Chuyên đề hình học OXYZ

CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN A. LÝ THUYẾT I. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VECTƠ A. Hệ trục toạ độ Oxyz gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau với ba vectơ đơn vị , ,i j k r ur ur ( ) 1i j k = = = r r ur . B. ( ) 1 2 3 1 2 3 ; ; a a a a a a i a j a k = ⇔ + + uur uur ur ur uur ; M(x;y;z)⇔ OM xi y j zk = + + uur uuuuur ur uur C. Tọa độ của vectơ: cho ( ; ; ), ( '; '; ')u x y z v x y z r r 1. '; '; 'u v x x y y z z= ⇔ = = = r r 2. ( ) '; '; 'u v x x y y z z± = ± ± ± r r 3. ( ; ; )ku kx ky kz= r 4. . ' ' 'u v xx yy zz = + + ur r 5. ' ' ' 0u v xx yy zz⊥ ⇔ + + = r r 6. 2 2 2 u x y z = + + r 7. ( ) ' ' ; ' ' ; ' '; ; ' ' ' ' ' ' yz y z zx z x xy x y y z z x x y u v y z z x x y   = − − −  ÷  ÷   ∧ = r r 8. ,u v ur r cùng phương⇔ [ , ] 0= r r r u v 9. ( ) cos , . . u v u v u v = ur r r r r r . D. Tọa độ của điểm: cho A(x A ;y A ;z A ), B(x B ;y B ;z B ) 1. ( ; ; )= − − − uuur B A B A B A AB x x y y z z 2. 2 2 2 ( ) ( ) ( )= − + − + − B A B A B A AB x x y y z z 3.G là trọng tâm tam giác ABC ta có: x G = 3 A B C x x x+ + ;y G = 3 A B C y y y+ + ; z G = 3 A B C z z z+ + 4. M chia AB theo tỉ số k: ; ; ; 1 1 1 − − − = = = − − − A B A B A B M M M x kx y ky z kz x y z k k k Đặc biệt: M là trung điểm của AB: ; ; . 2 2 2 A B A B A B M M M x x y y z z x zy + + + = = = 5. ABC là một tam giác⇔ AB AC∧ uuur uuur ≠ 0 r khi đó S= 1 2 AB AC∧ uuur uuur 6. ABCD là một tứ diện⇔ AB AC∧ uuur uuur . AD uuur ≠0, V ABCD = ( ) 1 , 6 AB AC AD∧ uuur uuur uuur , V ABCD = 1 . 3 BCD S h (h là đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A) CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH – LTĐH 1 Ebooktoan.com ( ) 1;0;0i r ( ) 0;1;0j r ( ) 0;0;1k r O z x y II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG & MẶT I. Mặt phẳng Mặt phẳng α được xác định bởi: {M(x 0 ;y 0 ;z 0 ), ( ; ; )n A B C= r }. Phương trình tổng quát của mặt phẳng α : Ax+By+Cz+D=0, tìm D từ Ax 0 +By 0 +Cz 0 +D=0 hay A(x-x 0 )+B(y-y 0 )+C(z-z 0 )=0⇔ Ax+By+Cz+D=0.  một số mặt phẳng thường gặp: a/ Mặt phẳng (Oxy): z=0; mặt phẳng (Oxz): y=0; mặt phẳng (Oyz): x=0. b/ Mặt phẳng đi qua ba điểm A,B,C: có ( ) [ , ] ABC n AB AC= r uuur uuur c/ α // β ⇒ n n α β = uur uur d/ α ⊥ β ⇒ n u α β = uur uur và ngược lại e/ α //d⇒ d u u α = uur uur f/ α ⊥d⇒ d n u α = uur uur . Chú ý: * (Oxy): z = 0, (Oxz): y = 0, (Oyz): x = 0 * Phương trình mặt phẳng đi qua M(a; 0; 0), N(0; b; 0), P(0; 0; c) với , , 0a b c ≠ là 1 x y z a b c + + = II. Đường thẳngIV.Đường cong Đường thẳng ∆ được xác định bởi: {M(x 0 ;y 0 ;z 0 ), u ∆ uur =(a;b;c)} i.Phương trình tham số: 0 0 0 x x at y y bt z z ct = +   = +   = +  ; ii.Phương trình chính tắc: 0 0 0 x x y y z z a b c − − − = = iii.