Tiểu luận vật lý chất rắn trạng thái dao động mạng tinh thể

Tiểu luận vật lý chất rắn trạng thái dao động mạng tinh thể

Vật lý chất rắn là một khoa học rộng lớn gồm nhiều bộ môn như: vật lýbán dẫn điện, vật lý kim loại và hợp kim, vật lý và các chất điện mới, vật lý vàcác chất sắt điện và sắt từ…Với những cấu trúc, những tính chất chung nhất củavật lý chất rắn được nghiên cứu từ học phần vật lý chất rắn trong chương trìnhđào tạo cao học như cấu trúc tinh thể của vật rắn, dao động của mạng tinh thể,tính chất nhiệt, tính chất điện, tính chất từ và tính chất siêu dẫn… một phần nào

đó đã thể hiện được vai trò quan trọng trong cuộc cách mạng khoa học côngnghệ hiện nay.Mỗi tính chất của chất rắn đều có mức độ nghiên cứu riêng cũng

như những ứng dụng đặc trưng nhưng tính chất về dao động của mạng tinh

thể hết sức hấp dẫn và có sức cuốn hút kỳ lạ.

Đối tượng nghiên cứu: các tài liệu vật lý chất rắn có liên quan

Nội dung của tiểu luận gồm ba phần :

1.Dao động mạng một chiều đơn giản (chuỗi nguyên tử mà mỗi ô cơ sở chứa một nguyên tử cùng loại )

2.Dao động mạng ba chiều đơn giản

3 Dao động mạng 1 chiều phức tạp (chuỗi nguyên tử hai loại khác nhau)

Sau nội dung của từng phần có kết luận và so sánh với các phần khác

1 Dao động mạng một chiều đơn giản (chuỗi nguyên tử với mỗi

ô cơ sở chứa một nguyên tử cùng loại )

Ở các vật rắn kết tinh,các nguyên tử hoặc các phân tử sắp xếp có trật tựxác định trong không gian Có thể coi mạng tinh thể được tạo thành từ các lõinguyên tử mang điện dương, nằm ở nút mạng và các electron hóa trị mà sựphân bố của chúng phụ thuộc vào liên kết trong tinh thể

Mô hình mạng tinh thể của một số chất

MnP Al2Cu La203Trong tinh thể các nguyên tử, phân tử không nằm cố định ở các nút mạng hoặc ởcác vị trí xác định , mà luôn thực hiện các dao động nhỏ xung quanh vị trí cânbằng Do đó khi khảo sát trạng thái dao động của mạng tinh thể vật rắn cầnphải biết được chuyển động của mọi nguyên tử

Khảo sát trên mặt phẳng tinh thể mà mỗi một ô cơ sở chứa 1 nguyên tử

m, các nguyên tử sắp xếp đều đặn, khoảng cách giữa các nguyên tử là a, hằng sốmạng là a và hệ số đàn hồi là β

Có thể hình dung mạng tinh thể trên dưới nhiều mô hình khác nhau nhưdưới đây

Giả sử gọi: Độ dịch chuyển của nguyên tử thứ n là: un

Độ dịch chuyển của nguyên tử thứ n-1 là: un-1

Độ dịch chuyển của nguyên tử thứ n+1 là: un+1

X'n-1 =(n-1)a + un-1

Điều kiện dao động điều hòa thì 1

ka m

1

1

n

n iak

Đây gọi là hệ thức tán sắc của dao động

Vậy dao động mạng một chiều đơn giản là một sóng phẳng tuân theo hệ

thức tán sắc (1) và chỉ phụ thuộc vào tính chất của vectơ sóng k 

 ω là hàm tuần hoàn của k với chu kỳ 2 nên chỉ cần xét ω trong khoảng

 Biểu diễn  theo vectơ sóng ,có hướng với hướng lan truyền của sóng,vớihằng số mạng, khối lượng nguyên tử và khoảng cách giữa các nguyên tử bằngmột đơn vị ta được hình ảnh của sự phụ thuộc của  vào k như đồ thị dưới đây

*Tại tâm vùng Brillouin thứ nhất (tương ứng với những dao động nhỏ ka0)

   tức k là tuyến tính đối với k bé

Mà ta biết vận tốc truyền sóng trong tinh thể,vận tốc truyền năng lượngtrong dao động, là sự truyền bó sóng (nhóm, groupe)

