M với X⊆ U, +Y và Y ;
7) M thỏa (DCC) trên các môđun con nhỏ.
3.2 Môđun nửa hoàn thiện 3.3 Môđun hoàn thiện.
3.1 Phạm trùσ[M].
3.2 Môđun nửa hoàn thiện.3.3 Môđun hoàn thiện. 3.3 Môđun hoàn thiện.
3.1 Phạm trùσ[M].
3.2 Môđun nửa hoàn thiện.3.3 Môđun hoàn thiện. 3.3 Môđun hoàn thiện.
ChoMlà mộtR- môđun. MôđunNđược gọi là sinh bởiMhay
M- sinh nếuNlà ảnh toàn cấu của tổng trực tiếpM(∧)với một tập∧ nào đó. MôđunLđược gọi là thứ sinh bởiMhoặcM- thứ sinh nếuL
đẳng cấu với môđun con của một môđunM- sinh. Kí hiệuσ[M]là phạm trù con đầy của phạm trùR- Mod mà các vật củaσ[M]là các môđunM- thứ sinh.
MôđunPthuộcσ[M]được gọi là xạ ảnh trongσ[M]nếuPlàN- xạ
ảnh với mọiN ∈σ[M].
ChoN,Plà hai môđun thuộcσ[M]. Một toàn cấup:P−→N
trong đó,Plà xạ ảnh trongσ[M]vàKerpP, được gọi là phủ xạ ảnh
củaNtrongσ[M]hayσ[M]-phủ xạ ảnh.
Phủ xạ ảnh của một môđun trongσ[M]không nhất thiết tồn tại. Tuy nhiên, nếu tồn tại, phủ xạ ảnh xác định duy nhất và sai khác đẳng cấu.
ChoMlà mộtR- môđun. MôđunNđược gọi là sinh bởiMhay
M- sinh nếuNlà ảnh toàn cấu của tổng trực tiếpM(∧)với một tập∧ nào đó. MôđunLđược gọi là thứ sinh bởiMhoặcM- thứ sinh nếuL
đẳng cấu với môđun con của một môđunM- sinh. Kí hiệuσ[M]là phạm trù con đầy của phạm trùR- Mod mà các vật củaσ[M]là các môđunM- thứ sinh.
MôđunPthuộcσ[M]được gọi là xạ ảnh trongσ[M]nếuPlàN- xạ ảnh với mọiN ∈σ[M].
ChoN,Plà hai môđun thuộcσ[M]. Một toàn cấup:P−→N
trong đó,Plà xạ ảnh trongσ[M]vàKerpP, được gọi là phủ xạ ảnh
củaNtrongσ[M]hayσ[M]-phủ xạ ảnh.
Phủ xạ ảnh của một môđun trongσ[M]không nhất thiết tồn tại. Tuy nhiên, nếu tồn tại, phủ xạ ảnh xác định duy nhất và sai khác đẳng cấu.
ChoMlà mộtR- môđun. MôđunNđược gọi là sinh bởiMhay
M- sinh nếuNlà ảnh toàn cấu của tổng trực tiếpM(∧)với một tập∧ nào đó. MôđunLđược gọi là thứ sinh bởiMhoặcM- thứ sinh nếuL
đẳng cấu với môđun con của một môđunM- sinh. Kí hiệuσ[M]là phạm trù con đầy của phạm trùR- Mod mà các vật củaσ[M]là các môđunM- thứ sinh.
MôđunPthuộcσ[M]được gọi là xạ ảnh trongσ[M]nếuPlàN- xạ ảnh với mọiN ∈σ[M].
ChoN,Plà hai môđun thuộcσ[M]. Một toàn cấup:P−→N
trong đó,Plà xạ ảnh trongσ[M]vàKerpP, được gọi là phủ xạ ảnh củaNtrongσ[M]hayσ[M]-phủ xạ ảnh.
Phủ xạ ảnh của một môđun trongσ[M]không nhất thiết tồn tại. Tuy nhiên, nếu tồn tại, phủ xạ ảnh xác định duy nhất và sai khác đẳng cấu.
ChoMlà mộtR- môđun. MôđunNđược gọi là sinh bởiMhay
M- sinh nếuNlà ảnh toàn cấu của tổng trực tiếpM(∧)với một tập∧ nào đó. MôđunLđược gọi là thứ sinh bởiMhoặcM- thứ sinh nếuL
đẳng cấu với môđun con của một môđunM- sinh. Kí hiệuσ[M]là phạm trù con đầy của phạm trùR- Mod mà các vật củaσ[M]là các môđunM- thứ sinh.
