Đất nước ta đang trên con đường đổi mới, phát triển và hội nhập quốc tế nhằm thực hiện thắng lợi sự nghiệp “Công nghiệp hoá, hiện đại hoá” do Đảng ta khởi xướng và lãnh đạo. Trong quá trình phát triển của đất nước, Đảng ta luôn coi “Giáo dục là quốc sách hàng đầu”, là nền móng của sự phát triển kinh tế, xã hội đem lại những đổi mới cho đất nước. Thực hiện ước nguyện của Bác Hồ là đưa dân tộc Việt Nam “Bước lên đài vinh quang, sánh vai với các cường quốc năm châu”
Trang 1M C L C ỤC LỤC ỤC LỤC
1 ĐẶT VẤN ĐỀ
1.1.Lí do khách quan
1.2 Lí do chủ quan
1.3.Ý nghĩa, tầm quan trọng và tác dụng của vấn đề trong công
tác giảng dạy và giáo dục
1.3.1 Mục đích nghiên cứu
1.3.2 Đối tượng nghiên cứu
1.3.3 Nhiệm vụ nghiên cứu
1.3.4 Phương pháp nghiên cứu
2 GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
2.1 Cơ sở lí luận:
2.2 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
2.3 Các biện pháp tiến hành để giải quyết vấn đề
2.4 Hiệu quả của đề tài
Trang 21 ĐẶT VẤN ĐỀ: (Lí do chọn đề tài)
Lí do khách quan:
Đất nước ta đang trên con đường đổi mới, phát triển và hội nhập quốc tế
nhằm thực hiện thắng lợi sự nghiệp “Công nghiệp hoá, hiện đại hoá” do Đảng ta
khởi xướng và lãnh đạo Trong quá trình phát triển của đất nước, Đảng ta luôn
coi “Giáo dục là quốc sách hàng đầu”, là nền móng của sự phát triển kinh tế, xã
hội đem lại những đổi mới cho đất nước Thực hiện ước nguyện của Bác Hồ là
đưa dân tộc Việt Nam “Bước lên đài vinh quang, sánh vai với các cường quốc
năm châu”
Cùng với sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không ngừngđổi mới Các nhà trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng giáo dụctoàn diện bên cạnh sự đầu tư thích đáng cho giáo dục mũi nhọn Với vai trò làmôn học công cụ, bộ môn toán đã góp phần tạo điều kiện cho các em học tốt các
bộ môn khoa học tự nhiên khác
Dạy như thế nào để học sinh không những nắm chắc kiến thức cơ bản mộtcách có hệ thống mà phải được nâng cao để các em có hứng thú, say mê học tập
là một câu hỏi mà mỗi thầy cô chúng ta luôn đặt ra cho mình
Để đáp ứng được yêu cầu của sự nghiệp giáo dục và nhu cầu học tập củacác đối tượng học sinh khá, giỏi Điều đó đòi hỏi trong giảng dạy chúng ta phảibiết chắt lọc kiến thức, phải đi từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng và pháttriển thành tổng quát giúp học sinh có thể phát triển tốt tư duy toán học
1.2 Lí do chủ quan:
Bản thân tôi, được nhà trường phân công dạy toán lớp 6 Qua nghiên cứu
tài liệu và giảng dạy tôi nhận thấy “phép chia hết" là đề tài lí thú, phong phú và
đa dạng của số học lớp 6 và không thể thiếu trong môn toán 6 cũng như môntoán THCS Đối tượng học sinh ở trường PTDT Nội trú Sông mã 100% là các