*Tại biên vùng Brillouin thứ nhất (tương ứng với những dao động có kmax)

Khi khảo sát bằng cách tính toán ảnh hưởng của các nguyên tử lân cận thứhai, thứ ba với các hằng số đàn hồi tỉ lệ tương ứng ngày càng nhỏ1/ 2; 1/ 3

 Với giá trị k bé (ở tâm vùng Brilluoin) mối liên hệ tuyến tính  f k( )tiến đến gần như đường thẳng.Khe ở tâm vùng Brillouin chứng tỏ rằng vận tốclan truyền của âm thanh trong vật rắn là lớn nhất.

 Hơn nữa do tính chất đối xứng, với cùng một giá trị  thì trong vùng Brillouin tồn tại 2 giá trị của k (N là số nguyên tử lân cận)

 Trong thực tế , đối với mạng tinh thể thực một chiều thì số nguyên tử N làhữu hạn, tính tuần hoàn, tịnh tiến bị phá vỡ

Ảnh hưởng của biên tinh thể trong mạng tinh thể một chiều

 Nếu mạng tinh thể đủ lớn thì ảnh hưởng của biên là rất nhỏ và tính chấtcủa tinh thể gần giống như mạng vô hạn

 Để bảo toàn tính đối xứng tịnh tiến của mạng tinh thể thực ta sử dụng điềukiện biên tuần hoàn Bom-Karman hỗ trợ cho việc tính toán được thuận lợi hơn

2 Mạng tinh thể 3 chiều

Giả sử khảo sát dao động mạng tinh thể theo ba hướng trong không gianvới mỗi ô cơ sở có một nguyên tử ( s=1) và chỉ quan tâm đến ảnh hưởng củacác nguyên tử lân cận gần nhất và coi dao động là điều hòa với lực đàn hồi có hệ

số đàn hồi 

* Xét nút n:

Giả sử gọi độ dịch chuyển của nguyên tử thứ n là un , độ dịch chuyển củanguyên tử thứ s là us.Theo định luật Hooke lực tác dụng lên nguyên tử n đượcviết dưới dạng

1 0

Với những giá trị riêng của D là nghiệm của 2( ) k

Tương tự sử dụng MatlabTM trong mô phỏng tính toán những giá trị riêng của D với hằng số mạng , khối lượng các nguyên tử có giá trị bằng một đơn vị, hằng số đàn hồi  = [1 0,5 0,25 ] lần lượt tương ứng với các phân tử lân cận Ta thu được kết quả sau trong vùng Brillouin thứ nhất

 Có 3 nhánh mà tương ứng khi  k  0thì k  0 và    k như vậy có

3 vận tốc âm khác nhau tương ứng với 3 nhánh âm

Ngoài ra với phương pháp tương tự ta cũng có thể áp dụng cho mạng ba

chiều chứa hai loại nguyên tử ví dụ như NaCl

3 Dao động mạng 1 chiều phức tạp (Chuổi nguyên tử hai loại khác nhau)

Khảo sát trường hợp mạng một chiều phức tạp

có chứa hai loại nguyên tử khác nhau (về khối

lượng hoặc về hằng số lực)nghĩa là trong một

ô cơ sở chứa 2 nguyên tử khác lọai( khối lượng

M1, M2) Các nguyên tử sắp xếp đều đặn, khoảng cách giữa các nguyên tử là a,hằng số mạng là 2a, hệ số đàn hồi là β

Xét nguyên tử thứ x2n và x2n-1

Giả sử hạt Ο có khối lượng M1, độ dời U2n

Δ có khối lượng M2, độ dời 2 1n

Lực tương tác giữa các nguyên tử tuân theo định luật Hooke nên ta viếtbiểu thức định luật II Newton cho từng loại nguyên tử

2 2

2n 2

ika 2n 1 2n

ika 2n 1 2n

2 1

2 2

2 2

Nghiên cứu tính chất dao động của hai nhánh tại tâm và biên vùng Brillouin thứ 1.