MôđunPthuộcσ[M]được gọi là xạ ảnh trongσ[M]nếuPlàN- xạ ảnh với mọiN ∈σ[M].
ChoN,Plà hai môđun thuộcσ[M]. Một toàn cấup:P−→N
trong đó,Plà xạ ảnh trongσ[M]vàKerpP, được gọi là phủ xạ ảnh củaNtrongσ[M]hayσ[M]-phủ xạ ảnh.
Phủ xạ ảnh của một môđun trongσ[M]không nhất thiết tồn tại. Tuy nhiên, nếu tồn tại, phủ xạ ảnh xác định duy nhất và sai khác đẳng cấu.
Định nghĩa 3.1.
Môđun N trongσ[M]được gọi là nửa hoàn thiện trongσ[M]nếu mỗi môđun thương của N có một phủ xạ ảnh trongσ[M].
Bổ đề 3.1.
Cho N là môđun xạ ảnh trongσ[M]. Khi đó với bất kì môđun con
U⊂N các phát biểu sau tương đương:
(a) tồn tại một hạng tử trực tiếpV ⊂Nvà
U+V =NvàU∩V V;
Định nghĩa 3.1.
Môđun N trongσ[M]được gọi là nửa hoàn thiện trongσ[M]nếu mỗi môđun thương của N có một phủ xạ ảnh trongσ[M].
Bổ đề 3.1.
Cho N là môđun xạ ảnh trongσ[M]. Khi đó với bất kì môđun con U⊂N các phát biểu sau tương đương:
(a) tồn tại một hạng tử trực tiếpV ⊂Nvà
U+V =NvàU∩V V;
Định nghĩa 3.1.
Môđun N trongσ[M]được gọi là nửa hoàn thiện trongσ[M]nếu mỗi môđun thương của N có một phủ xạ ảnh trongσ[M].
Bổ đề 3.1.
Cho N là môđun xạ ảnh trongσ[M]. Khi đó với bất kì môđun con U⊂N các phát biểu sau tương đương:
(a) tồn tại một hạng tử trực tiếpV ⊂Nvà
U+V =NvàU∩V V; (b)N/Ucó một phủ xạ ảnh trongσ[M].
Định nghĩa 3.1.
Môđun N trongσ[M]được gọi là nửa hoàn thiện trongσ[M]nếu mỗi môđun thương của N có một phủ xạ ảnh trongσ[M].
Bổ đề 3.1.
Cho N là môđun xạ ảnh trongσ[M]. Khi đó với bất kì môđun con U⊂N các phát biểu sau tương đương:
(a) tồn tại một hạng tử trực tiếpV ⊂Nvà
U+V =NvàU∩V V; (b)N/Ucó một phủ xạ ảnh trongσ[M].
Bổ đề 3.2.
Giả sử N là môđun nửa hoàn thiện trongσ[M]. Khi đó
(a) Nếuπ :P−→Nlà một toàn cấu trongσ[M]vớiKerπP
thìPcũng là nửa hoàn thiện.
(b)Nlà môđun phụ đầy đủ vớiRad(N)NvàN/Rad(N)là nửa đơn.
Bổ đề 3.2.
Giả sử N là môđun nửa hoàn thiện trongσ[M]. Khi đó
(a) Nếuπ :P−→Nlà một toàn cấu trongσ[M]vớiKerπP
thìPcũng là nửa hoàn thiện.
(b)Nlà môđun phụ đầy đủ vớiRad(N)NvàN/Rad(N)là nửa đơn.
Định lí 3.2.
Với môđun M tùy ý, các phát biểu sau là tương đương:
(a)Mlà môđun phụ và xạ ảnh trongσ[M]; (b)Mlà nâng và xạ ảnh trongσ[M];
(c)Mlà tựa xạ ảnh và nửa hoàn thiện trongσ[M];
(d)Mlà rời rạc mạnh vàRadM M; (e)M=L
IMi trong đóMilà các môđunM- xạ ảnh địa phương với mỗii∈I vàRadMM;
(g) vớik∈Nbất kì,Mk là phụ xạ ảnh trongσ[M];
(h) vớik∈Nbất kì,Mklà nâng và xạ ảnh trongσ[M];
(i)Mlà tựa xạ ảnh và mỗi môđunM- sinh hữu hạn có một phủ xạ ảnh trongσ[M].
