Các dạng bài tập về phép biến hình

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH PHÉP TỊNH TIẾN I.Tóm tắt lý thuyết : 1. Định nghĩa : Trong mặt phẳng , cho véc tơ ( ) ;v a b r . Phép tịnh tiến theo véc tơ ( ) ;v a b r là phép biến hình , biến một điểm M thành một điểm M’ sao cho 'MM v= uuuuur r Ký hiệu : v T r . 2.Các tính chất của phép tịnh tiến : a/ Tính chất 1: *Định lý 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M,N thành hai điểm M’,N’ thì MN=M’N’. b/ Tính chất 2: * Định lý 2: Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm đó . HỆ QUẢ : Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng , biến một tia thành một tia , biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó , biến một tam giác thành một tam giác bằng nó , biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính , biến một góc thành một góc bằng nó . 3. Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến - Giả sử cho ( ) ;v a b r và một điểm M(x;y) . Phép tịnh tiến theo véc tơ v biến điểm M thành điểm M’ thì M’ có tọa độ là : ' ' x a x y y b = +   = +  4. Ứng dụng của phép tịnh tiến BÀI TOÁN 1: TÌM QUỸ TÍCH CỦA MỘT ĐIỂM Bài toán : Cho một hình H , trên hình H có một điểm M . Tìm quỹ tích của điểm M khi trên hình H có một điểm A thay đổi . ( Thường điểm A chạy trên một đường (C ) cho sẵn ). Cách giải : - Dựa vào các tính chất đã biết , ta tìm ra một véc tơ cố dịnh nằm trên hình H ( Với điều kiện : véc tơ này có phương song song với đường thẳng kẻ qua A ). - Sau đó dựa vào định nghĩa về phép tịnh tiến ta suy ra M là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo véc tơ cố định . - Dựa vào tính chất thay đổi của A ta suy ra giới hạn quỹ tích . Ví dụ 1: Cho hai điểm B,C cố định nằm trên (O,R) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó . Chứng minh rằng trực tâm của tam giác ABC nằm trên một đường tròn cố định . Giải - Kẻ đường kính BB’ .Nếu H là trực tâm của tam giác ABC thì AH=B’C. Do C,B’ cố định , cho nên B’C là một véc tơ cố định 'AH B C⇒ = uuur uuuur . Theo định nghĩa về phép tịnh Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 02403833608 Trang 1 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH tiến điểm A đã biến thành điểm H . Nhưng A lại chạy trên (O;R) cho nên H chạy trên đường tròn (O’;R) là ảnh của (O;R) qua phép tịnh tiến dọc theo 'v B C= r uuuur - Cách xác định đường tròn (O’;R) . Từ O kẻ đường thẳng song song với B’C . Sau đó dựng véc tơ : OO' 'B C= uuuur uuuur . Cuối cùng từ O’ quay đường tròn bán kính R từ tâm O’ ta được đường tròn cần tìm . Ví dụ 2. Cho hình bình hành ABCD có hai đỉnh A,B cố định , còn đỉnh C chạy trên một đường tròn (O;R). Tìm quỹ tích đỉnh D khi C thay đổi . Giải : - Theo tính chất hình bình hành : BA=DC AB CD⇒ = uuur uuur . Nhưng theo giả thiết A,B cố định , cho nên AB uuur cố định . Ví C chạy trên (O;R) , D là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo AB uuur , cho nên D chạy trên đường tròn O’ là ảnh của đường tròn O - Cách xác định (O’) : Từ O kẻ đường thẳng // với AB , sau đó dựng véc tơ OO' AB= uuuur uuur . Từ O’ quay đường tròn bán kính R , đó chính là đường tròn quỹ tích của D. Ví dụ 3. Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) cùng với hai điẻm A,B . Tìm điểm M trên (O;R) và điểm M’ trên (O’R’) sao cho 'MM AB= uuuuur uuur . Giải a. Giả sử ta lấy điểm M trên (O;R). Theo giả thiết , thì M’ là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo véc tơ AB uuur . Nhưng do M chạy trên (O;R) cho nên M’ chạy trên đường tròn ảnh của (O;R) qua phép tịnh tiến . Mặt khác M’ chạy trên (O’;R’) vì thế M’ là giao của đường tròn ảnh với đường tròn (O’;R’). b/ Tương tự : Nếu lấy M’ thuộc đường tròn (O’;R’) thì ta tìm được N trên (O;R) là giao của (O;R) với đường tròn ảnh của (O’;R’) qua phép tịnh tiến theo véc tơ AB c/ Số nghiệm hình bằng số các giao điểm của hai đường tròn ảnh với hai đường tròn đã cho . Ví dụ 3. Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định . Một đường kính MN thay đổi . Các đường thẳng AM và AN cắt các tiếp tuyến tại B lần lượt là P,Q . Tìm quỹ tích trực tâm các tam giác MPQ và NPQ ? Giải - Tam giác MPQ có QA là một đường cao , vì vậy nếu ta kẻ MM’ vuông góc với PQ thì MM’ cắt QA tại trực tâm H . OA là đường trung bình của tam giác MNH suy ra : 2MH OA BA= = uuuur uuur uuur . Vậy phép tịnh tiến theo BA uuur biến điểm M thành điểm H . Nhưng M chạy trên (O;AB) cho nên H chạy trên đường tròn ảnh của (O;AB) qua phép tịnh tiến BA uuur . - Tương tự đối với tam giác NPQ . - Giới hạn quỹ tích . Do M không trùng với A,B cho nên trên đường tròn ảnh bỏ đi hai điểm ảnh của A,B . BÀI TOÁN 2: TÌM ĐIỂM M TRÊN ĐƯỜNG THẲNG D SAO CHO KHOẢNG CÁCH MA+MB NGẮN NHẤT ( A,B- CỐ ĐỊNH CHO TRƯỚC ) Cách giải • Bước 1: Tìm điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d . ( Khi đó đường thẳng d là đường trung trực của AB , suy ra M thuộc d thì MA=MA’ ). Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 02403833608 Trang 2 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH • Bước 2: Kẻ đường thẳng A’B , thì đường thằng này cắt d tại M . M sẽ là điểm duy nhất • Bước 3: Chứng minh nhận xét trên : Vì MA+MB=MA’+MB=A’B ( không đổi) do A cố dịnh , thì A’ cố định , suy ra A’B không đổi Chú ý : Trường hợp trên xảy ra khi A,B nằm trái phía với d . Ngoài ra : Có trường hợp biến thể là thay đường thẳng d bằng hai đường thẳng // cách nhau một đoạn cho trước không đổi . Ví dụ 1. Hai thôn nằm ở hai vị trí A,B cách nhau một con sông ( Xem hai bờ sống là hai đường thẳng song song ) . Người ta dự kién xây một cây cầu bắc qua sông (MN) và làm hai đoạn thẳng AM và BN .Tìm vị trí M,N sao cho AM+BN là ngắn nhất . Giải - Vì khoảng cách giữa hai bờ sống là không đổi , cho nên MN U= uuuur ur . - Tìm A’ là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo U ur . Khi đó AMNA’ là hình bình hành : A’N=AM . - Do đó : MA+NB ngắn nhất Vì : MA+NB=A’N+NB Ví dụ 2. Cho hình chữ nhật ABCD . Trên tia đối của tia AB lấy điểm P , trên tia đối của tia CD lấy điểm Q . Hãy xác định điểm M trên BC và điểm N trên AD sao cho MN//CD và PN+QM nhỏ nhất . Giải - Giống bài toán trên là khoảng cách giữa hai cạnh của hình chữ nhật không đổi . cho nên ta thực hiện theo cách của bài toán trên như sau : - Tìm ảnh của điểm Q qua phép tịnh tiến theo D 'C U QQ= = uuur ur uuuur .Khi đó MN=QQ’ , suy ra MQ=NQ’ . Cho nên PN+MQ=PN+NQ’ ngắn nhất khi P,N,Q’ thẳng hàng . - Các bước thực hiện : +/ Tìm Q’ sao cho : D 'C U QQ= = uuur ur uuuur +/ Nối PQ’ cắt AD tại điểm N +/ Kẻ NM //CD cắt BC tại M . Vậy tìm được M,N thỏa mãn yêu cầu bài toán . BÀI TOÁN 3: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG ( C ‘) QUA PHÉP TỊNH TIẾN THEO ( ) ;u a b= r KHI BIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG (C ). Cách giải : • Bước 1: lấy một điểm M(x;y=f(x) ) trên (C ) • Bước 2: Thay x,y vào công thức tọ độ của phép tịnh tiến • Bước 3: Rút gọn ta có phương trình F(x;y)=0 . Đó chính là phương trình của (C’ ) cần tìm . Ví dụ . Trong mặt phẳng (Oxy) cho ( ) 1; 2u = − r a/ Viết phương trình ảnh của mỗi đường trong trường hợp sau : +/Đường thẳng a có phương trình : 3x-5y+1=0 ? +/Đường thẳng b có phương trình : 2x+y+100=0 b/ Viết phương trình đường tròn ảnh