Dạy học chủ đề phân số ở trường tiểu học thông qua hoạt động giải các bài toán

Hoạt động giải toán cũng được thực hiện đểgợi động cơ cho các em, làm dấy lên mối quan tâm của họ trong một chủ đề toánhọc cụ thể thông qua những tình huống thực tế.. Mô hình DH này có t

MỤC LỤC

MỤC LỤC i

DANH MỤC CÁC BẢNG vii

DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ ix

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

1.1 Khái niệm phân số là nội dung dạy học quan trọng trong chương trình toán ở tiểu học 1

1.2 Dạy học thông qua hoạt động giải toán giữ vai trò thiết yếu trong dạy học toán 2

1.3 Khái niệm phân số là một chủ đề được quan tâm trong nhiều nghiên cứu khoa học 4

2 Giới hạn của đề tài 10

3 Phạm vi lí thuyết tham chiếu và mục tiêu nghiên cứu 11

4 Phương pháp nghiên cứu 13

4.1 Nghiên cứu lí luận 13

4.2 Thực nghiệm sư phạm 14

5 Giả thuyết nghiên cứu 14

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài 15

6.1 Về mặt lí luận 15

6.2 Về mặt thực tiễn 15

7 Những luận điểm đưa ra bảo vệ 15

8 Cấu trúc của luận án 16

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN 17

1.1 Cơ sở lí luận về dạy học thông qua hoạt động giải toán 17

1.1.1 Khái niệm Bài toán 17

1.1.2 Về khái niệm “Đề bài toán” hay gọi tắt là “Đề toán” 20

1.1.3 Khái niệm dạy học thông qua hoạt động giải các bài toán 21

1.1.4 Khái niệm “Nghĩa” của tri thức 26

1.1.5 Quan điểm đầu tiên của luận án về dạy học thông qua hoạt động giải các bài toán 29

1.2 Một số yếu tố lí thuyết của Didactic toán 31

1.2.1 Nghiên cứu khoa học luận 31

1.2.2 Nghiên cứu sự chuyển đổi didactic 33

1.2.3 Lí thuyết nhân chủng học 33

1.2.4 Các khái niệm trong lí thuyết tình huống 34

1.3 Một số chủ trương, định hướng về giáo dục nói chung và đào tạo nói riêng của Chính phủ và Bộ Giáo dục và Đào tạo Việt Nam 36

1.4 Kết luận chương 1 37

CHƯƠNG 2 NGHIÊN CỨU KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM PHÂN SỐ 38

2.1 Giai đoạn 1: từ thời kỳ nguyên thủy đến thời cổ đại 38

2.1.1 Cách tiếp cận phân số của người Ai Cập 38

2.1.2 Cách tiếp cận phân số của người La Mã cổ đại 42

2.1.3 Cách tiếp cận phân số của người Babylon 42

2.1.4 Cách tiếp cận phân số của người Hy Lạp 43

2.1.5 Kết luận giai đoạn 1 47

2.2 Giai đoạn 2: Toán học thời Trung cổ 48

2.2.1 Cách tiếp cận phân số của người Ấn Độ 48

2.2.2 Cách tiếp cận phân số của Fibonacci 49

2.2.3 Cách tiếp cận phân số của người Anh 50

2.2.4 Cách tiếp cận phân số của Descartes (1596 -1650) 51

2.2.5 Cách tiếp cận phân số của người Mexico 52

2.2.6 Kết luận giai đoạn 2 53

2.3 Giai đoạn 3: Toán học hiện đại 53

2.3.1 Cách tiếp cận phân số theo quan điểm lí thuyết số 53

2.3.2 Cách tiếp cận số phân số của Laplace (1749-1827) 54

2.3.3 Cách tiếp cận phân số theo quan điểm lí thuyết tập hợp 54

2.3.4 Cách tiếp cận số phân số của của George Cantor (1845 - 1918) 57

2.3.5 Kết luận giai đoạn 3 58

2.4 Kết luận chương 2 59

2.4.1 Các giai đoạn nảy sinh và phát triển 59

2.4.2 Phạm vi tác động của khái niệm phân số và các bài toán có liên quan 59

2.4.3 Các đối tượng có liên quan 60

2.4.4 Các cách tiếp cận khái niệm phân số 60

2.4.5 Các tình huống cơ sở gắn liền với chủ đề phân số 65

CHƯƠNG 3 KHÁI NIỆM PHÂN SỐ TRONG THỂ CHẾ ĐÀO TẠO GIÁO VIÊN TIỂU HỌC VÀ THỂ CHẾ DẠY HỌC TOÁN Ở TIỂU HỌC 69

3.1 Phân số trong thể chế đào tạo giáo viên tiểu học 69

3.1.1 Phân số trong các giáo trình Số học (Lí thuyết số) 70

3.1.2 Phân số trong các giáo trình Phương pháp dạy học toán ở tiểu học 73

3.2 Phân số trong thể chế dạy học toán ở tiểu học 76

3.2.1 Mục tiêu, yêu cầu của việc dạy học chủ đề phân số 76

3.2.2 Cách hình thành khái niệm phân số trong các sách giáo khoa 77

3.2.3 Tổ chức toán học liên quan đến khái niệm phân số 92

3.3 Kết luận chương 3 94

3.3.1 Về các cách tiếp cận phân số 94

3.3.2 Về phạm vi tác động của khái niệm phân số 97

3.3.3 Về các đối tượng liên quan khái niệm phân số 97

3.3.4 Nhìn từ quan điểm dạy học thông qua hoạt động giải toán 97

CHƯƠNG 4 DẠY HỌC CHỦ ĐỀ PHÂN SỐ Ở TRƯỜNG TIỂU HỌC THÔNG QUA HOẠT ĐỘNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN 99

4.1 Tổ chức dạy học thông qua hoạt động giải các bài toán 99

4.1.1 Đặc trưng của bài toán 99

4.1.2 Đặc trưng của tình huống dạy học thông qua hoạt động giải các bài toán

100

4.1.3 Kịch bản dạy học thông qua hoạt động giải các bài toán 100

4.1.4 Vai trò, nhiệm vụ của giáo viên 101

4.1.5 Vai trò, nhiệm vụ của học sinh 101

4.1.6 Một số cách để thiết kế một bài toán 102

4.1.7 Tiến trình tổ chức dạy học kiến thức mới thông qua hoạt động giải toán 102 4.2 Sử dụng hoạt động giải toán vào dạy học chủ đề phân số ở tiểu học 104

4.2.1 Sử dụng hoạt động giải toán vào bài “PHÂN SỐ” [27,tr.106] 105

4.2.2 Sử dụng hoạt động giải toán vào bài “PHÂN SỐ VÀ PHÉP CHIA SỐ TỰ NHIÊN” [27,tr.108] 106

4.2.3 Sử dụng hoạt động giải toán vào bài “PHÂN SỐ BẰNG NHAU” [27,tr.111]. .107

4.2.4 Sử dụng hoạt động giải toán vào bài “RÚT GỌN PHÂN SỐ” [27,tr.112].109 4.2.5 Sử dụng hoạt động giải toán vào bài “QUI ĐỒNG MẪU SỐ CÁC PHÂN SỐ” [27,tr.115] 110

4.2.6 Sử dụng hoạt động giải toán vào bài “SO SÁNH HAI PHÂN SỐ CÙNG MẪU SỐ” [27,tr.119] 111

4.2.7 Sử dụng hoạt động giải toán vào bài “SO SÁNH HAI PHÂN SỐ KHÁC MẪU SỐ” [27,tr.121] 112

4.2.8 Sử dụng hoạt động giải toán vào bài “ PHÉP CỘNG PHÂN SỐ” 115

4.2.9 Sử dụng hoạt động giải toán vào bài “PHÉP CỘNG PHÂN SỐ (tiếp theo)” [27,tr.123] 116

4.2.10 Sử dụng hoạt động giải toán vào bài “PHÉP TRỪ PHÂN SỐ” [27,tr.127] . .117

4.2.11 Sử dụng hoạt động giải toán vào bài “PHÉP TRỪ PHÂN SỐ” (tiếp theo) [27,tr.130] 119

4.2.12 Sử dụng hoạt động giải toán vào bài “PHÉP NHÂN PHÂN SỐ” [27,tr.132] 120

4.2.13 Sử dụng hoạt động giải toán vào bài “TÌM PHÂN SỐ CỦA MỘT SỐ” [27,tr.135] 123

4.2.14 Sử dụng hoạt động giải toán vào bài “PHÉP CHIA PHÂN SỐ” [27,tr.137]. .124

4.2.15 Sử dụng hoạt động giải toán vào bài “TỈ SỐ” [27,tr.146] 127

4.3 Kết luận chương 4 127

CHƯƠNG 5 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 129

5.1 Thực nghiệm A – Bài toán 1 130

5.1.1 Phân tích tiên nghiệm bài toán 1 130

5.1.2 Tổ chức thực nghiệm 133

5.1.3 Phân tích hậu nghiệm 134

5.1.4 Kết luận thực nghiệm A – Bài toán 1 138

5.2 Thực nghiệm A – Bài toán 2 và Bài toán 3 138

5.2.1 Phân tích tiên nghiệm bài toán 2 và bài toán 3 138

5.2.2 Tổ chức thực nghiệm 142

5.2.3 Phân tích hậu nghiệm 143

5.2.4 Kết luận thực nghiệm A – Bài toán 2 và bài toán 3 147

5.3 Thực nghiệm A – Bài toán 4 147

5.3.1 Phân tích tiên nghiệm tình huống thực nghiệm 147

5.3.2 Tổ chức thực nghiệm 150

5.3.3 Phân tích hậu nghiệm 151

5.3.4 Kết luận thực nghiệm A – Bài toán 4 155

5.4 Thực nghiệm B 155

5.4.1 Phân tích tiên nghiệm tình huống thực nghiệm 155

5.4.2 Tổ chức thực nghiệm 164

5.4.3 Phân tích hậu nghiệm 165

5.4.4 Kết luận thực nghiệm B 169

5.5 Kết luận chương 5 169

KẾT LUẬN 170

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ 172

DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO 173

DANH MỤC CÁC BẢNG

2.1 So sánh phương pháp bổ sung và phương pháp nhúng đẳng

5.3 Thống kê chiến lược giải của HS đối với Bài toán 2 và 3 144

5.4 Thống kê chiến lược giải của các nhóm đối với Bài toán 2

5.8 Thống kê chiến lược giải của HS đối với câu b của bài toán

DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ

1 Cơ chế hoạt động của khái niệm gắn liền với hoạt động

3.2 Tiến trình đưa vào các loại phân số trong các SGK 913.3 Tiến trình đưa vào phân số theo các cách tiếp cận 91

3.5 Tiến trình đưa vào phân số theo cơ chế hoạt động 914.1 Tiến trình dạy học kiến thức mới thông qua hoạt động giải toán 103

