PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TẬP VỀ PHÉP BIẾN HÌNH

I. Tìm tập hợp điểm bằng phép tịnh tiến u T Phương pháp: Xác định phép tịnh tiến u T biến điểm M thành M Tìm quỹ tích điểm M Từ quỹ tích của điểm M, dựa vào tính chất của phép tịnh tiến để suy ra quỹ tích của điểm M Bài toán 1: Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B. Một điểm M thay đổi trên đường tròn (O). Tìm quỹ tích điểm M’ sao cho: MM MA MB   Bài giải Ta có MM MB MA AB    Phép tịnh tiến T theo vecto AB biến M thành M’ Gọi O’ là ảnh của O qua phép tịnh tiến T, tức là OO  AB thì quỹ tích M là đường tròn O có bán kính bằng bán kính đường tròn (O). Bài toán 2: ABC có 0 A  90 . Từ điểm P thay đổi trên cạnh huyền BC của ABC vẽ các đường vuông góc PR, PQ với các cạnh vuông AB, AC ( R  AB, Q  AC). Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn thẳng RQ. Bài giải Dựng hình chữ nhật ABSQ Ta có PR  AB, PQ  AC và RA  AQ  ARPQ là hình chữ nhật. Suy ra RBSP là hình chữ nhật. Gọi N là trung điểm cạnh BP thì MNSQ và MN= 1 2 SQ  MNBA và MN= 1 2 BA Đặt 1 2 u BA NM u    . Phép tịnh tiến T u : N M  Khi P  C thì N  D là trung điểm cạnh BC Khi P thay đổi trên cạnh huyền BC thì N cũng thay đổi trên đoạn thẳng BD thuộc cạnh huyền BC. 1 : B u T B  và 1 : D u T N  thì B1 và N1 là trung điểm cạnh AB, AC. Suy ra quỹ tích của điểm M là đoạn thẳng B1N1.

PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TẬP VỀ PHÉP BIẾN HÌNH

I Tìm tập hợp điểm bằng phép tịnh tiếnT u

Phương pháp:

Xác định phép tịnh tiến T biến điểm M thành M' u

Tìm quỹ tích điểm M

Từ quỹ tích của điểm M, dựa vào tính chất của phép tịnh tiến để suy ra quỹ tích của điểm M'

Bài toán 1: Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B Một điểm M thay đổi trên đường tròn (O)

Tìm quỹ tích điểm M’ sao cho: MM'MAMB

Bài giải

Ta có MM'MBMAAB

Phép tịnh tiến T theo vecto AB biến M thành M’

Gọi O’ là ảnh của O qua phép tịnh tiến T, tức là OO'AB thì quỹ tích M' là đường tròn O' có bán kính

bằng bán kính đường tròn (O)

ABC



Bài toán 2: có A900 Từ điểm P thay đổi trên cạnh huyền BC của ABC vẽ các đường

vuông góc PR, PQ với các cạnh vuông AB, AC ( RAB, QAC) Tìm quỹ tích trung điểm M của

đoạn thẳng RQ

Bài giải

Dựng hình chữ nhật ABSQ

Ta có PRAB, PQAC và RAAQ

ARPQ là hình chữ nhật Suy ra RBSP là hình chữ nhật

Gọi N là trung điểm cạnh BP thì MN//SQ và MN=1

2SQ

MN//BA và MN=1

2BA

Đặt 1

2

u  BA  NM  u Phép tịnh tiến T u: NM

Khi PC thì ND là trung điểm cạnh BC

Khi P thay đổi trên cạnh huyền BC thì N cũng thay đổi trên đoạn thẳng BD thuộc cạnh huyền BC

1

: B

u

T B và T u: DN1 thì B1 và N1 là trung điểm cạnh AB, AC Suy ra quỹ tích của điểm M là

đoạn thẳng B1N1

II Tìm tập hợp điểm bằng phép đối xứng Đa

Phương pháp:

Xác định phép đối xứng Đa biến điểm M thành M'

Tìm quỹ tích điểm M

Từ quỹ tích của ddierm M, dựa vào tính chất của phép đối xứng trục để suy ra quỹ tích điểm M'

Bài toán 3: Cho đường tròn (O;R) và hai điểm A, B cố định Với mỗi điểm M ta xác định điểm M' sao

cho MM'MA MB Tìm quỹ tích điểm M' sao cho M chạy trên (O;R)

Bài giải

Gọi I là trung điểm của AB

thì I cố định và MA MB 2MI, MM'MA MB

' 2

'

MM

 nhận I làm trung điểm

hay phép đối xứng tâm ĐI biến điểm M thành M' Vậy khi M chạy trên đường tròn (O;R) thì quỹ tích

điểm M' là ảnh của đường tròn qua ĐI Nếu ta gọi O' là điểm đối xứng của O qua điểm I thì quỹ tích của

M' là đường tròn (O'; R)

Bài toán 4: Cho đường tròn (O) có dây cung BC cố định và điểm A di động trên đường tròn (O)

Tìm quỹ tích trực tâm H của ABC

Bài giải

Ta có: HACCBH (góc có cạnh tương ứng vuông góc)

HACKBC (cùng chắn cung KC )

Suy ra: CBHCBK nên BC là phân giác góc KBH

Mặt khác AI BC

Suy ra BHK cân tại B HI=IK

Phép đối xứng trục BC là ĐBC: KH

Khi A chạy trên đường tròn (O) thì K cũng chạy trên đường tròn (O)

