PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TẬP VỀ PHÉP BIẾN HÌNH

I. Tìm tập hợp điểm bằng phép tịnh tiến u T Phương pháp: Xác định phép tịnh tiến u T biến điểm M thành M Tìm quỹ tích điểm M Từ quỹ tích của điểm M, dựa vào tính chất của phép tịnh tiến để suy ra quỹ tích của điểm M Bài toán 1: Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B. Một điểm M thay đổi trên đường tròn (O). Tìm quỹ tích điểm M’ sao cho: MM MA MB   Bài giải Ta có MM MB MA AB    Phép tịnh tiến T theo vecto AB biến M thành M’ Gọi O’ là ảnh của O qua phép tịnh tiến T, tức là OO  AB thì quỹ tích M là đường tròn O có bán kính bằng bán kính đường tròn (O). Bài toán 2: ABC có 0 A  90 . Từ điểm P thay đổi trên cạnh huyền BC của ABC vẽ các đường vuông góc PR, PQ với các cạnh vuông AB, AC ( R  AB, Q  AC). Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn thẳng RQ. Bài giải Dựng hình chữ nhật ABSQ Ta có PR  AB, PQ  AC và RA  AQ  ARPQ là hình chữ nhật. Suy ra RBSP là hình chữ nhật. Gọi N là trung điểm cạnh BP thì MNSQ và MN= 1 2 SQ  MNBA và MN= 1 2 BA Đặt 1 2 u BA NM u    . Phép tịnh tiến T u : N M  Khi P  C thì N  D là trung điểm cạnh BC Khi P thay đổi trên cạnh huyền BC thì N cũng thay đổi trên đoạn thẳng BD thuộc cạnh huyền BC. 1 : B u T B  và 1 : D u T N  thì B1 và N1 là trung điểm cạnh AB, AC. Suy ra quỹ tích của điểm M là đoạn thẳng B1N1.

PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TẬP VỀ PHÉP BIẾN HÌNH I Tìm tập hợp điểm phép tịnh tiến Tu Phương pháp: Xác định phép tịnh tiến Tu biến điểm M thành M' Tìm quỹ tích điểm M Từ quỹ tích điểm M, dựa vào tính chất phép tịnh tiến để suy quỹ tích điểm M' Bài tốn 1: Cho đường tròn (O) hai điểm A, B Một điểm M thay đổi đường tròn (O) Tìm quỹ tích điểm M’ cho: MM '  MA  MB Bài giải Ta có MM '  MB  MA  AB Phép tịnh tiến T theo vecto AB biến M thành M’ Gọi O’ ảnh O qua phép tịnh tiến T, tức OO'  AB quỹ tích M' đường tròn O' có bán kính bán kính đường tròn (O) Bài tốn 2: ABC có A  900 Từ điểm P thay đổi cạnh huyền BC ABC vẽ đường vng góc PR, PQ với cạnh vuông AB, AC ( R  AB, Q  AC) Tìm quỹ tích trung điểm M đoạn thẳng RQ Bài giải Dựng hình chữ nhật ABSQ Ta có PR  AB, PQ  AC RA  AQ  ARPQ hình chữ nhật Suy RBSP hình chữ nhật Gọi N trung điểm cạnh BP MN//SQ MN= SQ  MN//BA MN= BA Đặt u  BA  NM  u Phép tịnh tiến Tu : N  M Khi P  C N  D trung điểm cạnh BC Khi P thay đổi cạnh huyền BC N thay đổi đoạn thẳng BD thuộc cạnh huyền BC Tu : B  B1 Tu : D  N1 B1 N1 trung điểm cạnh AB, AC Suy quỹ tích điểm M đoạn thẳng B1N1 II Tìm tập hợp điểm phép đối xứng Đa Phương pháp: Xác định phép đối xứng Đa biến điểm M thành M' Tìm quỹ tích điểm M Từ quỹ tích ddierm M, dựa vào tính chất phép đối xứng trục để suy quỹ tích điểm M' Bài tốn 3: Cho đường tròn (O;R) hai điểm A, B cố định Với điểm M ta xác định điểm M' cho MM '  MA  MB Tìm quỹ tích điểm M' cho M chạy (O;R) Bài giải Gọi I trung điểm AB I cố định MA  MB  2MI , MM '  MA  MB  MM '  2MI  MM ' nhận I làm trung điểm hay phép đối xứng tâm ĐI biến điểm M thành M' Vậy M chạy đường tròn (O;R) quỹ tích điểm M' ảnh đường tròn qua ĐI Nếu ta gọi O' điểm đối xứng O qua điểm I quỹ tích M' đường tròn (O'; R) Bài tốn 4: Cho đường tròn (O) có dây cung BC cố định điểm A di động đường tròn (O) Tìm quỹ tích trực tâm H  ABC Bài giải Ta có: HAC  CBH (góc có cạnh tương ứng vng góc) HAC  KBC (cùng chắn cung KC ) Suy ra: CBH  CBK nên BC phân giác góc KBH Mặt khác AI  BC Suy  BHK cân B  HI=IK Phép đối xứng trục BC ĐBC: K  H Khi A chạy đường tròn (O) K chạy đường tròn (O) Quỹ tích điểm H đường tròn (O), ảnh đường tròn (O) qua phép đối xứng trục BC III Tìm tập hợp điểm phương pháp quay Q  O;  Phương pháp: Xác định phép quay biến điểm M thành M' Xác định