Đường thẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng: 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 A x B y C z D A x B y C z D + + + =   + + + =  trong đó 1 1 1 1 ( ; ; )n A B C= uur , 2 2 2 2 ( ; ; )n A B C= uur là hai VTPT và VTCP 1 2 [ ]u n n ∆ = uur uuruur . †Chú ý: a/ Đường thẳng Ox: 0 0 y z =   =  ; Oy: 0 0 x z = =    ; Oz: 0 0 x y =   =  b/ (AB): AB u AB= r uuur ; c/ ∆ 1 //∆ 2 ⇒ 1 2 u u ∆ ∆ = uur uur ; d/ ∆ 1 ⊥∆ 2 ⇒ 1 2 u n ∆ ∆ = uur uur . III. Góc- Kh/C Góc giữa hai đường thẳng *cos(∆,∆’)=cos ϕ = . ' . ' u u u u ur uur r uur ; Góc giữa hai mp *cos( α , α ’)=cosϕ= . ' . ' n n n n ur uur r uur ; Góc giữa đường thẳng và mp *sin(∆, α )=sinψ= . . n u n u ur r r r . CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH – LTĐH 2 Ebooktoan.com III.KHOẢNG CÁCH Cho M (x M ;y M ;z M ), α :Ax+By+Cz+D=0,∆:{M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ), u ∆ r }, ∆’ {M’ 0 (x 0 ';y 0 ';z 0 '), 'u ∆ uur } * Khoảng cách từ M đến mặt phẳng α: d(M, α )= 2 2 2 M M M Ax By CZ D A B C + + + + + * Khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆: d(M,∆)= 1 [ , ]MM u u uuuuur r r * Khoảng cách giữa hai đường thẳng: d(∆,∆’)= 0 0 [ , ']. ' [ , '] u u M M u u r uur uuuuuuuur uur uur IV. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Mặt cầu (S){I(a;b;c),bán kính R} Dạng 1: (x-a) 2 +(y-b) 2 +(z-c) 2 =R 2 (S) Dạng 2: x 2 +y 2 +z 2 -2ax-2by-2cz+d=0 khi đó R= 2 2 2 a b c d + + − 1. d(I, α )>R: α ∩ (S)=∅ 2. d(I, α )=R: α ∩ (S)=M (M gọi là tiếp điểm) *Điều kiện để mặt phẳng α tiếp xúc mặt cầu (S): d(I, α)=R (mặt phẳng α là tiếp diện của mặt cầu (S) tại M khi đó n α uur = IM uuur ) 3. Nếu d(I, α )<R thì α sẽ cắt mc(S) theo đường tròn (C) có phương trình là giao của α và (S). Để tìm tâm H và bán kính r của (C) ta làm như sau: a. Tìm r = 2 2 - ( , )R d I α b. Tìm H: +Viết phương trình đường thẳng ∆ qua I, vuông góc với α +H=∆ ∩ α (toạ độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình ∆ với α ) CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH – LTĐH 3 Ebooktoan.com B. CÁC BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP I. Xác định tọa độ của một điểm: Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1;0;0); B(0;2;0); C(0;0;-2).Tìm tọa độ điểm O’ đối xứng với O qua (ABC). Giải: Áp dụng phương trình đoạn chắn suy ra pt tổng quát của mp(ABC) là: 1 1 2 2 x y z + + = ⇔ − 2x+y-z-2=0 Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên (ABC). OH vuông góc với (ABC) nên đường thẳng OH nhận vectơ pháp tuyến (2;1; 1)n − r của (ABC) làm vectơ chỉ phương của nó. 2 : (2 ; ; ) x t OH y t H t t t z t  =  ⇒ = ⇒ −   = −  1 ( ) 2.2 2 0 3 H ABC t t t t∈ ⇒ + + − = ⇔ = suy ra ) 3 1 ; 3 1 ; 3 2 ( −H O’ đối xứng với O qua (ABC) ⇔ H là trung điểm của OO’ ⇔ ) 3 2 ; 3 2 ; 3 4 (' −O Vậy ) 3 2 ; 3 2 ; 3 4 (' −O Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1). Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và tìm điểm M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho MA = MB = MC. Giải: Ta có (2; 3; 1), ( 2; 1; 1) (2;4; 8)AB AC n= − − = − − − ⇒ = − uuur uuur r là 1 vtpt của (ABC) Suy ra pt (ABC) là (x – 0) + 2(y – 1) – 4(z – 2) = 0 hay x + 2y – 4z + 6 = 0 * Mặt phẳng trung trực của đoạn AB có phương trình 2x – 3y – z – 2 = 0 * Mặt phẳng trung trực của đoạn BC có phương trình 2x – y – 1 =0 Điểm M là giao của mặt phẳng (ABC), mặt phẳng trung trực của đoạn AB và mặt phẳng trung trực của đoạn BC nên tọa độ của M là nghiệm của hệ x 2y – 4z 6 0 2 3 2 0 2 1 0 x y z x y  + + =  − − − =   − − =  x 2y – 4z 6 2 3 2 2 1 x y z x y  + = −  ⇔ − − =   − =  0 1 1 x y z  =  ⇔ = −   =  Vậy M( 0; -1; 1) CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH – LTĐH 4 Ebooktoan.com Cách khác: Gọi M(x; y; z) * ( ) x 2y – 4z 6 0M ABC∈ ⇒ + + = (1) MA = MB = MC 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) (1 ) (2 ) (2 ) ( 2) ( 2) (2 ) ( 2) ( 2) ( 2 ) ( ) (1 )  − + − + − = − + + + − =   ⇔ ⇔   =  − + + + − = − − + − + −   x y z z y z MA MB MB MC z y z x y z 2 3 2 0 (2) 2 1 0 (3) x y z x y  − − − = ⇔  − − =  Từ (1), (2), (3) ta có hệ x 2y – 4z 6 0 2 3 2 0 2 1 0 x y z x y  + + =  − − − =   − − =  0 1 1 x y z  =  ⇔ = −   =  Vậy M( 0; -1; 1) Ví dụ 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (6;-2;3); B (2;- 1;3); C (4;0;-1). 1. Chứng minh rằng: A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tìm độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ đỉnh A. 2. Tìm m và n để điểm M (m + 2; 1; 2n + 3) thẳng hàng với A và C. Giải: 1. Ta có : AB ( 4;1;0) = − uuur ; BC (2;1; 4) = − uuur ⇒ AB,BC ( 4; 16; 6) 0   = − − − ≠   uuur uuur r ⇒ A, B, C không thẳng hàng ⇒ A, B, C là 3 đỉnh của tam giác ⇒ AH = d(A, BC) = AB,BC 2 33 BC 3     = uuur uuur 2. M (m + 2; 1; 2n + 3) ⇒ AM (m 4;3;2n) = − uuuur cùng phương AC 2(1; 1;2) = − − uuur ⇒ m 4 3 2n 1 1 2 − = = − ⇒ m = 1 và n = -3 Ví dụ 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm A(1;4;2),B(-1;2;4) và đường thẳng ∆ : 1 2 1 1 2 x y z− + = = − .Tìm toạ độ điểm M trên ∆ sao cho : 2 2 28MA MB + = . Giải: Phương trình tham số 1 : 2 (1 ; 2 ;2 ) 2 = −   ∆ = − + ⇒ − − +   =  x t y t M t t t z t CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH – LTĐH 5 Ebooktoan.com Ta có: 2 2 2 28 12 48 48 0 2MA MB t t t+ = ⇔ − + = ⇔ = Từ đó suy ra : M (-1 ;0 ;4) Ví dụ 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2 ; 1 ; 0) và đường thẳng d : x 1 y 1 z 2 1 1 − + = = − .Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M, cắt và vuông góc với đường thẳng d và tìm toạ độ của điểm M’ đối xứng với M qua d. Giải: * Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên d, ta có MH là đường thẳng đi qua M, cắt và vuông góc với d. d có phương trình tham số là: x 1 2t y 1 t z t = +   = − +   = −  Vì H ∈ d nên tọa độ H (1 + 2t ; − 1 + t ; − t). Suy ra : MH uuuur = (2t − 1 ; − 2 + t ; − t) * Vì MH ⊥ d và d có một vectơ chỉ phương là u r = (2 ; 1 ; −1), nên : 2.(2t – 1) + 1.(− 2 + t) + (− 1).