Ching minh ˆ Giả sử ngược lại diamA„ > 6 Khi đĩ tơn tại #o, #ị € À/„
sao cho || ze — #¡ ||b ổ Vì A7 là tập ổ-lồi nên tơn z €]zo, #i[\A Do tính lồi ngặt của (0, 1) nên ta cĩ:
| w— z ||< max{|| « — xo ||, || ¢ — x ||} =|] a — xo |}
Điều này mâu thuẫn với zo € M, Vay diam, > 6 v6imoia eR” O 2.2.3 Nhận xét Diéu nguoc lai ctia ménh dé (2.2.2) khéng đúng
Vi du Trong R? với || || là chuẩn Euclide thơng thường và ở = 2 ta xét tập
M := B(0.2)\{(wy) ER: @>y> 0h
thỏa mãn diamÄf„ < ở với mọi, x € R? Nhung M khơng phải là tập ỏ-lồi (chọn điểm (—1 3) và 6 -5) thì Định nghĩa 2.1.1 khơng đúng)
2.2.4 Hệ quả (Định lí Motzkin) (Xem J3J) Cho AT là tập lơi khác rỗng
Trang 20Chứng minh mệnh đề 2.2.5 Theo Bồ đề 2.2.1 z € AM; với 2~! <n + 1<2.ViM CM C C Aƒ; nên tổn tại j € {1,2, i} sao cho x € M; Ta chứng minh B(z, ue
a) Déi véi j = 1,2 € M, suy ra t6n tai a,b © M sao cho x € [a,b] Từ )AM 4 @ bang quy nap theo j
¬ ỗ
tính ổ-lơi ctia M suy ra c6 x’ € [a,b] NM sao cho || a — 2” ||< 7 tức là
Ble, 3) OM 46
b) Gia sử định lý đúng với j = p— 1 Với p < ¡ ta chỉ ra rằng nếu z € ă,
thi B(x, 2°) AM 0 Gid site = (1 d)ay + Aøi,À € [0,1] 6 day Xo, x, € M,-1 Theo gia thiét quy nap t6n tai a,b € M sao cho (p — 1)6 (p — 1)ả |Ìa—#o [< 3 lb—za ||< (2.1) Từ tính 0-16i cla M, ton tai a’ € [a,b M sao cho | 2 —A)jat+ A= a' |< ` Mặt khác: (1—À)a+Ab—z ||=|| (1—A)œ+Ab—((1—Àzo)+Àz¡) |Í> (p= Vo (2.2) 2 5 pỗ
Theo (2.1) và (2.2) thi || ô a! ||< ơ Tức là Đ(z, =) nAI#0 oO
2.2.7 Nhận xét Nếu M la tdp 6-ldi tht M la tap 6:-léi, voi moi 6: > 6 2.2.8 Ménh dé Xem [6] Néu M C R®” Ja ỏ-lồi, thế thì z¡, ,z„ € M va
iN frecone (ar p.08 18% 1z} l|#i — «|| >ỏ
với mọi ? = 1.2, ,m va m > 2 suy ra tn tai A; > 0,7 = 1.2, ,m sao cho $y" Ai = 1 va 37 Nias € M
Trang 21b) Gia sit ménh đề đúng với — 1 Lấy z\, ,z„„ € ƒ sao cho
Trang 22Chuong 3 ĐỊNH LÍ HELLY
Trong chương này chúng tơi trình bày lại chứng minh Định lý Helly cho các tập lồi Dựa trên kết quả của tài liệu [2] và [5] chúng tơi phát biểu và chứng minh Định lý Helly cho các tập ỏ-lồi Chúng tơi cũng trình bày lại một số ví dụ ứng dụng của Định lý Helly cho các tập lơi, đưa ra một số ví dụ ứng dụng Định lý Helly cho các tập 6-16i
3.1 ĐỊNH LÍ HELLY CHO CÁC TAP LOI
3.1.1 Dinh li Helly (Xem [1/2] va [13J) Cho F` là họ hữu hạn các tập lơi trong IR" chứa ít nhất n + 1 phần tử Điêu kiện cân và đủ để mọi phần tử bất kỳ thuộcEF` cĩ điển chung là n + 1 phần tử bất kỳ thuộc F` cĩ điển chung Nếu họ P` là họ tuỳ § thì phải giả thiết thêm mỗi phần tử của F là
compact
Chứng minh a) Xét trường hợp thứ nhất: F gồm cĩ ? phần tử (m > +1) Ta chứng minh quy nap theo m
Trang 23sao cho
Do d6 trong cdc a;,7 = 1, ,k + 1 c6 ca gid tri 16n hon 0 va giá trị bé
thua 0 Khơng mất tính tổng quát, giả sử œi > 0, ,d; > Ư,đ¿¡i < 0, a¿¡ < 0 Khi đĩ k+1 Sai = Yo (ai) i=s4+1 Ky hiéu ==— (3.1) Suy ra = Sh (3.2) Khii € {1, ,8} thi; € Pay, Mey, tite GE Foy Feet
