Năm 2006,John Clark và các cộng sự xuất bản cuốn sách chuyên khảo "LiftingModules".Một R−môđun M được gọi là môđun nâng nếu mọi môđun con N của M đều chứa một hạng tử trực tiếp X của M s
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN
TÊN MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ MÔĐUN NÂNG VÀ
MÔĐUN NÂNG CHÍNH
BÁO CÁO TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ
Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Người hướng dẫn khoa học:
Tổng số Frames: 28
, NGÀY/THÁNG/NĂM
Trang 21 Mở đầu
2 Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
3 Chương 2: Môđun nâng.
4 Chương 3: Môđun nâng chính.
5 Kết luận
6 Tài liệu tham khảo
Trang 31 Mở đầu
2 Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
3 Chương 2: Môđun nâng.
4 Chương 3: Môđun nâng chính.
5 Kết luận
6 Tài liệu tham khảo
Trang 41 Mở đầu
2 Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
3 Chương 2: Môđun nâng.
4 Chương 3: Môđun nâng chính.
5 Kết luận
6 Tài liệu tham khảo
Trang 51 Mở đầu
2 Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
3 Chương 2: Môđun nâng.
4 Chương 3: Môđun nâng chính.
5 Kết luận
6 Tài liệu tham khảo
Trang 61 Mở đầu
2 Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
3 Chương 2: Môđun nâng.
4 Chương 3: Môđun nâng chính.
5 Kết luận
6 Tài liệu tham khảo
Trang 71 Mở đầu
2 Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
3 Chương 2: Môđun nâng.
4 Chương 3: Môđun nâng chính.
5 Kết luận
6 Tài liệu tham khảo
Trang 8Khái niệm môđun nâng (lifting module) có nguồn gốc từ lý thuyếtcác vành hoàn chỉnh và các môđun có phủ xạ ảnh Môđun nâng đượcgiới thiệu và nghiên cứu lần đầu tiên bởi Takeuchi vào năm 1976 vàđược nghiên cứu rộng rãi từ những năm 1980 trở lại đây Năm 2006,John Clark và các cộng sự xuất bản cuốn sách chuyên khảo "LiftingModules".
Một R−môđun M được gọi là môđun nâng nếu mọi môđun con N của
M đều chứa một hạng tử trực tiếp X của M sao cho N/X là môđun con nhỏ trong M/X (hay còn nói, mọi môđun con của M đều chặn trên
một hạng tử trực tiếp) Một môđun không phân tích được là môđunnâng nếu và chỉ nếu nó là môđun lõm
Trang 9Khái niệm môđun nâng (lifting module) có nguồn gốc từ lý thuyếtcác vành hoàn chỉnh và các môđun có phủ xạ ảnh Môđun nâng đượcgiới thiệu và nghiên cứu lần đầu tiên bởi Takeuchi vào năm 1976 vàđược nghiên cứu rộng rãi từ những năm 1980 trở lại đây Năm 2006,John Clark và các cộng sự xuất bản cuốn sách chuyên khảo "LiftingModules".
Một R−môđun M được gọi là môđun nâng nếu mọi môđun con N của
M đều chứa một hạng tử trực tiếp X của M sao cho N/X là môđun con nhỏ trong M/X (hay còn nói, mọi môđun con của M đều chặn trên
một hạng tử trực tiếp) Một môđun không phân tích được là môđunnâng nếu và chỉ nếu nó là môđun lõm
Trang 10Luận văn:
" Một số vấn đề về môđun nâng và môđun nâng chính"
tập hợp và trình bày một số kết quả về môđun nâng và môđun nângchính, đồng thời, dựa trên ý tưởng các kết quả về môđun nâng, chúngtôi khảo sát lớp các môđun nâng chính và đã thu được một vài kết quảmới về sự phân tích một môđun nâng chính thành tổng trực tiếp nhữngmôđun con không phân tích được
Trang 11Luận văn:
" Một số vấn đề về môđun nâng và môđun nâng chính"
tập hợp và trình bày một số kết quả về môđun nâng và môđun nângchính, đồng thời, dựa trên ý tưởng các kết quả về môđun nâng, chúngtôi khảo sát lớp các môđun nâng chính và đã thu được một vài kết quảmới về sự phân tích một môđun nâng chính thành tổng trực tiếp nhữngmôđun con không phân tích được
Trang 12Luận văn:
" Một số vấn đề về môđun nâng và môđun nâng chính"
tập hợp và trình bày một số kết quả về môđun nâng và môđun nângchính, đồng thời, dựa trên ý tưởng các kết quả về môđun nâng, chúngtôi khảo sát lớp các môđun nâng chính và đã thu được một vài kết quảmới về sự phân tích một môđun nâng chính thành tổng trực tiếp nhữngmôđun con không phân tích được
Trang 13Chương 1 : Kiến thức chuẩn bị
Chương 2 : Môđun nâng:Trong chương này chúng tôi trình bày cáckết quả về đặc trưng môđun nâng; sự phân tích của môđun nâng vàtổng trực tiếp những môđun nâng các kết quả này được dẫn từ tài liệu[2]
Chương 3 : Môđun nâng chính:Nội dung chương này bao gồm một
số kết quả đã công bố trong [3], và một vài kết quả chúng tôi mới thuđược về môđun nâng chính trong quá trình thực hiện đề tài luận văn
Trang 14Chương 1 : Kiến thức chuẩn bị
Chương 2 : Môđun nâng:Trong chương này chúng tôi trình bày cáckết quả về đặc trưng môđun nâng; sự phân tích của môđun nâng vàtổng trực tiếp những môđun nâng các kết quả này được dẫn từ tài liệu[2]
Chương 3 : Môđun nâng chính:Nội dung chương này bao gồm một
số kết quả đã công bố trong [3], và một vài kết quả chúng tôi mới thuđược về môđun nâng chính trong quá trình thực hiện đề tài luận văn
Trang 15Chương 1 : Kiến thức chuẩn bị
Chương 2 : Môđun nâng:Trong chương này chúng tôi trình bày cáckết quả về đặc trưng môđun nâng; sự phân tích của môđun nâng vàtổng trực tiếp những môđun nâng các kết quả này được dẫn từ tài liệu[2]
Chương 3 : Môđun nâng chính:Nội dung chương này bao gồm một
số kết quả đã công bố trong [3], và một vài kết quả chúng tôi mới thuđược về môđun nâng chính trong quá trình thực hiện đề tài luận văn
Trang 16Chương 1 : Kiến thức chuẩn bị
Chương 2 : Môđun nâng:Trong chương này chúng tôi trình bày cáckết quả về đặc trưng môđun nâng; sự phân tích của môđun nâng vàtổng trực tiếp những môđun nâng các kết quả này được dẫn từ tài liệu[2]
Chương 3 : Môđun nâng chính:Nội dung chương này bao gồm một
số kết quả đã công bố trong [3], và một vài kết quả chúng tôi mới thuđược về môđun nâng chính trong quá trình thực hiện đề tài luận văn
Trang 301.2.7 Môđun đối độc lập.
1.2.8 Chiều hollow hữu hạn.
1.2.9 Sự phân tích trao đổi.
1.2.10 Hạng tử trực tiếp địa phương 1.2.12 Căn và đế của môđun.
Trang 311.2.7 Môđun đối độc lập.
1.2.8 Chiều hollow hữu hạn.
1.2.9 Sự phân tích trao đổi.
1.2.10 Hạng tử trực tiếp địa phương 1.2.12 Căn và đế của môđun.
Trang 321.2.7 Môđun đối độc lập.
1.2.8 Chiều hollow hữu hạn.
1.2.9 Sự phân tích trao đổi.
1.2.10 Hạng tử trực tiếp địa phương 1.2.12 Căn và đế của môđun.
Trang 331.2.7 Môđun đối độc lập.
1.2.8 Chiều hollow hữu hạn.
1.2.9 Sự phân tích trao đổi.
1.2.10 Hạng tử trực tiếp địa phương 1.2.12 Căn và đế của môđun.
Trang 341.2.7 Môđun đối độc lập.
1.2.8 Chiều hollow hữu hạn.
1.2.9 Sự phân tích trao đổi.
1.2.10 Hạng tử trực tiếp địa phương 1.2.12 Căn và đế của môđun.
Trang 352.1 Đặc trưng của môđun nâng.
2.2 Sự phân tích của môđun nâng.
2.3 Tổng trực tiếp hữu hạn của các môđun nâng.
Trang 362.1 Đặc trưng của môđun nâng.
2.2 Sự phân tích của môđun nâng.
2.3 Tổng trực tiếp hữu hạn của các môđun nâng.
Trang 372.1 Đặc trưng của môđun nâng.
2.2 Sự phân tích của môđun nâng.
2.3 Tổng trực tiếp hữu hạn của các môđun nâng.
Trang 38Định nghĩa 2.1.1.
Một môđun con U của R−môđun M gọi là chặn trên một hạng tử trực tiếp nếu tồn tại một hạng tử trực tiếp X của M sao cho X ⊆ U và U/X M/X .
Trang 39Định lí 2.1.2
Đối với một môđun con U của R−môđun M, các điều kiện sau là tương đương:
(a) U chặn trên một hạng tử trực tiếp của M;
(b) Tồn tại một hạng tử trực tiếp X ⊆ M và một môđun con Y của
M với X ⊆ U, U = X + Y và Y M;
(c) Tồn tại sự phân tích M = X ⊕ X0, với X ⊆ U và X0∩ U X0;
(d) U có phần phụ V trong M sao cho U ∩ V là một hạng tử trực tiếp trong U;
(e) Tồn tại một lũy đẳng e ∈ End(M) sao cho e(M) ⊂ U và (1 − e)(U) (1 − e)(M).
Trang 40Định lí 2.1.2
Đối với một môđun con U của R−môđun M, các điều kiện sau là tương đương:
(a) U chặn trên một hạng tử trực tiếp của M;
(b) Tồn tại một hạng tử trực tiếp X ⊆ M và một môđun con Y của
M với X ⊆ U, U = X + Y và Y M;
(c) Tồn tại sự phân tích M = X ⊕ X0, với X ⊆ U và X0∩ U X0;
(d) U có phần phụ V trong M sao cho U ∩ V là một hạng tử trực tiếp trong U;
(e) Tồn tại một lũy đẳng e ∈ End(M) sao cho e(M) ⊂ U và (1 − e)(U) (1 − e)(M).
Trang 41Định lí 2.1.2
Đối với một môđun con U của R−môđun M, các điều kiện sau là tương đương:
(a) U chặn trên một hạng tử trực tiếp của M;
(b) Tồn tại một hạng tử trực tiếp X ⊆ M và một môđun con Y của
M với X ⊆ U, U = X + Y và Y M;
(c) Tồn tại sự phân tích M = X ⊕ X0, với X ⊆ U và X0∩ U X0;
(d) U có phần phụ V trong M sao cho U ∩ V là một hạng tử trực tiếp trong U;
(e) Tồn tại một lũy đẳng e ∈ End(M) sao cho e(M) ⊂ U và (1 − e)(U) (1 − e)(M).
Trang 42Định lí 2.1.2
Đối với một môđun con U của R−môđun M, các điều kiện sau là tương đương:
(a) U chặn trên một hạng tử trực tiếp của M;
(b) Tồn tại một hạng tử trực tiếp X ⊆ M và một môđun con Y của
M với X ⊆ U, U = X + Y và Y M;
(c) Tồn tại sự phân tích M = X ⊕ X0, với X ⊆ U và X0∩ U X0;
(d) U có phần phụ V trong M sao cho U ∩ V là một hạng tử trực tiếp trong U;
(e) Tồn tại một lũy đẳng e ∈ End(M) sao cho e(M) ⊂ U và (1 − e)(U) (1 − e)(M).