Ngoài ra, việc dạy học (DH) KN phân số có mối liên hệ chặt chẽ đến DH cáckiến thức số học: số tự nhiên, hỗn số, số thập phân,…Bên cạnh đó, phân số còn là

cơ sở ban đầu để hình thành hỗn số và số thập phân Do vậy, DH KN phân số ítnhiều cũng ảnh hưởng đến DH các loại số khác Hơn nữa, KN phân số còn hiệndiện trong các mạch kiến thức khác ở tiểu học: hình học, số đo đại lượng, giải toán

có lời văn, yếu tố thống kê,…Tóm lại, phân số có mặt ở hầu hết trong chương trìnhtoán ở tiểu học

Trong những năm gần đây, các nhà giáo dục Việt Nam đã biên soạn lại toàn bộsách giáo khoa (SGK) chương trình tiểu học và điều đó chính thức hoàn thành vàonăm 2006 Do vậy, các nội dung liên quan KN phân số cũng khác đi so với chươngtrình trước đó Chính sự thay đổi này kéo theo sự điều chỉnh trong đào tạo của cáctrường đại học, cao đẳng sư phạm có tham gia đào tạo SV Giáo dục tiểu học

Bên cạnh đó, sự điều chỉnh này cũng ảnh hưởng phần nào đến quá trình DHcủa giáo viên (GV) và cách học tập của học sinh (HS) Việc đổi mới về chươngtrình cũng dẫn đến sự đổi thay về nội dung và phương pháp dạy học (PPDH) là mộttất yếu Điều này buộc GV phải chỉnh sửa lại bài giảng cũng như phương pháptruyền thụ của mình đối với các nội dung của chủ đề phân số

Sự thay đổi của bộ đôi này có thật sự tạo điều kiện thuận lợi để cho GV và HStiếp cận các nội dung của chủ đề phân số hay chưa?

Ngoài ra, các nhà giáo dục đang có định hướng viết lại SGK vào năm 2015 Vìvậy, những nghiên cứu về nội dung DH phân số trước khi đổi mới là cần thiết

Trong đó, những điều hay hiện có của SGK thì giữ lại và tiếp tục phát huy cònnhững hạn chế thì thay đổi cho phù hợp với quan điểm DH hiện nay.

1.2 Dạy học thông qua hoạt động giải toán giữ vai trò thiết yếu trong dạy học toán

1.2.1 Dạy học thông qua hoạt động giải toán thể hiện được ý nghĩa của việc dạy học toán

Hoạt động giải toán được sử dụng nhằm chứng minh cho việc giảng dạy toánhọc Để thuyết phục HS thấy được giá trị của toán học, nội dung DH cần liên quanđến việc giải quyết vấn đề thực tiễn Hoạt động giải toán cũng được thực hiện đểgợi động cơ cho các em, làm dấy lên mối quan tâm của họ trong một chủ đề toánhọc cụ thể thông qua những tình huống thực tế Nó còn dùng giải trí, xem như mộthoạt động thú vị thường được áp dụng trong giờ giải lao Hoạt động giải toán có thểđược vận dụng rộng rãi để củng cố các kĩ năng và KN đã được giảng dạy trước đó

Ví dụ: GV có thể trình bày KN phân số thông qua hoạt động giải toán “Có 3quả cam chia đều cho 4 bạn Hỏi mỗi bạn được bao nhiều phần của quả cam?” Bằngcách cung cấp bối cảnh hoạt động giải toán như thế, GV có thể đạt nhiều mục tiêu:tạo ra các cơ hội cho HS khám phá KN phân số (gợi động cơ), làm cho KN phân sốcàng cụ thể hơn, cung cấp cho HS thấy được ý nghĩa của việc học phân số

Trong quyển “Sáng tạo toán học” [49], George Polya giới thiệu rằng hoạt độnggiải toán có thể được giảng dạy như là một nghệ thuật thực tế, giống như chơi pianohay bơi lội Polya nhận thấy hoạt động giải toán như là một nghệ thuật nhận thức vàkhám phá Ông khuyến khích nên trình bày toán học không phải là tập hợp các sựkiện và qui tắc, mà như là một khoa học thực nghiệm và qui nạp

Hoạt động giải toán như là một nghệ thuật có ý nghĩa phát triển khả năng của

HS để trở thành người giải quyết vấn đề khéo léo và nhiệt tình, suy nghĩ độc lập,những người có khả năng ứng phó với các bài toán có kết thúc mở hay bài toán khó

1.2.2 Dạy học thông qua hoạt động giải toán phù hợp với quan điểm sư phạm hiện nay

 Hoạt động giải toán thích ứng với xu hướng DH của thực tiễn nước ta:

- Trong những năm gần đây, chủ trương của Bộ Giáo dục và Đào tạo tập trungvào quan điểm DH “lấy HS làm trung tâm” Trong đó, vai trò tự khám phá tri thứccủa HS được nhấn mạnh Hoạt động giải toán thích hợp với yêu cầu này bởi vì các

em sẽ tự mình kiến tạo tri thức mới thông qua việc tìm kiếm lời giải cho bài toán

- Trong DH toán, người ta quan tâm đến một số lí thuyết DH hiện đại: lí thuyếthoạt động, lí thuyết kiến tạo, lí thuyết tình huống Điểm chung của các lí thuyếtnày là tập trung vào vai trò hoạt động của HS Do vậy, hoạt động giải toán vẫn đảmbảo được yếu tố hoạt động của HS, trong đó bản thân trẻ khám phá ra các chiếnlược giải bài toán, cùng với bạn bè và GV để thể chế hóa được kiến thức mới

- Ngoài ra, nhà trường chú trọng hơn những PPDH tích cực: DH khám phá, DHphát hiện và giải quyết vấn đề, DH theo dự án, DH hợp tác,… Các PPDH này yêucầu GV giữ vai trò chủ đạo, điều khiển, trong khi đó HS tích cực chủ động, sángtạo, tự giác để kiến tạo tri thức mới Hơn thế nữa, chúng luôn tạo điều kiện chongười học được làm việc với các hoạt động tích hợp Nếu xét về khía cạnh này, hoạtđộng giải toán sẽ hỗ trợ cho việc sử dụng các PPDH tích cực trong DH toán

- Thêm vào đó, theo PGS.TS Lê Thị Hoài Châu [6,tr.67-68] để nâng cao nănglực hiểu biết toán học cho HS, chúng ta không thể coi nhẹ DH toán thông qua DH

mô hình hoá Mô hình DH này có thể thực hiện theo tiến trình:

Xuất phát từ một vấn đề thực tiễn  Xây dựng mô hình toán học  Câu trả lờicho bài toán thực tế  Thể chế hóa tri thức cần giảng dạy bằng cách nêu địnhnghĩa, định lí hay công thức  Vận dụng vào giải các bài toán thực tiễn khác.Theo tiến trình trên, hoạt động giải toán đóng vai trò quan trọng trong việc xâydựng nên tri thức Tri thức nảy sinh với tư cách là kết quả hay phương tiện của hoạtđộng giải toán Vì vậy, hoạt động giải toán phù hợp với xu hướng DH bằng mô hìnhhóa như hiện nay

 Bên cạnh thích nghi với xu hướng DH trong nước, hoạt động giải toán cũngphù hợp với quan điểm sư phạm của một số nước khác, trong đó có Pháp Theo[101,tr.171], sau cải cách toán học, DH toán ở nước này có đặc trưng: nhấn mạnhtrên các hoạt động giải toán, những tri thức sẽ lấy “nghĩa” qua việc giải bài toán, và

nghiên cứu các điều kiện nảy sinh tri thức Nói chung, quốc gia này coi trọng việc

DH toán thông qua hoạt động giải toán

1.2.3 Dạy học thông qua hoạt động giải toán tạo điều kiện dạy học theo quan điểm khoa học luận

Ngày nay, DH toán quan tâm nhiều hơn đến những đặc trưng khoa học luận củađối tượng tri thức cần giảng dạy và khả năng nhận thức của HS về đối tượng này.Thực hiện nghiên cứu khoa học luận cho một KN toán học chỉ ra rằng nó thườngxuất hiện theo tiến trình sau:

Sơ đồ 1: Cơ chế hoạt động của khái niệm gắn liền với hoạt động giải toán

Do vậy, đa số những KN toán học đều xuất hiện thông qua hoạt động giải toán.Trong trường hợp này, chúng đều là công cụ hay phương tiện của hoạt động giảitoán trong nội bộ toán học, đời sống thực tế hay các khoa học khác (vật lí, hóa học,địa lí,…) Hơn thế nữa, lịch sử toán học chỉ ra rằng chúng sẽ lấy nghĩa qua nhữngbài toán mà cho phép nó giải quyết Hiện nay, GV cung cấp cho HS những vấn đềrất “sạch sẽ”, các KN hoàn hảo, không cho phép các em thấy được nguồn gốc hayđiều kiện nảy sinh gắn liền với tri thức Điều này đôi khi không đảm bảo được quitrình nhận thức của HS

Tóm lại, nghiên cứu hoạt động giải toán cho phép nối khớp giữa đặc trưng khoahọc luận của KN và qui trình nhận thức toán học của HS Để minh chứng cho điềunày, chúng tôi sẽ tiếp cận những hoạt động giải toán liên quan đến chủ đề phân số

1.3 Khái niệm phân số là một chủ đề được quan tâm trong nhiều nghiên cứu khoa học

Tác giả Nguyễn Hoài Anh nghiên cứu về việc sử dụng máy tính điện tử trong

DH phân số ở tiểu học Thêm vào đó, tác giả này cũng xuất bản một bài báo trênTạp chí Sách và thiết bị với tên là “So sánh nội dụng chủ đề phân số trong chươngtrình môn toán ở tiểu học của hai nước Việt Nam và Brunei” (trích từ [105])

Công cụ ngầm ẩn  Đối tượng  Công cụ tường minh Giải bài toán  Nghiên cứu KN  Giải toán