(Dé y¥ rang Fy4)M Fy 1a tập lơi) Ta thấy rằng vế phải của (3.1) là tổ hợp lồi của z¡, , z:, mà #, , z; thuộc tập lơi 2; ¡ (1 f1!-¡¡ Theo Mệnh đề 1.2.5 tổ hợp lơi của nĩ cũng thuộc #,,¡ (` f1 F;¡¡ Vì thế
y © Poi 0 Fey
Suy luận tương tự, khi 7 € {s + 1, ,& + 1} thì z; € Ứ1, , '>, tức là
a € FN Fs,
Trang 24nén tir (3.2) suy ra ye RN Fs Từ đĩ ta được €fin f1 Hit k+l Vay 1h #0 b) Xét trường hop F cĩ vơ hạn phần tử và mỗi phần tử của F là tập lồi compact Ky hiéu F;,i € 7 la cdc phan tt cha E Ta cần chứng minh nF; # 0 ;el Giả sử ngược lại n Fị=Ú iel Dat F; = R” \ F; Khi đĩ suy ra UL F,=R” iel Do d6 v6i tap compact bat ky Fj, 7* € Ï, ta cĩ Ur 5 (3.3)
Vì ;,7 € J compact mà khơng gian là hữu hạn chiều nên /; là tập đĩng,
Vi € I Do d6 F; 1a tap mé, Vi € I Từ (3.3) và theo Dinh lý Heine-Borel
Trang 25Hay j- A LAK = 0 4) Mà theo chứng minh ở a), mọi giao hữu han cla ho F;,i € 7 đều khác rỗng, nên từ (3.4) suy ra vơ lý Suy ra giả thiết phản chứng là khơng đúng
Vay mọi phần tử của E cĩ điểm chung đ
3.2 ĐỊNH LÍ HELLY CHO CÁC TẬP ổ-LỒI
3.2.1 Mệnh đề (Xem /9/) Cho ă C TR” là tập đĩng và ỏ-lơi Thế thì với mọi € convA1/®\Ä/ ta luơn cĩ:
= j 2n
Bly, ney 1Á #0
Dựa vào kết quả trong [2] và [5] ta cĩ kết quả sau:
3.2.2 Định lí Helly cho các tập ơ-lơi Trong IR”, giá sử Z là họ hữu hạn các tập ơ-lồi cĩ ít nhất ø + 1 phần tử Khi đĩ, nếu ø + 1 phần tử bất kì của Z cĩ điểm chung, thì tất cả các phần tử thuộc Z đều giao với hình cầu đĩng bán kính bằng (oo ở Nếu Z là họ bất kì, thì giả thiết thêm mỗi phần tử của F 1a tap compact
Chứng mình Ta lặp lại chứng minh trong |2] và [S5]
a) Xét trường hợp Z gồm các k-tập ĩ-lơi (k > n + 1) là Ä⁄h, , Ay Khi đĩ ta cĩ các họ tập lồi {convAíi, , convAf„} Do ø + 1 phần tử bất kì của họ Z luơn cĩ điểm chung nén n + 1 phan tit bat kì thuộc họ {convA:, ,convÄ7„ } cũng luơn cĩ điểm chung ếp dụng Định lí Helly đối với tập lồi suy ra mọi phần tử thuộc họ {convA⁄¡, , A7¿} cĩ điểm chung, giả sử điểm chung đĩ là x
Theo Mệnh dé 3.2.1 ta cĩ
= mn
Trang 26n+ = 2n œ € convÀf¿ => : ý ¬ ; AM, z Ú ` = 2n Do đĩ các tập A⁄¡, Ä⁄; luơn giao với hình cầu đĩng 3 (« = : ) n
b) Trudng hop F là họ tuỳ ý các tập d-16i compact (F;);e Theo Ménh dé 1.2.17 (convM;) ic; 1a ho cde tap 161 compact
Trang 273.3 MOT SO Vi DU UNG DUNG DINH LY HELLY CHO CAC TAP LOI
3.3.1.Ví dụ (Xem [11]) Cho n0 đoạn thẳng ï\, ï;, , Ï; song song trên mặt phẳng Giả sử với bất kỳ ba đoạn nào cũng cĩ ít nhất một đường thẳng cắt chúng Chứng minh rằng khi đĩ cĩ ít nhất một đường thẳng cắt tất cả n
đoạn đã cho
Hãy chú ý rằng nếu chỉ địi hỏi cĩ đường thẳng cắt hai đoạn bất kì thì bài tốn khơng đúng nữa