em học sinh dân tộc, bao gồm cả học sinh khá giỏi và học sinh yếu kém Trongquá trình giảng dạy có em tiếp thu nhanh và hứng thú với môn học, say mê tìmhiểu, bên cạnh đó cũng có em tiếp thu bài rất chậm, lười học có thái độ thờ ơ với
Trang 3môn học, khả năng tính toán, tính nhẩm rất yếu Việc bồi dưỡng học sinh khágiỏi trong tiết học còn gặp nhiều khó khăn Với bài viết này, tôi không tham
vọng lớn bàn về việc dạy " phép chia hết" và ứng dụng của nó trong chương trình
toán học phổ thông, tôi chỉ xin đưa ra một số kinh nghiệm giúp học sinh lớp 6
giải các bài tập về " phép chia hết" trong tập hợp số tự nhiên mà tôi đã áp dụng
nhằm bội dưỡng các em học sinh khá, giỏi thông qua các giờ học buổi chiều Tôi
hy vọng nó sẽ có ích cho các đồng nghiệp khi giảng dạy
1.3 Ý nghĩa, tầm quan trọng và tác dụng của vấn đề trong công tác giảng dạy và giáo dục:
1.3.1 Mục đích nghiên cứu:
Đề tài được nghiên cứu nhằm đưa ra những phương pháp phù hợp để giúphọc sinh giải các bài toán về phép chia hết trong tập hợp N, từ đó học sinh có kĩnăng vận dụng các phương pháp đã học để giải các bài tập về phép chia hết từcác dạng toán cơ bản đến một số bài tập năng cao, phù hợp với mọi đối tượnghọc sinh trường PTDT Nội trú Sông mã
1.3.2 Đối tượng nghiên cứu:
Đề tài nghiên cứu qua các tiết dạy về “Phép chia hết trong N” trong SGK
Toán 6 tập 1, qua định hướng đổi mới phương pháp dạy Toán 6
Đối tượng khảo sát: Học sinh lớp 6
1.3.3 Nhiệm vụ nghiên cứu:
Trong khuôn khổ đề tài này bản thân tôi sẽ trình bày “Một vài kinh nghiệm
giúp học sinh lớp 6 giải các bài tập về phép chia hết trong tập hợp N”.Cụ thể là :
- Các phương pháp thường dùng khi giải các bài toán về phép chia hết
- Rèn kỹ năng vận dụng kiến thức để giải các bài toán về phép chia hết
- Củng cố và hướng dẫn học sinh làm bài tập
1.3.4 Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu
- Phương pháp thực hành
- Đúc rút 1 phần kinh nghiện qua các đồng nghiệp và bản thân khi dạy phầnPhép chia hết
Trang 41 GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ:
Luyện tập và thực hành giải toán nhằm củng cố, bổ sung, làm vững chắc thêmcác kiến thức lí thuyết Trong luyện tập, người ta nhấn mạnh tói việc lặp đi lặp lạivới mục đích học thuộc những kí hiệu, quy tắc, định lí, công thức, cách làm…đãhọc và làm cho việc sử dụng kĩ năng được thực hiện một cách tự động, thànhthạo Trong thực hành, người ta không chỉ nhấn mạnh vào việc học thuộc mà cònnhằm áp dụng hay sử dụng một cách thông minh các tri thức để giải được các bàitoán khác nhau.Vì thế trong dạy học toán, bên cạnh việc cho học sinh luyện tậpmột số chi tiết, bài tập cụ thể, giáo viên cũng cần lưu ý cho học sinh thực hànhphát triển kĩ năng
I Trước hết học sinh cần nắm vững định nghĩa phép chia hết trong SGK lớp 6 tập 1, các dấu hiệu chia hết cũng như các tính chất về quan hệ chia hết.