Quỹ tích điểm H là đường tròn (O), ảnh của đường tròn (O) qua phép đối xứng trục BC

 ; 

III Tìm tập hợp điểm bằng phương pháp quay

Phương pháp:

Xác định phép quay biến điểm M thành M'

Xác định quỹ tích của điểm M

Dựa vào tính chất phép quay để tìm quỹ tích của điểm M'

Bài toán 5: Cho đường tròn (O) và một điểm I không nằm trên đường tròn Với mỗi điểm A thay đổi

trên đường tròn, ta xét hình vuông ABCD có tâm là I Tìm quỹ tích các điểm B, C, D

Bài giải

Phép đối xứng qua điểm I biến A thành C Vậy quỹ tích C là đường tròn đối xứng với (O) qua I

Phép quay Q tâm I góc quay 900 biến A thành B( hoặc thành D), phép quay Q' tâm I góc quay - 900 biến

A thành D ( hoặc thành B) Vậy quỹ tích B và D là ảnh của (O) qua hai phép quay đó

Bài toán 6: Cho đường thẳng a và một điểm G không nằm trên a Với mỗi điểm A nằm trên đường

thẳng a ta dựng tam giác đều ABC có tâm là G Tìm quỹ tích hai điểm B và C khi A chạy trên a

Bài giải

Phép quay tâm G góc quay 1200 biến A thành B ( hoặc C)

Phép quay tâm G góc quay 2400 biến A thành C ( hoặc B)

Vậy quỹ tích B và C là ảnh của đường thẳng a qua hai phép quay nói trên

Bài toán 7: Cho đường thẳng d, điểm A cố định không nằm trên d Với mỗi điểm Bd ta dựng tam

giác đều ABC Tìm tập hợp điểm C khi B thay đổi trên đường thẳng d

Bài giải

Từ điều kiện bài toán ta suy ra C là ảnh của B qua phép quay tâm A với góc quay 600

Tập hợp điểm C là ảnh của d qua phép quay đó

IV Tìm tập hợp điểm bằng phép vị tự

Phương pháp:

Xác định phép vị tự biến điểm M thành điểm M'

Tìm quỹ tích của điểm M

Dựa vào tính chất của phép vị tự để tìm quỹ tích của điểm M'

Bài toán 8: Tam giác ABC có bán kính B, C cố định còn đỉnh A chạy trên một đường tròn (O;R) cố

định không có điểm chung với đường thẳng BC Tìm quỹ tích trọng tâm G của ABC

Bài giải

Gọi I là trung điểm của BC thì I cố định

Điểm G là trọng tâm ABC khi và chỉ khi 1

3

Phép vị tự tâm I tỉ số 1

3 biến điểm A thành điểm G

Khi A chạy trên (O;R) thì quỹ tích g là ảnh của đường tròn đó

qua phép vị tự V, tức là đường tròn (O', R') mà ' 1

3

3

Bài toán 9: Cho đường tròn (O; R) và điểm I cố định khác O Một điểm M thay đổi trên đường tròn

Tia phân giác của góc MOI cắt IM tại N Tìm quỹ tích điểm N

Bài giải

Đặt IO=d ( d0) Theo tính chất tia phân giác của MOI ta có:

Hai vecto IN và IM cùng hướng nên IN d IM





Gọi V là phép vị tự tâm I tỉ số k d



 thì V biến điểm M thành

điểm N Khi M ở vị trí M0 trên đường tròn (O; R) sao cho 0

IOM  thì tia phân giác của góc IOM0

cắt IM Điểm N không tồn tại Vậy khi M chạy trên (O; R) (M không trùng M0) thì quỹ tích điểm N là

ảnh của (O;R) qua phép vị tự V bỏ đi ảnh của điểm M0

Vậy quỹ tích S là đoạn thẳng A1B1

V Tìm tập hợp điểm bằng phương pháp đồng dạng

Phương pháp: Tìm tập hợp điểm bằng phương pháp đối xứng tâm

Bài toán 10: Cho điểm A cố định nằm trên đường tròn (O) và điểm C thay đổi trên đường tròn đó

Dựng hình vuông ABCD Tìm quỹ tích điểm B và điểm D

Bài giải

Giải

Gọi AR là đường kính của (O) và PQ là đường kính của (O)

vuông góc với AR ((AR,AP)=450)

 Phép đồng dạng F biến AR thành AP Vậy quỹ tích B là

đường tròn đường kính AP

Tương tự quỹ tích D là đường tròn đường kính AQ

(Lưu ý: F là hợp thành của phép vị tự tâm A tỉ số k = 2

2 và phép quay tâm A góc quay 450)

Bài toán 11: Cho đường tròn (O), đường kính AB=2R M là một điểm bất kỳ trên (O), dựng hình vuông

AMNP có các đỉnh theo chiều dương Tìm quỹ tích các điểm N

Bài giải

Ta có AN 2AM và (AM, AN)=450

Phép quay Q(A;450): M  M1

Phép vị tự V(A; 2 ): M1  N

; 2 ;45 :

M thuộc đường tròn (O), đường kính AB=2R nên N

thuộc đường tròn (O') là ảnh của (O) qua phép đồng dạng

là hợp thành của V A ; 2 và  0

;45

Q A có tâm O' là

trung điểm của cung AB và bán kính R'= 2R

(Sưu tầm)