Chứng mình Ta hãy chọn một hệ toạ độ vuơng gĩc sao cho các đoạn H,lạ, , Ï„ song song với trục tung Nếu các đoạn thẳng đã cho cùng nằm trên một đường thẳng thì bài tốn là hiển nhiên; Do đĩ, ta giả sử chúng nằm trên những đường thẳng song song khác nhau Mỗi đường thẳng cắt các đoạn 7; khơng song song với trục tung, do đĩ được xác định bằng hai tham số, hệ số gĩc ø và toạ độ cắt trục tung ð Với mỗi đoạn J; ta xét tất
cả các đường thẳng 7;, mỗi đường thẳng ứng với một cặp (ø, b) Nếu biểu diễn các điểm (a,b) trên một hệ toạ độ vuơng gĩc khác ta sẽ được một đải U; là phân mặt phẳng nằm giữa hai đường thẳng song song Dải này là một tập lồi, ứng với mỗi đoạn ï; cĩ một tập lồi ;, ¿ = 1, ,n Từ giả thiết suy ra ba hinh U;,U;, U;, bat kì đều cĩ điểm chung Theo Định lí Helly cho tồn bộ ø hình ;,¿ = 1, , n cĩ ít nhất một điểm chung (a, b) nào đấy Các số a và b chính là hệ số gĩc và toạ độ điểm cắt trục tung của đường thẳng cắt mọi đoạn 7;,7 = 1, , n
Trang 28hình trịn Š¡ cĩ tam A, va bán kính là z; + z, với ? = 1,2, m
Từ giả thiết ba hình ŠS;, 5;,.5, cĩ một hình trịn bán kính z cắt ba hình trịn đĩ Suy ra các hình trịn Ĩ;, Ĩ;, 2¿ cĩ ít nhất một điểm chung Theo
Định lí Helly cho n hinh tron @¡, Ĩ;, , Ĩ, cĩ ít nhất một điểm chung
Điểm chung này là tâm của hình trịn bán kính r cắt 5, Sạ, , Sy Nếu thay giả thiết cĩ hình trịn bán kính r cắt ba hình trịn tuỳ ý bằng giả thiết cĩ hình trịn bán kính nằm trong (hoặc chứa) ba hình trịn tuỳ ý thì bài tốn vẫn đúng, tức là cĩ ít nhất một hình trịn bán kính z nằm trong
(hoặc chứa) cả ø hình trịn cho trước
3.3.3 Ví dụ (Xem (11) Trong mặt phẳng cho ø điểm 41;, A„ trong đĩ, khoảng cách giữa các điểm nhỏ hơn hoặc bằng 2 Chứng minh rằng khi đĩ các điểm 4, ⁄1;, ⁄1„ nằm trong một hình trịn bán kính a
Chitng minh
a) Trường hợp ø = 1, 2 là hiển nhiên
b) Ta chứng minh cho n = 3 Giả sử khoảng cách giữa 41¡, ⁄1›;, 1; nhỏ hơn hoặcc bằng 2 Ta chọn hai điểm cĩ khoảng cách xa nhất, giả sử đĩ
1a Ay, Ay Lấy 4 và 41; làm tâm vẽ các đường trịn bán kính bằng độ đài
A, Ag Hai dung tron nay cat nhau tai Ð và B’ Gia sit Aj nam ở phía trên
A, Ag va hai cung A,B va AB Nhung hình đĩ lại nằm trong hình trịn ngoai tiép tam gidc A; AB cé ban kinh bang ¬ (d cĩ đài 4 4;) nhưng đd < 2 nên 4i, 4›;, 4¿ nằm trong hình trịn cĩ bán kính nhỏ hơn hoặc bằng sỀ A c) Bay gid ta xét n diém Aj, Ay, , / A„ thoả mãn giả thiết bài tốn Ta 3 vẽ hình trịn S; tam 4; bán kính ——, ¿ = I, , n Theo trường hợp (”) v3 2
thì ba điểm bất kì Aj, Aj, A, nam trong hinh tron O;,;;, ban kinh Ve Vi vậy ba hình trịn tuỳ ý S;, S; 5, cĩ ít nhất một điểm chung (chẳng hạn đĩ là hình trịn O;;; Theo Định lí Helly các hình trịn bán kính " chứa mọi diém di cho Ay, 4›, A„
Trang 293.4 MOT SO Vi DU UNG DUNG DINH LY HELLY CHO CAC TAP 6-LOI
3.4.1 Ví dụ Giả sử A, là hai hình chữ nhật cĩ cạnh là 1 va 3 a1, b; lần lượt là trục đối xứng song song với chiều đài của A va B ay, by lần lượt là trục đối xứng song song với chiều rộng của A va B
Khi đĩ, ta xét tập
C = {AUB : a, = be; az = by}
Trong mặt phẳng cho họ # cĩ ø tập 7 Chứng minh rằng nếu ba phần tử bất kỳ của Ƒ` cĩ điểm chung thì cĩ ít nhất một hình trịn bán kính là Số
cất tất cả n tập đĩ
Chứng mình Dễ thấy mỗi tập Ở là một tập ở-lơi với ở = 2v⁄2 ẽp dụng Định lý Helly cho các tập ỏ-lồi ta cĩ n tập Œ đĩ sẽ giao với một hình trịn
bán kính là 4
3.4.2 Ví dụ Trong mặt phẳng cho ø (» > 3) đường thẳng 1¡,f›, , t„, Trên mỗi đường thẳng í; (2 = {1, ,}) xét tập:
ay = {{Ai} U [B;, Dj] : A;D, = BC; = C,D; =1 (i = {1 .„1#})}
Đặt
F = {a;:i=1, ,n}
Chitng minh rang néu ba tap bat ky F c6 diém chung thi tt ca cdc tap cha Ƒ đều giao với hình trịn cĩ bán kính bằng s:
Chitnh minh Ta nhan thay rang méi tap a; (7 = {1, ,n}) 1a một tập 6-16i véi 6 = 2 Khi d6, 4p dung Dinh ly Helly cho cdc tap 6-16i ta c6 n các tap a; (7 = {1, ,n}) déu giao voi hinh trdn cé ban kinh bang Wr
Trang 30KET LUAN 1.Các vấn đề luận văn đã làm được
a) Trình bày lại một số tính chất của tập lồi và tập ỏ-lồi Đưa ra một số nhận xét về tính chất của tập d-lồi, như: Nhận xét 2.2.7 và Nhận xét 2.2.9 b) Dựa theo các kết quả đã biết cho tập +-lồi ngồi [5] và tập +-giống lồi [2] phát biểu và chứng minh Định lý Helly cho các tập ỏ-lồi
c) Trình bày một số ứng dụng của Định lý Helly cho các tập lồi
đ) Đưa ra một số ví dụ ứng dụng trực tiếp Định lý Helly cho các tập ơ-lồi 2.Một số vấn đề mở
Các ứng dụng của Định lý Helly cho các tập ơ-lồi trong giải tích lồi và tốt ưu
Trang 31TAI LIEU THAM KHAO
[IIP.T An Hàm lơi thơ và tính ổn định của ham lơi suy rộng đối với nhiễu tuyến tính, luận án TS, 1990, Đại học Vĩnh
[2] P T An, Helly-type theorems for rouglly convexlike sets, \CTP preprint
2005/014; submitted
[3] P T An, 2005, Some properties of outer y-convex functions, Journal of Inequaties in Pure and Applied Mathematics, Vol 6(3)(eletronic)
[4] P T An and N N Hai, 2004, d-convexity in normed linear spaces
Numerical Functional Analysis and Optimization, Vol 25 pp 407-422 [5] P T H Chau, Ludn dn Thac s¥ Tốn học, Đại hoc Vinh, 2004 [6] D T K Chi, Ludn dn Thac s¥ Tốn học, Dai hoc Vinh, 2003
[7] D V Luu va P H Khai, Gidi tích lồi, Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, Hà nội -2000
[8] H X Phu and P T An, Outer y-convex in normed linearé spaces,Vietnam Journal of Mathematics, 1999, Vol.27, pp 323-334
[9] H X Phu, Some geometrical properties of outer y-convex sets, Nu-
merical Funtional Analysis and Optimization, 2003, Vol 24, No 3 va 4,
303-309
[10] H X Phu, Some properties of globally 6-convex functions, Optimiza-
tion,2003, Vol 35, 1995, pp 23-41
[11] Bùi Văn Thanh, Dinh lý Helly Báo Tốn học và Tuổi tré, 1998 (?)
[12] J V Tiel, Convex Analysis, Roval Netherlands Metcorolovical Insti- tute