Định lí 3.2.
Với môđun M tùy ý, các phát biểu sau là tương đương:
(a)Mlà môđun phụ và xạ ảnh trongσ[M];
(b)Mlà nâng và xạ ảnh trongσ[M];
(c)Mlà tựa xạ ảnh và nửa hoàn thiện trongσ[M];
(d)Mlà rời rạc mạnh vàRadM M; (e)M=L
IMi trong đóMilà các môđunM- xạ ảnh địa phương với mỗii∈I vàRadMM;
(g) vớik∈Nbất kì,Mk là phụ xạ ảnh trongσ[M];
(h) vớik∈Nbất kì,Mklà nâng và xạ ảnh trongσ[M];
(i)Mlà tựa xạ ảnh và mỗi môđunM- sinh hữu hạn có một phủ xạ ảnh trongσ[M].
Định lí 3.2.
Với môđun M tùy ý, các phát biểu sau là tương đương:
(a)Mlà môđun phụ và xạ ảnh trongσ[M];
(b)Mlà nâng và xạ ảnh trongσ[M];
(c)Mlà tựa xạ ảnh và nửa hoàn thiện trongσ[M]; (d)Mlà rời rạc mạnh vàRadM M;
(e)M=L
IMi trong đóMilà các môđunM- xạ ảnh địa phương với mỗii∈I vàRadMM;
(g) vớik∈Nbất kì,Mk là phụ xạ ảnh trongσ[M];
(h) vớik∈Nbất kì,Mklà nâng và xạ ảnh trongσ[M];
(i)Mlà tựa xạ ảnh và mỗi môđunM- sinh hữu hạn có một phủ xạ ảnh trongσ[M].
Định lí 3.2.
Với môđun M tùy ý, các phát biểu sau là tương đương:
(a)Mlà môđun phụ và xạ ảnh trongσ[M];
(b)Mlà nâng và xạ ảnh trongσ[M];
(c)Mlà tựa xạ ảnh và nửa hoàn thiện trongσ[M];
(d)Mlà rời rạc mạnh vàRadM M; (e)M=L
IMi trong đóMilà các môđunM- xạ ảnh địa phương với mỗii∈I vàRadMM;
(g) vớik∈Nbất kì,Mk là phụ xạ ảnh trongσ[M];
(h) vớik∈Nbất kì,Mklà nâng và xạ ảnh trongσ[M];
(i)Mlà tựa xạ ảnh và mỗi môđunM- sinh hữu hạn có một phủ xạ ảnh trongσ[M].
Định lí 3.2.
Với môđun M tùy ý, các phát biểu sau là tương đương:
(a)Mlà môđun phụ và xạ ảnh trongσ[M];
(b)Mlà nâng và xạ ảnh trongσ[M];
(c)Mlà tựa xạ ảnh và nửa hoàn thiện trongσ[M];
(d)Mlà rời rạc mạnh vàRadM M; (e)M=L
IMi trong đóMilà các môđunM- xạ ảnh địa phương với mỗii∈I vàRadMM;
(g) vớik∈Nbất kì,Mk là phụ xạ ảnh trongσ[M];
(h) vớik∈Nbất kì,Mklà nâng và xạ ảnh trongσ[M];
(i)Mlà tựa xạ ảnh và mỗi môđunM- sinh hữu hạn có một phủ xạ ảnh trongσ[M].
Định lí 3.2.
Với môđun M tùy ý, các phát biểu sau là tương đương:
(a)Mlà môđun phụ và xạ ảnh trongσ[M];
(b)Mlà nâng và xạ ảnh trongσ[M];
(c)Mlà tựa xạ ảnh và nửa hoàn thiện trongσ[M];
(d)Mlà rời rạc mạnh vàRadM M; (e)M=L
IMi trong đóMilà các môđunM- xạ ảnh địa phương với mỗii∈I vàRadMM;
(g) vớik∈Nbất kì,Mk là phụ xạ ảnh trongσ[M]; (h) vớik∈Nbất kì,Mklà nâng và xạ ảnh trongσ[M];
(i)Mlà tựa xạ ảnh và mỗi môđunM- sinh hữu hạn có một phủ xạ ảnh trongσ[M].
Định lí 3.2.
