Bài tập về phép biến hình – toán 11 nâng cao

Trong đề cương môn học gồm 10 câu hỏi lý thuyết và 30 bài tập. Mỗi đề thi gồm có 1 câu hỏi lý thuyết và 3 bài tập được lấy ngẫu nhiên trong đề cương. Một học sinh A chỉ học 4 câu lý thuyết và 12 câu bài tập trong đề cương. Khi thi học sinh A chọn 1 đề thị một cách ngẫu nhiên. Với giả thiết học sinh A chỉ trả lời được câu lý thuyết và bài tập đã học. Tính xác suất để học sinh A :a không trả lời được lý thuyết.b chỉ trả lời được 2 câu bài tập.c đạt yêu cầu. Biết rằng muốn đạt yêu cầu thì phải trả lời được câu hỏi lý thuyết và ít nhất 2 bài tập.

Bài tập về phép biến hình – Tốn 11 nâng cao CHƯƠNG I : PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG Vấn đề 1 : PHÉP DỜI HÌNH A. KIẾN THỨC CƠ BẢN ′ ′ 1 Phép biến hình . ª ĐN : Phép biến hình là một quy tắc để với mỗi điểm M của mặt phẳng xác đònh được một điểm duy nhất M của mặt phẳng , điểm M gọi là ảnh của M qua phé ′ ′ ′ ′ ′ → → f p biến hình đó . ª Kí hiệu : f là một phép biến hình nào đó và M là ảnh của M qua phép f thì ta viết : M = f(M) hay f(M) = M hay f : M M hay M M . Điểm M gọi là tạoI I ⇔ ∀ ∈ o 1 2 2 1 ª ảnh . f là phép biến hình đồng nhất f(M) = M , M H . Điểm M gọi là điểm bất động , kép , bất biến . f ,f là các phép biến hình thì f f là phép biến hình . Nếu H l ′ ′ ∈ ′ à một hình nào đó thì tập hợp các điểm M = f(M), với M H, tạo thành một hình H được gọi là ảnh của H qua phép biến hình f và ta viết : H = f(H) . ′ ′ 2 Phép dời hình . ĐN : Phép dời hình là phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì , tức là với hai điểm bất kì M,N và ảnh M , N của chúng , ta luôn c ′ ′ g ó M N = MN . ( Bảo toàn khoảng cách ) . 3 Tính chất : ( của phép dời hình ) . ĐL : Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng , ba điểm không thẳng hàng g thành ba điểm không thẳng hàng . HQ:Phép dời hình biến : 1. Đường thẳng thành đường thẳng . 2. Tia thành tia . 3. Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó . 4. Tam giác thành t → → → ′ ′ am giác bằng nó . ( Trực tâm trực tâm , trọng tâm trọng tâm ) 5. Đường tròn thành đường tròn bằng nó . ( Tâm biến thành tâm : I I , R = R ) 6. Góc thành góc I I I bằng nó . B . BÀI TẬP ′  − ′ →  ′  − − ′ ′ x = 2x 1 1 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = . y = y + 3 Tìm ảnh của các điểm sau : a) A(1;2) b) B( 1;2) c) C(2; 4) Giải : a) A = f(A) = (1;5) b) B = I − ′ − ′  − + ′ →  ′ −  − − f(B) = ( 7;6) c) C = f(C) = (3; 1) x = 2x y 1 2 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = . y = x 2y + 3 Tìm ảnh của các điểm sau : a) A(2;1) b) B( 1;3) c) C( 2 I ′ ′ − − ′ − − ′ → ;4) Giải : a) A = f(A) = (4;3) b) B = f(B) = ( 4; 4) c) C = f(C) = ( 7; 7) 3 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (3x;y) . Đây có phải là phép dời hình hay I không ? - 1 - Bài tập về phép biến hình – Tốn 11 nâng cao ′ → ′ → 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 Giải : Lấy hai điểm bất kì M(x ;y ),N(x ;y ) Khi đó f : M(x ;y ) M = f(M) = (3x ; y ) . f : N(x ;y ) N = f(N) = (3x ; y ) I I ′ ′ − + − − + − ′ ′ ≠ ≠ 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 Ta có : MN = (x x ) (y y ) , M N = 9(x x ) (y y ) Nếu x x thì M N MN . Vậy : f không phải là phép dời hình . (Vì có 1 số điểm f không bảo toàn khoảng cách) . { { { { ′ ′ ′ ′ ′ ′ → − → y x x y 