(−t) = 0 ⇔ t = 2 3 . Cho nên, MH uuuur = 1 4 2 ; ; 3 3 3   − −  ÷   3 (1; 4; 2) MH u MH= = − − uuuur uuuur Suy ra, phương trình chính tắc của đường thẳng MH là: x 2 y 1 z 1 4 2 − − = = − − * Theo trên có 7 1 2 ( ; ; ) 3 3 3 H − − mà H là trung điểm của MM’ nên toạ độ M’ 8 5 4 ( ; ; ) 3 3 3 − − Ví dụ 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: 1 ( ): 1 1 2 x y z d = = và 2 1 1 ( ) : 2 1 1 x y z d + − = = − .Tìm tọa độ các điểm M thuộc 1 ( )d và N thuộc 2 ( )d sao cho đường thẳng MN song song với mặt phẳng ( ) : – 2010 0P x y z+ + = độ dài đoạn MN bằng 2 . Giải: + 1 2 , ( ), ( )M N d d∈ nên ta giả sử 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ; ; 2 ), ( 1 2 ; ;1 ) ( 2 1; ;2 1)M t t t N t t t NM t t t t t t− − + ⇒ = + + − − − uuuur . + MN song song mp(P) nên: 1 2 1 2 1 2 . 0 1.( 2 1) 1.( ) 1(2 1) 0 P n NM t t t t t t= ⇔ + + − − + − − = uur uuuur CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH – LTĐH 6 Ebooktoan.com 2 1 1 1 1 ( 1; 2 ;3 1)t t NM t t t⇔ = − ⇒ = − + − uuuur . + Ta có: 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 0 2 ( 1) (2 ) (3 1) 2 7 4 0 4 7 t MN t t t t t t =   = ⇔ − + + + − = ⇔ − = ⇔  =  . + Suy ra: (0; 0; 0), ( 1; 0;1)−M N hoặc 4 4 8 1 4 3 ( ; ; ), ( ; ; ) 7 7 7 7 7 7 −M N . + Kiểm tra lại thấy cả hai trường hợp trên không có trường hợp nào ( ).M P∈ Vậy có hai cặp M, N như trên thoả mãn. Ví dụ 7. Trong Không gian với hệ tọa độ Oxyz.Cho đường thẳng      = = = ∆ 1 2: z ty tx và điểm )1,0,1( −A . Tìm tọa độ các điểm E và F thuộc đường thẳng ∆ để tam giác AEF là tam giác đều. Giải: + Đường thẳng )1,0,0( 0 Mquađi∆ và có vtcp )0,2,1( → u ; )2,2,4(,;)2,0,1( 00 −=       −= →→→ uAMAM + Khoảng cách từ A đến ∆ là AH = 5 62 , ),( 0 =       =∆ → →→ u uAM Ad + Tam giác AEF đều 5 24 3 2 . ===→ AHAFAE . Vậy E , F thuộc mặt cầu tâm A , BK R = 5 24 và đường thẳng ∆ . Nên tọa độ E , F là nghiệm của hệ :          =+++− = = = 5 32 )1()1( 1 2 222 zyx z ty tx ⇒ t = 5 221 Suy ra tọa độ E và F là :            = + = + = ∨            = − = − = 1 5 242 5 221 1 5 242 5 221 z y x z y x Ví dụ 8. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho ( ) 052: =+−+ zyxP và đường thẳng 31 2 3 :)( −=+= + zy x d , điểm A( -2; 3; 4). Gọi ∆ là đường thẳng CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH – LTĐH 7 Ebooktoan.com nằm trên (P) đi qua giao điểm của ( d) và (P) đồng thời vuông góc với d. Tìm trên ∆ điểm M sao cho khoảng cách AM ngắn nhất. Giải: d có phương trình tham số là:      += −= −= 3 1 32 tz ty tx Gọi I là giao điểm của (d) và (P) ( ) 3;1;32 +−−⇒ tttI Do ( ) ( ) 4;0;1105)3()1(232 −⇒=⇔=+−−−+−⇒∈ IttttPI * (d) có vectơ chỉ phương là )1;1;2(a , mp( P) có vectơ pháp tuyến là ( ) 1;2;1 −n [ ] ( ) 3;3;3n,a −=⇒ . Gọi u là vectơ chỉ phương của ∆ ( ) 1;1;1u −⇒      += = −= ∆⇒ u4z uy u1x : . Vì ( ) u4;u;u1MM +−−⇒∆∈ , ( ) u;3u;u1AM −−⇒ AM ngắn nhất ∆⊥⇔ AM 0u.1)3u(1)u1(10u.AMuAM =+−+−−⇔=⇔⊥⇔ 3 4 u =⇔ . Vậy       − 3 16 ; 3 4 ; 3 7 M Ví dụ 9. Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho đường thẳng d 2 1 4 6 8 x y z− + = = − − và hai điểm A(1;-1;2) ,B(3 ;- 4;-2). Tìm điểm I trên đường thẳng d sao cho IA +IB đạt giá trị nhỏ nhất . Giải: Véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng lần lượt là: 1 u ur (4; - 6; - 8); 2 u uur ( - 6; 9; 12) +) 1 u ur và 2 u uur cùng phương +) M( 2; 0; - 1) ∈ d 1 ; M( 2; 0; - 1) ∉ d 2 Vậy d 1 // d 2 Véc tơ pháp tuyến của mp (P) là n r = ( 5; - 