Với môđun M tùy ý, các phát biểu sau là tương đương:
(a)Mlà môđun phụ và xạ ảnh trongσ[M];
(b)Mlà nâng và xạ ảnh trongσ[M];
(c)Mlà tựa xạ ảnh và nửa hoàn thiện trongσ[M];
(d)Mlà rời rạc mạnh vàRadM M; (e)M=L
IMi trong đóMilà các môđunM- xạ ảnh địa phương với mỗii∈I vàRadMM;
(g) vớik∈Nbất kì,Mk là phụ xạ ảnh trongσ[M];
(h) vớik∈Nbất kì,Mklà nâng và xạ ảnh trongσ[M]; (i)Mlà tựa xạ ảnh và mỗi môđunM- sinh hữu hạn có một phủ xạ ảnh trongσ[M].
Định lí 3.2.
Với môđun M tùy ý, các phát biểu sau là tương đương:
(a)Mlà môđun phụ và xạ ảnh trongσ[M];
(b)Mlà nâng và xạ ảnh trongσ[M];
(c)Mlà tựa xạ ảnh và nửa hoàn thiện trongσ[M];
(d)Mlà rời rạc mạnh vàRadM M; (e)M=L
IMi trong đóMilà các môđunM- xạ ảnh địa phương với mỗii∈I vàRadMM;
(g) vớik∈Nbất kì,Mk là phụ xạ ảnh trongσ[M];
(h) vớik∈Nbất kì,Mklà nâng và xạ ảnh trongσ[M];
(i)Mlà tựa xạ ảnh và mỗi môđunM- sinh hữu hạn có một phủ xạ ảnh trongσ[M].
Định nghĩa 3.2.
Môđun N∈σ[M]được gọi là hoàn thiện trongσ[M]nếu mỗi môđun N- sinh có một phủ xạ ảnh trongσ[M].
Định lí 3.3.
Với môđun M thì các phát biểu sau là tương đương:
(a)Mlà tựa xạ ảnh và hoàn thiện trongσ[M];
(b)Mlà rời rạc mạnh vàRad(M(∧))M(∧),∧bất kì; (c) Với tập chỉ số∧,M(∧)là rời rạc mạnh;
(d) Với tập chỉ số∧,M(∧)là nâng vàepi- xạ ảnh;
(e)Mlà xạ ảnh trongσ[M]và mỗi môđunM- sinh là phụ (đầy
Định nghĩa 3.2.
Môđun N∈σ[M]được gọi là hoàn thiện trongσ[M]nếu mỗi môđun N- sinh có một phủ xạ ảnh trongσ[M].
Định lí 3.3.
Với môđun M thì các phát biểu sau là tương đương:
(a)Mlà tựa xạ ảnh và hoàn thiện trongσ[M];
(b)Mlà rời rạc mạnh vàRad(M(∧))M(∧),∧bất kì; (c) Với tập chỉ số∧,M(∧)là rời rạc mạnh;
(d) Với tập chỉ số∧,M(∧)là nâng vàepi- xạ ảnh;
(e)Mlà xạ ảnh trongσ[M]và mỗi môđunM- sinh là phụ (đầy đủ).
Định nghĩa 3.2.
Môđun N∈σ[M]được gọi là hoàn thiện trongσ[M]nếu mỗi môđun N- sinh có một phủ xạ ảnh trongσ[M].
Định lí 3.3.
Với môđun M thì các phát biểu sau là tương đương:
(a)Mlà tựa xạ ảnh và hoàn thiện trongσ[M];
(b)Mlà rời rạc mạnh vàRad(M(∧))M(∧),∧bất kì; (c) Với tập chỉ số∧,M(∧)là rời rạc mạnh;
(d) Với tập chỉ số∧,M(∧)là nâng vàepi- xạ ảnh;
(e)Mlà xạ ảnh trongσ[M]và mỗi môđunM- sinh là phụ (đầy đủ).
Định nghĩa 3.2.
Môđun N∈σ[M]được gọi là hoàn thiện trongσ[M]nếu mỗi môđun N- sinh có một phủ xạ ảnh trongσ[M].
Định lí 3.3.
Với môđun M thì các phát biểu sau là tương đương:
(a)Mlà tựa xạ ảnh và hoàn thiện trongσ[M];
(b)Mlà rời rạc mạnh vàRad(M(∧))M(∧),∧bất kì; (c) Với tập chỉ số∧,M(∧)là rời rạc mạnh;
(d) Với tập chỉ số∧,M(∧)là nâng vàepi- xạ ảnh;
(e)Mlà xạ ảnh trongσ[M]và mỗi môđunM- sinh là phụ (đầy đủ).