4 Trong mpOxy cho 2 phép biến hình : a) f : M(x;y) M = f(M) = (y ; x 2) b) g : M(x;y) M = g(M) = ( 2x ; y+1) . Phép biến hình nào trên đây là phép dời hình I I ′ ′ ≠ ≠ ′ → − 1 2 ? HD : a) f là phép dời hình b) g không phải là phép dời hình ( vì x x thì M N MN ) 5 Trong mpOxy cho 2 phép biến hình : a) f : M(x;y) M = f(M) = (y + 1 ; x) I ′ → b) g : M(x;y) M = g(M) = ( x ; 3y ) . Phép biến hình nào trên đây là phép dời hình ? Giải : a) f là phép dời hình b) g không phải là phép dời hình ( I ′ ′ ≠ ≠ 1 2 vì y y thì M N MN ) ′ → − + ∆ − − 6 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = ( 2x ;y 1) . Tìm ảnh của đường thẳng ( ) : x 3y 2 = 0 qua phép biến hình f . Giải : Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ I ′  − ′  −  = ′ → ⇔   ′ = +   ′ = −  ′ − ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ∈ ∆ ⇔ − − − = ⇔ + − = ⇔ ∈ ∆ + − = ∈ ∆ ≠ g x x = 2x x Ta có f : M(x;y) M = f(M) = 2 y y 1 y y 1 x Vì M(x;y) ( ) ( ) 3(y 1) 2 0 x 6y 2 0 M (x ;y ) ( ) : x 6y 2 0 2 Cách 2 : Lấy 2 điểm bất kì M,N ( ) : M N . M I ′ ∈ ∆ → = = − ′ ∈ ∆ − − → = =g ( ) : M(2;0) M f(M) ( 4;1) N ( ) : N( 1; 1) N f(N) (2;0) I I ′  − − ′ ′ ′ ′ ′ ∆ ≡ → ∆ = → ∆ + − =  ′ ′ − = −  g uuuuur g Qua M ( 4;1) x+ 4 y 1 ( ) (M N ): PTCtắc ( ) : PTTQ ( ): x 6y 2 0 6 1 VTCP : M N (6; 1) ′ → + + ′ − → 2 2 7 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 3;y 1) . a) CMR f là phép dời hình . b) Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x + 1) + (y 2) = 4 . (C ) : (x I I − − 2 2 2) + (y 3) = 4 - 2 - Bài tập về phép biến hình – Tốn 11 nâng cao ′ → − + ∆ − 8 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 3;y 1) . a) CMR f là phép dời hình . b) Tìm ảnh của đường thẳng ( ) : x + 2y 5 = 0 . c) Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x I − ′ → − + 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 + 1) + (y 2) = 2 . x y d ) Tìm ảnh của elip (E) : + = 1 . 3 2 Giải : a) Lấy hai điểm bất kì M(x ;y ),N(x ;y ) Khi đó f : M(x ;y ) M = f(M) = (x 3; y 1) . f : N I ′ → − + ′ ′ − + − 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 (x ;y ) N = f(N) = (x 3; y 1) Ta có : M N = (x x ) (y y ) = MN Vậy : f là phép dời hình . I ′ ′   − = + ′ → ⇔   ′ ′ = + = −   ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ∈ ∆ ⇔ + + − − = ⇔ + − = ⇔ ∈ b) Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ x = x 3 x x 3 Ta có f : M(x;y) M = f(M) = y y 1 y y 1 Vì M(x;y) ( ) (x 3) 2(y 1) 5 0 x 2y 4 0 M (x ;y ) ( I ′ ∆ + − =) : x 2y 4 0 ∈ ∆ ≠ ′ ∈ ∆ → = = ′ ∈ ∆ → = = g g Cách 2 : Lấy 2 điểm bất kì M,N ( ) : M N . M ( ) : M(5 ;0) M f(M) (2;1) N ( ) : N(3 ; 1) N f(N) (0;2) I I ′  − − ′ ′ ′ ′ ′ ∆ ≡ → ∆ = → ∆ + − =  ′ ′ − = −  ∆ g uuuuur g Qua M (2;1) x 2 y 1 ( ) (M N ): PTCtắc ( ) : PTTQ( ): x 2y 4 0 2 1 VTCP : M N ( 2;1) Cách 3: Vì f là phép dời hình nên f biến đường thẳng ( ) thành đường thẳng ′ ∆ ∆ ′ ∈ ∆ → = = ′ ′ ′ ′ ′ ∆ ∆ ⇒ ∆ + ≠ − ∆ ∋ ⇒ − ⇒ ∆ + − = g g ( ) // ( ) . Lấy M ( ) : M(5 ;0) M f(M) (2;1) Vì ( ) // ( ) ( ): x + 2y m = 0 (m 5) . Do : ( ) M (2;1) m = 4 ( ): x 2y 4 0 c) Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ I ′ ′   − = + ′ → ⇔   ′ ′ = + = −   ′ ′ ∈ − ⇔ + + − = ⇔ ′ ′ ′ ⇔ 2 2 2 2 x = x 3 x x 3 Ta có f : M(x;y) M = f(M) = y y 1 y y 1 Vì M(x;y) (C) : (x + 1) + (y 2) = 2 (x 4) (y 3) 2 M (x ;y I ′ ∈ + + − = ′   − − = − ′ ′ → → + + − =   ′ + +   2 2 f 2 2 ) (C ) : (x 4) (y 3) 2 + Tâm I( 1;2) + Tâm I = f[I( 1;2)] ( 4;3) Cách 2 : (C) (C ) (C ) : (x 4) (y 3) 2 BK : R = 2 BK : R = R = 2 ′ ′   − = + ′ → ⇔   ′ ′ = + = −   d) Dùng biểu thức toạ độ x = x 3 x x 3 Ta có f : M(x;y) M = f(M) = y y 1 y y 1 I ′ ′ − − ′ ′ ′ ′ ∈ ⇔ ⇔ ∈ 2 2 2 2 2 2 x y (x + 3) (y 1) (x + 3) (y 1) Vì M(x;y) (E) : + = 1 + = 1 M (x ;y ) (E ) : + = 1 3 2 3 2 3 2 - 3 - Bài tập về phép biến hình – Tốn 11 nâng cao ′ → + − ∆ − + 9 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 1;y 2) . a) CMR f là phép dời hình . b) Tìm ảnh của đường thẳng ( ) : x 2y 3 I − − − + − 2 2 2 2 2 2 = 0. c) Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x + 3) + (y 1) = 2 . d) Tìm ảnh của parabol (P) : y = 4x . ĐS : b) x 2y 2 = 0 c) (x + 2) + (y 1) = 2 d) (y + 2) = 4(x 1) ′ → −10 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = ( x ;y) . Khẳng đònh nào sau đây sai ? I ∈ A. f là 1 phép dời hình B. Nếu A(0 ; a) thì f(A) = A C. M và f(M) đối xứng nhau qua trục hoành D. f [M(2;3)] đường thẳng 2x + y + 1 = 0 → ĐS : Chọn C . Vì M và f(M) đối xứng nhau qua trục tung C sai . ′ ′ → − → − − − 1 1 2 2 1 2 12 Trong mpOxy cho 2 phép biến hình : f : M(x;y) M = f (M) = (x + 2 ; y 4) ; f : M(x;y) M = f (M) = ( x ; y) . Tìm toạ độ ảnh của A(4; 1) qua f rồi f , nghóa là tì I I ′ ′′ − → − → − 1 2 2 1 f f m f [f (A)] . ĐS : A(4; 1) A (6; 5) A ( 6 ; 5 ) .I I ′ → − ∈ x 11 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = ( ; 3y) . Khẳng đònh nào sau đây sai ? 2 A. f (O) = O (O là điểm bất biến) B. Ảnh của A Ox thì I ′ ∈ ′ ′ ∈ ∈ − − ảnh A = f(A) Ox . C. Ảnh của B Oy thì ảnh B = f(B) Oy . D. M = f[M(2 ; 3)] = (1; 9) ′ − ĐS : Chọn D . Vì M = f[M(2 ; 3)] = (1; 9) Vấn đề 2 : PHÉP TỊNH TIẾN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN ′ ′ = uuuuur r r 1 ĐN : Phép tònh tiến theo vectơ u là một phép dời hình biến điểm M thành điểm M sao cho MM u. ′ ′ = ⇔ = uuuuur r r r g Kí hiệu : T hay T .Khi đó : T (M) M MM u u u Phép tònh tiến hoàn toàn được xác đònh khi biết vectơ tònh tiến của nó . Nếu T (M) M , M thì T là phép đồng nhất . o o 2 Biểu thức tọa độ : Cho u = (a;b) và phép tònh tiến T u = ∀ r r g r r ′  ′ ′ ′ → =  ′  r x = x + a M(x;y) M =T (M) (x ;y ) thì u y = y + b I g g 3 Tính chất : ĐL :Phép tònh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì . HQ : 1. Bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự của các điểm tương ứng . 2. Biến một tia thành tia . 3. Bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự của các điểm tương ứng . 5. Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó . 6. Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho . → → Biến 7. tam giác thành tam giác bằng nó . (Trực tâm trực tâm , trọng tâm trọng tâm )I I ′ ′ → 8. Đường tròn thành đường tròn bằng nó . (Tâm biến thành tâm : I I , R = R )I  PHƯƠNG PHÁP TÌM ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM - 4 - Bài tập về phép biến hình – Tốn 11 nâng cao ′  ′ ′ ′ → =  ′  r x = x + a M(x;y) M =T (M) (x ;y ) thì u y = y + b I  PHƯƠNG PHÁP TÌM ẢNH CỦA MỘT HÌNH (H) . ′ ′ ∈ → ∈ ′ ≡ → ≡ g g Cách 1 : Dùng tính chất (cùng phương của đthẳng , bán kính đường tròn : không đổi ) 1. Lấy M (H) M (H ) 2. (H) đường thẳng (H ) đường thẳng cùng phương I ′   + + ′ ′ ′ ≡ → ≡   ′   ′ ′ Tâm I Tâm I (H) (C) (H ) (C ) (cần tìm I ) . + bk : R + bk : R = R Cách 2 : Dùng biểu thức tọa độ . Tìm x theo x , tìm y theo y rồi thay vào biểu thức tọa độ . Cách 3 II ′ ′ ′ ∈ → ∈ : Lấy hai điểm phân biệt : M, N (H) M , N (H )I B, BÀI TẬP ′ − ′ ′   − = = ′ ′ ′ ′ ⇔ = ⇔ − + = ⇔ ⇔   ′ ′ + = = −   r uuuuur r r 1 Trong mpOxy . Tìm ảnh của M của điểm M(3; 2) qua phép tònh tiến theo vectơ u = (2;1) . Giải x 3 2 x 5 Theo đònh nghóa ta có : M = T (M) MM u (x 3;y 2) (2;1) u y 2 1 y 1 ′ ⇒ − − r r M (5; 1) 2 Tìm ảnh các điểm chỉ ra qua phép tònh tiến theo vectơ u : a) A( 1;1) , u = (3;1) ′ ⇒ − r A (2;3) b) B(2;1) , u = ( 3;2) ′ ⇒ − ′ − − ⇒ r B ( 1;3) c) C(3; 2) , u = ( 1;3) C (2;1) ′ ′ ′ ′ ′ ′ = = r uuur uuuur r r 3 Trong mpOxy . Tìm ảnh A ,B lần lượt của điểm A(2;3), B(1;1) qua phép tònh tiến theo vectơ u = (3;1) . Tính độ dài AB , A B . Giải Ta có : A = T (A) (5;4) , B = T (B) u u ′ ′ ′ ′ = = = = = = ⇔ = = ⇔ = uuur uuuur r r r r r r uuuuur uuuuuuur r r r 1 2 1 2 (4;2) , AB = |AB| 5 , A B = |A B | 5 . 4 Cho 2 vectơ u ;u . Gỉa sử M T (M),M T (M ). Tìm v để M T (M) . 1 2 1 u 2 u 1 2 v Giải Theo đề : M T (M) MM u , M T (M ) M M 1 u 1 1 2 u 1 1 2 = ⇔ = ⇒ = = + = = r uuuuuur uuuuuur uuuuur uuuuuuur r r r r r r r r u . 2 Nếu : M T (M) MM v v MM MM M M u + u .Vậy : v u + u 2 v 2 2 1 1 2 1 2 1 2 ′ ∆ − ∆ ∆ − r 5 Đường thẳng cắt Ox tại A( 1;0) , cắt Oy tại B(0;2) . Hãy viết phương trình đường thẳng là ảnh của qua phép tònh tiến theo vectơ u = (2; 1) . - 5 - Bài tập về phép biến hình – Tốn 11 nâng cao ′ ′ = = − = = ′  −  = + ′ ′ ′ ′ ′ ′ ∆ = ∆ ⇒ ∆ ∆ ⇒ ∆   = − + ′ ′   r r g r uuuuur g Giải Vì : A T (A) (1; 1) , B T (B) (2;1) . u u qua A (1; 1) x 1 t Mặt khác : T ( ) đi qua A ,B . Do đó : ptts : u y 1 2t VTCP : A B= (1;2) ′ ∆ ∆ ∆ − − ′ = = − r r 6 Đường thẳng cắt Ox tại A(1;0) , cắt Oy tại B(0;3) . Hãy viết phương trình đường thẳng là ảnh của qua phép tònh tiến theo vectơ u = ( 1; 2) . Giải Vì : A T (A) (0; 2) , u ′ = = − ′  −  = − ′ ′ ′ ′ ′ ′ ∆ = ∆ ⇒ ∆ ∆ ⇒ ∆   = − + ′ ′ −   ∆ − − r g r uuuuur g r B T (B) ( 1;1) . u qua A (0; 2) x t Mặt khác : T ( ) đi qua A ,B . Do đó : ptts : u y 2 3t VTCP : A B = ( 1;3) 7 Tương tự : a) : x 2y 4 = 0 , u = (0 ; 3) ′ ⇒ ∆ − + = ′ ∆ + − − − ⇒ ∆ + + = r : x 2y 2 0 b) : 3x y 3 = 0 , u = ( 1 ; 2) : 3x y 2 0 8 Tìm ảnh c + − = − ′ ′   − ⇔   ′ ′ −   ∈ r r 2 2 ủa đường tròn (C) : (x + 1) (y 2) 4 qua phép tònh tiến theo vectơ u = (1; 3) . Giải x = x + 1 x = x 1 Biểu thức toạ độ của phép tònh tiến T là : u y = y 3 y = y + 3 Vì : M(x;y) ( ′ ′ ′ ′ ′ ′ + − = ⇔ + + = ⇔ ∈ + + = ′ + + = 2 2 2 2 2 2 C) : (x + 1) (y 2) 4 x (y 1) 4 M (x ;y ) (C ) : x (y 1) 4 2 2 Vậy : Ảnh của (C) là (C ) : x (y 1) 4 ′ → + − ∆ − + 9 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 1;y 2) . a) CMR f là phép dời hình . b) Tìm ảnh của đường thẳng ( ) : x 2y 3 I − − − + − 2 2 2 2 2 2 = 0. c) Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x + 3) + (y 1) = 2 . d) Tìm ảnh của parabol (P) : y = 4x . ĐS : b) x 2y 2 = 0 c) (x + 2) + (y 1) = 2 d) (y + 2) = 4(x ′ → − 1) 10 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = ( x ;y) . Khẳng đònh nào sau đây sai ? A. f là 1 phép dời hình B. I ∈ Nếu A(0 ; a) thì f(A) = A C. M và f(M) đối xứng nhau qua trục hoành D. f[M(2;3)] đường thẳng 2x + y + 1 = 0 ĐS : Chọn C . Vì M và f(M) đối xứng nhau qua t →rục tung C sai . − + + = − ′ ′   − ⇔   ′ ′ + −   r r 2 2 9 Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x 3) (y 2) 1 qua phép tònh tiến theo vectơ u = ( 2;4) . x = x 2 x = x + 2 Giải : Biểu thức toạ độ của phép tònh tiến T là : u y = y 4 y = y 4 ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ∈ − + + = ⇔ − + − = ⇔ ∈ − + − = ′ − + − = 2 2 2 2 2 2 Vì : M(x;y) (C) : (x 3) (y 2) 1 (x 1) (y 2) 1 M (x ;y ) (C ) : (x 1) (y 2) 1 2 2 Vậy : Ảnh của (C) là (C ) : (x 1) (y 2) 1 - 6 - Bài tập về phép biến hình – Tốn 11 nâng cao ′ − + + = ⇒ − + − = ′ + − + − = − r r 2 2 2 2 BT Tương tự : a) (C) : (x 2) (y 3) 1, u = (3;1) (C ) : (x 1) (y 2) 1 2 2 b) (C) : x y 2x 4y 4 0, u = ( 2;3) (C ) + + − − = − − g 2 2 : x y 2x 2y 7 0 10 Trong hệ trục toạ độ Oxy , xác đònh toạ độ các đỉnh C và D của hình bình hành ABCD biết đỉnh A( 2;0), đỉnh B( 1;0) và giao điểm các đường chéo là I(1;2) . Giải = − − = = −   − = = ⇔ = ⇔ ⇔ ⇒   − = =   uur uur uur g uur uur uur g Gọi C(x;y) .Ta có : IC (x 1;y 2),AI (3;2),BI (2; 1) Vì I là trung điểm của AC nên : x 1 3 x 4 C = T (I) IC AI C(4;4) AI y 2 2 y 4 Vì I là trung điểm của AC nên : D =   − = =   ⇔ = ⇔ ⇔ ⇒   − = =     − ⇒ − ′ uur uur uur x 1 2 x 3 D D T (I) ID BI D(3;4) BI y 2 2 y 4 D D Bài tập tương tự : A( 1;0),B(0;4),I(1;1) C(3;2),D(2; 2) . 11 Cho 2 đường thẳng song song nhau d và d . Hãy chỉ ra một ′ ′ ′ ∈ ∈ ′ ′ ∈ ⇔ = uuuuur uuur uuur phép tònh tiến biến d thành d . Hỏi có bao nhiêu phép tònh tiến như thế ? Giải : Chọn 2 điểm cố đònh A d , A d Lấy điểm tuỳ ý M d . Gỉa sử : M = T (M) MM AB AB ′ ′ ′ ′ ′ ⇒ = ⇒ ⇒ ∈ ⇒ ′ ′ ′ uuuur uuuur uuur MA M B M B/ /MA M d d = T (d) AB Nhận xét : Có vô số phép tònh tiến biến d thành d . 12 Cho 2 đường tròn (I,R) và (I ,R ) .Hãy chỉ ra một phép tònh tiến biến (I,R) ′ ′ ′ ′ ′ ⇔ = ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ⇒ = ⇒ = = ⇒ ∈ ⇒ ′ uuuuur uur uur uuur uuuur uur thành (I ,R ) . Giải : Lấy điểm M tuỳ ý trên (I,R) . Gỉa sử : M = T (M) MM II II IM I M I M IM R M (I ,R ) (I ,R ) = T [(I,R)] II 13 Cho hình bình hành ABCD , hai đỉnh A,B cố đònh , tâm I thay đổi di động trên đường tròn (C) .Tìm quỹ tích trung điểm M của cạnh BC. Giải Gọi J là trung điểm cạnh AB . Khi đó d = uuur uur uur uur ễ thấy J cố đònh và IM JB . Vậy M là ảnh của I qua phép tònh tiến T . Suy ra : Quỹ tích của M là JB ảnh của đường tròn (C) trong phép tònh tiến theo vectơ JB - 7 - T u+v r r Bài tập về phép biến hình – Tốn 11 nâng cao ′ r 2 14 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho parabol (P) : y = ax . Gọi T là phép tònh tiến theo vectơ u = (m,n) và (P ) là ảnh của (P) qua phép tònh tiến đó . Hãy viết phương trình của ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ → − − ′ ′   − − ′ ⇔ ⇔   ′ ′ − −   ′ ′ ′ ∈ = ⇔ − − ⇔ r uuuuur uuuuur r g uuuuur r u (P ) . Giải : T M(x;y) M (x ;y ) , ta có : MM = u , với MM = (x x ; y y) x x = m x = x m Vì MM = u y y = n y = y n 2 2 Mà :M(x;y) (P): y ax y n = a(x m) y = I ′ ′ ′ ′ ′ − + ⇔ ∈ − + ′ − + ⇔ − + + ∆ − ≠ ∆ ∆ r r r r 2 2 a(x m) n M (x ;y ) (P ) : y = a(x m) n 2 2 2 Vậy : Ảnh của (P) qua phép tònh tiến T là (P ) : y = a(x m) n y = ax 2amx am n . u 15 Cho đt : 6x + 2y 1= 0 . Tìm vectơ u 0 để = T ( ) . u Gi ∆ − ∆ ∆ ⇔ − = − ⇒ − − − r r r r r r ải : VTCP của là a = (2; 6) . Để : = T ( ) u cùng phương a . Khi đó : a = (2; 6) 2(1; 3) u chọn u = (1; 3) . 16 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho 2 điểm A( 5;2) , C( 1;0) . Bi r r r r ết : B = T (A) , C = T (B) . Tìm u và v u v để có thể thực hiện phép biến đổi A thành C ? Giải − → → − r r u v T T A( 5;2) B C( 1;0)I I . Ta có : AB u,BC v AC AB BC u v (4; 2)= = ⇒ = + = + = − uuur uuur uuur uuur uuur r r r r - 8 - Bài tập về phép biến hình – Tốn 11 nâng cao − − − →  → r r r r r r u v 17 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho 3 điểm K(1;2) , M(3; 1),N(2; 3) và 2 vectơ u = (2;3) ,v = ( 1;2) . Tìm ảnh của K,M,N qua phép tònh tiến T rồi T . u v T T HD :Gỉa sử : A(x;y) BI I ′ ′  = = ⇒ = + = + = ′ ′   − = = ′ ′ ′ ⇔ = ⇔ ⇔ ⇒   + ′ ′ − = =   ′ ′ uuur uuur uuur uuur uuur r r r r uuuur r r C(x ;y ) . Ta có : AB u,BC v AC AB BC u v (1;5) x 1 1 x 2 Do đó : K =T (K) KK (1;5) K (2;7) . u v y 2 5 y 7 Tương tự : M (4;4) , N (3;2) . 18 Trong hệ trụ ∆ − − ∆ ′ ≠ ′ ′ ′ → − → r r r r r u u c toạ độ Oxy , cho ABC : A(3;0) , B( 2;4) , C( 4;5) . G là trọng tâm ABC và phép tònh tiến theo vectơ u 0 biến A thành G . Tìm G = T (G) . u Giải T T A(3;0) G( 1;3) G (x ;yI I ′ ′   + = − = − ′ ′ = − = = ⇔ ⇔ ⇒ −   ′ ′ − = =   ′ − + + = + − + + = uuur uuuur r r ) x 1 4 x 5 Vì AG ( 4;3) u . Theo đề : GG u G ( 5;6). y 3 3 y 6 2 2 2 2 19 Trong mặt phẳng Oxy , cho 2 đường tròn (C) : (x 1) (y 3) 2,(C ): x y 10x 4y 25 0. Có hay không phe ′ ′ ′ ′ − − ′ r r ùp tònh tiến vectơ u biến (C) thành (C ) . HD : (C) có tâm I(1; 3), bán kính R = 2 ; (C ) có tâm I (5; 2), bán kính R = 2 . Ta thấy : R = R = 2 nên có phép tònh tiến theo vectơ u ′ − ∈∆ − − = uuur g = (4;1) biến (C) thành (C ) . 20 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho hình bình hành OABC với A( 2;1) và B :2x y 5 = 0 . Tìm tập hợp đỉnh C ? Giải Vì OABC là hình bình hành nên : BC = − ⇒ = − ′ ′   − = = − ′ ′ → = ⇔ ⇔   ′ ′ − = − = +   ′ ′ ′ ′ ′ ∈∆ ⇔ − − ⇔ − − ⇔ ∈∆ − − ∆ r uuur r r uuur r g g u AO (2; 1) C T (B) với u = (2; 1) u T x x 2 x x 2 B(x;y) C(x ;y ) . Do : BC u y y 1 y y 1 B(x;y) 2x y 5 = 0 2x y 10 = 0 C(x ;y ) : 2x y 10 = 0 21 Cho ABC . Gọi A ,B ,C 1 1 1 I lần lượt là trung điểm các cạnh BC,CA,AB. Gọi O ,O ,O và I ,I ,I 1 2 3 1 2 3 tương ứng là các tâm đường tròn ngoại tiếp và các tâm đường tròn nội tiếp của ba tam giác AB C , 1 1 BC A 1 ∆ = ∆ → → → ⇒ ∆ → ∆ → → ⇒ uuur uuur uuur uuur 1 1 1 AB AB AB 2 2 2 , và CA B . Chứng minh rằng : O O O I I I . 1 1 1 1 2 3 1 2 3 HD : Xét phép tònh tiến : T biến A C,C B,B A . 1 1 1 1 AB 2 T T T AB C C BA ;O O ;I I . 1 1 1 1 1 2 1 2 I I I I I I w = ⇒ = = = ⇒ = = ⇒ ∆ = ∆ uuuuuur uuuur uuur uuur uuuuuur uuuur uuuuuur uuuur O O I I O O I I . 1 2 1 2 1 2 1 2 Lý luận tương tự : Xét các phép tònh tiến T ,T suy ra : 1 1 BC CA 2 2 O O I I và O O I I O O I I ,O O I I O O O I I I ( 2 3 2 3 3 1 3 1 2 3 2 3 3 1 3 1 1 2 3 1 2 3 w c.c.c). µ µ µ · = = = = → ⇔ = = uuur o o o uuuur uuur BC 22 Trong tứ giác ABCD có AB = 6 3cm ,CD 12cm , A 60 ,B 150 và D 90 . Tính độ dài các cạnh BC và DA . HD : T Xét : A M AM BC.Ta có : ABCM là hình bình hành và BCM 3Iw µ = o o 0 (vì B 150 ) - 9 - Bài tập về phép biến hình – Tốn 11 nâng cao · · = − + + = ⇒ = ∆ = + − = + − = ⇒ ⇒ ∆ o o o o o o o Lại có : BCD 360 (90 60 150 ) 60 MCD 30 . Đònh lý hàm cos trong MCD : 3 2 2 2 2 2 MD MC DC 2MC.DC.cos30 (6 3) (12) 2.6 3.12. 36 2 MD = 6cm . 