Một nghiên cứu khác liên quan đến KN phân số thuộc về tác giả Phạm NgọcBảo [1] Tác giả nghiên cứu “Đào tạo GV tiểu học về bước chuyển từ phân số như

là những phần bằng nhau rút ra từ đơn vị đến phân số như là thương ở lớp 3 và lớp4” Trong luận văn này, tác giả tiến hành một thực nghiệm để chỉ ra rằng HS gặpnhiều khó khăn trong việc giải quyết những tình huống nhắm tới thiết lập mối quan

hệ giữa phép chia hai số tự nhiên và phân số, giữa phân số đơn vị và phân sốthương, được đưa vào bởi SGK toán 4 hiện hành Tác giả chưa có những nghiêncứu khoa học luận của KN phân số

Tác giả Trương Thị Vinh Hạnh (2007) [19] nghiên cứu đề tài luận án: “Dạy học môn Toán ở trường trung học phổ thông thông qua hoạt động giáo khoa” Mặc

dù, tác giả này không nghiên cứu về chủ đề phân số nhưng có nội dung “gần” vớichủ đề của chúng tôi Trong luận án đó, tác giả đưa ra quan điểm về hoạt động, DHthông qua hoạt động giáo khoa Tuy nhiên, tác giả không đi nghiên cứu sâu KN bàitoán, DH thông qua hoạt động giải toán Hơn nữa, các bài toán do tác giả này đềxuất không được xem xét trên phương diện của một nghiên cứu khoa học luận Saenz-Ludlow (1990, 1992, 1994, 1995) xây dựng và phát triển việc DH phân

số trên “case studies” (nhưng Hunting 1986 đã công bố tác phẩm tương tự), tức làphân tích quá trình DH liên quan đến chủ đề mà tập trung vào các chiến lược cánhân để hiểu KN phân số và biểu diễn phép cộng các phân số (trích theo [85]).Cách hướng dẫn truyền thống trong nhà trường tiểu học thường nhấn mạnh sựhiểu biết số phần / toàn thể để giúp HS học phân số, trong đó cái toàn thể được chiathành các phần bằng nhau và HS xác định số phần được tô màu (Carrahar 1996;Gould, 2005) (trích theo [85])

Trong hơn bốn thập kỉ qua, các nhà nghiên cứu đã phát triển các giải thích về

KN số phần / toàn thể và một số mô hình liên quan đến chương trình giảng dạy Banhánh được phát triển độc lập: Dự án về số hữu tỉ (Behr, Lesh, Post & Silver, 1983;Behr, Khoury, Harel, Post, & Lesh 1997) dựa trên nghiên cứu của Kieren (1980),người mà đầu tiên đưa ra mô hình số phần / toàn thể để nghiên cứu phân số; nhómngười Hà Lan phát triển một chương trình trong đó hiểu số phần / toàn thể trong các

tình huống chia đều (Streefland, 1991) và Steffe (2002) đưa ra lời giải thích cho sốphần / toàn thể như là KN phân số đơn vị được chia phần (trích theo [80]).

Bonotto (1991) trình bày một phân tích khá chi tiết cho một số phương pháptiếp cận khác nhau đối với số hữu tỉ và các thực nghiệm sư phạm có liên quan Tuynhiên, các cách tiếp cận này không được nghiên cứu dưới ánh sáng của đặc trưngkhoa học luận (trích theo [85])

Figueras (1991) trình bày bản tóm tắt của việc sử dụng các phân số và số hữu tỉtrong thực tế Nghiên cứu của ông cung cấp một số quan điểm DH hữu ích cho các

ví dụ SGK dựa trên những tình huống thực tế mà trong đó có sử dụng phân số.Nghiên cứu này phù hợp với xu hướng DH toán hiện nay – DH bằng mô hình hóa(trích theo [85])

Behr, Lesh, Post, Silver (1992, 1993) tổ chức buổi thảo luận về hoạt độnggiảng dạy, trong đó phân biệt các giai đoạn học tập KN phân số và số hữu tỉ, đồngthời phân tích ngôn ngữ của việc dạy phân số trong lớp học (trích theo [89])

Streefland (1990, 1991, 1993) cung cấp các ví dụ học tập và giảng dạy phân sốtrong thực tiễn nhằm giải thích nhu cầu học tập phân số xuất phát từ cuộc sống hàngngày Nghiên cứu này tương đồng với nghiên cứu của Figueras (trích theo [89]).Graeber, Tanenhaus (1993) đề xuất cách tiếp cận phân số thông qua các tìnhhuống đo lường và do đó chúng mang lại nghĩa cho HS xây dựng kiến thức theo chủ

đề này Thế nhưng, nghiên cứu này chưa mang lại đầy đủ các nghĩa khác nhau củaphân số như trong lịch sử (trích theo [86])

Gray (1993) được nhắc đến như tác giả nghiên cứu những vấn đề thường gặptrong việc chuyển từ số tự nhiên sang phân số cũng như các khó khăn có liên quan.Đây là một nghiên cứu khá thú vị, thế nhưng các nguyên nhân của khó khăn, sailầm không được giải thích dưới ngôn ngữ của didactic toán (trích theo [93])

Davis, Hunting, Pearn (1993a, b) đề xuất sử dụng các sơ đồ để biểu diễn mốiquan hệ giữa các số tự nhiên và các phân số Nghiên cứu của họ gắn liền một thựcnghiệm giảng dạy hơn 2 năm với các em HS từ 8 đến 10 tuổi (trích theo [90])

Giménez (1994) cho rằng cần phân biệt giữa "chia" theo ngôn ngữ đời thường

và "phân số" trong toán học, bằng cách sử dụng những kinh nghiệm, những câuchuyện để kích thích nhận thức của HS Tất cả được thiết kế nhằm tạo ra mối liênkết giữa các tình huống trong đó có sử dụng phân số (trích theo [92])

Kamii, Clark (1995) xem xét các câu hỏi về những khó khăn cho việc hiểu biếtmối quan hệ tương đương giữa các phân số (phân số bằng nhau) Nghiên cứu nàycho biết thêm về cách tiếp cận phân số dựa trên lí thuyết tập hợp (trích theo [91]).Barbero, Carignano, Magnani, Tremoloso (1996) đưa ra các dữ liệu có liênquan đến sai lầm mà HS gặp phải khi làm việc với phân số, trong đó họ còn phântích các tình huống và những nguyên nhân có thể Nghiên cứu này cũng tương tựnhư Gray đã tiến hành trước đó (trích theo [93])

Singh (2000) trình bày một nghiên cứu về tỉ số và tỉ lệ Nó được đánh giá làkhá quan trọng trong việc giải thích KN phân số Ngoài ra, kết luận của ông khẳngđịnh các hoạt động liên quan đến tỉ lệ đòi hỏi khả năng nắm vững hai tỉ số Nghiêncứu của ông đánh dấu cách tiếp cận phân số theo tỉ số Mặc dù vậy, nó cũng khôngđược thực hiện dưới sự so sánh với lịch sử của phân số (trích theo [81])

Wu (2001) nhận xét rằng HS nên được giải quyết các vấn đề đến từ thực tếcuộc sống có liên quan phân số bởi vì “các KN toán học gắn liền những hoạt độngđược bắt nguồn từ một số tình huống và vấn đề” Nghiên cứu này cũng tương tựnhư một số tác giả trước đó như: Figueras và Streefland (trích theo [81])

Kosbob & Moyer (2004) chỉ ra: trẻ em hiểu biết mối quan hệ số phần / toàn thểđược xem như là nền tảng kiến thức số hữu tỉ; là cơ sở xây dựng KN phân số như là

số phần bằng nhau được lấy ra từ cái toàn thể và là mục tiêu đầu tiên cho trẻ emhiểu biết phân số Nghiên cứu này tiếp cận phân số dựa trên số phần / toàn thể màchưa giới thiệu các cách tiếp cận khác của phân số (trích theo [80])

Xenia Vamvakoussi (2004) nghiên cứu sự hiểu biết của HS về cấu trúc đại số

và các tính chất của tập hợp số hữu tỉ Ông cũng chỉ ra được kiến thức trước đó của

HS về số tự nhiên (tính rời rạc) có thể giúp các em học tập tính trù mật của số hữu

tỉ Nghiên cứu của tác giả tập trung vào tính chất trù mật của số hữu tỉ (phân số) màkhông đi sâu các tính chất khác (trích theo [81]).

Douglas Ruby (2004) nhấn mạnh việc hiểu được “độ lớn” của phân số cần phảibiết rút gọn phân số Ông cũng chỉ ra các kiến thức liên quan đến rút gọn phân số:chia hết, đưa về tích số, khả năng nhận ra hai số nguyên tố, sự hiểu biết về tính chấtgiao hoán và tính chất kết hợp của phép nhân,…Trong nghiên cứu của mình, ôngcũng tìm hiểu qua về lịch sử của rút gọn phân số Tuy nhiên, kết quả chỉ mang tínhđiểm qua lịch sử mà không phải là một nghiên cứu khoa học luận (trích theo [88]).Bernardo Gómez Alfonso (2005) nghiên cứu những khó khăn liên quan đếnnhân và chia các phân số Ông cố gắng giải thích các khó khăn theo hướng tiếp cậnlịch sử Cụ thể, các nguyên nhân sai lầm như thế có nguồn gốc từ việc áp dụng cácphép tính đối với số tự nhiên Tuy vậy, tác giả chưa chỉ ra cách để tạo điều kiệnthuận lợi cho việc thay đổi quan niệm ở trẻ (trích theo [89])

Trong một nghiên cứu của Brizuela (2006), đối với trẻ “phân số là một phầnthiết yếu của cuộc sống hàng ngày của họ” mặc dù họ không nhất thiết phải hiểuđược ý nghĩa của một phân số (trích ra từ [89])

Trong bài viết “Mở rộng nghĩa của kí hiệu phân số: một thực nghiệm sưphạm”, K Subramanariam (2006) mở rộng nghĩa phân số với quan hệ số phần /toàn thể sang quan hệ nhân với vai trò là một toán tử Thực nghiệm giúp HS hiểusâu hơn về suy luận của phép nhân Từ đó, nó tạo điều kiện cho HS trong việc giảiquyết vấn đề và học tập các phép tính đại số ([82])

Neumer (2007) được nhắc đên vì ông đã chỉ ra KN hỗn số và phân số thực sựgây nhầm lẫn cho HS, bởi vì họ không hiểu tử số lớn hơn mẫu số, cũng như thực tế

là một số nguyên có thể được viết bên cạnh một phân số (trích theo [89])

Trong bài báo “The development, and the developing of the conception of afraction”, László Filep trình bày sơ lược về lịch sử KN phân số Thế nhưng trongnghiên cứu này ông chỉ làm rõ cách tiếp cận phân số dựa trên phép chia và nhữngđiều cần lưu ý về mặt sư phạm Rõ ràng, đây cũng không phải là công trình nghiên

cứu khoa học luận Hơn thế nữa, KN phân số không chỉ hình thành dựa trên phépchia mà còn nhiều cách tiếp cận khác ([83]).