Trang 43Định lí 2.1.2
Đối với một môđun con U của R−môđun M, các điều kiện sau là tương đương:
(a) U chặn trên một hạng tử trực tiếp của M;
(b) Tồn tại một hạng tử trực tiếp X ⊆ M và một môđun con Y của
M với X ⊆ U, U = X + Y và Y M;
(c) Tồn tại sự phân tích M = X ⊕ X0, với X ⊆ U và X0∩ U X0;
(d) U có phần phụ V trong M sao cho U ∩ V là một hạng tử trực tiếp trong U;
(e) Tồn tại một lũy đẳng e ∈ End(M) sao cho e(M) ⊂ U và (1 − e)(U) (1 − e)(M).
Trang 44Định lí 2.1.2
Đối với một môđun con U của R−môđun M, các điều kiện sau là tương đương:
(a) U chặn trên một hạng tử trực tiếp của M;
(b) Tồn tại một hạng tử trực tiếp X ⊆ M và một môđun con Y của
M với X ⊆ U, U = X + Y và Y M;
(c) Tồn tại sự phân tích M = X ⊕ X0, với X ⊆ U và X0∩ U X0;
(d) U có phần phụ V trong M sao cho U ∩ V là một hạng tử trực tiếp trong U;
(e) Tồn tại một lũy đẳng e ∈ End(M) sao cho e(M) ⊂ U và
(1 − e)(U) (1 − e)(M).
Trang 45Định nghĩa 2.1.3.
Môđun M được gọi là nâng nếu mọi môđun con N của M đều chặn trên một hạng tử trực tiếp X của M, có nghĩa là, N chứa một hạng tử trực tiếp của M sao cho N/X M/X.
Mệnh đề 2.1.4
Giả sử M là một môđun nâng Thế thì:
(1) Mọi môđun con đối đóng của M là một hạng tử trực tiếp;
(2) M là môđun phụ đầy đủ;
(3) M là lõm khi và khi M không phân tích được;
(4) Nếu N ≤ M là một môđun con bất biến của M thì M/N là
một môđun nâng.
Trang 46Định nghĩa 2.1.3.
Môđun M được gọi là nâng nếu mọi môđun con N của M đều chặn trên một hạng tử trực tiếp X của M, có nghĩa là, N chứa một hạng tử trực tiếp của M sao cho N/X M/X.
Mệnh đề 2.1.4
Giả sử M là một môđun nâng Thế thì:
(1) Mọi môđun con đối đóng của M là một hạng tử trực tiếp; (2) M là môđun phụ đầy đủ;
(3) M là lõm khi và khi M không phân tích được;
(4) Nếu N ≤ M là một môđun con bất biến của M thì M/N là
một môđun nâng.
Trang 47Định nghĩa 2.1.3.
Môđun M được gọi là nâng nếu mọi môđun con N của M đều chặn trên một hạng tử trực tiếp X của M, có nghĩa là, N chứa một hạng tử trực tiếp của M sao cho N/X M/X.
Mệnh đề 2.1.4
Giả sử M là một môđun nâng Thế thì:
(1) Mọi môđun con đối đóng của M là một hạng tử trực tiếp; (2) M là môđun phụ đầy đủ;
(3) M là lõm khi và khi M không phân tích được;
(4) Nếu N ≤ M là một môđun con bất biến của M thì M/N là
một môđun nâng.
Trang 48Định nghĩa 2.1.3.
Môđun M được gọi là nâng nếu mọi môđun con N của M đều chặn trên một hạng tử trực tiếp X của M, có nghĩa là, N chứa một hạng tử trực tiếp của M sao cho N/X M/X.