1 Ta có : MD = CD và MC = MD 3 MDC là tam giác 2 · · · · · ⇒ ∆ ⇒ = = = = = ⇒ ∆ o o o đều MCD là nửa tam giác đều DMC 90 và MDA 30 . Vậy : MDA MAD MAB 30 AMD là tam giác cân tại M . ⊥ ⇒ ⇒ = ⇒ = o 6 3 Dựng MK AD K là trung điểm của AD KD=MDcos30 cm AD 6 3cm 2 Tóm lại : BC = AM = MD = 6cm , AD = AB = 6 3cm Vấn đề 3 : PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC A , KIẾN THỨC CƠ BẢN ′ ′ 1 ĐN1: Điểm M gọi là đối xứng với điểm M qua đường thẳng a nếu a là đường trung trực của đoạn MM . Phép đối xứng qua đường thẳng còn gọi là phép đối xứn ′ g trục . Đường thẳng a gọi là trục đối xứng. ĐN2 : Phép đối xứng qua đường thẳng a là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M đối xứng với M qua đường tha ′ ′ = ⇔ = − uuuuuur uuuuuur a o o o úng a . Kí hiệu : Đ (M) M M M M M , với M là hình chiếu của M trên đường thẳng a . Khi đó : ∈ =g a Nếu M a thì Đ (M) M : xem M là đối xứng với chính nó qua a . ( M còn gọi là điểm bất động ) ′ ′ ∉ = ⇔ g a M a thì Đ (M) M a là đường trung trực của MM a a Đ (M) M thì Đ (M ) M ′ ′ = =g a a Đ (H) H thì Đ (H ) H , H là ảnh của hình H . ′ ′ ′ = =g ⇔ =g g d ĐN : d là trục đối xứng của hình H Đ (H) H . Phép đối xứng trục hoàn toàn xác đònh khi biết trục đối xứng của nó . Chú ý : Một hình có thể không có trục đối xứng ,có thể có một hay nhiều trục đối xứng . ′ ′ ′ → = = ′ ′   − ≡ ≡   ′ ′ −   d 2 Biểu thức tọa độ : M(x;y) M Đ (M) (x ;y ) x = x x = x ª d Ox : ª d Oy : y = y y = y I g 3 ĐL : Phép đối xứng trục là một phép dời hình . 1.Phép đối xứng trục biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự của các điểm tương ứ HQ : → ng . 2. Đường thẳng thành đường thẳng . 3. Tia thành tia . 4. Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó . 5. Tam giác thành tam giác bằng nó . (Trực tâm trực tâm , trọn I → ′ ′ → g tâm trọng tâm ) 6. Đường tròn thành đường tròn bằng nó . (Tâm biến thành tâm : I I , R = R ) 7. Góc thành góc bằng nó . I I - 10 - [...]... thoi ĐS : Chọn B Vì : Hình vuông có 4 trục đối xứng 30 Trong các hình sau , hình nào có ít trục đối xứng nhất ? A Hình chữ nhật B Hình vuông C Hình thoi ĐS : Chọn D Vì : Hình thang cân có 1 trục đối xứng - 16 - µ µ D B = C = 35o D Hình thang cân D Hình thang cân Bài tập về phép biến hình – Tốn 11 nâng cao 31 Trong các hình sau , hình nào có 3 trục đối xứng ? A Hình thoi B Hình vuông C ∆ đều D ∆... Hãy tìm toạ độ điểm A′ là ảnh của A qua phép quay tâm O góc 90o HD : Gọi B(3;0),C(0;4) lần lượt là hình chiếu của A lên các trục Ox,Oy Phép quay tâm O góc 90o biến hình chữ nhật OABC thành hình chữ nhật OC′A′B′ Khi đó : C′(0;3),B′( − 4;0) Suy ra : A′( − 4;3) - 24 - Bài tập về phép biến hình – Tốn 11 nâng cao 6 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy Tìm phép quay Q biến điểm A( − 1;5) thành điểm B(5;1) uuu... : I1I2I3I 4 là một hình vuông Vấn đề 6 : HAI HÌNH BẰNG NHAU A KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 ĐL : Nếu ABC và A′B′C′ là hai tam giác bằng nhau thì có phép dời hình biến ∆ABC thành ∆A′B′C′ 2 Tính chất : 1 Nếu thực hiện liên tiếp hai phép dời hình thì được một phép dời hình 2 Hai hình gọi là bằng nhau nếu có phép dời hình biến hình này thành hình kia B BÀI TẬP 1 Cho hình chữ nhật ABCD Gọi E,F,H,I theo thứ tự là... song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho 6 Biến một góc thành góc có số đo bằng nó 7 