Mathar Isabel Fandino Pinila (2007) đưa ra một nghiên cứu về phân số trong

“Fractions: Conceptual and Didactic Aspects” Trong đó, ông nhấn mạnh rằng việc

DH phân số thường không thành công do bởi một số nguyên nhân Tác giả tập hợpcác nguyên nhân dẫn đến việc học phân số không thành công dựa trên những nghiêncứu giáo dục toán Các nguyên nhân đó có thể là: hợp đồng didactic, chướng ngạikhoa học luận, khó khăn,…Do vậy, nghiên cứu này được thực hiện dưới một sốcông cụ lí thuyết của didactic toán Tuy nhiên, tác giả cũng chưa tiến hành côngviệc dưới một nghiên cứu đặc trưng khoa học luận (trích theo [85])

Susanne Prediger (2008) viết bài “The relevance of didactic categories foranalyzing obstacles in conceptual change: Revisiting the case of multiplication offractions” Tác giả chỉ ra cơ sở lí luận của chướng ngại khoa học luận và nghiên cứutrường hợp cụ thể: nhân hai phân số “Nhân luôn làm kết quả lớn hơn” được kiểmchứng là chướng ngại khoa học luận đối với HS trong việc học phép nhân phân số

Sự chưa hoàn chỉnh của nghiên cứu là chỉ làm rõ được một trong các chướng ngại

có liên quan đến KN phân số (trích dẫn theo [92])

Mokashi (2009) đưa ra một số ý tưởng về hoạt động để tăng cường sự hiểu biếtcủa HS về phân số Bà đề nghị sử dụng origami và nghệ thuật xếp giấy để dạy HSnhận ra các phân số cơ bản Bà cũng cho thấy bằng cách sử dụng thanh sô-cô-la(được chia thành các phần bằng nhau) để cho HS nhận ra mối quan hệ số phần /toàn thể Điều này làm cho các phân số liên quan đến bối cảnh thực tế cuộc sống,một điều khá quan trọng đối với HS để nhận ra Tác giả này đưa ra nhiều mô hìnhkhác nhau để tiếp cận phân số, nhưng tất cả chỉ tiếp cận phân số dựa trên số phần /toàn thể (trích theo [81])

Suhrit K Dey (2010) [90] đưa ra một nghiên cứu về việc DH các phép tính củaphân số bằng cách sử dụng các mô hình hình học trong “Teaching Arithmetic offractions using geometry” Tác giả sử dụng nhiều minh họa khác nhau trong hìnhhọc để dạy phép cộng, trừ, nhân, chia các phân số Ông cũng nêu ra sự hữu ích khi

sử dụng hình học bởi vì hầu hết các phép tính đối với phân số thì như những “đámmây” trong mắt trẻ em và mô hình hình học góp phần làm tan đi các “đám mây” đó.Tuy vậy, một số mô hình đưa ra khá phức tạp bởi vì chúng đòi hỏi HS phải xácnhận và so sánh diện tích của các hình chữ nhật.

Blena Castro Rodríguez (2012) nhấn mạnh rằng để HS có hiểu biết sâu về phân

số, trước tiên cần tạo cơ hội cho GV cải thiện nhận thức về KN này Nghiên cứu củaông tập trung giới thiệu cho GV tiểu học mối quan hệ số phần / toàn thể (được xemnhư là nền tảng DH phân số) Sự hạn chế của nghiên cứu này là chỉ giới thiệu cáchtiếp cận số phần / toàn thể mà không đưa ra nhiều cách tiếp cận khác ([75])

Tóm lại, KN phân số được rất nhiều nhà giáo dục quan tâm Tất cả thể hiệnđược ý nghĩa và vai trò của nó trong giảng dạy và khoa học toán Có rất nhiều côngtrình liên quan KN phân số Thế nhưng, ở Việt Nam chưa có công trình nào nghiêncứu KN phân số theo tiến trình: nghiên cứu khoa học luận  nghiên cứu thể chếđào tạo GV  nghiên cứu thể chế DH toán ở tiểu học  nghiên cứu thực nghiệm.Những phân tích trên đặt ra cho chúng tôi nhiều câu hỏi mà việc giải đáp chúng

sẽ gợi ra những cái mới và đóng góp của luận án:

- Trong thể chế DH toán tiểu học ở Việt Nam, KN phân số được đưa vào nhưthế nào? Xoay quanh những dạng toán nào?

- GV DH toán ở trường tiểu học Việt Nam có quan niệm như thế nào về KNphân số và DH phân số?

- GV sử dụng những hoạt động giải toán gì để hình thành kiến thức gắn liền với

KN phân số? Đặc trưng của những hoạt động đó ra sao?

- Hoạt động giải toán nào được GV lựa chọn để giúp HS phát hiện và sửa chữacác sai lầm khi học chủ đề phân số?

Từ những lí do trên đây, chúng tôi đặt vấn nghiên cứu của luận án:

“Dạy học chủ đề phân số ở trường tiểu học thông qua hoạt động giải các bài toán”

2 Giới hạn của đề tài

Ở đây, chúng tôi chọn ra một KN toán học có nhiều công trình nghiên cứu:phân số Bên cạnh đó, KN này chỉ được tiến hành nghiên cứu ở các cấp độ: lịch sửtoán, nhà trường đào tạo GV tiểu học và dạy toán ở tiểu học

Hơn thế nữa, chúng tôi tập trung vào hai giáo trình chính để thực hiện phân tích

ở cấp độ nhà trường đào tạo GV tiểu học: Số học (Lí thuyết số) và Phương phápgiảng dạy toán ở tiểu học Để nghiên cứu phân số ở cấp độ DH toán tiểu học, chúngtôi chỉ đề cập đến SGK, sách giáo viên (SGV) hiện hành

3 Phạm vi lí thuyết tham chiếu và mục tiêu nghiên cứu

Nghiên cứu của chúng tôi được đặt trong phạm vi của lí thuyết về bài toán,hoạt động giải toán, DH thông qua hoạt động giải toán

Bên cạnh đó, một số công cụ lí thuyết của didactic toán được vận dụng đểnghiên cứu tri thức cần giảng dạy:

- Nghiên cứu khoa học luận

- Lí thuyết nhân chủng học: chuyển đổi didactic, quan hệ thể chế và quan hệ cánhân đối với một đối tượng tri thức, tổ chức toán học

- Lí thuyết tình huống,…

Luận án được thực hiện với mục tiêu nghiên cứu DH chủ đề phân số thông quahoạt động giải toán mà bây giờ được cụ thể hóa và mở rộng trong phạm vi lí thuyếttham chiếu thông qua các câu hỏi:

1 Trong quá trình hình thành và phát triển, phân số có những đặc trưng khoahọc luận cơ bản nào?

2 Mối quan hệ thể chế với KN phân số ở nhà trường đào tạo GV tiểu học cónhững đặc trưng cơ bản nào? Sự tương đồng và khác biệt của nó so với quá trìnhphát triển của nó trong lịch sử?

3 Mối quan hệ thể chế với KN phân số trong thể chế DH toán ở tiểu học có đặctrưng cơ bản nào? Sự tương đồng và khác biệt so với quá trình phát triển của nótrong lịch sử và so với mối quan hệ thể chế đào tạo GV tiểu học?

4 Những ràng buộc của thể chế DH toán ở tiểu học ảnh hưởng ra sao đến mốiquan hệ cá nhân của GV và HS? Đặc trưng của các hoạt động giải toán được triểnkhai ra sao?

5 Xây dựng hệ thống các hoạt động giải toán như thế nào để tạo điều kiện cho

HS kiến tạo kiến thức mới liên quan chủ đề phân số? Hiệu quả của chúng ra sao?

6 Làm thế nào để thiết kế các tình huống DH mà trong đó HS khám phá ra kiếnthức mới (phân số) thông qua hoạt động giải toán? HS sẽ ứng xử ra sao trước nhữngtình huống như thế?

4 Phương pháp nghiên cứu

Sau đây là sơ đồ thể hiện phương pháp nghiên cứu mà chúng tôi sử dụng nhằmtìm ra câu trả lời cho các câu hỏi:

Sơ đồ 2: Tiến trình nghiên cứu của luận án

4.1 Nghiên cứu lí luận

- Trước tiên, chúng tôi phân tích, tổng hợp cơ sở lí luận của hoạt động giải toáncũng như một số cơ sở lí thuyết của didactic toán, một số chủ trương, chính sáchcủa Chính phủ, Bộ Giáo dục và Đào tạo về định hướng đổi mới PPDH

NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM

(Quan hệ cá nhân của HS)

- Nghiên cứu trước đó là cơ sở để chúng tôi phân tích, tổng hợp các công trình

có liên quan đến đến đặc trưng khoa học luận của KN phân số Công việc này đượctiến hành thông qua nghiên cứu các tài liệu lịch sử toán, các nghiên cứu trước đó về

KN phân số

- Tiếp theo nghiên cứu khoa học luận, chúng tôi phân tích chương trình và cácgiáo trình toán (được sử dụng để dạy cho GV tiểu học) nhằm tìm hiểu KN phân sốđược nghiên cứu như thế nào ở cấp độ nhà trường sư phạm và mối quan hệ thể chếđào tạo GV với đối tượng phân số

- Hai nghiên cứu trên là cơ sở tham chiếu cho việc phân tích thể chế DH phân

số ở tiểu học Phân tích chương trình và SGK, sách GV toán, tài liệu hướng dẫngiảng dạy sẽ làm rõ mối quan hệ thể chế với đối tượng phân số

- Sau đó, chúng tôi tiến hành tìm kiếm giải pháp để DH hiệu quả chủ đề phân

số - đó là DH thông qua hoạt động giải toán Chính vì vậy, chúng tôi đã vận dụng

cơ sở lí thuyết để thiết kế hoạt động giải toán cho chủ đề phân số

4.2 Thực nghiệm sư phạm

Sau những nghiên cứu trước đó, cho phép chúng tôi đề xuất các giả thuyếtnghiên cứu Tính thỏa đáng của chúng được kiểm chứng bằng một số thực nghiệmtrên đối tượng HS

5 Giả thuyết nghiên cứu

Hai giả thuyết dưới đây có được từ việc phân tích mối quan hệ thể chế DH toán

ở tiểu học, thiết kế các hoạt động giải toán (trong chương 3, 4) Việc kiểm chứngtính đúng đắn của chúng được thực hiện trong chương 5 của luận án

H1: Tổ chức dạy học thông qua hoạt động giải toán, được thiết kế theo những tiêu chí ở mục 4.1.1, cho phép học sinh tự kiến tạo kiến thức gắn liền với khái niệm phân số và mang lại cho các em nghĩa đúng của kiến thức này.