22; 19) (P): 5x – 22y + 19z + 9 = 0 AB uuur = ( 2; - 3; - 4); AB // d 1 Gọi A 1 là điểm đối xứng của A qua d 1 . Ta có: IA + IB = IA 1 + IB ≥ A 1 B IA + IB đạt giá trị nhỏ nhất bằng A 1 B Khi A 1 , I, B thẳng hàng ⇒ I là giao điểm của A 1 B và d Do AB // d 1 nên I là trung điểm của A 1 B. Gọi H là hình chiếu của A lên d 1 . Tìm được H 36 33 15 ; ; 29 29 29    ÷   A’ đối xứng với A qua H nên A’ 43 95 28 ; ; 29 29 29   −  ÷   CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH – LTĐH 8 Ebooktoan.com I là trung điểm của A’B suy ra I 65 21 43 ; ; 29 58 29 − −    ÷   Ví dụ 10. Cho mặt phẳng ( ) : 2 2 1 0P x y z− + − = và các đường thẳng 1 1 3 : , 2 3 2 x y z d − − = = − 2 5 5 : . 6 4 5 x y z d − + = = − Tìm điểm M thuộc d 1 , N thuộc d 2 sao cho MN song song với (P) và đường thẳng MN cách (P) một khoảng bằng 2. Giải: Gọi ( ) ( ) 1 2 ;3 3 ;2 , 5 6 ';4 '; 5 5 'M t t t N t t t+ − + − − ( ) ( ) ; 2 2 1 1 0; 1.d M P t t t= ⇔ − = ⇔ = = Trường hợp 1: ( ) ( ) 0 1;3;0 , 6 ' 4;4 ' 3; 5 ' 5t M MN t t t= ⇒ = + − − − uuuur ( ) . 0 ' 0 5;0; 5 P P MN n MN n t N⊥ ⇔ = ⇒ = ⇒ − uuuur uur uuuur uur Trường hợp 2: ( ) ( ) 1 3;0;2 , 1; 4;0t M N= ⇒ − − Vậy …… Ví dụ 11. Cho ba điểm A(1;5;4), B(0;1;1), C(1;2;1). Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho độ dài đoạn thẳng CD nhỏ nhất. Giải: Ta có ( ) 1; 4; 3AB = − − − uuur Phương trình đường thẳng AB: 1 5 4 4 3 x t y t z t = −   = −   = −  Để độ dài đoạn CD ngắn nhất=> D là hình chiếu vuông góc của C trên cạnh AB, gọi tọa độ điểm D(1-a;5-4a;4-3a) ( ;4 3;3 3)DC a a a⇒ = − − uuur Vì AB DC⊥ uuur uuur =>-a-16a+12-9a+9=0<=> 21 26 a = Tọa độ điểm 5 49 41 ; ; 26 26 26 D    ÷   Ví dụ 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 1 0+ + − =x y z và hai điểm A(1;-3;0), B(5;-1;-2). Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho −MA MB đạt giá trị lớn nhất. Giải: Ta có: A, B nằm khác phía so với (P).Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua (P) ⇒ B’(-1; -3; 4) Lại có ' '− = − ≤MA MB MA MB AB Đẳng thức xảy ra khi M, A, B’ thẳng hàng ⇒ M là giao điểm của (P) và AB’ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH – LTĐH 9 Ebooktoan.com AB’ có phương trình : 1 3 2 = +   = −   = −  x t y z t Tọa độ của M là nghiệm của hệ 1 3 2 1 0 = +   = −   = −   + + − =  x t y z t x y z 2 3 6 x y z  = −  ⇒ = −   =  Vậy M(-2; -3; 6) Ví dụ 13. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2; -1), B(7; -2; 3) và đường thẳng d có phương trình 2 3 2 (t R) 4 2 x t y t z t = +   = − ∈   = +  . Tìm trên d những điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến A và B là nhỏ nhất. Giải: Ta có M d ∈ ⇒ M(2+ 3t; - 2t; 4+ 2t), (6; 4;4)AB = − uuur VTCP của d là (2; 2; 2)u = − v ⇒ AB//d. Gọi A’ đối xứng với A qua d => MA’= MA => MA+ MB = MA’ + MB ≥ A’B (MA+ MB) min = A’B, khi A’, M, B thẳng hàng => MA = MA’ = MB MA=MB <=> M(2 ; 0 ; 4) II. Viết phương trình mặt phẳng: Ví dụ 1. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A(1 ;0 ; 1), B(2 ; 1 ; 2) và mặt phẳng (Q): x + 2y + 3z + 3 = 0. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B và vuông góc với (Q). Giải: Ta có (1;1;1), (1;2;3), ; (1; 2;1) Q Q AB n AB n   = −   uuur uur uuur uur Vì ; 0 Q AB n   ≠   uuur uur r nên mặt phẳng (P) nhận ; Q AB n     uuur uur làm véc tơ pháp tuyến Vậy (P) có phương trình x - 2y + z - 2 = 0 Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d và d’ lần lượt có phương trình d : z y x = − − = 1 2 và d’ : 1 5 3 2 2 − + =−= − z y x . Chứng minh rằng hai đường thẳng đó vuông góc với nhau. Viết phương trình mặt phẳng )( α đi qua d và vuông góc với d’. CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH – LTĐH 10 Ebooktoan.com [...]... hay M ≡ A Chú ý + Hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều và các cạnh bên bằng nhau, nhưng khơng nhất thiết phải bằng đáy Chân đường cao là trọng tâm của đáy + Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng đáy + Hình hộp có đáy là hình bình hành nhưng khơng nhất thiết phải là hình chữ nhật III CÁC DẠNG BÀI TẬP 1 CÁC BÀI TỐN VỀ HÌNH CHĨP TAM GIÁC Bài 1 (Trích đề thi Đại học khối D – 2002)... các mặt bên đều là hình vng cạnh a Gọi D, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, C'B' Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'B và B'C' Giải Cách 1: Vì các các mặt bên của lăng trụ đều là hình vng nên AB = BC = CA = A ' B ' = B ' C ' = C ' A ' = a ⇒ các tam giác ABC, A B C là các tam giác đều Chọn hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az đơi một vng góc, A(0;0;0), ’ ’ ’ C’ z A’ B’ a CHUN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH... của SB, SC và H là hình chiếu của A trên EF 1 Chứng minh H là trung điểm của SD CHUN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH – LTĐH Ebooktoan.com 34 D 2 Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ACE) 3 Tính thể tích hình chóp A.BCFE Bài 3 Cho hình chóp O.ABC có các cạnh OA = OB = OC = 3cm và vng góc với nhau từng đơi một Gọi H là hình chiếu của điểm O lên (ABC) và các điểm A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu của H... r r 5a 1 a 10 ( AMN ) ⊥ ( SBC ) ⇒ n ( AMN ) n ( SBC ) = 0 ⇒ h 2 = ⇒ S ∆AMN =  AM , AN  =  12 2  16 2 Hình chóp tứ giác a) Hình chóp S.ABCD có SA vng góc với đáy và đáy là hình vng (hoặc hình chữ nhật) Ta chọn hệ trục tọa độ như dạng tam diện vng b) Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng (hoặc hình thoi) tâm O đường cao SO vng góc với đáy Ta chọn hệ trục tọa độ tia OA, OB, OS lần lượt là Ox, Oy, Oz... (BCD) D Lời giải + Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A ≡ O D ∈Ox; C ∈ Oy và B ∈ Oz ⇒ A(0;0;0); B(0;0;3); C(0;4;0); D(4;0;0) ⇒ Phương trình mặt phẳng (BCD) là: x y z + + =1 ⇔ 4 4 3 F 3x + 3y + 4z - 12 = 0 B II Lyuyện tập x Ebooktoan.com y A Suy ra khoảngr cách từ A tới mặt phẳng (BCD) CHUN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH – LTĐH z 31 C Bài 1: Cho hình chóp SABC có độ dài các cạnh đề bằng 1, O là trọng tâm của tam giác... 