của đường tròn (C ) : 2 2 4x 1 0x y y+ − + − = c/ Viết phương trình đường (E) ảnh của (E) : 2 2 1 9 4 x y + = Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 02403833608 Trang 3 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH d/ Viết phương trình ảnh của (H) : 2 2 1 16 9 x y − = Giải a/ Gọi M(x;y) thuộc các đường đã cho và M’(x’;y’) thuộc các đường ảnh của chúng. Theo công thức tọa độ của phép tịnh tiến ta có : ' 1 ' 1 ' 2 ' 2 x x x x y y y y = + = −   ⇒   = − + = +   Thay x,y vào phương trình các đường ta có : - Đường thẳng a’ : 3(x’-1)-5(y’+2)+1=0 ⇔ 3x’-5y’-12=0 - Đường thẳng b’ : 2(x’-1)+(y’+2)+100=0 hay : 2x’+y’+100=0 b/ Đường tròn (C’) : ( ) ( ) ( ) 2 2 ' 1 ' 2 4 ' 1 ' 2 1 0x y x y− + + − − + + − = hay : 2 2 6x 5 10 0x y y+ − + + = c/ Đường (E’) : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 ' 1 ' 2 1 2 1 1 9 4 9 4 x y x y− + − + + = ⇔ + = d/ Đường (H’): ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 ' 1 ' 2 1 2 1 1 16 9 16 9 x y x y− + − + − = ⇔ − = Bài tập về nhà : Bài 1. Cho hai đường tròn không đồng tâm (O;R) và (O’;R’) và một điểm A trên (O;R) . Xác định điểm M trên (O;R) và diểm N trên (O’;R’) sao cho MN OA= uuuur uuur . Bài 2. ( Làm bài tập 4;5;6 – HH11NC-trang 9) Bài 3. ( Làm bài tập : 2;3- HH11CB-trang 7 ) Gợi ý Bài 1. Vì : : OA MN OA T M N= ⇒ → uuur uuuur uuur . Do đó N nằm trên đường tròn ảnh của (O;R) . Mặt khác N lại nằm trên (O’;R’) do đó N là giao của đường tròn ảnh với với (O’;R’) . Từ đó suy ra cách tìm : - Vè đường tròn tâm A bán kính R , đường tròn náy cắt (O’;R’) tại N - Kẻ đường thẳng d qua N và song song với OA , suy ra d cắt (O;R) tại M Bài 2. a/ Bài 4-trang 9-HH11NC. - Vì A,B cố định suy ra : AB U= uuur ur . - Từ giả thiết : ' 'MM MA MB MM MB MA AB+ = ⇒ = − = uuuuur uuur uuur uuuuur uuur uuur uuur . Chứng tỏ : : ' AB T M M→ uuur . - Nhưng M chạy trên (O;R) cho nên M’ chạy trên đường tròn (O’;R) là ảnh của (O;R) . b/ Bài 5. - Tọa độ của M’ và N’ là : ' ' 1 1 1 2 2 2 ' ' 1 1 1 2 2 2 os sin os sin ' ; ' sin os sin os x x c y a x x c y a M N y x y c b y x y c b α α α α α α α α   = − + = − +     = + + = + +     - Khoảng cách d giữa M,N và khoảng cách d’ giữa M’N’ . Ta có : ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 MN x x y y= − + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 ' ' os sin os sinM N x x c y y c x x y y α α α α = − + + − + = − + − - Phép F là phép dời hình - Khi : ' 0 sin 0; os 1 ' x x a c y y b α α α = +  = → = = ⇒  = +  . Đây là công thức của phép tịnh tiến . c/ Bài 6. Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 02403833608 Trang 4 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH - Nếu ( ) ( ) ( ) ( ) 1 : ; ' ; ; '; ' ' '; 'F M x y M y x N x y N y x→ − → − thì khoảng cách giữa hai điểm MN và M’N’ là : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 ' ' ; ' ' ' 'MN x x y y M N y y x x= − + − = − + − + . Chứng tỏ MN=M’N’cho nên đó chính là phép dời hình . - Nếu : ( ) ( ) ( ) 2 : ( ; ) ' 2x; ; '; ' ' 2x '; 'F M x y M y N x y N y→ → . Khi đó khoảng cách hai điểm là : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 ' ' ; ' ' 4 ' 'MN x x y y M N x x y y= − + − = − + − . - Rõ ràng : MN< M’N’ : Do đó đây không phải là phép dời hình vì theo định nghĩa : Phép dời hình là phép biến hình biến hai điểm thành hai điểm mà không làm thay đổi khoảng cách giữa chúng . Bài 3. a/ Bài 2- trang 7. - Từ B và C kẻ các đường thẳng // với AG . Sau đó đặt BB’=CC’=AG ( Tứ giác BCC’B’ là hình bình hành ) - A’ sẽ trùng với G . Tam giác GB’C’ là ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo véc tơ AG . - Nếu D là