Tiểu luận vật lý chất rắn trạng thái dao động mạng tinh thể

Tiểu luận vật lý chất rắn trạng thái dao động mạng tinh thể

Tiểu luận vật lý chất rắn GVHD: TS.Trương Minh Đức A Mở đầu Vật lý chất rắn khoa học rộng lớn gồm nhiều môn như: vật lý bán dẫn điện, vật lý kim loại hợp kim, vật lý chất điện mới, vật lý chất sắt điện sắt từ…Với cấu trúc, tính chất chung vật lý chất rắn nghiên cứu từ học phần vật lý chất rắn chương trình đào tạo cao học cấu trúc tinh thể vật rắn, dao động mạng tinh thể, tính chất nhiệt, tính chất điện, tính chất từ tính chất siêu dẫn… phần thể vai trò quan trọng cách mạng khoa học cơng nghệ nay.Mỗi tính chất chất rắn có mức độ nghiên cứu riêng ứng dụng đặc trưng tính chất dao động mạng tinh thể hấp dẫn có sức hút kỳ lạ Đối tượng nghiên cứu: tài liệu vật lý chất rắn có liên quan Nội dung tiểu luận gồm ba phần : 1.Dao động mạng chiều đơn giản (chuỗi nguyên tử mà ô sở chứa nguyên tử loại ) 2.Dao động mạng ba chiều đơn giản Dao động mạng chiều phức tạp (chuỗi nguyên tử hai loại khác nhau) Sau nội dung phần có kết luận so sánh với phần khác HV:Lê Ngọc Bảo Quyên Tiểu luận vật lý chất rắn GVHD: TS.Trương Minh Đức Dao động mạng chiều đơn giản (chuỗi nguyên tử với ô sở chứa nguyên tử loại ) Ở vật rắn kết tinh,các nguyên tử phân tử xếp có trật tự xác định khơng gian Có thể coi mạng tinh thể tạo thành từ lõi nguyên tử mang điện dương, nằm nút mạng electron hóa trị mà phân bố chúng phụ thuộc vào liên kết tinh thể Mơ hình mạng tinh thể số chất MnP Al2Cu La203 Trong tinh thể nguyên tử, phân tử không nằm cố định nút mạng vị trí xác định , mà ln thực dao động nhỏ xung quanh vị trí cân Do khảo sát trạng thái dao động mạng tinh thể vật rắn cần phải biết chuyển động nguyên tử Khảo sát mặt phẳng tinh thể mà ô sở chứa nguyên tử m, nguyên tử xếp đặn, khoảng cách nguyên tử a, số mạng a hệ số đàn hồi β Có thể hình dung mạng tinh thể nhiều mơ hình khác r a HV:Lê Ngọc Bảo Quyên Tiểu luận vật lý chất rắn GVHD: TS.Trương Minh Đức a un-1 un xn-1 xn un+1 xn+1 xn+2 Giả sử gọi: Độ dịch chuyển nguyên tử thứ n là: un Độ dịch chuyển nguyên tử thứ n-1 là: un-1 Độ dịch chuyển nguyên tử thứ n+1 là: un+1 Xét nguyên tử thứ n xn = n a (với n nguyên, từ - ∞ →+ ∞ ) X'n = na + un X'n+1=(n+1)a + un+1 Điều kiện dao động điều hịa X'n-1 =(n-1)a + un-1 * Xét nút n: - Theo định luật Hooke lực tác dụng lên nguyên tử thứ n là: f n = −β ∑ (un − um ) m#n Với β >0: Hệ số đàn hồi Ta cần xét hai nguyên tử lân cận gần m= ± vì…… fn,n+1= - β(un - un-1) fn,n-1= - β(un - un+1) d un =m  fn= fn,n+1 + fn,n-1 = - β(2un-un-1 - un+1) = m dt d 2un β dt + m (2un-un-1 - un+1) = (2.2.1) Phương trình sóng truyền tinh thể có dạng: HV:Lê Ngọc Bảo Quyên Tiểu luận vật lý chất rắn GVHD: TS.Trương Minh Đức un(t) = u(xn,t) =A e i[ kxn −ωt ] = Aei[ kna −ωt ] Đây phương trình sóng phẳng đơn sắc với k độ lớn véctơ sóng; ω tần số sóng Thay (2.2.2) vào (2.2.1) ta được:  d 2un = −ω 2un  dt  − iak  un −1 = un e   un +1 = un eiak    −ω 2un + β (2un − un e −iak − un eiak ) = m −ω 2un + β (2un − un (e −iak + eiak )) = 42 43 m 2cos ka Chia vế cho un áp dụng cơng thức Eleur ta có ⇒ ω2 = β (2 − cos ka) m ω2 = 2β (1- cos(ka) ) m Sử dụng công thức hạ bậc ta có: ka − cos 2a = sin2a → 1- cos(ka) =2 sin 2 Ta được: ω2 = 4β ka sin m Do tần số ln ln dương nên ta có: β ka ω=2 sin m HV:Lê Ngọc Bảo Quyên r với k độ lớn vectơ sóng k Tiểu luận vật lý chất rắn GVHD: TS.Trương Minh Đức Đây gọi hệ thức tán sắc dao động Vậy dao động mạng chiều đơn giản sóng phẳng tuân theo hệ r k thức tán sắc (1) phụ thuộc vào tính chất vectơ sóng Ý nghĩa vật lý : Khi xét dao động mạng nút mạng thứ n ta thu hệ thức tán sắc trên, hệ thức chứng tỏ :  ω không phụ thuộc vào n (không chứa n) điều có nghĩa tất nguyên tử dao động với tần số phụ thuộc vào tính chất vectơ sóng k ω hàm tuần hoàn k với chu kỳ π nên cần xét ω khoảng  2π trục vectơ sóng a Hay với trị un +1 un un +1 = eika → −π ≤ ka ≤ π khoảng đủ để xác định giá un thỏa điều kiện −π π ≤k ≤ a a Như k nằm vùng Brillouin thứ mạng chiều.Nếu xét thời điểm, trạng thái dao động tinh thể lặp lại cách tuần hồn khơng gian với chu kỳ bước sóng HV:Lê Ngọc Bảo Quyên λ (mà q = 2π 2π λ = ) k λ Tiểu luận vật lý chất rắn  GVHD: TS.Trương Minh Đức Biểu diễn ω theo vectơ sóng ,có hướng với hướng lan truyền sóng,với số mạng, khối lượng nguyên tử khoảng cách nguyên tử đơn vị ta hình ảnh phụ thuộc ω vào k đồ thị *Tại tâm vùng Brillouin thứ (tương ứng với dao động nhỏ ka0) Ta có ka 0: Hệ số đàn hồi; i=1,2,3 ứng với ba phương x, y, z không gian tọa độ Do đó: F0 = ∑ β s us +1 s với β s = −∑ β i s , ∀s Trong không gian ba chiều n=3 số nguyên tử ô s=1 u uu uu r u uu u ur r Fn , s +1 = β (un − us +1 ) u uu u ur r − us +1 u uu uu r Cần lưu ý Fn , s +1 lực song song với vectơ un ⇒ β ≡ tenxoΓ u u r eα ur u eβ HV:Lê Ngọc Bảo Quyên uuu u ur Fn ,n +1 n+1 ur u uu r eα eu n 10 Tiểu luận vật lý chất rắn GVHD: TS.Trương Minh Đức ur u u ur u u uu r eα //(un − un +1 ) α , β = x, y , z Phương trình dao động mạng có dạng : u r u u r d2 u m un = ∑ Γ s us dt s r u r D(k ) = − ∑ Γ s e − ikts B = mA Giả sử đặt m s Phương trình viết lại dạng: u r r u r ω B = D (k ) B Với giá trị riêng D nghiệm ω (k ) Tương tự sử dụng MatlabTM mô tính tốn giá trị riêng D với số mạng , khối lượng nguyên tử có giá trị đơn vị, số đàn hồi β = [1 0,5 0,25 ] tương ứng với phân tử lân cận Ta thu kết sau vùng Brillouin thứ HV:Lê Ngọc Bảo Quyên 11 Tiểu luận vật lý chất rắn GVHD: TS.Trương Minh Đức KẾT LUẬN  u u r ω ( k ) mang tính tuần hồn nghĩa dao động mạng tinh thể gây nên sóng đàn hồi sóng âm, sóng quang  u u r r ω ( k ) = ω (− k )  Tổng số nhánh  Trong số hướng có tính đối xứng cao ((100),(111),…) vectơ trục cực (dao động nguyên tử ) song song (dao động dọc) vng góc (dao động ngang) với vectơ r k r r r Có nhánh mà tương ứng ω k → k → ω ≅ β k có vận tốc âm khác tương ứng với nhánh âm  HV:Lê Ngọc Bảo Quyên ( ) 12 Tiểu luận vật lý chất rắn GVHD: TS.Trương Minh Đức Ngoài với phương pháp tương tự ta áp dụng cho mạng ba chiều chứa hai loại nguyên tử ví dụ NaCl Dao động mạng chiều phức tạp (Chuổi nguyên tử hai loại khác nhau) Khảo sát trường hợp mạng chiều phức tạp có chứa hai loại nguyên tử khác (về khối lượng số lực)nghĩa ô sở chứa nguyên tử khác lọai( khối lượng M1, M2) Các nguyên tử xếp đặn, khoảng cách nguyên tử a, số mạng 2a, hệ số đàn hồi β r a 2a a Δ HV:Lê Ngọc Bảo Quyên u2n-2 x2n-2 v2n-1 u2n v2n+1 Δ Δ x2n x2n+1 x2n-1 u2n+2 x2n+2 13 Tiểu luận vật lý chất rắn GVHD: TS.Trương Minh Đức Xét nguyên tử thứ x2n x2n-1 Giả sử hạt Ο có khối lượng M1, độ dời U2n Δ có khối lượng M2, độ dời ν 2n−1 Lực tương tác nguyên tử tuân theo định luật Hooke nên ta viết biểu thức định luật II Newton cho loại nguyên tử d u2 n f n = −β(2u2 n − v2 n −1 − v2 n +1 ) = M1 dt d v2 n −1 f n −1 = −β(v2 n −1 − u2 n − u2 n − ) = M dt  d 2u2 n → M1 + β(2u2 n − v2 n −1 − v2 n +1 ) =   dt   M d v2 n −1 + β(v − u − u ) = n −1 2n n −2  dt  Tìm nghiệm dạng sóng chạy với A1, A2 biên độ sóng hai nguyên tử u2 n = u ( x2 n ,t ) = Aei ( kx2 n −ωt ) = Aei (2 kan −ωt )   i ( kx −ωt ) = Bei (2 kan −ωt ) v2 n = u ( x2 n,t ) = Be n−1 A ≠ B ≠   Hai nguyên tử dao động với hai biên độ khác Thay (2.3.2) vào (2.3.1): Có thể viết dạng sóng phẳng d u 2n + ω2 u 2n = dt v2n +1 = v2n eika v2n −1 = v2n e−ika HV:Lê Ngọc Bảo Quyên 14 Tiểu luận vật lý chất rắn GVHD: TS.Trương Minh Đức ( ) − M1ω2 u 2n + β 2u 2n − v 2n ( eika + e −ika ) = Chú ý u 2n A = v 2n B ⇒ − M1ω2 A + 2β A − 2βBcoska = ⇔ ( 2β − M1ω2 ) A − 2β Bcoska = Hồn tồn tương tự, ta có: ( 2β − M ω ) B − 2βAcoska = 2 Vậy, ta hệ phương trình:  ( 2β − M1ω2 ) A − 2βcoskaB =   −2βcoskaA+ ( 2β − M ω ) B =  (2.3.3) Để hệ phương trình có nghiệm không tầm thường định thức hệ số phải không det 2β − M1ω2 −2β coska −2β coska 2β − M 2ω2 =0 ⇔ ( 2β − M1ω2 ) ( 2β − M 2ω2 ) + 4β cos ka= ⇔ M1M 2ω4 − 2β ( M1 + M ) ω2 + 4β2 sin ka = Đây phương trình trùng phương chia vế cho M1M2 ta được:  1  4β2 sin ka ω − 2β  + =0 ÷ω + M1M  M1 M  Giải phương trình cách đặt X= ω ta thu :    1    ω (k) = β + + sin ka  ÷+  ÷ −  M1 M   M1 M  M1M    2      +  −  + ÷ − sin ka  ω (k) = β  M1 M ÷  M1 M  M1M     A Với ω0 (k) : tần số dao động nhánh quang (optical) ωA (k) : tần số dao động nhánh âm (acoustical) HV:Lê Ngọc Bảo Quyên 15 Tiểu luận vật lý chất rắn GVHD: TS.Trương Minh Đức Nghiên cứu tính chất dao động hai nhánh tâm biên vùng Brillouin thứ Giả sử M1>M2 Đối với nhánh • Tại tâm vùng Brillouin thứ k → sinka → ka    1    2 ω (k) = β  + + ka  ÷−  ÷ −  M1 M   M1 M  M1M     A   2   1   1   4M1M 2 2 = β  + + k a ÷  ÷−  ÷ 1 −    M1 M   M1 M   (M1 + M )            1   4M1M  2 = β  + + k a ÷  ÷−  ÷1 − M1 M   M1 M   (M1 + M )      Sử dụng phép gần đúng: ( − x ) = − x, xM2 (hay M2>M1) Trong mạng tinh thể có hai dao động chúng khơng cắt chúng có vùng cấm Dao động âm mạng chiều phức tạp hai nguyên tử giống dao động mạng chiều đơn giản Ý nghĩa vật lý khác dao động âm dao động quang Khi hai nguyên tử dao động cùng pha dao động mạng sóng phẳng có q trình truyền sóng giống q trình truyền sóng âm(nên gọi nhánh âm) Mơ hình dao động âm ngang mạng tinh