H2: Tình huống dạy học phân số dựa trên tia số còn cho phép học sinh tiếp cận với nghĩa của khái niệm phân số như là phương tiện “biểu thị một điểm cụ thể trên tia số” và hình thành cho các em biểu tượng ban đầu về tính trù mật của tập hợp các phân số.

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

6.1 Về mặt lí luận

- Phân tích và tổng hợp một số yếu tố cơ sở lí luận về DH thông qua hoạt độnggiải toán, các lí thuyết của didactic toán, một số chủ trương, chính sách của Chínhphủ, Bộ Giáo dục và Đào tạo về định hướng đổi mới PPDH

- Làm rõ các đặc trưng của KN phân số trong tiến trình hình thành và phát triểncủa nó

- Dựa trên cơ sở lí luận trên, cho phép phân tích các nội dung có liên quan đếnchủ đề phân số trong nhà trường đào tạo GV tiểu học và thể chế DH toán ở tiểu học

6.2 Về mặt thực tiễn

- Xây dựng các tiêu chí để tổ chức DH thông qua hoạt động giải toán, đề xuấttiến trình DH thông qua hoạt động giải toán

- Đề xuất một hệ thống hoạt động giải toán cho chủ đề phân số

- Luận án cũng xây dựng các tình huống DH theo hướng tích cực hóa hoạt độngnhận thức của HS trong việc lĩnh hội KN phân số, từ đó góp phần nâng cao chấtlượng và hiệu quả DH chủ đề phân số

7 Những luận điểm đưa ra bảo vệ

- Những luận điểm quan trọng của cơ sở lí luận về DH thông qua hoạt động giảitoán, trong đó kể cả tiến trình DH thông qua hoạt động giải toán

- Một số kết quả chính có được khi phân tích khoa học luận KN phân số

- Những ghi nhận đáng chú ý từ việc phân tích mối quan hệ thể chế ở nhà trườngđào tạo GV tiểu học và thể chế DH toán ở tiểu học

- Hệ thống hoạt động giải toán được thiết kế để vận dụng vào DH chủ đề phân

số trong SGK toán 4

- Một số kết quả chủ yếu của các thực nghiệm sư phạm trong chương 5

8 Cấu trúc của luận án

Tương ứng với mục tiêu và nhiệm vụ đặt ra, ngoài phần mở đầu và kết luận, nộidung chính của luận án được trình bày trong 5 chương, sau cùng là phần danh mụccác tài liệu tham khảo

Chương 1 Cơ sở lí luận

Chương 2 Nghiên cứu khoa học luận của khái niệm phân số

Chương 3 Khái niệm phân số trong thể chế đào tạo giáo viên tiểu học và

thể chế dạy học toán ở tiểu học Chương 4 Dạy học chủ đề phân số ở trường tiểu học thông qua hoạt

động giải các bài toán Chương 5 Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN

Chương 1 có mục tiêu xác định cơ sở lí luận cho toàn bộ nghiên cứu trong luận

án Về nguyên tắc, chúng tôi cần làm rõ các KN cơ bản: hoạt động, bài toán, hoạtđộng giải toán, DH thông qua hoạt động giải toán Trong đó, KN “Hoạt động” là đốitượng nghiên cứu quan trọng của Triết học và nhiều Lí thuyết về học tập, đặc biệt là

Lí thuyết hoạt động, đặt cơ sở trên Tâm lí học hoạt động

Tuy nhiên, trong phạm vi luận án này, chúng tôi không đi sâu vào khía cạnhtriết học, tâm lí hay giáo dục của KN “hoạt động”, mà chỉ dùng nó như một thuậtngữ thông thường, chỉ việc tiến hành một nhiệm vụ nào đó Cụ thể, hoạt động giảicác bài toán được hiểu là việc thực hiện giải các bài toán

Từ đó, chúng tôi hạn chế phạm vi cơ sở lí luận mà chúng tôi cần làm rõ trongchương này là các nhóm công cụ lí thuyết sau đây:

- Nhóm công cụ lí thuyết gắn liền với chủ đề “DH thông qua hoạt động giảitoán”, như các KN: bài toán, đề toán, DH thông qua hoạt động giải toán Ngoài rachúng tôi cũng bổ sung trong phần này một số yếu tố khoa học luận và cơ sở thựctiễn của “DH thông qua hoạt động giải bài toán”

- Nhóm công cụ lí thuyết hình thành nên phương tiện nghiên cứu các thể chế

DH, chủ yếu là nghiên cứu chương trình, SGK (hay giáo trình) và nghiên cứu thựcnghiệm

- Nhóm chủ trương, định hướng về giáo dục nói chung và đào tạo nói riêng củaChính phủ, của Bộ Giáo dục và Đào tạo ở Việt Nam

Sau khi trình bày những yếu tố lí luận và thực tiễn nêu trên, chúng tôi sẽ xácđịnh quan điểm của mình về “Dạy học thông qua hoạt động giải các bài toán”

1.1 Cơ sở lí luận về dạy học thông qua hoạt động giải toán

1.1.1 Khái niệm Bài toán

Có nhiều quan niệm khác nhau về KN “Bài toán” Rất thông thường, thuật ngữnày được dùng lẫn lộn với thuật ngữ “Bài tập” Từ “Problème” trong ngôn ngữ

tiếng pháp và “Problem” trong tiếng Anh đều được dịch sang tiếng Việt với hainghĩa: “Bài toán” và “Vấn đề”.

Ở đây, chúng tôi không đi sâu tìm hiểu và phản biện về các quan niệm khácnhau đó, mà chỉ trình bày một số yếu tố lí luận mà chúng tôi chọn làm cơ sở choluận án này

1.1.1.1 Từ góc độ từ nguyên 1 và lịch sử ngôn ngữ

Thông qua từ điển lịch sử ngôn ngữ Pháp, M.Priolet (2008) đã làm rõ nhữngđặc trưng chủ yếu sau đây của KN bài toán:

- Danh từ “Bài toán” có nguồn gốc từ thuật ngữ latin “Problema” được người

Hy Lạp sử dụng vào khoảng năm 1380 với nghĩa chỉ cái mà người ta đối mặt, mộtchướng ngại, một chủ đề gây tranh cãi, một vấn đề cần giải quyết

- Từ thế kỉ 17, thuật ngữ “Bài toán” bắt đầu được dùng trong toán học và vật lí

để chỉ một vấn đề cần giải quyết bằng những phương pháp suy luận hợp lí hoặcbằng quan sát

- Cuối thế kỉ 17 cho đến đầu thế kỉ 19, trong toán học, bài toán luôn được dùng

với nghĩa là một “mệnh lệnh” cần thực hiện các thao tác toán học: “bài toán trong toán học là một đề nghị trong đó người ta yêu cầu làm một số các thao tác theo các qui tắc toán học và người ta chỉ rõ là chúng đã được thực hiện Ví dụ: đề nghị đo

độ cao của một cái tháp khi chỉ biết khoảng cách từ điểm quan sát tới tháp là một bài toán (Académie française, 1762, 1798)”.

Tóm lại, hai trong các đặc trưng cơ bản gắn với KN bài toán thể hiện qua từ điểnlịch sử ngôn ngữ Pháp, mà chúng tôi giữ lại là:

- Luôn gắn với khó khăn, chướng ngại cần vượt qua,

- Gắn với đề nghị chứa một yêu cầu cần giải quyết hoặc một chứng minh cần thực hiện.

1.1.1.2 Từ quan điểm của tâm lí học

Nhìn từ góc độ tâm lí, thuật ngữ “problème” được dùng dưới đây trong ngônngữ tiếng Việt là “Vấn đề”

1 Từ nguyên (étymologie): nghiên cứu khoa học về nguồn gốc của từ.

Theo M.Priolet (2008), các quan niệm tâm lí dưới đây là sự nối kết giữa quanđiểm của các nhà tâm lí Richelle và Droz (1976) và quan điểm khoa học luận về

kiến thức được phát triển bởi Bachelard (1938) [94]: “Đối với tư duy khoa học, tất

cả kiến thức đều là lời giải đáp cho một vấn đề (question) Không có vấn đề thì không có kiến thức toán học Không có gì là tự nó Không có gì được cho Tất cả đều được kiến tạo”2

Theo các nhà tâm lí học Richelle và Droz (1976): có vấn đề (problème) khi màchủ thể không thể có được ngay tức thì câu trả lời bằng cách áp dụng thói quen cũvào tình huống

Phát triển quan điểm này, Vergnaud (1981) [102] quan niệm: vấn đề là tất cảnhững gì dẫn chủ thể tới việc thiết lập một câu trả lời hay một hành động tạo ra mộtkết quả nào đó Theo ông, cần phải hiểu thuật ngữ vấn đề theo nghĩa rộng trọng tâm

lí, đó là tất cả tình huống trong đó cần khám phá các mối quan hệ; phát triển cáchoạt động nghiên cứu, hoạt động nêu giả thuyết và kiểm tra để thiết lập cách giảiquyết tình huống

Brun (2003) đề nghị định nghĩa sau đây:

“Theo quan điểm tâm lý học, vấn đề được định nghĩa một cách khái quát như một tình huống khởi đầu với một mục tiêu xác định, đòi hỏi chủ thể thiết lập một dãy các hành động hoặc các thao tác để đạt được mục tiêu này Chỉ có vấn đề trong mối quan hệ chủ thể / tình huống, trong đó lời giải đáp chưa có ngay được, nhưng có thể xây dựng”.

Theo M.Priolet (2008), có ba luận điểm quan trọng rút ra từ các quan niệm trên:

- Các quan niệm về “Vấn đề” như trên có thể áp dụng vào tất cả các lĩnh vực khoa học khác nhau, khi các tình huống xem xét dẫn chủ thể tới việc kiến tạo kiến thức.

- Chỉ nói đến KN “Vấn đề” trong mối quan hệ chủ thể / tình huống Nói cách khác, không có vấn đề tồn tại tự thân mà không có chủ thể nào đó đặt mục đích giải quyết nó (đặc trưng này xuất hiện ngầm ẩn trong các quan niệm về bài toán xét từ góc độ từ nguyên và lịch sử ngôn ngữ nêu ở mục 1.1.1.1 ở trên).