1 Định nghĩa
Cho 2 số tự nhiên a và b, trong đó b khác 0, nếu có số tự nhiên x sao cho
b.x = a, thì ta nói a chia hết cho b và ta có phép chia hết a : b = x
2 Các dấu hiệu chia hết
a) Dấu hiệu chia hết cho 2
Một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của số đó là số chẵn
b) Dấu hiệu chia hết cho 3 (hoặc 9)
Một số chia hết cho 3 (hoặc 9) khi và chỉ khi tổng các chữ số của số đó chia hếtcho 3 (hoặc 9)
Chú ý: Một số chia cho 3 (hoặc 9) dư bao nhiêu thì tổng các chữ số của số đó
chia cho 3 (hoặc 9) cũng dư bấy nhiêu và ngược lại
c) Dấu hiệu chia hết cho 5
Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số tận cùng bằng 0 hoặc 5
d) Dấu hiệu chia hết cho 4 (hoặc 25)
Một số chia hết cho 4 (hoặc 25) khi và chỉ khi 2 chữ số tận cùng của số đó chia
Trang 5hết cho 4 (hoặc 25)
e) Dấu hiệu chia hết cho 8 (hoặc 125)
Một số chia hết cho 8 hoặc 125 khi và chỉ khi 3 chữ số tận cùng của số đó chiahết cho 8 hoặc 125
f) Dấu hiệu chi hết cho 11
Một số chi hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các chữ số hàng lẻ và tổngcác chữ số hàng chẵn (từ trái sang phải) chia hết cho 11
3 Tính chất của 2 quan hệ chia hết
+ 0 chia hết cho b với b là số tự nhiên khác 0
+ a chia hết cho a với mọi a là số tự nhiên khác 0
+ Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho a thì a = b
+ Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c
+ Nếu a chia hết cho b và a chia hết cho c mà (b, c) = 1 thì a chia hết cho b.c+ Nếu a chia hết cho m và a chia hết cho n thì a chia hết cho BCNN(m,n)
+ Nếu a.b chia hết cho c và (b,c) =1 thì a chia hết cho c
+ Nếu a chia hết cho m thì k.a chia hết cho m với mọi k là số tự nhiên
+ Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho m thì (ab) chia hết cho m
+ Nếu a chia hết cho m, b không chia hết cho m thì (ab) không chia hết chom
+ Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho n thì a.b chia hết cho m.n
+ Nếu (a.b) chia hết cho m và m là số nguyên tố thì a chia hết cho m hoặc bchia hết cho m
+ Nếu a chia hết cho m thì an chia hết cho m với n là số tự nhiên
+ Nếu a chia hết cho b thì an chia hết cho bn với n là số tự nhiên
II Khi học sinh đã nắm chắc các vấn đề nêu trên thì giáo viên có thể đưa ra một vài phương pháp thường dùng để giải các bài toán chia hết.
Với học sinh lớp 6 tôi thường sử dụng 5 phương pháp sau:
1 Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa phép chia hết
Để chứng minh a chia hết cho b ( b khác 0), ta biểu diễn số a dưới dạngmột tích các thừa số, trong đó có 1 thừa số bằng b (hoặc chia hết cho b)
Trang 6a = b.k ( k N) hoặc a = m.k ( m chia hết cho b)
Ví dụ 1: Chứng tỏ rằng số có dạng aaaaaa bao giờ cũng chia hết cho 7
Giải aaaaaa = a.111111 = a 7.15873 chia hết cho 7
Ví dụ 2: Chứng tỏ rằng số có dạng abcabc bao giờ cũng chia hết cho 11, chia hếtcho 7 và chia hết cho 13
Giải
Ta có : abcabc = abc000 abc = abc.(1000+1) =abc.1001 = abc.11.7.13nên abcabc chia hết cho 11, chia hết cho 7 và chia hết cho 13
Ví dụ 3: Chứng minh rằng, nếu lấy một số có 2 chữ số cộng với số gồm 2 chữ số
ấy viết theo thứ tự ngược lại, ta luôn được một số chia hết cho 11
Giải
Gọi 2 số đó là ab và ba Ta có :