quỹ tích điểm M Dựa vào tính chất phép quay để tìm quỹ tích điểm M' Bài tốn 5: Cho đường tròn (O) điểm I khơng nằm đường tròn Với điểm A thay đổi đường tròn, ta xét hình vng ABCD có tâm I Tìm quỹ tích điểm B, C, D Bài giải Phép đối xứng qua điểm I biến A thành C Vậy quỹ tích C đường tròn đối xứng với (O) qua I Phép quay Q tâm I góc quay 900 biến A thành B( thành D), phép quay Q' tâm I góc quay - 900 biến A thành D ( thành B) Vậy quỹ tích B D ảnh (O) qua hai phép quay Bài tốn 6: Cho đường thẳng a điểm G không nằm a Với điểm A nằm đường thẳng a ta dựng tam giác ABC có tâm G Tìm quỹ tích hai điểm B C A chạy a Bài giải Phép quay tâm G góc quay 1200 biến A thành B ( C) Phép quay tâm G góc quay 2400 biến A thành C ( B) Vậy quỹ tích B C ảnh đường thẳng a qua hai phép quay nói Bài toán 7: Cho đường thẳng d, điểm A cố định không nằm d Với điểm B  d ta dựng tam giác ABC Tìm tập hợp điểm C B thay đổi đường thẳng d Bài giải Từ điều kiện toán ta suy C ảnh B qua phép quay tâm A với góc quay 600 Tập hợp điểm C ảnh d qua phép quay IV Tìm tập hợp điểm phép vị tự Phương pháp: Xác định phép vị tự biến điểm M thành điểm M' Tìm quỹ tích điểm M Dựa vào tính chất phép vị tự để tìm quỹ tích điểm M' Bài tốn 8: Tam giác ABC có bán kính B, C cố định đỉnh A chạy đường tròn (O;R) cố định khơng có điểm chung với đường thẳng BC Tìm quỹ tích trọng tâm G ABC Bài giải Gọi I trung điểm BC I cố định Điểm G trọng tâm ABC IG  IA Phép vị tự tâm I tỉ số biến điểm A thành điểm G Khi A chạy (O;R) quỹ tích g ảnh đường tròn 1 qua phép vị tự V, tức đường tròn (O', R') mà IO '  IO R '  R 3 Bài tốn 9: Cho đường tròn (O; R) điểm I cố định khác O Một điểm M thay đổi đường tròn Tia phân giác góc MOI cắt IM N Tìm quỹ tích điểm N Bài giải Đặt IO=d ( d  0) Theo tính chất tia phân giác MOI ta có: IN IO d   NM OM R Suy IN d IN d    IN  NM d  R IM d  R Hai vecto IN IM hướng nên IN  Gọi V phép vị tự tâm I tỉ số k  d IM dR d V biến điểm M thành dR điểm N Khi M vị trí M0 đường tròn (O; R) cho IOM  00 tia phân giác góc IOM cắt IM Điểm N không tồn Vậy M chạy (O; R) (M khơng trùng M0) quỹ tích điểm N ảnh (O;R) qua phép vị tự V bỏ ảnh điểm M0 Vậy quỹ tích S đoạn thẳng A1B1 V Tìm tập hợp điểm phương pháp đồng dạng Phương pháp: Tìm tập hợp điểm phương pháp đối xứng tâm Bài toán 10: Cho điểm A cố định nằm đường tròn (O) điểm C thay đổi đường tròn Dựng hình vng ABCD Tìm quỹ tích điểm B điểm D Bài giải Giải Gọi AR đường kính (O) PQ đường kính (O) vng góc với AR ((AR,AP)=450)  Phép đồng dạng F biến AR thành AP Vậy quỹ tích B đường tròn đường kính AP Tương tự quỹ tích D đường tròn đường kính AQ (Lưu ý: F hợp thành phép vị tự tâm A tỉ số k = phép quay tâm A góc quay 450) Bài tốn 11: Cho đường tròn (O), đường kính AB=2R M điểm (O), dựng hình vng AMNP có đỉnh theo chiều dương Tìm quỹ tích điểm N Bài giải Ta có AN  AM (AM, AN)=450 Phép quay Q(A;450): M  M1 Phép vị tự V(A; ): M1  N      V A; Q A;450 : M  N M thuộc đường tròn (O), đường kính AB=2R nên N thuộc đường tròn (O') ảnh (O) qua phép đồng dạng     hợp thành V A; Q A;450 có tâm O' trung điểm cung AB bán kính R'= 2R (Sưu tầm) ... điểm N ảnh (O;R) qua phép vị tự V bỏ ảnh điểm M0 Vậy quỹ tích S đoạn thẳng A1B1 V Tìm tập hợp điểm phương pháp đồng dạng Phương pháp: Tìm tập hợp điểm phương pháp đối xứng tâm Bài toán 10: Cho điểm... Tìm tập hợp điểm C B thay đổi đường thẳng d Bài giải Từ điều kiện toán ta suy C ảnh B qua phép quay tâm A với góc quay 600 Tập hợp điểm C ảnh d qua phép quay IV Tìm tập hợp điểm phép vị tự Phương. .. tròn (O) qua phép đối xứng trục BC III Tìm tập hợp điểm phương pháp quay Q  O;  Phương pháp: Xác định phép quay biến điểm M thành M' Xác định quỹ tích điểm M Dựa vào tính chất phép quay để