Mệnh đề 2.1.4
Giả sử M là một môđun nâng Thế thì:
(1) Mọi môđun con đối đóng của M là một hạng tử trực tiếp; (2) M là môđun phụ đầy đủ;
(3) M là lõm khi và khi M không phân tích được;
(4) Nếu N ≤ M là một môđun con bất biến của M thì M/N là
một môđun nâng.
Trang 54Mệnh đề 2.1.7.
Mọi hạng tử trực tiếp của một môđun nâng là môđun nâng.
Trang 55Cho M là một môđun nâng và Rad(M) thỏa mãn (ACC) trên các hạng
tử trực tiếp Thế thì, M là một tổng trực tiếp của một môđun nửa đơn
và một tổng trực tiếp hữu hạn của những môđun lõm.
Trang 56Cho M là một môđun nâng và Rad(M) thỏa mãn (ACC) trên các hạng
tử trực tiếp Thế thì, M là một tổng trực tiếp của một môđun nửa đơn
và một tổng trực tiếp hữu hạn của những môđun lõm.
Trang 58Định lí 2.2.7.
R−môđun nâng M được phân tích thành tổng trực tiếp những môđun con lõm nếu M thỏa mãn một trong những điều kiện sau:
1) M có chiều unifrom hữu hạn;
2) M có chiều hollow hữu hạn;
3) M là hữu hạn sinh;
4) M là hữu hạn đối sinh;
5) Rad(M) thỏa (ACC) trên các hạng tử trực tiếp;
6) M thỏa (ACC) trên các môđun con nhỏ;
7) M thỏa (DCC) trên các môđun con nhỏ.
Trang 59Định lí 2.2.7.
R−môđun nâng M được phân tích thành tổng trực tiếp những môđun con lõm nếu M thỏa mãn một trong những điều kiện sau:
1) M có chiều unifrom hữu hạn;
2) M có chiều hollow hữu hạn;
3) M là hữu hạn sinh;
4) M là hữu hạn đối sinh;
5) Rad(M) thỏa (ACC) trên các hạng tử trực tiếp;
6) M thỏa (ACC) trên các môđun con nhỏ;
7) M thỏa (DCC) trên các môđun con nhỏ.
Trang 60Định lí 2.2.7.
R−môđun nâng M được phân tích thành tổng trực tiếp những môđun con lõm nếu M thỏa mãn một trong những điều kiện sau:
1) M có chiều unifrom hữu hạn;
2) M có chiều hollow hữu hạn;
3) M là hữu hạn sinh;
4) M là hữu hạn đối sinh;
5) Rad(M) thỏa (ACC) trên các hạng tử trực tiếp;
6) M thỏa (ACC) trên các môđun con nhỏ;
7) M thỏa (DCC) trên các môđun con nhỏ.
Trang 61Định lí 2.2.7.
R−môđun nâng M được phân tích thành tổng trực tiếp những môđun con lõm nếu M thỏa mãn một trong những điều kiện sau:
1) M có chiều unifrom hữu hạn;
2) M có chiều hollow hữu hạn;
3) M là hữu hạn sinh;
4) M là hữu hạn đối sinh;
5) Rad(M) thỏa (ACC) trên các hạng tử trực tiếp;
6) M thỏa (ACC) trên các môđun con nhỏ;
7) M thỏa (DCC) trên các môđun con nhỏ.
Trang 62Định lí 2.2.7.
R−môđun nâng M được phân tích thành tổng trực tiếp những môđun con lõm nếu M thỏa mãn một trong những điều kiện sau:
1) M có chiều unifrom hữu hạn;
2) M có chiều hollow hữu hạn;
3) M là hữu hạn sinh;
4) M là hữu hạn đối sinh;
5) Rad(M) thỏa (ACC) trên các hạng tử trực tiếp;
6) M thỏa (ACC) trên các môđun con nhỏ;
7) M thỏa (DCC) trên các môđun con nhỏ.