ab + ba = 10a + b + 10b + a = 11a + 11b = 11( a + b) chia hết cho 11
2 Phương pháp 2 : Dùng các tính chất của phép chia hết.
2.1 Dùng tính chất chia hết của một tổng, một hiệu
* Để chứng minh a chia hết cho b ( b 0) ta có thể làm như sau:
- Viết a = m + n mà m b và n b
- Viết a = m - n mà m b và n b
* Để chứng minh a không chia hết cho b ta viết a dưới dạng tổng của các số màchỉ có một số hạng của tổng không chia hết cho b, còn các số hạng khác đều chiahết cho b
Ví dụ 4: Chứng tỏ rằng :
a) Tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho 3
b) Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp là một số không chia hết cho 4
Trang 7+ Ta chứng minh a.m chia hết cho b; (m, b) = 1 a chia hết cho b
+ Biểu diễn b = m.n với (m, n)= 1, sau đó chứng minh a chia hết cho m, a chiahết cho n
+ Biểu diễn a = a1 a2,, b = b1.b2,
Rồi chứng minh a1 chia hết cho b1; a2 chia hết cho b2
Ví dụ 5: Chứng minh (1980a + 1995b) chia hết cho 15 với a, b là số tự nhiên.
Giải
Vì 1980 chia hết cho 3 nên 1980.a chia hết cho 3 với a
Vì 1995 chia hết cho 3 nên 1995.b chia hết cho 3 với b
Nên (1980a + 1995b) chia hết cho 3
Chứng minh tương tự ta có:
(1980a + 1995b) chia hết cho 5 với a, b mà (3,5) = 1
Vậy (1980 a + 1995b) chia hết cho 15
Ví dụ 6: Chứng minh rằng tích của 2 số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8.
Giải
Gọi 2 số chẵn liên tiếp là 2n, 2n +2 ( n N)
Tích của 2 số chẵn liên tiếp là 2n.(2n +2) = 4.n.(n+1)
Vì n và n + 1 là 2 số tự nhiên liên tiếp nên n.(n+ 1) chia hết cho 2
Mà 4 chia hết cho 4 nên 4.n.(n+1) chia hết cho (4.2)
4.n.(n+1) chia hết cho 8
2n.(2n + 2) chia hết cho 8
* Giáo viên nhận xét : Như vậy khi gặp những bài toán chứng minh một tổng,
một hiệu hoặc một tích chia hết cho một số mà các tổng, hiệu, tích đó có thể
Trang 8phân tích được thành tích các thừa số, ta thường sử dụng các tính chất của phép chia hết.
3 Phương pháp 3: Dùng định lí về chia có dư
Để chứng minh n chia hết cho p ta xét mọi trường hợp về số dư khi chia ncho p:
Ta viết n = p.k + r, trong đó r = 0, 1, , p-1; k N Rồi xét tất cả cáctrường hợp của r
a) Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3
b) Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 4
Giải
a) Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là n, n+1, n+2
Tích của số tự nhiên liên tiếp là : n.(n+1).(n+2)
Mọi số tự nhiên khi chia cho 3 có thể nhận một trong các số dư 0;1;2
- Nếu r = 0 thì n chia hết cho 3 n.(n + 1).(n+ 2) chia hết cho 3
Trang 9Do đó n.(n+1) (n+2) chia hết cho 3
Tóm lại, n.(n+1).(n+2) chia hết cho 3 với mọi n là số tự nhiên
b) Chứng minh tương tự ta có:
n.(n+1).( n+2).( n+3) chia hết cho 4 với mọi n là số tự nhiên
Sau khi giải bài tập tập này, giáo viên yêu cầu học sinh nêu bài tập này ở dạngtổng quát
Giáo viên khắc sâu cho học sinh: Tích của n số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho n.
Giáo viên nhận xét: Phương pháp này thường được sử dụng khi chứng minh một biểu thức có chứa biến chia hết cho các số tự nhiên có một chữ số Khi chứng minh một biểu thức chia hết cho các số tự nhiên lớn hơn 10 ta không sử dụng phương pháp này vì phải xét nhiều trường hợp.