Biến tam giác thành tam giác bằn g nó ( Trực tâm → trực tâm , trọng tâm → trọng tâm ) - 18 - Bài tập về phép biến hình – Tốn 11 nâng cao 8 Đường tròn thành đường tròn bằng nó ( Tâm biến thành tâm : I I I′ , R′ = R ) → B BÀI TẬP 1 Tìm ảnh của các điểm sau qua phép đối xứng tâm I : 1) A( − 2;3) , I(1;2) ⇒ A′(4;1)... ≡ phép đồng nhất ,∀ k ∈ ¢ gQ(2k+1)π ≡ phép đối xứng tâm I ,∀k ∈ ¢ 2 Tính chất : gĐL : Phép quay là một phép dời hình gHQ : 1 .Phép quay biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự của các điểm tương ứng 2 Đường thẳng thành đường thẳng 3 Tia thành tia 4 Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó - 22 - Bài tập về phép biến hình – Tốn 11 nâng cao Q Q 5 Tam giác thành tam giác bằng... một phép dời hình biến ∆AEI thành ∆FCH HD : uuu r Thực hiện liên tiếp phép tònh tiến theo AE và phép đối xứng qua đường thẳng IH r r w Tuuu : A I E,E I B,I I H ⇒ Tuuu (∆AEI) = ∆EBH → → → AE AE w ĐIH : E I F,B I C,H I H ⇒ ĐIH ( ∆EBH) = ∆FCH → → → uuu (∆AEI) = ∆FCH r w ĐIH : T AE r Do đó : ĐIH o Tuuu ( ∆AEI) = ∆FCH ⇒ ∆AEI = ∆FCH AE - 30 - Bài tập về phép biến hình – Tốn 11 nâng cao 2 Cho hình. .. A,B và C qua Q (O;− 90o ) b) Gọi ∆A1B1C1 là ảnh của ∆ABC qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép - 31 - Bài tập về phép biến hình – Tốn 11 nâng cao Q và phép đối xứng ĐOx Tìm toạ độ các đỉnh của ∆A1B1C1 (O;− 90o ) HD : a) Gọi M,N lần lượt là hình chiếu của A trên Ox,Oy thì M( − 3; 0), N(0;2) Q (O;− 90o ) Khi đó : Hình chữ nhật OMAN I hcnhật OM′A′N′ → ′(0;3),N′(2;0) với... 2 2 2 2 - 23 - Bài tập về phép biến hình – Tốn 11 nâng cao  1 3 y  x′= x −  2 2 Hỏi f là phép gì ? 3 Trong mpOxy cho phép biến hình f :   y′= 3 x + 1 y   2 2 Giải  π π  x′= x cos 3 − y sin 3  Ta có f : M (x; y) I M′(x′;y′) với  → ⇒ f là phé p quay Q π (O; )  y′= x sin π + y cos π 3  3 3  4 Trong mpOxy cho đường thẳng (∆) : 2x − y+1= 0 Tìm ảnh của đường thẳng qua : a) Phép đối xứng... Bài tập về phép biến hình – Tốn 11 nâng cao 20 Trong mpOxy cho đường thẳng (∆) : x − 5y + 7 = 0 và (∆′) : 5x − y − 13 = 0 Tìm phép đối xứng qua trục biến (∆) thành (∆′) Giải 1 −5 Vì ≠ ⇒ (∆) và (∆′) cắt nhau Do đó trục đối xứng (a) của phép đối xứng biến (∆) thành (∆′) chính 5 −1 là đường phân giác của góc tạo bởi (∆) và (∆′)  x + y − 5 = 0 (a1) ⇔ 1 + 25 25 + 1  x − y − 1 = 0 (a2 ) Vậy có 2 phép. .. 26 - Bài tập về phép biến hình – Tốn 11 nâng cao 19 Cho hình lục giác đều ABCDEF theo chiều dương , O là tâm đường tròn ngoại tiếp của nó I là trung điểm của AB a) Tìm ảnh của ∆AIF qua phép quay Q (O ; 120o ) b) Tìm ảnh của ∆AOF qua phép quay Q (E ; 60o ) HD : a) w Q biến F,A,B lần lượt thành B,C,D , trung điểm I (O ; 120o ) thành trung điểm J của CD nên Q (∆AIF) = ∆CJB (O ; 120o ) b) w Q biến . Bài tập về phép biến hình – Tốn 11 nâng cao CHƯƠNG I : PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG Vấn đề 1 : PHÉP DỜI HÌNH A. KIẾN THỨC CƠ BẢN ′ ′ 1 Phép biến hình . ª ĐN : Phép biến hình. ( 7; 7) 3 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (3x;y) . Đây có phải là phép dời hình hay I không ? - 1 - Bài tập về phép biến hình – Tốn 11 nâng cao ′ → ′ → 1 1 2 2 1 1. = 1 3 2 3 2 3 2 - 3 - Bài tập về phép biến hình – Tốn 11 nâng cao ′ → + − ∆ − + 9 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 1;y 2) . a) CMR f là phép dời hình . b) Tìm ảnh của