Giả sử M1>M2

Đối với nhánh dưới

 Tại tâm vùng Brillouin thứ nhất khi k 0 thì sinka ka

2 2

1 2 2

Mô hình dao động âm dọc

Mô hình dao động âm ngang

 Tại biên vùng Brillouin thứ nhất khi k

Mô hình sóng dừng trong dao động âm ngang

Đối với nhánh trên

Tại tâm vùng Brillouin thứ nhất

Tương tự với ka bé ta được : 0max

Đối với nhánh âm học

khi k = 0 thì  2 0 hay   0 thay vào (2.3.3)

Ta có: 2 A 2 B 0      A B  chứng tỏ các nguyên tử dao động cùng

Đối với nhánh quang: khi k  0thì:

2 0

1 2

1 1 (k) 2

M A

B  M  Các nguyên tử dao động ngược pha nhau, khoảng cách giữa hai nguyên tử luôn cực đại nhưng khối tâm của nó không dịch chuyển Khi chúng dao động moment lưỡng cực điện do chúng tạo ra lớn và cũng biến đổi tuần hoàn có khả năng tương tác mạnh với ánh sáng do đó nhánh này được gọi

là nhánh quang học

Nhận xét về sự phụ thuộc của  theo k :

+Trường hợp hai nguyên tử khác loại M 1 >M 2 (hay M 2 >M 1 )

Trong mạng tinh thể có hai dao động nhưng chúng không cắt nhau dogiữa chúng có vùng cấm

Dao động âm trong mạng một chiều phức tạp hai nguyên tử giống nhưdao động trong mạng một chiều đơn giản

Ý nghĩa vật lý về sự khác nhau giữa dao động âm và dao động quang

Khi hai nguyên tử dao động cùng cùng pha thì dao động mạng là một sóng phẳng có quá trình truyền sóng giống như quá trình truyền sóng âm(nên được gọi là nhánh âm)

Mô hình dao động âm ngang của mạng tinh thể hai nguyên tử

Khi hai nguyên tử dao động ngược pha nhau thì dao động mạng là sóng phẳng có khả năng tương tác mạnh với ánh sáng (nên được gọi là nhánh quang)

Mô hình dao động quang ngang của mạng tinh thể hai nguyên tử

 Trên phổ (k) có một khoảng giá trị từ Amax(k) =

+Trường hợp hai nguyên tử cùng loại M 1 =M 2 =M

Mạng một chiều có hai nguyên tử giống nhau trong một ô cơ sở (nút mạng là hai nguyên tử cùng loại)

gian

mạng

Số hạttrong một

TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT:

Dao động của mạng tinh thể n chiều(n = 1,2,3), mỗi ô cơ sở chứa s nguyên tử(s

= 1,2,3,… ) tạo ra sóng đàn hồi có tổng số dao động (nhánh)là ns trong đó có:

1 nhánh âm dọc (song song k )

n nhánh âm

(n-1) nhánh âm ngang (vuông góc k )

( s-1) nhánh quang dọcn(s-1) nhánh quang

(n-1) (s-1) nhánh quang ngangTổng số nhánh trong dao động của mạng tinh thể là tích số nguyên tử trong một ô cơ sở với số chiều của không gian (nS).Luôn luôn tồn tại ít nhất mộtnhánh âm trong dao động mạng tinh thể, nhánh âm trong dao động mạng một chiều, ba chiều là như nhau về phương diện toán học, ý nghĩa vật lý

Chỉ khi có ít nhất hai nguyên tử trong mỗi ô cơ sở thì mới xuất hiện nhánh quang học(có thể là quang dọc hoặc quang ngang) và chỉ trong mạng tinh thể ba chiều thì mới có thể có nhánh quang ngang

Với sự phụ thuộc của tần số gốc vào vectơ sóng qui luật tán sắc của dao động mạng tinh thể trong vật lý cổ điển cũng như phonon trong vật lý hiện đại được xác định

KẾT LUẬN

Quá trình nghiên cứu đã một phần nào đó thể hiện được khái quát bứctranh về dao động mạng tinh thể từ cổ điển đến lượng từ.Tuy nhiên, do nhữnghạn chế mang tính khách quan, phần lý thuyết về dao động mạng của tinh thểchưa được nghiên cứu sâu và hoàn chỉnh Vì vậy rất mong được sự chỉ dẫn thêmcủa thầy và sự góp ý chân thành từ phía các bạn nhằm tạo động lực thúc đẩyviệc nghiên cứu và phát triển đề tài ở cấp độ sâu hơn, hoàn chỉnhvà mang tínhgiá trị cao hơn