4 Phương pháp 4: Dùng các dấu hiệu chia hết có liên quan đến chữ số tận cùng.
Ví dụ 9: Chứng minh rằng : 1028 + 8 chia hết cho 72
Giải
Ta có 1028 + 8 = ( 100 0 + 8) = 100 08 có tổng các chữ số bằng 9 nên chia hết cho 9
1028 + 8 = = 1000 .08 có tận cùng bằng 008 nên chia hết cho 8
Vì ( 8,9) =1 nên 1028+ 8 (8.9) hay 1028+ 8 72
*Giáo viên nhận xét: Phương pháp này thường sử dụng để chứng minh các bài
toán mà số chia là các số tròn chục ( 10, 100, ) hay các số chia mà dấu hiệu chia hết có liên quan đến chữ số tận cùng ( ví dụ : 5, 4, 8, 25, 125), hoặc số chia
có thể phân tích thành tích các số có dạng như trên.
5 Phương pháp 5: Sử dụng nguyên tắc Đirichlet.
Nội dung của nguyên tắc Đirichlet: “Nếu có n+1 con thỏ, xếp vào n chuồng, thì ít
nhất 1 chuồng chứa từ 2 con thỏ trở lên”.
Ví dụ10: Chứng minh rằng trong 6 số tự nhiên bất kì luôn tìm được 2 số có hiệu
28 ch÷ sè 0 27 ch÷ sè 0
27 ch÷ sè 0
Trang 10chia hết cho 5.
Giải
Một số khi chia cho 5 có thể nhận một trong các số dư là : 0; 1; 2; 3; 4
Trong 6 số tự nhiên bất kì khi chia cho 5 luôn tồn tại ít nhất 2 số có cùng số dư
(Nguyên tắc Đirichlet).
Vậy hiệu của 2 số chia hết cho 5
III Khi học sinh đã nắm vững các phương pháp thường dùng để chứng minh phép chia hết, giáo viên có thể giao một số bài toán về chia hết nhằm giúp học sinh nắm một cách có hệ thống, được đào sâu các kiến thức về phép chia hết
Ta có: 34x5 y chia hết cho 4 khi và chỉ khi 5y chia hết cho 4 Vậy y 2; 6
34x5 y chia hết cho 9 khi và chỉ khi ( 3+4+x+5+y) chia hết cho 9
Hay (12+x+y) chia hết cho 9
Vì x,y là các chữ số nên x+y 6;15
Nếu y = 2 thì x = 4 hoặc x = 13 > 9 (loại)
Nếu y = 6 thì x = 0 hoặc x = 9
Vậy các số phải tìm là: 34452; 34056; 34956
b) Ta có : 21xy 5 thì y 0;5
Nếu y = 5 thì 21xy không chia hết cho 4
Nếu y = 0 thì 21xy chia hết cho 4 nếu x0 4 do đó x 0; 2; 4 ; 6 ; 8 (1)
Trang 12Ta có: 3n+10 = 3(n+2) +4
Mà 3.(n+2) chia hết cho (n+2)
Do đó (3n+10) chia hết cho (n+2) khi và chỉ khi 4 chia hết cho (n+2)
Hay (n+2) là ước của 4
Hay 4 chia hết cho (n+2)
đến đây giải tiếp như ở cách 1
Bài 7:
Trang 13Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì ( 3n +1, 4n + 1) = 1
Giải
Có 45 -2 = 43 học sinh được phân chia và 8 loại điểm ( từ 2 đến 9) Giả sửmỗi điểm trong 8 loại là điểm không có quá 5 học sinh, thì lớp học không có quá8.5 = 40 học sinh ( ít hơn 43 học sinh)
Vậy tồn tại ít nhất có 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau
Trang 14Vậy a chia cho 462 dư 454.