- Chủ thể vận dụng kiến thức cũ của mình để thiết lập một đối tượng nghiên cứu mới và

để giải quyết vấn đề Mỗi khi vấn đề đã được giải quyết, thì câu trả lời chính xác có được

2 “Pour un esprit scientifique, toute connaissance est une réponse à une question S’il n’y a pas eu de question, il ne peut y avoir de connaissance scientifique Rien ne va de soi Rien n’est donné Tout est construit (Bachelard, 1938)”.

mang tên “lời giải” sẽ lấy thể chế của kiến thức Nói cách khác, kiến thức là sản phẩm của hoạt động giải quyết vấn đề

1.1.1.3 Từ góc độ của Lí luận và Phương pháp dạy học toán ở Việt Nam

GS Nguyễn Bá Kim (2011) [38] đề xuất các KN cơ bản sau làm nền tảng chonghiên cứu xu hướng “DH phát hiện và giải quyết vấn đề”:

- Hệ thống là một tập hợp những phần tử cùng với những quan hệ giữa những

Vấn đề là bài toán, trong đó chủ thể chưa có trong tay một thuật giải nào để tìm

ra phần tử chưa biết của bài toán

1.1.2 Về khái niệm “Đề bài toán” hay gọi tắt là “Đề toán”

Việc làm rõ đặc trưng của KN đề toán (énoncé d’un problème) cũng quan trọngvới luận án này vì nó sẽ hình thành nên một trong những tiêu chí làm cơ sở cho việcphân tích SGK toán mà chúng tôi sẽ thực hiện trong chương 3

Cũng như ở Việt Nam, ở Pháp, người ta thường dùng lẫn lộn hai KN “Bài toán”

và “Đề toán”, chẳng hạn, khi GV nói: “các em hãy đọc thật kĩ bài toán sau đây vàgiải bài toán đó trong 15 phút”

Qua phân tích từ góc độ từ nguyên, lịch sử ngôn ngữ, tâm lí, M.Priolet (2008)nêu lên những đặc trưng sau đây của KN đề toán (đặt trong ngữ cảnh trường học)

mà Priolet dùng làm cơ sở cho luận án của mình:

- Đề toán là thông báo về bài toán mà HS cần giải, được thực hiện qua một trìnhbày bằng lời hay viết Chính qua trung gian đề toán mà diễn ra quan hệ đầu tiêngiữa bài toán và chủ thể giải bài toán

- Đề toán thường được trình bày dưới dạng nghi vấn hay yêu cầu (mệnh lệnh).

- Đề toán chỉ tập trung vào bài toán cần giải Nói cách khác, nó không chứanhững cái gì không gắn với nội dung của bài toán

Theo cách hiểu của chúng tôi, đề toán chính là một trong những “cái biểu đạt”(signifiant) cho “cái được biểu đạt” (signifié) là bài toán Nói cách khác, đề toán làhình thức tồn tại bên ngoài của bài toán

1.1.3 Khái niệm dạy học thông qua hoạt động giải các bài toán

1.1.3.1 Khái niệm chung về dạy học thông qua hoạt động giải toán

Theo PPDH truyền thống, kiến thức mới (KN, định lí, tính chất, thuật toán,…)thường được truyền thụ đến HS theo cách sau đây:

GV cung cấp cho HS kiến thức mới thông qua một thông báo chính thức (địnhnghĩa, định lí,…) Đó là một kiến thức hoàn chỉnh, chính xác, nói cách khác, là mộtkiến thức đã phi hoàn cảnh hóa, phi cá nhân hóa và do đó mang “nghĩa” hình thức

Để tránh cách truyền thụ “một chiều” như trên, có thể tổ chức DH thông quahoạt động giải các bài toán, theo nghĩa:

GV không truyền thụ trực tiếp kiến thức mới ngay từ đầu, mà đề nghị HS giảimột hay một số bài toán Sau khi kết thúc hoạt động này, kiến thức mới sẽ đượcthiết lập như là kết quả của hoạt động giải các bài toán vừa đề nghị

Đó là một mô tả khái quát về DH thông qua hoạt động giải các bài toán Tuynhiên, phương án “DH thông qua hoạt động giải các bài toán” được áp dụng trongluận án này có những đặc trưng riêng, mà chúng tôi sẽ làm rõ trong phần sau

1.1.3.2 Vai trò của bài toán (vấn đề) trong lịch sử phát triển của toán học và trong dạy học toán

Trong lời nói đầu của Kỉ yếu Hội thảo Inter-Irem “Lịch sử và khoa học luậntoán học – Vai trò của bài toán trong lịch sử và hoạt động toán học” (1985)[100,tr.1], Ủy ban Inter-Irem (Pháp) về khoa học luận đã nêu lên những điểm sauđây, như là kết quả của Hội thảo:

- “Các nghiên cứu trong didactic toán và nghiên cứu khoa học luận thống nhất với nhau

về vai trò của bài toán trong hoạt động toán học”.

- “Nguồn gốc chủ yếu của những khó khăn gặp phải trong DH truyền thống về môn toán

là sự vắng bóng nghĩa 3 của tri thức đối với HS, vì tri thức này thường xuất hiện như một

“diễn văn” từ trên trời rơi xuống và theo tiến trình từ định nghĩa đến định lí, sau đó là các bài tập áp dụng.”

- “Lịch sử toán học chỉ rõ rằng các KN và các lí thuyết toán học lấy nghĩa qua các bài toán mà chúng cho phép giải quyết: Tri thức toán học không được cho sẵn, mà được

xây dựng bắt đầu từ những bài toán”.

1.1.3.3 Dạy học thông qua hoạt động giải các bài toán ở Pháp

Sau thất bại của cuộc cải cách “toán học hiện đại theo trường phái Bourbaki”vào những năm 1970, nước Pháp bước vào một cuộc cải cách được gọi là “cuộc cảicách chống toán học hiện đại” với một quan niệm khoa học luận và sư phạm hoàntoàn khác về toán học cần giảng dạy ở trường phổ thông, được thể hiện khá rõ trong

mô tả của Artigue (1996):

“Đó là một cuộc cải cách được tổ chức nhằm chống lại cuộc cải cách toán học hiện đại.

Nó dựa trên một quan niệm về toán học đã thay đổi: trọng tâm không còn đặt trên toán học như là thế giới cấu trúc, như là ngôn ngữ phổ dụng của khoa học, mà trên một toán học như là kết quả của hoạt động của con người, được đặt đồng thời trong thời gian và không gian Tính mục đích của toán học này là giải quyết các vấn đề nảy sinh từ sự phát triển nội tại của môn học hoặc của các lĩnh vực khoa học khác Đó không phải là toán học tồn tại vĩnh cửu do các nhà toán học đã khám phá, mà là toán học được nhà toán học xây dựng theo nhu cầu của mình Lợi ích của lịch sử toán học chắc chắn không xa lạ gì với tiến triển này […] Ngược lại, đó là một cuộc cải cách có tính đến những bài học của cuộc cải cách trước và mong muốn quan tâm hơn vào sự cân bằng cần thiết giữa những ràng buộc về tri thức và những ràng buộc về hoạt động nhận thức của HS, trong việc xác định nội dung giảng dạy Trên cơ sở thuyết kiến tạo về học tập, hoạt động của HS được

ưu tiên nhấn mạnh.”

Theo Lê Văn Tiến (2001) [101], quan điểm sư phạm nổi bật của thời kì này thểhiện ở quan niệm rằng:

- Làm toán là phát hiện, đặt ra, giải các bài toán và xem xét lại mỗi bài toán

dưới ánh sáng của các công cụ được thiết lập Các công cụ này chính là các tri thứctoán học (mà ta cần giảng dạy) được kiến tạo ra trong quá trình giải quyết các bài

3 Trong phần sau, chúng tôi sẽ làm rõ các quan niệm về KN “nghĩa” của một tri thức toán học.

toán như là công cụ giải quyết chúng Như vậy, kiến thức mới được kiến tạo quaquá trình giải các bài toán và nó chính là công cụ, là phương tiện giải quyết các bàitoán này.

- HS học toán bằng cách chính họ thực hiện tiến trình “làm toán”, nghĩa là

chính HS xây dựng kiến thức toán học bằng cách học phát hiện, đặt ra, giải các bàitoán và xem xét lại mỗi bài toán dưới ánh sáng của các công cụ được thiết lập

Từ lựa chọn khoa học luận và sư phạm nêu trên, “DH thông qua hoạt động giảicác bài toán” trở thành tư tưởng chủ đạo, định hướng cho DH toán ở trường phổthông ở Cộng hòa Pháp từ những năm 1980 Tính đến nay, đã hơn 30 năm sau cảicách giáo dục 1980, chương trình và SGK toán phổ thông của Pháp đã trải quanhiều lần thay đổi (trung bình, chu kì thay đổi là 5 năm), bản thân nội hàm của KN

“DH thông qua hoạt động giải các bài toán” cũng có nhiều thay đổi, nhưng đó vẫn

là quan điểm được lựa chọn Nói cách khác, DH thông qua hoạt động giải toán làmột lựa chọn sư phạm đã khẳng định những thành công nhất định trong trường phổthông Pháp

Sau đây, chúng tôi sẽ trình bày một số quan niệm về “DH thông qua hoạt độnggiải các bài toán” ở Pháp, thời kì sau 1980 qua việc phân tích các tài liệu của Ủyban Inter-Irem và Irem4

a) Quan niệm được trình bày trong Tập san “Toán học lớp 10 – Nội dung và kịch bản” của Ủy ban Inter-Irem (1993) [100]

Trong tập san này, G.Germain (1993) đã làm rõ những điểm quan trọng sau:

- Chương trình lớp 10 (BO, số 20, 17/5/1990) trình bày lí do ra đời của chương

trình mới là: “Mong muốn nhấn mạnh tầm quan trọng của công việc cá nhân của

HS ở trường cũng như ở nhà và vai trò kiến tạo qua hoạt động giải các bài toán”.

4 Irem là các trung tâm nghiên cứu về DH toán, qui tụ các nhà nghiên cứu sư phạm, các nhà toán học và GV phổ thông của Pháp Inter-Irem là một tổ chức có chức năng phối hợp tổ chức nghiên cứu giữa các Irem khác nhau Hiệp hội GV các trường công lập (APMEP) và Inter-Irem là tác giả khởi xướng cuộc cải cách chống toán học hiện đại của những năm 1980 và có ảnh hưởng rất lớn đối với những thay đổi chương trình và SGK cũng như PPDH toán ở trường phổ thông Pháp từ 1980 đến nay.

- KN hoạt động giải toán: “GV cho HS một bài toán Nhiệm vụ của HS là giải bài toán này (một mình hay theo nhóm), nhưng không có sự can thiệp của GV về nội dung cũng như phương pháp giải”.

- Mục tiêu của hoạt động giải toán là: hoạt hóa kiến thức cũ5, kiến tạo kiến thức

mới và mang lại nghĩa cho kiến thức này, cho HS thực hành về tiến trình khoa học

(hay thực hiện chức năng khoa học) Trong đó, chức năng khoa học này được mô tả

như sau: “Thiết lập một bài toán, phỏng đoán một kết quả, kiểm chứng trên các ví

dụ, làm một chứng minh, hình thành các công cụ lí thuyết, trình bày lời giải, kiểm tra lại các kết quả đạt được, đánh giá tính thích đáng của kết quả đối với bài toán, chỉ là những thời điểm khác nhau của cùng một hoạt động khoa học” (Chương trình

toán lớp 10, 1990)

- Những tình huống hoạt động giải các bài toán có các đặc trưng sau đây:

+ HS được yêu cầu giải bài toán mà kiến thức nhắm tới là công cụ cho phép giảibài toán này

+ Hoạt động tìm kiến lời giải được thực hiện trong lớp dựa trên hình thức làmviệc theo nhóm nhằm tạo ra những dự đoán (nghĩa là phương án giải có thể chấpnhận được)

+ HS có phương tiện chấp nhận hay từ bỏ lời giải mà họ tạo ra hay phươngpháp mà họ sử dụng

+ Có pha tranh luận giữa các HS về các dự đoán hay để đối chứng các phươngpháp mà HS sử dụng HS sẽ chấp thuận hay bác bỏ dự đoán hay phương pháp được

đề xuất dựa trên những lí lẽ mà họ cho là thích đáng nhất

+ Hoạt động kết thúc bằng một pha tổng kết công việc đã làm GV tổng hợp lạicác phương pháp giải khác nhau mà HS đã dùng và trình bày kiến thức cần giữ lại,như là cái được tập thể thừa nhận

Cũng trong tập san này [100,tr.16], E.He1bert đã trình bày quan niệm của nhómDidactic - Irem Rouen, theo đó: bài toán trong hoạt động giải toán không phải là các

5 Hoạt hóa kiến thức cũ được hiểu theo nghĩa là làm cho kiến thức đã học này được “cập nhật lại” trong đầu

HS để họ có khả năng vận dụng vào các tình huống khác trong giờ học.

bài tập luyện tập, các bài tập kiểm tra sự lĩnh hội kiến thức đã học hay các bài toán

có thể giải được nhờ vào một số chỉ dẫn đã được gợi ý trước

b) Quan niệm của một số Irem khác

Phần này được trình bày theo Trương Thị Vinh Hạnh (2007)[19]

Tác giả Trương Thị Vinh Hạnh đã nêu lên quan điểm của một số tổ chức có ảnhhưởng trực tiếp tới DH toán ở trường phổ thông Pháp, như: IREM de Poitiers,IREM du Man,…Mặc dù các quan điểm này không hoàn toàn đồng nhất, nhưngchúng có những điểm chung có thể trình bày như sau:

* Bài toán trong “DH thông qua hoạt độnggiải toán” phải có các tiêu chuẩn:

- Đề toán và thông báo của tình huống gắn với bài toán này phải dễ hiểu đối vớiHS;

- HS phải tự giải quyết bài toán Tình huống hoạt động giải toán được thiết kếđảm bảo hạn chế tối đa sự can thiệp của GV

- Lời giải bài toán không quá hiển nhiên Để giải được bài toán, HS phải khámphá kiến thức mới, hoặc huy động kiến thức cũ và cấu trúc lại chúng Nói cáchkhác, kiến thức mới nảy sinh như công cụ hay phương tiện giải quyết bài toán

- Bài toán tạo nên khó khăn đối với HS, đó không phải là những bài toán mà các

em đã biết trước thuật giải Do đó, bài toán trong hoạt động giải toán không phải là:các bài tập luyện tập, phù hợp với một mẫu định sẵn; bài toán có hướng dẫn, nghĩa

là bài toán mà để giải chỉ cần thực hiện một dãy các chỉ dẫn có trước

1.1.3.4 So sánh với dạy học thông qua hoạt động giải toán ở Singapore

Trương Thị Vinh Hạnh (2007) [19] đã so sánh quan niệm về DH thông qua hoạtđộng giải toán ở Singapore và quan niệm ở Pháp, từ đó rút ra kết luận:

+ Điểm chung: HS là người thực hiện hoạt động, sự can thiệp của GV được hạnchế ở mức độ ít nhất Qua hoạt động, HS sẽ khám phá kiến thức mới cần dạy hoặchuy động kiến thức cũ với mục đích cấu trúc lại chúng

+ Điểm khác biệt: ở Singapore, trong các bài toán cần giải, vẫn có “những tìmhiểu có hướng dẫn” nhằm giúp HS dễ dàng hơn trong việc tìm hiểu một qui tắc, một

vấn đề,…Hoạt động như vậy tương tự như hướng dẫn của SGK hiện hành ở ViệtNam (chúng tôi sẽ làm rõ điều này trong chương 3).

1.1.4 Khái niệm “Nghĩa” của tri thức

Hầu hết các nhà giáo dục đều thống nhất rằng: dạy học một tri thức là dạy học

nghĩa của tri thức đó Như Sierpinska (1990) [87] đã làm rõ: “Hiểu KN sẽ (…)

được xem như hành động nắm được nghĩa của nó” (trích theo Bruno D’Amore và

Martha Isabel Fandiño Pinilla, 2001) Từ đó, chúng tôi thấy cần thiết phải làm rõnội hàm của KN này, qua các phân tích sau đây

1.1.4.1 Quan điểm của Thuyết duy thực (thuyết hiện thực - théorie réaliste)

Bruno D’Amore và Martha Isabel Fandiño Pinilla (2001) [79] nêu rõ:

Theo thuyết duy thực, nghĩa là một mối quan hệ có tính quy ước giữa những dấu và

những thực thể cụ thể hoặc lí tưởng, tồn tại độc lập với những dấu ngôn ngữ và do đó, nó dựa vào chủ nghĩa duy thực về quan niệm (Godino, Batanero, 1994) Cũng như Kutschera (1979) đã làm rõ: «theo quan niệm này, nghĩa của một từ không phụ thuộc vào cách dùng nó trong các tình huống cụ thể, nhưng cách sử dụng lại dựa trên nghĩa – đó có thể là một sự phân chia rõ nét giữa ngữ nghĩa học và tính thực dụng.

Trong thuyết duy thực về ngữ nghĩa, người ta gán chức năng thuần túy ngữ nghĩa cho những từ, chẳng hạn: nghĩa của một danh từ riêng (chẳng hạn như Bertrand Russell) là đối tượng mà danh từ riêng này chỉ (ở đây chính là Bertrand Russell)); những thông báo (như “A là một dòng sông”) biểu thị những việc phát sinh từ thực tế (trong trường hợp này, A thực sự là một dòng sông); những vị từ (như A nhận ra B) chỉ những thuộc tính, những cái được nêu lên trong câu thể hiện nó (trong trường hợp này, cá nhân A nhận ra việc B) Như vậy, tất cả những từ ngôn ngữ là thuộc tính của những thực thể nào đó: mối

quan hệ nêu tên gán cho các thực thể này chỉ là chức năng ngữ nghĩa của từ.”

Bình luận: Từ quan điểm trên của chủ nghĩa duy thực, có thể suy luận ra rằng,

nghĩa của một tri thức toán học chỉ là thuộc tính có tính ngữ nghĩa mà người ta gán cho từ (hay cụm từ) nêu danh tri thức này Chúng tôi gọi nghĩa của tri thức theo quan điểm này là “nghĩa hình thức”.

Chẳng hạn, khi DH KN cấp số cộng ở lớp 11, nếu GV chọn phương án cung cấpngay tức thì cho HS định nghĩa KN này, thì ở thời điểm đó, ta nói: định nghĩa KN

cấp số cộng đã mang lại cho đối tượng tri thức (cấp số cộng) một nghĩa hình thức.

Nói cách khác, ở thời điểm này, HS chỉ mới biết được các thuộc tính “hình thức”của cấp số cộng, mà chưa biết được các ứng dụng của nó.

1.1.4.2 Quan điểm của Thuyết thực dụng (théorie pragmatique)

Theo thuyết thực dụng, nghĩa của một đối tượng toán học phụ thuộc vào (hayđặc trưng bởi) hệ thống những cách sử dụng nó Chúng ta có thể thấy rõ điều nàyqua đoạn trích của Bruno D’Amore et Martha Isabel Fandiño Pinilla (2001) [79]:

“Theo thuyết thực dụng, từ có những nghĩa khác nhau tùy theo ngữ cảnh mà người ta sử dụng nó […] Người ta chỉ có thể xác định được những “cách sử dụng” khác nhau: tập hợp những cách sử dụng xác định nghĩa của đối tượng Ta nhận ra ở đây vai trò của Wittgenstein trong các nghiên cứu triết học, khi ông thừa nhận rằng giá trị nghĩa của một

từ phụ thuộc vào chức năng của nó trong hoạt động ngôn ngữ, nội hàm thể hiện trong chính từ này, mỗi từ có một cách dùng và một mục đích sử dụng cụ thể Như vậy, bản thân từ không có nghĩa tự thân […].

Như vậy, các đối tượng toán học là những biểu trưng của những thỏa thuận văn hóa nảy sinh từ một hệ thống những sử dụng đặc trưng cho tính thực dụng của nhân loại (hoặc ít nhất là của một nhóm cá nhân thuần nhất), và được điều chỉnh không ngừng theo thời gian và cũng theo tính cần thiết Quả thực, những đối tượng toán học và nghĩa của chúng phụ thuộc vào những vấn đề gặp phải trong toán học và cách giải quyết chúng.”