Định nghĩa 3.2.
Môđun N∈σ[M]được gọi là hoàn thiện trongσ[M]nếu mỗi môđun N- sinh có một phủ xạ ảnh trongσ[M].
Định lí 3.3.
Với môđun M thì các phát biểu sau là tương đương:
(a)Mlà tựa xạ ảnh và hoàn thiện trongσ[M];
(b)Mlà rời rạc mạnh vàRad(M(∧))M(∧),∧bất kì; (c) Với tập chỉ số∧,M(∧)là rời rạc mạnh;
(d) Với tập chỉ số∧,M(∧)là nâng vàepi- xạ ảnh;
(e)Mlà xạ ảnh trongσ[M]và mỗi môđunM- sinh là phụ (đầy đủ).
Định nghĩa 3.2.
Môđun N∈σ[M]được gọi là hoàn thiện trongσ[M]nếu mỗi môđun N- sinh có một phủ xạ ảnh trongσ[M].
Định lí 3.3.
Với môđun M thì các phát biểu sau là tương đương:
(a)Mlà tựa xạ ảnh và hoàn thiện trongσ[M];
(b)Mlà rời rạc mạnh vàRad(M(∧))M(∧),∧bất kì; (c) Với tập chỉ số∧,M(∧)là rời rạc mạnh;
(d) Với tập chỉ số∧,M(∧)là nâng vàepi- xạ ảnh;
(e)Mlà xạ ảnh trongσ[M]và mỗi môđunM- sinh là phụ (đầy đủ).
Định nghĩa 3.2.
Môđun N∈σ[M]được gọi là hoàn thiện trongσ[M]nếu mỗi môđun N- sinh có một phủ xạ ảnh trongσ[M].
Định lí 3.3.
Với môđun M thì các phát biểu sau là tương đương:
(a)Mlà tựa xạ ảnh và hoàn thiện trongσ[M];
(b)Mlà rời rạc mạnh vàRad(M(∧))M(∧),∧bất kì; (c) Với tập chỉ số∧,M(∧)là rời rạc mạnh;
(d) Với tập chỉ số∧,M(∧)là nâng vàepi- xạ ảnh;
(e)Mlà xạ ảnh trongσ[M]và mỗi môđunM- sinh là phụ (đầy đủ).
Đối với vànhR, xétR- môđun tráiRRvà định nghĩaRlà hoàn thiện trái nếuRRlà hoàn thiện trongR- Mod=σ[RR].
Như đã biết, mỗiR- môđun đều là ảnh toàn cấu của mộtRR(∧)với một tập∧nào đó. Chính vì vậy, ngoài những tính chất nhận được một cách tự nhiên khi đặtRM=RR, vành hoàn thiện trái còn có những tính chất đặc sắc khác.
Chẳng hạn, vớiRMlà hoàn thiện trongσ[M]thì không phải mọi
N∈σ[M]đều có phủ xạ ảnh. Nhưng nếuRlà hoàn thiện trái thì mọi
Định nghĩa 3.3.
Vành R được gọi là hoàn thiện trái nếu R- môđun tráiRR là hoàn thiện trong R- Mod.
Định lí 3.4.
Đối với một vành R, các điều kiện sau là tương đương:
(a)Rlà vành hoàn thiện trái;
(b) MọiR- môđun trái có phủ xạ ảnh;
(c) MọiR- môđun trái là phụ xạ ảnh;
Định nghĩa 3.3.
Vành R được gọi là hoàn thiện trái nếu R- môđun tráiRR là hoàn thiện trong R- Mod.
Định lí 3.4.
Đối với một vành R, các điều kiện sau là tương đương:
(a)Rlà vành hoàn thiện trái;
(b) MọiR- môđun trái có phủ xạ ảnh; (c) MọiR- môđun trái là phụ xạ ảnh; (d) MọiR- môđun trái tựa xạ ảnh là rời rạc.
Định nghĩa 3.3.
Vành R được gọi là hoàn thiện trái nếu R- môđun tráiRR là hoàn thiện trong R- Mod.
Định lí 3.4.
Đối với một vành R, các điều kiện sau là tương đương:
(a)Rlà vành hoàn thiện trái;
(b) MọiR- môđun trái có phủ xạ ảnh; (c) MọiR- môđun trái là phụ xạ ảnh; (d) MọiR- môđun trái tựa xạ ảnh là rời rạc.