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 ≥ abc(a + b + c ) Bài 4: Cho hình lăng trụ ABC A1B1C1 có đáy là tam giác đề cạnh a AA1 = 2a và vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi D là trung điểm của BB1; M di động trên cạnh AA1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác MC1D Lời giải CHUN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH – LTĐH Ebooktoan.com 33 y + Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A≡O; B∈Oy; A1∈Oz Khi đó: A(0;0;0), z B(0;a;0);... độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đường  x = 1 + 2t  thẳng d có phương trình  y = t Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A,  z = 1 + 3t  song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất Giải: CHUN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH – LTĐH Ebooktoan.com 13 Gọi H là hình chiếu của A trên d, mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d, khi đó khoảng cách giữa d và (P) là khoảng cách từ H đến (P) Giả sử điểm I là hình. .. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN I PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN CHUN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH – LTĐH Ebooktoan.com 26 Để giải được các bài tốn hình khơng gian bằng phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ đã chọn và độ dài cạnh của hình PHƯƠNG PHÁP Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp Bước 2: Xác định tọa độ các điểm có liên quan... ⇔ 9 x 2 + 2a 2 = 27 x 2 ⇔ 18 x 2 = 2a 2 ⇔ 9 x 2 = a 2 ⇔ x = 3 a Vậy, x = 3 Ta có: ⇔ Ví dụ 3: (Trích đề thi Đại học khối A – 2002) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy là a Gọi M, N là trung điểm SB, SC Tính theo a diện tích ∆AMN, biết (AMN) vng góc với (SBC) Hướng dẫn giải Gọi O là hình chiếu của S trên (ABC), ta suy ra O là trọng tâm trung điểm của BC, ta có: AI = ∆ABC Gọi I là 3... Từ (1) và (2) ⇒ GI ⊥ SB = H B Ta lại có CHUN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH – LTĐH Ebooktoan.com C O A x 32 y Bài 2: Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c đơi một vng góc Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách lần lượt đến các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) là 1, 2, 3 Tính a, b, c để thể tích O.ABC nhỏ nhất Hướng dẫn giải Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có: z O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; . CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN A. LÝ THUYẾT I. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VECTƠ A. Hệ trục toạ độ Oxyz gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc. hệ phương trình ∆ với α ) CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH – LTĐH 3 Ebooktoan.com B. CÁC BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP I. Xác định tọa độ của một điểm: Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1;0;0);. t z t CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH – LTĐH 5 Ebooktoan.com Ta có: 2 2 2 28 12 48 48 0 2MA MB t t t+ = ⇔ − + = ⇔ = Từ đó suy ra : M (-1 ;0 ;4) Ví dụ 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho