tóm tắt luận án tiến sĩ dạy học chủ đề phân số ở trường tiểu học thông qua hoạt động giải các bài toán

Khái niệm phân số là một chủ đề được quan tâm trong nhiều nghiên cứu khoa học Tác giả Nguyễn Hoài Anh nghiên cứu về việc sử dụng máy tính điện tử trong DH phân số ở tiểu học.Thêm vào đó,

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

-DƯƠNG HỮU TÒNG

DẠY HỌC CHỦ ĐỀ PHÂN SỐ Ở TRƯỜNG TIỂU HỌC THÔNG QUA HOẠT ĐỘNG

GIẢI CÁC BÀI TOÁN

Chuyên ngành: Lí luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 62 14 01 11

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS LÊ VĂN TIẾN

Phản biện 1: PGS.TS Vương Dương Minh

Phản biện 2: PGS.TS Trần Vui

Phản biện 3: TS Lê Thái Bảo Thiên Trung

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp trường họp tại trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh

Vào hồi: giờ, ngày tháng năm 2014

Có thể tìm hiểu luận án tại:

- Thư viện Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh

- Thư viện Khoa học tổng hợp Tp Hồ Chí Minh

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

1.1 Khái niệm phân số là nội dung dạy học quan trọng trong chương trình toán ở tiểu học

Ở Việt Nam, khái niệm (KN) phân số được đề cập ở hầu hết tất cả khối lớp ở tiểu học trừ khối 1 Thậmchí, nó còn được tiếp tục nghiên cứu trong chương trình toán ở lớp 6 Điều đó cho thấy tầm quan trọng củamảng kiến thức số học này trong chương trình toán phổ thông

Ngoài ra, việc dạy học (DH) KN phân số có mối liên hệ chặt chẽ đến DH các kiến thức số học: số tựnhiên, hỗn số, số thập phân,…Bên cạnh đó, phân số còn là cơ sở ban đầu để hình thành hỗn số và số thậpphân Do vậy, DH KN phân số ít nhiều cũng ảnh hưởng đến DH các loại số khác Hơn nữa, KN phân số cònhiện diện trong các mạch kiến thức khác ở tiểu học: hình học, số đo đại lượng, giải toán có lời văn, yếu tốthống kê,…Tóm lại, phân số có mặt ở hầu hết trong chương trình toán ở tiểu học

1.2 Hoạt động giải toán giữ vai trò trọng yếu trong dạy học toán

1.2.1 Hoạt động giải toán thể hiện được ý nghĩa của việc dạy học toán

Hoạt động giải toán được sử dụng nhằm chứng minh cho việc giảng dạy toán học Để thuyết phục HSthấy được giá trị của toán học, nội dung DH cần liên quan đến việc giải quyết vấn đề thực tiễn Hoạt độnggiải toán cũng được thực hiện để gợi động cơ cho các em, làm dấy lên mối quan tâm của họ trong một chủ đềtoán học cụ thể thông qua những tình huống thực tế Nó còn dùng giải trí, xem như một hoạt động thú vịthường được áp dụng trong giờ giải lao Hoạt động giải toán có thể được vận dụng rộng rãi để củng cố các kĩnăng và KN đã được giảng dạy trước đó

1.2.2 Hoạt động giải toán phù hợp với quan điểm sư phạm hiện nay

 Hoạt động giải toán thích ứng với xu hướng DH của thực tiễn nước ta:

- Trong những năm gần đây, chủ trương của Bộ Giáo dục và Đào tạo tập trung vào quan điểm DH “lấy

HS làm trung tâm” Trong đó, vai trò tự khám phá tri thức của HS được nhấn mạnh Hoạt động giải toánthích hợp với yêu cầu này bởi vì các em sẽ tự mình kiến tạo tri thức mới thông qua việc tìm kiếm lời giải chobài toán

- Trong DH toán, người ta quan tâm đến một số lí thuyết DH hiện đại: lí thuyết hoạt động, lí thuyết kiếntạo, lí thuyết tình huống Điểm chung của các lí thuyết này là tập trung vào vai trò hoạt động của HS Dovậy, hoạt động giải toán vẫn đảm bảo được yếu tố hoạt động của HS, trong đó bản thân trẻ khám phá ra cácchiến lược giải bài toán, cùng với bạn bè và GV để thể chế hóa được kiến thức mới

- Ngoài ra, nhà trường chú trọng hơn những PPDH tích cực: DH khám phá, DH phát hiện và giải quyếtvấn đề, DH theo dự án, DH hợp tác,… Các PPDH này yêu cầu GV giữ vai trò chủ đạo, điều khiển, trong khi

đó HS tích cực chủ động, sáng tạo, tự giác để kiến tạo tri thức mới Hơn thế nữa, chúng luôn tạo điều kiệncho người học được làm việc với các hoạt động tích hợp Nếu xét về khía cạnh này, hoạt động giải toán sẽ hỗtrợ cho việc sử dụng các PPDH tích cực trong DH toán

- Thêm vào đó, theo PGS.TS Lê Thị Hoài Châu [6,tr.67-68] để nâng cao năng lực hiểu biết toán học cho

HS, chúng ta không thể coi nhẹ DH toán thông qua DH mô hình hoá Mô hình DH này có thể thực hiện theotiến trình:

Xuất phát từ một vấn đề thực tiễn  Xây dựng mô hình toán học  Câu trả lời cho bài toán thực tế Thể chế hóa tri thức cần giảng dạy bằng cách nêu định nghĩa, định lí hay công thức  Vận dụng vào giải cácbài toán thực tiễn khác

Theo tiến trình trên, hoạt động giải toán đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng nên tri thức Trithức nảy sinh với tư cách là kết quả hay phương tiện của hoạt động giải toán Vì vậy, hoạt động giải toán phùhợp với xu hướng DH bằng mô hình hóa như hiện nay.

 Bên cạnh thích nghi với xu hướng DH trong nước, hoạt động giải toán cũng phù hợp với quan điểm

sư phạm của một số nước khác, trong đó có Pháp Theo [94,tr.171], sau cải cách toán học, DH toán ở nướcnày có đặc trưng: nhấn mạnh trên các hoạt động giải toán, những tri thức sẽ lấy “nghĩa” qua việc giải bàitoán, và nghiên cứu các điều kiện nảy sinh tri thức

1.2.3 Hoạt động giải toán tạo điều kiện dạy học theo quan điểm khoa học luận

Ngày nay, DH toán quan tâm nhiều hơn đến những đặc trưng khoa học luận của đối tượng tri thức cầngiảng dạy và khả năng nhận thức của HS về đối tượng này Thực hiện nghiên cứu khoa học luận cho một KNtoán học chỉ ra rằng nó thường xuất hiện theo tiến trình sau:

Do vậy, đa số những KN toán học đều xuất hiện thông qua hoạt động giải toán Trong trường hợp này,chúng đều là công cụ hay phương tiện của hoạt động giải toán trong nội bộ toán học, đời sống thực tế haycác khoa học khác (vật lí, hóa học, địa lí,…)

1.3 Khái niệm phân số là một chủ đề được quan tâm trong nhiều nghiên cứu khoa học

Tác giả Nguyễn Hoài Anh nghiên cứu về việc sử dụng máy tính điện tử trong DH phân số ở tiểu học.Thêm vào đó, tác giả này cũng xuất bản một bài báo trên Tạp chí Sách và thiết bị với tên là “So sánh nộidụng chủ đề phân số trong chương trình môn toán ở tiểu học của hai nước Việt Nam và Brunei”

Một nghiên cứu khác liên quan đến KN phân số thuộc về tác giả Phạm Ngọc Bảo Tác giả nghiên cứu

“Đào tạo GV tiểu học về bước chuyển từ phân số như là những phần bằng nhau rút ra từ đơn vị đến phân sốnhư là thương ở lớp 3 và lớp 4” Trong luận văn này, tác giả tiến hành một thực nghiệm để chỉ ra rằng HSgặp nhiều khó khăn trong việc giải quyết những tình huống nhắm tới thiết lập mối quan hệ giữa phép chia hai

số tự nhiên và phân số, giữa phân số đơn vị và phân số thương, được đưa vào bởi SGK toán 4 hiện hành Tácgiả chưa có những nghiên cứu khoa học luận về phân số

Luận án cũng trình bày nhiều kết quả nghiên cứu của những tác giả trên thế giới Họ tập trung nghiêncứu các cách tiếp cận của khái niệm phân số, cũng những khó khăn sai lầm của HS khi học phân số

Tóm lại, KN phân số được rất nhiều nhà giáo dục quan tâm Tất cả thể hiện được ý nghĩa và vai trò của

nó trong giảng dạy và khoa học toán Có rất nhiều công trình liên quan KN phân số Thế nhưng, ở Việt Namchưa có công trình nào nghiên cứu KN phân số theo tiến trình: nghiên cứu khoa học luận  nghiên cứu thểchế đào tạo GV  nghiên cứu thể chế DH toán ở tiểu học  nghiên cứu thực nghiệm

Những phân tích trên đặt ra cho chúng tôi nhiều câu hỏi mà việc giải đáp chúng sẽ gợi ra những cái mới

và đóng góp của luận án:

Trong thể chế DH toán tiểu học ở Việt Nam, KN phân số được đưa vào như thế nào? Xoay quanh nhữngdạng toán nào? GV DH toán ở trường tiểu học Việt Nam có quan niệm như thế nào về KN phân số và DHphân số? GV sử dụng những hoạt động giải toán gì để hình thành kiến thức gắn liền với KN phân số? Đặctrưng của những hoạt động đó ra sao? Hoạt động giải toán nào được GV lựa chọn để giúp HS phát hiện vàsửa chữa các sai lầm khi học chủ đề phân số?

Từ những lí do trên đây, chúng tôi đặt vấn nghiên cứu của luận án:

“Dạy học chủ đề phân số ở trường tiểu học thông qua hoạt động giải các bài toán”

Công cụ ngầm ẩn  Đối tượng  Công cụ tường minh Giải bài toán  Nghiên cứu KN  Giải toán

2 Giới hạn của đề tài

Chúng tôi chọn ra một KN toán học có nhiều công trình nghiên cứu: phân số Bên cạnh đó, KN này chỉđược tiến hành nghiên cứu ở các cấp độ: lịch sử toán, nhà trường đào tạo GV tiểu học và dạy toán ở tiểu học

3 Phạm vi lí thuyết tham chiếu và mục tiêu nghiên cứu

Nghiên cứu của chúng tôi được đặt trong phạm vi của lí thuyết về bài toán, hoạt động giải toán, DHthông qua hoạt động giải toán, Bên cạnh đó, một số công cụ lí thuyết của didactic toán được vận dụng đểnghiên cứu tri thức cần giảng dạy: Nghiên cứu khoa học luận ; Lí thuyết nhân chủng học: chuyển đổididactic, quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân đối với một đối tượng tri thức, tổ chức toán học ; Lí thuyết tìnhhuống Luận án được thực hiện với mục tiêu nghiên cứu DH chủ đề phân số thông qua hoạt động giải toán

mà bây giờ được cụ thể hóa và mở rộng trong phạm vi lí thuyết tham chiếu thông qua các câu hỏi:

1 Trong quá trình hình thành và phát triển, phân số có những đặc trưng khoa học luận cơ bản nào?

2 Mối quan hệ thể chế với KN phân số ở nhà trường đào tạo GV tiểu học có những đặc trưng cơ bảnnào? Sự tương đồng và khác biệt của nó so với quá trình phát triển của nó trong lịch sử?

3 Mối quan hệ thể chế với KN phân số trong thể chế DH toán ở tiểu học có đặc trưng cơ bản nào? Sựtương đồng và khác biệt so với quá trình phát triển của nó trong lịch sử và so với mối quan hệ thể chế đào tạo

GV tiểu học?

4 Những ràng buộc của thể chế DH toán ở tiểu học ảnh hưởng ra sao đến mối quan hệ cá nhân của GV

và HS? Đặc trưng của các hoạt động giải toán được triển khai ra sao?

5 Xây dựng hệ thống các hoạt động giải toán như thế nào để tạo điều kiện cho HS kiến tạo kiến thứcmới liên quan chủ đề phân số? Hiệu quả của chúng ra sao?

6 Làm thế nào để thiết kế các tình huống DH mà trong đó HS khám phá ra kiến thức mới (phân số)thông qua hoạt động giải toán? HS sẽ ứng xử ra sao trước những tình huống như thế?

4 Phương pháp nghiên cứu

4.1 Nghiên cứu lí luận

- Trước tiên, chúng tôi phân tích, tổng hợp cơ sở lí luận của DH thông qua hoạt động giải toán cũng nhưmột số cơ sở lí thuyết của didactic toán, một số chủ trương, chính sách của Chính phủ, Bộ Giáo dục và Đàotạo về định hướng đổi mới PPDH

- Nghiên cứu trước đó là cơ sở để chúng tôi phân tích, tổng hợp các công trình có liên quan đến đến đặctrưng khoa học luận của KN phân số Công việc này được tiến hành thông qua nghiên cứu các tài liệu lịch sửtoán, các nghiên cứu trước đó về KN phân số

- Tiếp theo nghiên cứu khoa học luận, chúng tôi phân tích chương trình và các giáo trình toán (được sửdụng để dạy cho GV tiểu học) nhằm tìm hiểu KN phân số được nghiên cứu như thế nào ở cấp độ nhà trường

sư phạm và mối quan hệ thể chế đào tạo GV với đối tượng phân số

- Hai nghiên cứu trên là cơ sở tham chiếu cho việc phân tích thể chế DH phân số ở tiểu học Phân tíchchương trình và SGK, sách GV toán, tài liệu hướng dẫn giảng dạy sẽ làm rõ mối quan hệ thể chế với đốitượng phân số

- Sau đó, chúng tôi tiến hành tìm kiếm giải pháp để DH hiệu quả chủ đề phân số - đó là DH thông quahoạt động giải toán Chính vì vậy, chúng tôi đã vận dụng cơ sở lí thuyết để thiết kế hoạt động giải toán chochủ đề phân số

4.2 Thực nghiệm sư phạm

Sau những nghiên cứu trước đó, cho phép chúng tôi đề xuất các giả thuyết nghiên cứu Tính thỏa đángcủa chúng được kiểm chứng bằng một số thực nghiệm trên đối tượng HS

5 Giả thuyết nghiên cứu

Hai giả thuyết dưới đây có được từ việc phân tích mối quan hệ thể chế DH toán ở tiểu học, thiết kế cáchoạt động giải toán (trong chương 3, 4) Việc kiểm chứng tính đúng đắn của chúng được thực hiện trongchương 5 của luận án

H1: Tổ chức dạy học thông qua hoạt động giải toán, được thiết kế theo những tiêu chí ở mục 4.1.1,

cho phép học sinh tự kiến tạo kiến thức gắn liền với khái niệm phân số và mang lại cho các em nghĩa đúng của kiến thức này.

H2: Tình huống dạy học trong đó bao gồm hoạt động giải toán còn cho phép học sinh tiếp cận với

nghĩa của khái niệm phân số như là phương tiện “biểu thị một điểm cụ thể trên tia số” và hình thành cho các em biểu tượng ban đầu về tính trù mật của tập hợp các phân số.

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

6.1 Về mặt lí luận

- Phân tích và tổng hợp một số yếu tố cơ sở lí luận về DH thông qua hoạt động giải toán, các lí thuyếtcủa didactic toán, một số chủ trương, chính sách của Chính phủ, Bộ Giáo dục và Đào tạo về định hướng đổimới PPDH

- Làm rõ các đặc trưng của KN phân số trong tiến trình hình thành và phát triển của nó

- Dựa trên cơ sở lí luận trên, cho phép phân tích các nội dung có liên quan đến chủ đề phân số trong nhàtrường đào tạo GV tiểu học và thể chế DH toán ở tiểu học

6.2 Về mặt thực tiễn

- Xây dựng các tiêu chí để tổ chức DH thông qua hoạt động giải toán, đề xuất tiến trình DH thông quahoạt động giải toán

- Đề xuất một hệ thống hoạt động giải toán cho chủ đề phân số

- Luận án cũng xây dựng các tình huống DH theo hướng tích cực hóa hoạt động nhận thức của HS trongviệc lĩnh hội KN phân số, từ đó góp phần nâng cao chất lượng và hiệu quả DH chủ đề phân số

7 Những luận điểm đưa ra bảo vệ

- Những luận điểm quan trọng của cơ sở lí luận về DH thông qua hoạt động giải toán, trong đó kể cả tiếntrình DH thông qua hoạt động giải toán

- Một số kết quả chính có được khi phân tích khoa học luận KN phân số

- Những ghi nhận đáng chú ý từ việc phân tích mối quan hệ thể chế ở nhà trường đào tạo GV tiểu học vàthể chế DH toán ở tiểu học

- Hệ thống hoạt động giải toán được thiết kế để vận dụng vào DH chủ đề phân số trong SGK toán 4

- Một số kết quả chú ý của các thực nghiệm sư phạm trong chương 5

8 Cấu trúc của luận án

Luận án gồm: Mở đầu, 5 chương, kết luận, tài liệu tham khảo Trong đó:

Chương 1 Cơ sở lí luận

Chương 2 Nghiên cứu khoa học luận của khái niệm phân số

Chương 3 Khái niệm phân số trong thể chế đào tạo giáo viên tiểu học và thể chế dạy học toán ở

tiểu học Chương 4 Dạy học chủ đề phân số ở trường tiểu học thông qua hoạt động giải các bài toán Chương 5 Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN

Chương 1 có mục tiêu xác định cơ sở lí luận cho toàn bộ nghiên cứu trong luận án Về nguyên tắc, chúngtôi cần làm rõ các KN cơ bản: hoạt động, bài toán, hoạt động giải toán, DH thông qua hoạt động giải toán.Trong đó, KN “Hoạt động” là đối tượng nghiên cứu quan trọng của Triết học và nhiều Lí thuyết về học tập,đặc biệt là Lí thuyết hoạt động, đặt cơ sở trên Tâm lí học hoạt động Tuy nhiên, trong phạm vi luận án này,chúng tôi không đi sâu vào khía cạnh triết học, tâm lí hay giáo dục của KN “hoạt động”, mà chỉ dùng nó nhưmột thuật ngữ thông thường, chỉ việc tiến hành một nhiệm vụ nào đó Cụ thể, hoạt động giải các bài toánđược hiểu là việc thực hiện giải các bài toán Từ đó, chúng tôi hạn chế phạm vi cơ sở lí luận mà chúng tôicần làm rõ trong chương này là các nhóm công cụ lí thuyết sau đây:

- Nhóm công cụ lí thuyết gắn liền với chủ đề “DH thông qua hoạt động giải toán”, như các KN: bài toán,

đề toán, DH thông qua hoạt động giải toán Ngoài ra chúng tôi cũng bổ sung trong phần này một số yếu tốkhoa học luận và cơ sở thực tiễn của “DH thông qua hoạt động giải bài toán”

- Nhóm công cụ lí thuyết hình thành nên phương tiện nghiên cứu các thể chế DH, chủ yếu là nghiên cứuchương trình, sách giáo khoa (hay giáo trình) và nghiên cứu thực nghiệm

- Nhóm chủ trương, định hướng về giáo dục nói chung và đào tạo nói riêng của Chính phủ, của Bộ Giáodục và Đào tạo ở Việt Nam

Sau khi trình bày những yếu tố lí luận và thực tiễn nêu trên, chúng tôi sẽ xác định quan điểm của mình

về “DH thông qua hoạt động giải các bài toán”

1.1 Cơ sở lí luận về dạy học thông qua hoạt động giải toán

1.1.1 Khái niệm Bài toán

Có nhiều quan niệm khác nhau về KN “Bài toán” Rất thông thường, thuật ngữ này được dùng lẫn lộnvới thuật ngữ “Bài tập” Từ “Problème” trong ngôn ngữ tiếng pháp và “Problem” trong tiếng Anh đều đượcdịch sang tiếng Việt với hai nghĩa: “Bài toán” và “Vấn đề”

1.1.1.1 Từ góc độ từ nguyên và lịch sử ngôn ngữ

Tóm lại, hai trong các đặc trưng cơ bản gắn với KN bài toán thể hiện qua từ điển lịch sử ngôn ngữ Pháp,

mà chúng tôi giữ lại là:

- Luôn gắn với khó khăn, chướng ngại cần vượt qua.

- Gắn với đề nghị chứa một yêu cầu cần giải quyết hoặc một chứng minh cần thực hiện.

1.1.1.2 Từ quan điểm của tâm lí học

Nhìn từ góc độ tâm lí, thuật ngữ “problème” được dùng trong ngôn ngữ tiếng Việt là “Vấn đề”

1.1.1.3 Từ góc độ của Lí luận và Phương pháp dạy học môn toán ở Việt Nam

GS Nguyễn Bá Kim (2011) đề xuất các KN cơ bản sau làm nền tảng cho nghiên cứu xu hướng “DH

phát hiện và giải quyết vấn đề”: Tình huống bài toán (đối với chủ thể) là tình huống, trong đó chủ thể chưa

biết ít nhất một phần tử của khách thể Trong một tình huống bài toán, nếu trước chủ thể đặt ra mục đích tìm

phần từ chưa biết nào đó dựa vào một số phần tử cho trước ở trong khách thể thì ta có một bài toán Vấn đề

là bài toán, trong đó chủ thể chưa có trong tay một thuật giải nào để tìm ra phần tử chưa biết của bài toán

1.1.2 Về khái niệm “Đề bài toán” hay gọi tắt là “Đề toán”

Qua phân tích từ góc độ từ nguyên, lịch sử, tâm lí, M.Priolet (2008) nêu lên những đặc trưng sau đâycủa KN Đề toán (đặt trong ngữ cảnh trường học) mà Priolet dùng làm cơ sở cho luận án của mình: “Đề toán

là thông báo về bài toán mà HS cần giải, được thực hiện qua một trình bày bằng lời hay dạng viết Chính quatrung gian đề toán mà diễn ra quan hệ đầu tiên giữa bài toán và chủ thể phải giải nó” Đề toán thường đượctrình bày dưới dạng nghi vấn hay yêu cầu (mệnh lệnh) Đề toán chỉ tập trung vào bài toán cần giải Nói cáchkhác, nó không chứa những cái gì không gắn với nội dung của bài toán Theo cách hiểu của chúng tôi, đềtoán chính là “cái biểu đạt” cho “cái được biểu đạt” (bài toán) Nói cách khác, đề toán là hình thức tồn tạibên ngoài của bài toán

1.1.3 Khái niệm dạy học thông qua hoạt động giải các bài toán

1.1.3.1 Khái niệm chung về dạy học thông qua hoạt động giải toán

Để tránh cách truyền thụ “một chiều” như trên, có thể tổ chức DH thông qua hoạt động giải các bàitoán, theo nghĩa: GV không truyền thụ trực tiếp kiến thức mới ngay từ đầu, mà đề nghị HS giải một hay một

số bài toán Sau khi kết thúc hoạt động này, kiến thức mới sẽ được thiết lập như là kết quả của hoạt động giảicác bài toán vừa đề nghị

1.1.3.2 Vai trò của bài toán (vấn đề) trong lịch sử phát triển của toán học và trong dạy học toán

1.1.3.3 Dạy học thông qua hoạt động giải các bài toán ở Pháp

Các tác giả ở Pháp rất quan tâm đến hoạt động giải toán Các quan niệm về hoạt động giải toán có điểmchung: HS là chủ thể của hoạt động; sự hướng dẫn, can thiệp của GV bị hạn chế ở mức thấp nhất, điều nàykhác với Việt Nam Đặc trưng của các bài toán trong thể chế DH toán ở Pháp: HS không biết trước qui trìnhgiải, gợi lên sự thách thức đối với HS, đề bài ngắn gọn, dễ hiểu, Ngoài ra, họ còn chú ý đến hoạt động giảitoán để hình thành kiến thức mới cho HS hay kiến thức cũ được cấu trúc lại

1.1.3.4 So sánh với dạy học thông qua hoạt động giải toán ở Singapore

+ Điểm chung: HS là người thực hiện hoạt động, sự can thiệp của GV được hạn chế ở mức độ ít nhất.Qua hoạt động, HS sẽ khám phá kiến thức mới cần dạy hoặc huy động kiến thức cũ với mục đích tổ chức lạichúng

+ Điểm khác biệt: trong các bài toán cần giải, vẫn có “những tìm hiểu có hướng dẫn” nhằm giúp HS dễdàng hơn trong việc tìm hiểu một qui tắc, một vấn đề,…

1.1.4 Khái niệm “Nghĩa” của tri thức

Hầu hết các nhà giáo dục đều thống nhất rằng: dạy học một tri thức là dạy học nghĩa của tri thức đó.

Như Sierpinska (1990) [87] đã làm rõ: “Hiểu KN sẽ (…) được xem như hành động nắm được nghĩa của nó”

1.1.4.1 Quan điểm của Thuyết duy thực (thuyết hiện thực - théorie réaliste)

Từ quan điểm trên của chủ nghĩa duy thực, có thể suy luận ra rằng, nghĩa của một tri thức toán học chỉ là thuộc tính có tính ngữ nghĩa mà người ta gán cho từ (hay cụm từ) nêu danh tri thức này Chúng tôi gọi nghĩa của tri thức theo quan điểm này là “nghĩa hình thức”.

1.1.4.2 Quan điểm của Thuyết thực dụng (théorie pragmatique)

Theo thuyết thực dụng, nghĩa của một đối tượng toán học phụ thuộc vào (hay đặc trưng bởi) hệ thốngnhững cách sử dụng nó

1.1.4.3 Quan niệm của GS Hồ Ngọc Đại

Dựa trên những đoạn trích trên và nghiên cứu tác phẩm “Cái và cách” có thể khẳng định, GS Hồ Ngọc

Đại cũng quan niệm “nghĩa” của một đối tượng phụ thuộc vào ngữ cảnh và cách sử dụng nó, như quan

điểm của thuyết thực dụng nêu trên

1.1.4.4 Quan niệm của Didactic toán (theo trường phái Cộng hòa Pháp)

Trong Didactic toán, các tác giả cũng quan niệm nghĩa của tri thức toán phụ thuộc vào cách sử dụng và

lí do tồn tại của nó Didactic toán còn đưa ra KN “nghĩa đúng” và giải thích: Nghĩa đúng ở đây được hiểu làđúng so với lịch sử hình thành và nảy sinh của tri thức hay so với bối cảnh xã hội và cộng đồng khoa học

1.1.5 Quan điểm đầu tiên của luận án về dạy học thông qua hoạt động giải bài toán

1.1.5.1 Khái niệm bài toán, đề toán và hoạt động giải toán

KN bài toán trong luận án này có những đặc trưng cơ bản sau đây (các đặc trưng này không độc lập vớinhau):

- Bài toán là một hệ thống, trong đó chủ thể có mục đích tìm các phần tử chưa biết nào đó dựa vào một

số phần tử cho trước ở trong khách thể Trong đó có ít nhất một phần tử cần tìm, nhưng chủ thể không thể ápdụng y nguyên các thuật giải đã có để đạt được mục đích đó

- Trong bài toán, luôn có khó khăn cần vượt qua

- Khi bài toán đã được giải quyết thì có kiến thức mới được thiết lập Kiến thức mới này nảy sinh như

công cụ, phương tiện của việc giải bài toán Nói cách khác, bài toán phải mang lại “nghĩa” cho kiến thức mà

HS kiến tạo Hoạt động giải toán là thực hiện nhiệm vụ tìm kiếm và thiết lập lời giải bài toán

1.1.5.2 Khái niệm kiến thức mới

Chúng tôi dùng KN “Kiến thức mới” theo quan niệm của tác giả Lê Văn Tiến (2005): đó là một kiếnthức hoàn toàn mới với chủ thể (một KN mới, định lí mới, thuật toán mới, một định lí, một qui tắc, một tínhchất …) hoặc là kiến thức cũ được cấu trúc lại

1.1.5.3 Khái niệm dạy học thông qua hoạt động giải các bài toán

Trong luận án này, chúng tôi dùng khái niệm “Dạy học thông qua hoạt động giải các bài toán” (hay gọi

tắt là DH thông qua hoạt động giải toán), theo nghĩa: DH bằng cách tổ chức cho HS tiến hành hoạt động giải

các toán nhằm kiến tạo kiến thức mới cần dạy Trong đó, khái niệm “bài toán” và “hoạt động giải toán” được

mô tả như trong các mục trên, cùng với một số điều kiện và ràng buộc khác mà chúng tôi sẽ làm rõ trongphần sau về kịch bản của hoạt động giải toán, về vai trò, vị trí của GV và HS,…

1.2 Một số yếu tố lí thuyết didactic toán

Trong nghiên cứu DH thông qua hoạt động giải toán, người ta còn quan tâm đến: kiến thức nảy sinh nhưthế nào? Trong những tình huống nào? Đặc trưng của bài toán ra sao? Cách phân tích SGK hay phân tích lờigiải của HS ra sao?…

Do vậy, để trả lời được các câu hỏi trên cần có những công cụ phân tích hữu ích Chính vì lí do này,chúng tôi lựa chọn thêm một số yếu tố lí thuyết của didactic toán: nghiên cứu khoa học luận, lí thuyết tìnhhuống, lí thuyết nhân chủng học,…(tham khảo chi tiết trong [2])

1.2.1 Nghiên cứu khoa học luận

1.2.2 Nghiên cứu sự chuyển đổi didactic

Sự chuyển đổi didactic đi theo tiến trình: tri thức bác học  tri thức cần giảng dạy  tri thức được dạy.Chúng tôi sẽ thực hiện nghiên cứu sự chuyển đổi này trong chương 2, 3 và 4 của luận án Chương 2 cho phépnghiên cứu phân số với tư cách là một tri thức bác học, sau đó chúng tôi tiến hành nghiên cứu sự chuyển đổisang tri thức cần giảng dạy (ở thể chế đào tạo GV và thể chế DH toán ở tiểu học), tiếp đến là nghiên cứu trithức được dạy trong chương 5 của luận án

1.2.3 Lí thuyết nhân chủng học

1.2.4 Các khái niệm trong lí thuyết tình huống

Chương 5 của luận án sử dụng một số KN của lí thuyết tình huống: phân tích tiên nghiệm, phân tích hậunghiệm, tình huống cơ sở, biến didactic, chiến lược, môi trường,…Nó tạo điều kiện để giải thích cho sự lựachọn của chúng tôi đối với từng tình huống thực nghiệm Tuy nhiên, trong phần này chúng tôi chỉ trích dẫnmột số KN cần thiết, các KN khác có thể tham khảo trong [2]

1.3 Một số chủ trương, định hướng về giáo dục nói chung và đào tạo nói riêng của Chính phủ, của Bộ Giáo dục và Đào tạo Việt Nam

Luật giáo dục sửa đổi năm 2010 tại mục 2 điều 5 chương I: “Phương pháp giáo dục phải phát huy tính

tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học, bồi dưỡng cho người học năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên”

Tổng Bí thư Nguyễn Phú Trọng (2013) đã ký ban hành Nghị quyết Hội nghị lần thứ 8, Ban Chấp hànhTrung ương khóa XI (Nghị quyết số 29-NQ/TW) với nội dung Đổi mới căn bản, toàn diện Giáo dục và Đào

tạo: “Đối với giáo dục phổ thông, tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất, năng lực công

dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh Nâng cao chất lượng giáodục toàn diện, chú trọng giáo dục lý tưởng, truyền thống, đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, năng lực và

kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn Phát triển khả năng sáng tạo, tự học, khuyến khích họctập suốt đời” Từ đây, chúng tôi nhận thấy vấn đề nghiên cứu của luận án là phù hợp với xu hướng chung củaGiáo dục Việt Nam Trong đó, HS tự mình chiếm lĩnh tri thức thông qua hoạt động giải toán Hơn nữa, ngườihọc cần khai thác tất cả các điều kiện có thể để được định hướng vào việc phát triển năng lực

1.4 Kết luận chương 1

Chương 1 đã làm rõ được cơ sở lí luận của DH thông qua hoạt động giải toán và một số yếu tố lí thuyếtcủa didactic toán Những cơ sở lí thuyết này sẽ được vận dụng một cách hiệu quả vào các chương sau củaluận án

CHƯƠNG 2 NGHIÊN CỨU KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM PHÂN SỐ

Mục tiêu chương 2 là làm rõ các đặc trưng khoa học luận của KN phân số Cụ thể hơn, chúng tôi cố gắng

đi tìm câu trả lời các câu hỏisau:

1 KN phân số hình thành và phát triển qua những giai đoạn lịch sử nào?

2 KN phân số xuất hiện và tác động trong những kiểu bài toán, kiểu tình huống và phạm vi nào? Đặctrưng của chúng? Những tình huống này mang lại nghĩa gì cho KN phân số ? Hoạt động giải toán có vị trí vàvai trò gì trong lịch sử hình thành và phát triển của khái niệm phân số? Có những cách tiếp cận nào với KNphân số?

3 Những đối tượng, KN toán học nào có liên quan và góp phần làm nảy sinh và phát triển KN phân số? Lịch sử nảy sinh và phát triển của KN phân số có thể được chia làm 3 giai đoạn:

2.1 Giai đoạn 1: từ thời kỳ nguyên thủy đến thời cổ đại

- Nguồn gốc làm xuất hiện KN phân số là nhu cầu chia đều mà kết quả chia không là số tự nhiên Theo

ngôn ngữ toán học, phân số xuất hiện trong tình huống “Có a đối tượng chia đều cho b người” trong đó, a, b

là các số tự nhiên và b khác 0 Thêm vào đó, nhu cầu đo đạc cũng là nguyên nhân để loài người tìm đến mộtloại số mới bởi vì đôi khi đo đạc dẫn đến kết quả không là số tự nhiên

- Các bài toán có liên quan: bài toán về diện tích, thể tích, phân chia thức ăn, phân chia quỹ chung,…Phân số thể hiện chức năng “công cụ ngầm ẩn” của mình Cơ chế đối tượng của phân số chỉ được nhắc đến

một cách mờ nhạt Trong giai đoạn này, phân số lấy cơ chế của một KN tiền toán học.

- Phân số được ghi nhận qua một số cách tiếp cận: tiếp cận dựa trên phép chia, tiếp cận độ đo, tiếp cận số

phần / toàn thể, tiếp cận tỉ số Từ đó, phân số lần lượt lấy các nghĩa: “biểu diễn kết quả của phép chia a cho

b”, “biểu diễn kết quả của độ đo”, “biểu thị a phần được lấy ra từ b phần bằng nhau của một đơn vị”, “biểu diễn quan hệ so sánh giữa hai đại lượng”.