ảnh của phép tịnh tiến theo véc tơ AG thì : DAG A D= ⇒ uuur uuur phải trùng với G . b/ Bài 3-trang 7. - Theo công thức tọa độ của phép tịnh tiến : ( ) ' ' 3 1 2 ' ' 2;7 5 2 7 A A x A A y = − =  = ↔  = + =  và tọa độ của điểm ( ) ' ' 1 1 2 ' ' 2;3 1 2 3 B B x B B y = − − = −  = ↔ = −  = + =  . - Nếu gọi M(x;y) thuộc đường thẳng d và M’(x’;y’) thuộc đường thẳng d’ : là ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo véc tơ v thì theo công thức tọa độ củ phép tịnh tiến ta có : ' 1 ' 1 ' ' 2 ' 2 x x x x M y y y y = − = +   ⇒   = + = −   . Thay vào phương trình của d : (x’+1)-2(y’- 2)+3=0 . Hay d’: x’-2y’+8=0 . Bài 3. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC 1. ĐỊNH NGHĨA : * Cho đường thẳng d . Phép biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó . Biến mỗi điểm M không thuộc d thành điểm M’ sao cho d là đường trung trực của MM’ , được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d ( hay là phép đối xứng trục ) . Đường thẳng d gọi là trục đối xứng 2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC Ta chọn đường thẳng d trùng với trục Ox . Với mỗi điểm M(x;y) , gọi M’(x’;y’) là ảnh của M qua phép đối xứng trục thì : ' ' x x y y =   = −  ( Đó chính là biểu thức tọa độ ) 3. TÍNH CHẤT a/ Tính chất 1: Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ . b/ Tính chất 2: Phép đối xứng trục biến một đường thẳng thành một đường thẳng , biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó , biến một tam giác thành một tam giác bằng nó , biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính . 4. TRỤC ĐỐI XỨNG CỦA MỘT HÌNH Định nghĩa : Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 02403833608 Trang 5 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH * Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép dối xứng qua d biến hình H thành chính nó . 5. ỨNG DỤNG BÀI TOÁN 1. TÌM QUỸ TÍCH CỦA MỘT ĐIỂM Bài toán : Cho hình H và một điểm A thuộc hình H thay đổi . Tìm quỹ tích của điểm M khi A thay đổi . Cách giải . • Bước 1: Xét một vị trí bất kỳ của A và M . Sau dó tìm trên H có một đường thẳng cố định là trung trực của đoạn thẳng AM ( Chính là trục đối xứng ). • Nếu A chạy trên một đường (C ) nào đó , theo tính chất của phép dối xứng trục , thì M chạy trên đường (C’) là ảnh của (C ) qua phép đối xứng trục . Ví dụ 1. ( Bài 10-tr13-HH11NC ) . Cho hai điểm B,C cố định nằm trên đường tròn (O;R) và điểm A thay đổi trên đường tròn đó . Hãy dùng phép đối xứng trục để chứng minh rằng trực tâm H nằm trên một đường tròn cố định . Giải - Vẽ hình . Gọi H là giao ba đường cao của tam giác ABC . Kéo dài AH cắt (O;R) tại H’ . Nối CH’ - Chứng minh IH=IH’ . Thật vậy Ta có : 'A BCH∠ = ∠ ( Góc nội tiếp chẵn cung BH’ ).(1) Mặt khác : ( ) 2 ' CH AB A BCH CI AH ⊥  ⇒ ∠ = ∠  ⊥  . Từ (1) và (2) suy ra : 'BCH BCH ∠ = ∠ Chứng tỏ tam giác HCH’ là tam giác cân . Do BC vuông góc với HH’ , chứng tỏ BC là đường trung trực của HH’ . Hay H và H’ đối xứng nhau qua BC . Cho nên khi A chạy trên đường tròn (O;R) thì H’ cũng chạy trên (O;R) và H sẽ chạy trên đường tròn (O’;R) là ảnh của đường tròn (O;R) qua phép đối xứng trục BC - Giới hạn quỹ tích : Khi A trùng với B và C thì tam giác ABC suy biến thành đường thẳng . Vì thế trên đường tròn (O’;R) bỏ đi 2 điểm là ảnh của B,C . * Chú ý : Ta còn có cách khác chứng minh H và H’ đối xứng nhau qua BC . - Kẻ AA’ ( là đường kính của (O) ) suy ra BHCA’ là hình bình hành , cho nên BC đi qua trung điểm I của A’H . - A’H’ song song với BC ( vì cùng vuông góc với AH ) - Từ đó suy ra BC là đường trung bình của tam giác AHH’ – Có nghĩa là BC đi qua trung điểm của HH’ . Mặt khác AH vuông góc với BC suy ra BC là trục đối xứng của HH’ , hay H và H’ đối xứng nhau qua BC. Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có trực tâm H a/ Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác HAB,HBC,HCA có bán kính bằng nhau b/ Gọi 1 2 3 , ,O O O là tâm các đường tròn nói trên . Chứng minh rằng đường tròn đi qua ba điểm 1 2 3 , ,O O O bằng đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Giải . a/ Giả sử 1 O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC , thì theo bài taons của ví dụ 1 1 O chính là ảnh của (O) qua phép đối xứng trục BC . Cho nên bán kính của chúng Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 02403833608 Trang 6 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH bằng nhau . Tương tự hai đường tròn ngoại tiếp của hai tam giác còn lại có bán kính bằng bán kính của (O) . b/ Ta hoàn toàn chứng minh được 1 2 3 , ,O O O là các ảnh của O qua phép đối xứng trục BC,CA,AB . Vì vậy bán kính các đường tròn này bằng nhau . Mặt khác ta chứng minh tam giác ABC bằng tam giác 1 2 3 O O O . BÀI TOÁN 2. TÌM ĐIỂM CHO ĐƯỜNG THẲNG d VÀ HAI ĐIỂM A,B . TÌM ĐIỂM M THUỘC d SAO CHO MA+MB NHỎ NHẤT. ( Khi A,B là hai điểm nằm về một phía của d ), MA MB− ĐẠT GIÁ TRỊ LỚN NHẤT( A,B nằm về hai phía của d ) Cách giải : • Bước 1: Tìm điẻm A’ đối xứng với A qua đường thẳng d • Bước 2: Nối A’B , đường thẳng này cắt d tại M . Là điểm cần tìm . • Bước 3: Chứng minh M là điểm duy nhất . Ví dụ 1. (Bài 9-tr13- HH11NC) Cho góc nhọn xOy và một điểm A nằm trong góc đó . Hãy tìm điểm B trên Ox , điểm C trên Oy sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất . Giải . - Tìm A’ đối xứng với A qua Oy , B’ đối xứng với A qua Ox - Nối A’B’ cắt Ox tại B , cắt Oy tại C . Đó chính là hai điểm cần tìm - Chứng minh B,C là hai điểm duy nhất cần tìm . Thật vậy : Do A’ đối xứng với A qua Oy , cho nên CA=CA’ (1) . Mặt khác : B’ đối xứng với A qua Ox cho nên ta có BA=BB’ (2) . Gọi P là chu vi tam giác ABC thì P=CA+CB+BA =CA’+CB+BB’=A’B’ ( do từ (1) và (2) ). Ví dụ 2: Cho đường thẳng d và hai điểm A,B nằm cùng phía với d . Tìm điểm M trên d sao cho MA+MB đạt giá trị nhỏ nhất ? Giải - Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d - Nối A’B cắt d tại M . M chính là điểm cần tìm . - Thật vậy : Vì A’ đối xứng với A qua d cho nên MA=MA’ (1). Do đó : MA+MB=MA’+MB=A’B . - Giả sử tồn tại M’ khác M thuộc d thì : M’A+M’B=M’A’+M’B 'A B≥ . Dấu bằng chỉ xảy ra khi A’M’B thẳng hàng . Nghĩa là M trùng với M’ . Ví dụ 3. Cho đường thẳng d và hai điểm A,B ( nằm về hai phía của d ). Tìm điểm M trên d sao cho MA MB− đạt GTLN . Giải . - Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua d - Nối A’B cắt d tại M . M chính là điểm cần tìm . - Thật vậy : ' 'MA MB MA MB A B− = − = . Giả sử tồn tại một điểm M’ khác với M trên d , khi đó : ' ' ' ' ' 'M A M B M A M B A B− = − ≤ . Dấu bằng chỉ xảy ra khi M’A’B thẳng hàng , nghĩa là M trùng với M’. Ví dụ 4 . Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) và một đường thẳng d a/ Hãy tìm hai điểm M và M’ lần lượt nằm trên hai đường tròn đó sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM’ Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 02403833608 Trang 7 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH b/ Hãy xác định điểm I trên d sao cho tiếp tuyến IT với (O;R) và tiếp tuyến IT’ với (O’;R’) tạo thành một góc TIT’ nhận đường thẳng d là đường phân giác trong hoặc ngoài . Giải Vẽ hình : a/ Giả sử M nằm trên (O;R) và M’ nằm trên (O’;R’) tỏa mãn yêu cầu bài toán - Vì d là trung trực của MM’ cho nên M’ nằm trên đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (O;R) qua phép đối xứng trục d . Mặt khác M’ lại nằm trên (O’;R’) do vậy M’ là giao của (C’) với (O’;R’) - Từ đó suy ra cách tìm : • Tìm hai đường tròn ảnh của hai đường tròn đã cho qua phép đối xứng trục d ( Lần lượt là (C’) và (C’’) • Hai đường tròn này cắt hai đường tròn đã cho tại 1 2 ,M M . Sau đó kẻ hai đường thẳng d’’ và d’’’ qua 1 2 ,M M cắt (O;R) và (O’;R’) tại 1 2 ' ; 'M M • Các điểm cần tìm là ( ) 1 1 'M M và ( ) 2 2 'M M b/ Nếu MT và MT’ nhận d là phân giác trong hoặc ngoài của góc TIT’ thì MT và MT’ đối xứng nhau qua d . Từ đó suy ra cách tìm : - Gọi d’ là ảnh của MT qua phép đối xứng d nghĩa là d’ là tiếp tuyến của đường tròn (C ) là ảnh của (O;R) qua phép đối xứng trục d. Mặt khác d’ là tiếp tuyến của (O’;R’) . Cho d’ là tiếp tuyến chung của (C ) với (O’;R’) . Từ đó ta suy ra cách tìm M : • Tìm (C ) là ảnh của (O;R) qua phép đối xứng trục d • Kẻ d’ là tiếp tuyến chung của (C ) và (O’;R’) . Khi đó d’ cắt d tại M . Chính là điểm cần tìm . • Tương tự áp dụng cho (O’;R’) - Số nghiệm hình bằng số giao điểm của các tiếp tuyến chung cắt d . BÀI TOÁN :3 TÌM ĐIỂM ĐỐI XỨNG VỚI ĐIỂM QUA MỘT ĐƯỜNG THẲNG Bài toán : Cho điểm A(x;y) và một đường thẳng d : ax+by+c=0 . Tìm tọa độ điểm B đối xứng với điểm A qua đường thẳng d ? Cách giải : • Bước 1: Gọi B(x’;y’) là điểm đối xứng với A qua d và H là trung điểm của AB thì điều kiện : ( ) ( ) . 0 1 2 ABU H d  =   ∈   uuur ur • Bước 2: Giải hai điều kiện (1) và (2) suy ra tọa độ của B Ví dụ 1. Cho điểm M(2;3) tìm tọa độ điểm N đối xứng với M qua đường thẳng d : y=x Giải - Gọi N(x;y) là điểm đối xứng với M qua d và H là trung điểm của MN thì M,N đối xứng nhau qua d thì điều kiện là : ( ) ( ) . 0 1 2 MN U H d  =   ∈   uuuur ur - Ta có : ( ) ( ) 2 3 2; 3 1;1 ; 2 2 x y MN x y U H + +   = − − = =  ÷   uuuur ur . Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 02403833608 Trang 8 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH - Điều kiện (*) ( ) ( ) ( ) 2 .1 3 .1 0 5 2 3;2 2 3 1 3 2 2 x y x y y N x y x y x − + − =  + = =    ⇔ ⇔ ⇒ ⇔ =    + + = + = =     Ví dụ 2. Cho điểm M(2;-3) . Tìm ảnh của điểm M qua phép đối xứng trục d : y-2x=0 Giải - Gọi N(x;y) là điểm đối xứng với M qua d và H là trung điểm của MN thì M,N đối xứng nhau qua d thì điều kiện là : ( ) ( ) . 0 1 2 MN U H d  =   ∈   uuuur ur - Ta có : ( ) ( ) 2 3 2; 3 1;2 ; 2 2 x y MN x y U H + −   = − + = =  ÷   uuuur ur . - Điều kiện (*) ( ) ( ) 1 2 .1 3 .2 0 2 4 0 14 1 3 ; 2 3 5 14 3 3 2 2 3 x y y x y N x y y x x  − + + =  =  + + =      ⇔ ⇔ ⇒ ⇔ = −    + −  ÷ = +  =    = −    BÀI TOÁN :4 CHO ĐƯỜNG (C ) VÀ ĐƯỜNG THẲNG d HÃY VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG (C’) LÀ ẢNH CỦA (C ) QUA PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC d CÁCH GIẢI • Bước 1: Trên đường (C ) lấy hai điểm A,B • Bước 2: Tìm hai điểm A’,B’ đối xứng với A,B qua phép đối xứng trục d • Bước 3: Viết phương trình đường (C’) đi qua A’,B’ Ví dụ 1: Cho đường thẳng d : x-2y-2=0 và đường thẳng d’: y=x . Lập phương trình đường thẳng (m) đối xứng với đường thẳng d’ qua đường thẳng d . Giải - Tìm giao của d và d’ bằng A(x;y) là nghiệm của hệ : 2 2 0 2 0 2 x y x x y y − − = = −   ⇒   − = = −   .A(-2;-2) - Trên d’ lấy điểm M (3;3) . Gọi N(x;y ) là điểm đối xứng với M qua d .Gọi H là trungđiểm của MN thì điều kiện để M,N đối xứng nhau qua d là : ( ) ( ) . 0 1 2 MN U H d  =   ∈   uuuur ur (*) - Ta có : ( ) ( ) 3 3 3; 3 2;1 ; 2 2 x y MN x y U H + +   = − − = =  ÷   uuuur ur - Điều kiện (*) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 .1 0 2x 9 5 5; 1 3 3 2 7 1 2. 