Trang 63Định lí 2.2.7.
R−môđun nâng M được phân tích thành tổng trực tiếp những môđun con lõm nếu M thỏa mãn một trong những điều kiện sau:
1) M có chiều unifrom hữu hạn;
2) M có chiều hollow hữu hạn;
3) M là hữu hạn sinh;
4) M là hữu hạn đối sinh;
5) Rad(M) thỏa (ACC) trên các hạng tử trực tiếp;
6) M thỏa (ACC) trên các môđun con nhỏ;
7) M thỏa (DCC) trên các môđun con nhỏ.
Trang 64Định lí 2.2.7.
R−môđun nâng M được phân tích thành tổng trực tiếp những môđun con lõm nếu M thỏa mãn một trong những điều kiện sau:
1) M có chiều unifrom hữu hạn;
2) M có chiều hollow hữu hạn;
3) M là hữu hạn sinh;
4) M là hữu hạn đối sinh;
5) Rad(M) thỏa (ACC) trên các hạng tử trực tiếp;
6) M thỏa (ACC) trên các môđun con nhỏ;
7) M thỏa (DCC) trên các môđun con nhỏ.
Trang 65Định lí 2.2.8.
Cho N là một môđun nâng với một sự phân tích trao đổi không phân tích được và giả sử M là một môđun nâng đồng thời là ảnh toàn cấu của N Thế thì M là một tổng trực tiếp của những môđun không phân tích được.
Định lí 2.2.9.
Cho M là một môđun nâng sao cho Rad(N) N với mọi môđun con
N ≤ M Thế thì, mọi hạng tử trực tiếp địa phương của M là một hạng
tử trực tiếp và do đó M là một tổng trực tiếp của những môđun lõm.
Trang 66Định lí 2.2.8.
Cho N là một môđun nâng với một sự phân tích trao đổi không phân tích được và giả sử M là một môđun nâng đồng thời là ảnh toàn cấu của N Thế thì M là một tổng trực tiếp của những môđun không phân tích được.
Định lí 2.2.9.
Cho M là một môđun nâng sao cho Rad(N) N với mọi môđun con
N ≤ M Thế thì, mọi hạng tử trực tiếp địa phương của M là một hạng
tử trực tiếp và do đó M là một tổng trực tiếp của những môđun lõm.
Trang 673.1 Phạm trù σ[M].
3.2 Môđun nửa hoàn thiện.
3.3 Môđun hoàn thiện.
Trang 683.1 Phạm trù σ[M].
3.2 Môđun nửa hoàn thiện.
3.3 Môđun hoàn thiện.
Trang 693.1 Phạm trù σ[M].
3.2 Môđun nửa hoàn thiện.
3.3 Môđun hoàn thiện.
Trang 70Cho M là một R- môđun Môđun N được gọi là sinh bởi M hay
M - sinh nếu N là ảnh toàn cấu của tổng trực tiếp M(∧)với một tập ∧
nào đó Môđun L được gọi là thứ sinh bởi M hoặc M- thứ sinh nếu L đẳng cấu với môđun con của một môđun M- sinh Kí hiệu σ[M] là phạm trù con đầy của phạm trù R- Mod mà các vật của σ[M] là các môđun M- thứ sinh.
Môđun P thuộc σ[M] được gọi là xạ ảnh trong σ[M] nếu P là N- xạ ảnh với mọi N ∈ σ[M].
Cho N, P là hai môđun thuộc σ[M] Một toàn cấu p : P −→ N trong đó, P là xạ ảnh trong σ[M] và Kerp P, được gọi là phủ xạ ảnh của N trong σ[M] hay σ[M]-phủ xạ ảnh.
Phủ xạ ảnh của một môđun trong σ[M] không nhất thiết tồn tại.
Tuy nhiên, nếu tồn tại, phủ xạ ảnh xác định duy nhất và sai khác đẳngcấu