thể hai nguyên tử Khi hai nguyên tử dao động ngược pha dao động mạng sóng phẳng có khả tương tác mạnh với ánh sáng (nên gọi nhánh quang) Mơ hình dao động quang ngang mạng tinh thể hai nguyên tử HV:Lê Ngọc Bảo Quyên 19 Tiểu luận vật lý chất rắn GVHD: TS.Trương Minh Đức 2β 2β  Trên phổ ω(k) có khoảng giá trị từ ωAmax(k) = M đến ω0(k)= M không ứng với nghiệm phương trình sóng truyền mạng tinh thể Tức khơng có dao động ứng với tần số khoảng đó.Như mạng tinh thể có nhiều nguyên tử khác sở biên vùng Brilouin có khu vực cấm mà sóng khơng lan truyền bị hấp thụ mạnh +Trường hợp hai nguyên tử loại M1=M2=M Mạng chiều có hai nguyên tử giống ô sở (nút mạng hai nguyên tử loại) r a    1    ω (k) = β + + sin ka  ÷+  ÷ −  M1 M   M1 M  M1M    Biểu thức tán sắc : Trên phổ khơng có    +  −  +  − sin ka  ω(k) ω (k) = β  M M ÷  M M ÷ M M       A vùng cấm giá trị M1=M2=M nên: 2β 2β ωAmax(k) = M ≡ ω0(k)= M Bảng tổng hợp số dao động mạng Không gian mạng Số hạt ô sở chiều hạt hạt 1hạt hạt hạt Số dao động(nhánh) Nhánh âm Nhánh quang Dọc Ngang Dọc Ngang 0 1 0 2 2 HV:Lê Ngọc Bảo Quyên 20 chiều Tiểu luận vật lý chất rắn GVHD: TS.Trương Minh Đức TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT: Dao động mạng tinh thể n chiều(n = 1,2,3), ô sở chứa s nguyên tử(s = 1,2,3,… ) tạo sóng đàn hồi có tổng số dao động (nhánh)là ns có: r nhánh âm dọc (song song k ) n nhánh âm r (n-1) nhánh âm ngang (vuông góc k ) ( s-1) nhánh quang dọc n(s-1) nhánh quang (n-1) (s-1) nhánh quang ngang Tổng số nhánh dao động mạng tinh thể tích số nguyên tử ô sở với số chiều khơng gian (nS).Ln ln tồn nhánh âm dao động mạng tinh thể, nhánh âm dao động mạng chiều, ba chiều phương diện toán học, ý nghĩa vật lý Chỉ có hai ngun tử sở xuất nhánh quang học(có thể quang dọc quang ngang) mạng tinh thể ba chiều có nhánh quang ngang Với phụ thuộc tần số gốc vào vectơ sóng qui luật tán sắc dao động mạng tinh thể vật lý cổ điển phonon vật lý đại xác định HV:Lê Ngọc Bảo Quyên 21 Tiểu luận vật lý chất rắn GVHD: TS.Trương Minh Đức KẾT LUẬN Quá trình nghiên cứu phần thể khái quát tranh dao động mạng tinh thể từ cổ điển đến lượng từ.Tuy nhiên, hạn chế mang tính khách quan, phần lý thuyết dao động mạng tinh thể chưa nghiên cứu sâu hoàn chỉnh Vì mong dẫn thêm thầy góp ý chân thành từ phía bạn nhằm tạo động lực thúc đẩy việc nghiên cứu phát triển đề tài cấp độ sâu hơn, hồn chỉnhvà mang tính giá trị cao HV:Lê Ngọc Bảo Quyên 22 ... Trong mạng tinh thể có hai dao động chúng không cắt chúng có vùng cấm Dao động âm mạng chiều phức tạp hai nguyên tử giống dao động mạng chiều đơn giản Ý nghĩa vật lý khác dao động âm dao động. .. Ảnh hưởng biên tinh thể mạng tinh thể chiều  Nếu mạng tinh thể đủ lớn ảnh hưởng biên nhỏ tính chất tinh thể gần giống mạng vô hạn  Để bảo tồn tính đối xứng tịnh tiến mạng tinh thể thực ta sử... nhánh dao động mạng tinh thể tích số ngun tử sở với số chiều không gian (nS).Luôn tồn nhánh âm dao động mạng tinh thể, nhánh âm dao động mạng chiều, ba chiều phương diện toán học, ý nghĩa vật lý