1.1.4.3 Quan niệm của GS Hồ Ngọc Đại

Trong tác phẩm “Cái và cách” của mình, GS Hồ Ngọc Đại (2003) [14] đã làmmột phân tích khá cụ thể và thú vị về hai từ CÁI và CÁCH Ông viết:

“Các dụng cụ sinh hoạt và các công cụ thủ công là các ví dụ dễ thấy nhất về CÁI, thông qua CÁCH dùng nó” [14,tr.5]

“Mỗi CÁI thể hiện một THAO TÁC hay CÁCH dùng nó theo đúng NGHĨA của nó (còn gọi là theo đúng KHÁI NIỆM của nó Trong thực tế, một CÁI được dùng vào những việc

khác nhau (là cái cốc nhưng cũng vừa là lọ hoa, vừa là cái chẹn giấy, vừa là quà tặng…).

Điều này nói lên rằng hình thức tồn tại của CÁI tự nó chưa cho ta biết điều gì về bản thân

nó Triết học biện chứng gọi trạng thái này của CÁI là trừu tượng: CÁI ở dạng trừu

tượng” [14,tr.9].

“CÁCH có hai nghĩa: CÁCH dùng CÁI (CÁCH của CÁI), CÁCH làm ra CÁI” [14,tr.14].

“Thông thường, nói đến CÁI, trước hết người ta hình dung theo hình thức của nó, một hình thức trống rỗng, sau đó (có thể không bao giờ) mới để ý đến nội dung của nó” [14,tr.43].

Bình luận: Dựa trên những đoạn trích trên và nghiên cứu tác phẩm “Cái và

cách” có thể khẳng định, GS Hồ Ngọc Đại cũng quan niệm “nghĩa” của một đối

tượng phụ thuộc vào ngữ cảnh và cách sử dụng nó, như quan điểm của thuyết thực

dụng nêu trên

1.1.4.4 Quan niệm của Didactic toán (theo trường phái Cộng hòa Pháp)

Những yếu tố lí thuyết của Didactic toán [2] dùng trong luận án này sẽ đượctrình bày trong phần sau Ở đây, chúng tôi chỉ bàn đến quan niệm trong Didactictoán về KN “nghĩa” của tri thức

KN nghĩa của một tri thức toán được quan tâm khá đặc biệt trong Didactic toán.Khi bàn đến KN “tình huống adidactic”, trong đó HS phải giải quyết một vấn đề mà

họ thấy có trách nhiệm giải quyết Thế nhưng điều chủ yếu cần đặt ra:

- Liệu có đảm bảo rằng vấn đề được đặt ra là thích đáng đối với tri thức hay không?

- Vấn đề được đặt ra có mối liên hệ như thế nào với lí do tồn tại của đối tượng tri thức được xem là mục đích của hoạt động DH?

- Vấn đề đó đưa lại cho tri thức nghĩa nào?

Câu trả lời cho các câu hỏi như vậy là mấu chốt vì nghĩa mà HS có thể thiết lậpphụ thuộc vào nghĩa mà vấn đề cần giải quyết mang lại

Mặt khác, giả thuyết khoa học luận của Didactic toán là:

“Với mỗi tri thức đều tồn tại một họ các tình huống có khả năng đem lại cho nó

một nghĩa đúng” (Brouseau, 1988b)

Bình luận: Những phân tích trên cho phép nhận định rằng Didactic toán cũng

quan niệm nghĩa của tri thức toán phụ thuộc vào cách sử dụng và lí do tồn tại của

nó Tuy nhiên, Didactic toán còn đưa ra KN “nghĩa đúng” và giải thích: Nghĩa đúng

ở đây được hiểu là đúng so với lịch sử hình thành và nảy sinh của tri thức hay so vớibối cảnh xã hội và cộng đồng khoa học

1.1.5 Quan điểm đầu tiên của luận án về dạy học thông qua hoạt động giải các bài toán

Dựa trên những yếu tố lí luận và thực tiễn nêu trên, chúng tôi trình bày quanniệm đầu tiên của mình về “DH thông qua hoạt động giải các bài toán” bên dướiđây Quan niệm đầy đủ và chính xác hơn của chúng tôi sẽ được xác định sau khichúng tôi hoàn thành phần cơ sở lí luận trong chương này và phân tích khoa họcluận ở chương 2

1.1.5.1 Khái niệm bài toán, đề toán và hoạt động giải toán

KN bài toán mà chúng tôi dùng trong luận án này có những đặc trưng cơ bản

sau đây (các đặc trưng này không độc lập với nhau):

- Bài toán là một hệ thống, trong đó chủ thể có mục đích tìm các phần tử chưa

biết nào đó dựa vào một số phần tử cho trước ở trong khách thể Trong đó có ít nhấtmột phần tử cần tìm, nhưng chủ thể không thể áp dụng y nguyên các thuật giải đã

có để đạt được mục đích đó

- Trong bài toán, luôn có khó khăn cần vượt qua

- Khi bài toán đã được giải quyết thì có kiến thức mới được thiết lập Kiến thức

mới này nảy sinh như công cụ hay phương tiện của việc giải bài toán Nói cách

khác, bài toán phải mang lại nghĩa cho kiến thức mà HS kiến tạo.

Như vậy, KN “nghĩa” của kiến thức toán không phải là “nghĩa hình thức” (theo

quan niệm của thuyết duy thực), mà phụ thuộc vào cách sử dụng kiến thức trong

những hoàn cảnh cụ thể như quan điểm của thuyết thực dụng nêu trên

Hoạt động giải toán là thực hiện nhiệm vụ tìm kiếm và thiết lập lời giải bài

toán

* Phân loại hoạt động giải toán

Cách phân loại hoạt động giải toán của chúng tôi chỉ mang tính tương đối vàchủ yếu dựa vào mục tiêu, chức năng của hoạt động giải toán:

- Hoạt động giải toán nhằm gợi động cơ

- Hoạt động giải toán đi đến kiến thức mới

- Hoạt động giải toán nhằm hình thành kĩ năng mới

- Hoạt động giải toán nhằm củng cố kiến thức đã học.

- Hoạt động giải toán nhằm huy động những kiến thức đã học để tổ chức lạikiến thức này

- Hoạt động giải toán nhằm phát triển các năng lực trí tuệ (khái quát hóa, tư duythuật toán, tư duy sáng tạo,…)

- Hoạt động giải toán nhằm phát triển năng lực ngôn ngữ

Về đề toán, chúng tôi dùng lại quan niệm được trình bày bởi M.Priolet (2008)

trong mục 1.1.2 ở trên, nhưng chỉ hạn chế trong phạm vi của đề toán được diễn tảbằng hình thức viết Từ đó, chúng tôi diễn đạt lại KN đề toán như sau:

- Đề toán là thông báo dưới hình thức viết về bài toán mà HS cần giải, chứanhững câu hỏi cần trả lời hay yêu cầu cần thực hiện

- Đề toán chỉ tập trung vào bài toán cần giải và không chứa những yếu tố khônggắn với nội dung của bài toán Nói cách khác, đề toán chỉ thể hiện mối quan hệ giữabài toán và chủ thể giải bài toán (ở đây là HS)

1.1.5.2 Khái niệm kiến thức mới

Chúng tôi dùng KN “Kiến thức mới” theo quan niệm của tác giả Lê Văn Tiến(2005) [67]: đó là một kiến thức hoàn toàn mới với chủ thể (một KN mới, định límới, thuật toán mới, một định lí, một qui tắc, một tính chất …) hoặc là kiến thức cũđược cấu trúc lại

Có thể giải thích thêm quan niệm trên từ góc độ của lí thuyết nhân chủng họctrong Didactic toán, chúng tôi sẽ trình bày cụ thể hơn trong phần sau, theo đó, kiếnthức mới có thể hiểu như mối quan hệ cá nhân mới được thiết lập hay điều chỉnh

1.1.5.3 Khái niệm dạy học thông qua hoạt động giải các bài toán

Trong luận án này, chúng tôi dùng KN “Dạy học thông qua hoạt động giải các

bài toán” (hay gọi tắt là DH thông qua hoạt động giải toán), theo nghĩa: DH bằng cách tổ chức cho HS tiến hành hoạt động giải các toán nhằm kiến tạo kiến thức mới cần dạy Trong đó, KN Bài toán và Hoạt động giải toán được mô tả như trong các mục trên, cùng với một số điều kiện và ràng buộc khác mà chúng tôi sẽ làm rõ trong

phần sau về kịch bản của hoạt động giải toán, về vai trò, vị trí của GV và HS,…

1.2 Một số yếu tố lí thuyết của Didactic toán

Trong nghiên cứu DH thông qua hoạt động giải toán, người ta còn quan tâmđến: kiến thức nảy sinh như thế nào? Trong những tình huống nào? Đặc trưng củabài toán ra sao? Cách phân tích SGK hay phân tích lời giải của HS ra sao?…

Do vậy, để trả lời được các câu hỏi trên cần có những công cụ phân tích hữuích Chính vì lí do này, chúng tôi lựa chọn thêm một số yếu tố lí thuyết của didactictoán: nghiên cứu khoa học luận, lí thuyết tình huống, lí thuyết nhân chủng học,…(tham khảo chi tiết trong [2])

1.2.1 Nghiên cứu khoa học luận

Trong nghiên cứu didactic toán, người ta quan tâm đến “nghiên cứu khoa họcluận” theo nghĩa: “nó giúp ta hiểu rõ hơn mối liên hệ giữa việc xây dựng tri thứctrong cộng đồng các nhà bác học với việc dạy và học tri thức này” (J-L Dorrier,1996) Phân tích khoa học luận cho phép làm rõ:

- Nghĩa của tri thức, những bài toán, những vấn đề mà tri thức đó cho phép giảiquyết và vị trí của nó trong mối quan hệ với các kiến thức khác

- Những bước nhảy trong quan niệm, những điều kiện và những chướng ngạicho sự hình thành tri thức

- Những quan niệm có thể gắn liền với tri thức

Tóm lại, một phân tích khoa học luận là đi nghiên cứu quá trình nảy sinh và tiếntriển của tri thức toán học

1.2.1.1 Lợi ích của nghiên cứu khoa học luận

a) Về phương diện chuyển hóa sư phạm: nghĩa của tri thức

M Artigue (1990) nêu lên vai trò của nghiên cứu khoa học luận: “trả lại tính lịch

sử cho KN toán học mà việc DH thường có khuynh hướng trình bày nó như nhữngđối tượng phổ biến đồng thời trong thời gian và trong không gian”

Trong quá trình chuyển hóa từ tri thức bác học đến tri thức cần dạy, một số yếu

tố của tri thức có thể biến đổi đi để tạo nên sự chệch lệch so với lịch sử Lúc đó, mộtnghiên cứu khoa học luận là cần thiết Nghiên cứu này cho phép tạo nên khungtham chiếu cho tri thức cần dạy và các bài toán mà tri thức đó giải quyết Đồng thời,