2.2 THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU:
Trên đây là một số ví dụ và một số dạng bài tập về "phép chia hết" Các bàitoán về "phép chia hết" thật đa dạng và phong phú Nếu như chúng ta chỉ hướngdẫn học sinh giải những bài tập ở mức độ trung bình thì các em chưa thể thấyđược "cái hay" của dạng toán này, đồng thời có khi các em còn có cảm giác làkhó và phức tạp Qua các bài tập trên ta thấy, mặc dù mỗi dạng bài tập sử dụngphương pháp biến đổi ban đầu khác nhau, nhưng cuối cùng đều quy về địnhnghĩa và các tính chất của phép chia hết Chính vì vậy, việc nắm vững định nghĩa
về phép chia hết, các tính chất và các dấu hiệu chia hết là vấn đề then chốt giúphọc sinh có thể định hướng được cách giải bài tập giúp học sinh có tư duy sángtạo và sự linh hoạt khi giải toán Khi đã làm được như vậy thì việc giải các bàitoán về phép chia hết đã trở thành niềm say mê, thích thú của học sinh
Với đối tượng học sinh ở trường PTDT Nội trú Sông mã, các em thường
“sợ” học bộ môn toán và coi đây là môn học khó Các em có thói quen nhìn thấynhững bài tập khó, phức tạp hơn sách giáo khoa là thường chán nản không muốnlàm Do đó việc tìm ra đối tượng học sinh khá giỏi trong môn toán là rất khó
Trang 15khăn Việc tìm ra các phương pháp giải toán cụ thể cho mỗi dạng toán để các emvận dụng vào giải các bài tập là một việc làm hết sức cần thiết nhằm nâng caohiệu quả học tập bộ môn toán.
2.3 CÁC BIỆN PHÁP TIẾN HÀNH ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
*Biện pháp 1: Xây dựng cho học sinh hệ thống kiến thức cơ bản và các
phương pháp giải cụ thể về “phép chia hết” trong tập hợp N:
Đây là điều kiện cần thiết không thể thiếu, nó là nền móng để học sinh ghinhớ, nắm chắc các kiến thức cơ bản một cách có hệ thống Các kiến thức đó phảiđược sắp xếp theo trình tự hợp lí, logic Đồng thời học sinh phải nhận rõ đượcmối quan hệ gắn bó giữa các đơn vị kiến thức trong môn học cũng như mối quan
hệ kiến thức liên môn
Việc nhận diện chính xác các đơn vị kiến thức và sắp xếp một cách có hệthống, điều đó mới chỉ đạt được một nửa yêu cầu, nghĩa là mới chỉ dừng lại ởmức độ học tập nghiên cứu về phương diện lí thuyết, nửa còn lại phụ thuộc vàokhả năng vận dụng thực hành những kiến thức lí thuyết vào việc giải các dạng bàitập cụ thể bằng nhiều cách khác nhau một cách hợp lí và sáng tạo, đạt hiệu quảcao
Trong giờ học, giáo viên cho học sinh ôn tập, hệ thống lại toàn bộ các kiến
thức cơ bản về phép chia hết ( Được trình bày ở mục I Trước hết học sinh cần
nắm vững định nghĩa phép chia hết trong SGK lớp 6 tập 1, các dấu hiệu chia hết cũng như các tính chất về quan hệ chia hết.) Các kiến thức này đã được học trên
lớp như định nghĩa phép chia hết, dấu hiệu chia hết cho 2, cho 3, cho 5, cho 9 vàcác tính chất về quan hệ chia hết Ngoài ra giáo viên cung cấp thêm cho học sinhmột số dâu hiệu chia hết cho 4, cho 8, cho 11, cho 25 mà trong quá trình làm bàitập các em vận dụng
Sau khi học sinh đã có được hệ thống kiến thức cơ bản về “phép chia hết”
giáo viện cho học sinh tự tìm tòi ra các phương pháp giải các bài tập về phép chiahết Nếu học sinh còn lúng túng, hay chưa tìm ra được các phương pháp cụ thể,giáo viên có thể hướng dẫn hoặc cung cấp cho học sinh các phương pháp đó