Định nghĩa 3.3.
Vành R được gọi là hoàn thiện trái nếu R- môđun tráiRR là hoàn thiện trong R- Mod.
Định lí 3.4.
Đối với một vành R, các điều kiện sau là tương đương:
(a)Rlà vành hoàn thiện trái;
(b) MọiR- môđun trái có phủ xạ ảnh; (c) MọiR- môđun trái là phụ xạ ảnh; (d) MọiR- môđun trái tựa xạ ảnh là rời rạc.
Định nghĩa 3.3.
Vành R được gọi là hoàn thiện trái nếu R- môđun tráiRR là hoàn thiện trong R- Mod.
Định lí 3.4.
Đối với một vành R, các điều kiện sau là tương đương:
(a)Rlà vành hoàn thiện trái;
(b) MọiR- môđun trái có phủ xạ ảnh; (c) MọiR- môđun trái là phụ xạ ảnh; (d) MọiR- môđun trái tựa xạ ảnh là rời rạc.
Định nghĩa 3.3.
Vành R được gọi là hoàn thiện trái nếu R- môđun tráiRR là hoàn thiện trong R- Mod.
Định lí 3.4.
Đối với một vành R, các điều kiện sau là tương đương:
(a)Rlà vành hoàn thiện trái;
(b) MọiR- môđun trái có phủ xạ ảnh; (c) MọiR- môđun trái là phụ xạ ảnh; (d) MọiR- môđun trái tựa xạ ảnh là rời rạc.
Nhận xét .
Đối với vành hoàn thiện trái R, ta có dãy quan hệ sau đây:
Xạ ảnh⇒tựa xạ ảnh⇔rời rạc mạnh⇒rời rạc⇒tựa rời rạc⇒nâng.
Định lí 3.5.
Giả sử R là một vành hoàn thiện trái và M là R- môđun trái tựa xạ ảnh. Thế thì, M là hoàn thiện trongσ[M]và M(∧)là tựa xạ ảnh với
Nhận xét .
Đối với vành hoàn thiện trái R, ta có dãy quan hệ sau đây:
Xạ ảnh⇒tựa xạ ảnh⇔rời rạc mạnh⇒rời rạc⇒tựa rời rạc⇒nâng.
Định lí 3.5.
Giả sử R là một vành hoàn thiện trái và M là R- môđun trái tựa xạ ảnh. Thế thì, M là hoàn thiện trongσ[M]và M(∧)là tựa xạ ảnh với mọi tập∧.
Luận văn trình bày một cách hệ thống một số kết quả được trích dẫn và tập hợp từ các tài liệu [2], [3] về các lớp môđun nâng, môđun nâng chính và tính chấtP−xạ ảnh. Cụ thể:
1. Luận văn trình bày lại một cách chi tiết phép chứng minh các kết quả sau: Mệnh đề 2.1.4: Các tính chất của môđun nâng. Định lý 2.1.5: Đặc trưng của môđun nâng. Định lý 2.2.7, Định lý 2.2.8, Định lý 2.2.9: Sự phân tích một môđun nâng thành tổng trực tiếp những môđun con lõm. Định lý 2.3.10, Định lý 2.3.12, Định lý 2.3.14: Tổng trực tiếp hữu hạn các môđun nâng. Mệnh đề 3.1.6, Mệnh đề 3.1.7: Tính chất của môđun nâng chính. Mệnh đề 3.1.8: Đặc trưng của môđun nâng chính. Mệnh đề 3.1.10: Tổng trực tiếp của những môđun lõm. Mệnh đề 3.1.15: Sự phân tích của một môđun nâng chính. Mệnh đề 3.2.2, Mệnh đề 3.2.4: Tính chất của tổng trực tiếp môđunP−lõm.
2. Mệnh đề 3.1.18: Phát biểu một điều kiện đủ để một môđun nâng chính phân tích được thành tổng trực tiếp những môđun địa phương
Luận văn trình bày một cách hệ thống một số kết quả được trích dẫn và tập hợp từ các tài liệu [2], [3] về các lớp môđun nâng, môđun nâng chính và tính chấtP−xạ ảnh. Cụ thể:
1. Luận văn trình bày lại một cách chi tiết phép chứng minh các kết quả sau: Mệnh đề 2.1.4: Các tính chất của môđun nâng. Định lý 2.1.5: Đặc trưng của môđun nâng.