2 0 2 2 x y y x N x y x y y − + − = + = =    ⇔ ⇔ ⇒ ↔ = −    + +   − = = − − − =    ÷     . - Đường thẳng (m) là đường thẳng đi qua AN có véc tơ chỉ phương là ( ) 7;1AN = uuur , nên (m) có phương trình là : 2 2 7 12 0 7 1 x y x y + + = ⇔ − − = . Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 02403833608 Trang 9 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH Ví dụ 2. Cho hai đường thẳng d: 2x-y+2=0 ; d’ : x+3y-3=0 . Lập phương trình đường thẳng (m) đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng d’ . Giải - Tìm tọa độ điểm A là giao của d với d’ . Khi đó tọa độ A là nghiệm của hệ hai phương trình : 3 2x 2 0 3 8 7 ; 3 3 0 8 7 7 7 x y A x y y  = −  − + =     ⇔ ⇒ = −    ÷ + − =     =   - Trên đường thẳng d chọn điểm M(0;2) - Tìm tọa độ điểm N đối xứng với M qua đường thẳng d’ . Khi đó nếu M,N đối xứng nhau qua d’ thì điều kiện : ( ) ( ) . 0 1 2 MN U H d  =   ∈   uuuur ur (*) Với H là trung điểm của MN , U ur là véc tơ chỉ phương của d’ . Ta có : ( ) ( ) 2 ; 2 3; 1 ; 2 2 x y MN x y U H +   = − = − =  ÷   uuuur ur . - Điều kiện (*) ( ) 3 3x. 2 .1 0 3x- 2 3 1 5 ; 2 3 0 1 5 5 3. 3 0 2 2 5 y x y N x y x y y  − − = = −  = −      ⇔ ⇔ ⇒ ↔ = −    +  ÷   + = + − =     ÷   =      - Đường thẳng (m) =(AN) đi qua 3 1 ; 5 5 N   = −  ÷   và có véc tơ chỉ phương ( ) 6 33 ; / / 2;11 35 35 AN U   = − − =  ÷   uuur ur . Do đó (m) : 3 1 5 5 0 11x 2 7 0 2 11 x y y + − = = ⇔ − + = . Ví dụ 3 . Cho đường tròn (C ) : 2 2 4x 2 1 0x y y+ − + + = và đường thẳng d : 2x-y+2=0. Hãy viết phương trình của đường tròn (C’) là ảnh của (C ) qua phép đối xứng trục d . Giải Do tính chất của phép đối xứng trục biến (C ) thành (C’) có cùng bán kính . Cho nên ta chỉ cần tìm tọa độ tâm I’ của (C’) đối xứng với tâm I của (C ) . Vậy từ giả thiết ta có tâm I của (C ) có tọa độ : I(2;-1) và R=2 . - Gọi I’(x;y ) là tâm của (C’)H là trung điểm của II’ , ( ) 1;2U = ur là véc tơ chỉ phương của đường thẳng d . Để I’ đối xứng với I qua d thì điều kiện : ( ) ( ) '. 0 1 2 II U H d  =   ∈   uur ur (*) -Ta có : ( ) ( ) 2 1 ' 2; 1 1;2 ; 2 2 x y II x y U H + −   = − + = =  ÷   uur ur . - Điều kiện (*) ( ) ( ) ( ) x-2 .1 1 .2 0 x+ 0 1 ' 3;3 2 1 2 9 0 1 2. 2 0 2 2 y y x I x y x y y + + = = =    ⇔ ⇔ ⇒ ↔ = −    + −     − + = = − − + =    ÷  ÷       - Vậy (C’): ( ) ( ) 2 2 3 3 4x y+ + − = . Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 02403833608 Trang 10 [...]... Trường hợp I khác I’ và R=R’ Khi đó MM’//II’ nên chỉ có phép vị tự tâm O’ với k=-1 Đó chính là phép đối xứng IV CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP BÀI TOÁN 1 : TÌM ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA MỘT PHÉP VỊ TỰ Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 02403833608 Trang 18 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH Sử dụng định nghĩa và các tính chất của phép vị tự Từ định nghía nếu tâm vị tự là I(a;b) , điểm... 600 Rõ ràng A biến thành B và A’ biến thành B’ , vì thế cho nên phép quay đã biến đoạn thẳng AA’ thành đoạn thẳng BB’ Từ đó suy ra phép quay đã biến C thành D , do đó OC=OD Vì góc quay bằng 600 cho nên tam giác cân OCD là tam giác đều Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 02403833608 Trang 15 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH Ví dụ 2 ( Bài 43-tr11-BTHH11NC )Về phía ngoài của... thẳng BC qua phép quay tâm O góc quay 900 Giải a/ Từ hình vẽ ta thấy ảnh của C qua phép quay tâm A góc 900 là C’ hoặc C’’ sao cho các tam giác ACC’ và ACC’’ là các tam giác vuông cân Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 02403833608 Trang 17 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH b/ Ta nhận thấy ảnh của C qua phép quay tâm O góc quay 900 là B hoặc D Còn ảnh của B qua phép quay tâm... + ( y − b) cos α (IVb) ( Chứng minh cho HS ) 4 Các ứng dụng của phép quay và đối xứng tâm BÀI TOÁN 1: BÀI TOÁN QUỸ TÍCH ĐIỂM Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 02403833608 Trang 13 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH Bài toán : Cho hình H và một điểm M thay đổi trên đường (C ) ( thuộc H ) Tìm quỹ tích của điểm N khi M thay đổi Cách giải : • Bước 1: Tìm một điểm I cố định sao... Để làm được dạng bài toán chứng minh ta cần phải lắm chắc kiến thức về phép đối xứng tâm và phép quay Đồng thời phải nhớ lại các kiến thức về tam giác , tứ giác : Hình bình hành , hình vuông , hình chữ nhật Ví dụ 1 ( Bài toán 1-tr17-HH11NC) Cho hai tam giác đều OAB và OA’B’ Gọi C và D lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AA’ và BB’ Chứng minh rằng OCD là tam giác đều ? Giải Xét phép quay tâm... thành điểm M’ sao cho OM=OM’và góc (OM;OM’)= ϕ Được gọi là phép quay tâm O góc quay là ϕ 2 Định lý : Phép quay là phép dời hình 3 Phép đối xứng tâm * Định nghĩa : Phép đối xứng qua điểm O là một phépubiến u u r biến mỗi điểm M hình , u ur u uu u r thành điểm M’ đối xứng với M qua O , có nghĩa là : OM + OM ' = 0 * Ký hiệu và các thuật ngữ : Phép đối xứng tâm O ký hiệu : DO Trong đó O là tâm đối xứng...CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH x2 y2 Ví dụ 4 Cho (E) : + = 1 Và đường thẳng d : x+y-2=0 Lập phương trình (E’) là 9 4 ảnh của (E) qua phép đối xứng trục d Giải - Vẽ (E) chỉ ra tọa độ các đỉnh của trục lớn : A(3;0) ,A’(-3;0) và tọa độ hai đỉnh của trục nhỏ : B(0;2) ;B’(0;-2 ) - Tìm tọa độ của 4 đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là ảnh của 4 đỉnh hình chữ nhật... giác vuông cân BÀI TOÁN 4: TÌM ẢNH CỦA MỘT HÌNH BẰNG PHÉP QUAY VÀ PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM CÁCH GIẢI Sử dụng các định nghĩa , tính chất của phép quay và phép đối xứng tâm cùng với biểu thức tọa độ của chúng Ví dụ 1 ( Bài 1-tr15-HH11CB) Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(-1;3) và đường thẳng d có phương trình : x-2y+3=0 Tìm ảnh của A và d qua phép đối xứng tâm O Giải - Gọi A’(x;y) là ảnh của A qua phép đối xứng... Do đó (A’B):  Bài 6 Tương tự cách làm bài tập 5 , ta có tạo độ A’(x;y) đối xứng với A(4;3) qua d là 3   x − 3 − ( y − 3) = 0 x = 2 x− y =0    3 3 ⇔ ⇔ ⇒ A ' =  ; ÷ nghiệm của hệ :  x + 4   y − 3  2 2 x + y − 3 = 0  2 ÷+  2 ÷− 2 = 0 y = 3       2 Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 02403833608 Trang 12 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH u ur  7...  6  y = 5  Bài 7 Tìm tọa độ hai điểm M,N lần lượt là ảnh của A qua phép đối xứng trục là hai đường phân giác của hai góc B và C , thì M,N phải nằm trên BC Từ đó đường thẳng (BC) chính là đường thẳng (MN) : y+1=0 Bài 4 PHÉP QUAY VÀ PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM 1 Định nghĩa phép quay * Trong mặt phẳng cho điểm O cố định và góc lượng giác ϕ không đổi Phép biến hình biến điểm O thành điểm O, biến điểm M khác . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH PHÉP TỊNH TIẾN I.Tóm tắt lý thuyết : 1. Định nghĩa. là phép dời hình vì theo định nghĩa : Phép dời hình là phép biến hình biến hai điểm thành hai điểm mà không làm thay đổi khoảng cách giữa chúng . Bài 3. a/ Bài 2- trang 7. - Từ B và C kẻ các. đối xứng tâm . BÀI TOÁN 1: BÀI TOÁN QUỸ TÍCH ĐIỂM Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 02403833608 Trang 13 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH Bài toán : Cho hình H và một