2.2 Giai đoạn 2: Toán học thời Trung cổ

- Lĩnh vực chiếm ưu thế của phân số trong giai đoạn này là số học Có rất nhiều nhà số học nhưng họ

không quan tâm nhiều đến yếu tố “đối tượng” của phân số mà chỉ tập trung vào yếu tố công cụ Phạm vi xuấthiện của phân số: thần học, Kinh Cựu ước, Kinh Tân ước, thơ, Số học, Đại số, đại lượng, hình học,…

- Trong giai đoạn này, có nhiều tập hợp số mới được hình thành: số hữu tỉ, số âm, số vô tỉ,…Tuy nhiên,phân số vẫn chưa được định nghĩa Nói chung, phân số lấy cơ chế của KN cận toán học

- Điểm nhấn trong giai đoạn này là các nhà toán học cung cấp các kí hiệu phân số thông dụng như ngàynay: tử số và mẫu số ngăn cách bởi dấu gạch ngang hay gạch chéo (/) Thêm vào đó, họ còn cho thấy mốiquan hệ của phân số với phép chia hay phân số với tỉ số Người ta chỉ ra được phân số a/b có thể hiểu là

:

a b Phân số có nghĩa “biểu diễn kết quả của phép chia số tự nhiên a cho số tự nhiên b khác 0”.

- Ngoài ra, với sản phẩm “đường thẳng thực” của Descartes đánh dấu bước tiếp cận phân số a/b dựa trên

tia số Lúc này, “biểu thị một điểm cụ thể trên trục số” là một nghĩa khác của phân số.

2.3 Giai đoạn 3: Toán học hiện đại

- Tình huống để đưa đến một định nghĩa chính xác cho phân số là sự ảnh hưởng mạnh mẽ của sự pháttriển lí thuyết tập hợp Chính vì thế, các nhà toán học cần phải xem xét cơ sở của các tập hợp số Đóng góp

chính thuộc về nhà toán học Cantor: xây dựng thành tập hợp số Q và mang lại nghĩa mới cho phân số: “biểu

diễn một lớp tương đương”.

- Sự xuất hiện của định nghĩa phân số làm cho nó mang cơ chế của KN toán học Đặc trưng thứ tự và cácphép tính của nó được đề cập một cách tường minh Phạm vi hoạt động chủ yếu của phân số trong giai đoạnnày: số học, lí thuyết tập hợp, hình học, xác suất – thống kê,

2.4 Kết luận chương 2

2.4.1 Các giai đoạn nảy sinh và phát triển

Cũng giống như các KN toán học khác, lịch sử hình thành KN phân số trải qua rất dài và nảy sinh gắnliền với các tình huống thực tiễn Quá trình này có thể được phân chia thành 3 giai đoạn tương ứng với 3 cơchế hoạt động của nó

Tập hợp số hữu tỉ được định nghĩa bởi Cantor Các nhà toán học chính thức nghiên cứu KN, quan hệ thứ

tự và các phép tính đại số của Q Khi đó, phân số lấy cơ chế của một KN toán học Lúc này, phân số trở

thành công cụ tường minh để giải quyết các bài toán trong nhiều lĩnh vực toán, trong đó có lí thuyết tập hợp

2.4.2 Phạm vi tác động của khái niệm phân số và các bài toán có liên quan

2.4.2.1 Phạm vi tác động của khái niệm phân số

KN phân số xuất hiện đầu tiên ngầm ẩn dưới dạng bài toán chia đều thức ăn, ngân quỹ, xác định số phầnbằng nhau lấy ra trong tổng thể,…,sau đó, nó được dùng như một công cụ để giải quyết các bài toán trong:

đo lường, số học, đại số, hình học, số luận, xác suất thống kê, lí thuyết tập hợp,…Một số lĩnh vực khác màphân số cũng xuất hiện như một công cụ: kinh tế thương gia, vật lí, thiên văn, thần học, kinh thánh, thơ ca,…

2.4.2.2 Các bài toán có liên quan

Bài toán chia đều thức ăn, ngân quỹ,…, liên quan đến đo đạc ; Bài toán xác định số phần bằng nhau lấy

ra trong tổng thể ; Các bài toán liên quan đến số học, đại số, hình học và lí thuyết tập hợp Chẳng hạn, giảiphương trình b x a   (b khác 0), hay xác định độ dài cạnh còn lại của hình chữ nhật khi biết diện tích và

độ dài một cạnh

2.4.3 Các đối tượng có liên quan

KN đầu tiên có liên quan mật thiết đến KN phân số là chia đều Phân số ban đầu được hình thành thôngqua việc chia đều các vật thể Những KN khác có vai trò quan trọng lịch sử hình thành KN phân số: phân số

Ai Cập, phần bằng nhau, tỉ số, tỉ lệ, số đo đại lượng (độ dài, diện tích, thể tích, vận tốc,…), liên phân số,phương trình, tia số, đường thẳng thực Một số KN khác có vị trí quan trọng trong cách tiếp cận của lí thuyếttập hợp: số hữu tỉ, lớp thương, phần tử,…

2.4.4 Các cách tiếp cận khái niệm phân số

Từ việc nghiên cứu các tài liệu lịch sử, chúng tôi nhận thấy việc mở rộng hệ thống số từ số tự nhiên sang

số biểu diễn bởi phân số được tiến hành theo hai cách: xuất phát từ nhu cầu của cuộc sống và xuất phát từ nội

bộ toán học Thứ nhất, phân số ra đời để giải quyết các vấn đề thực tế: nhu cầu đo đạc (nhiều khi ta gặp cảnhững đại lượng không chứa đựng một số tự nhiên lần đơn vị đo) và nhu cầu chia những vật ra nhiều phầnbằng nhau Thứ hai, tập hợp số biểu diễn bởi phân số ra đời xuất phát từ nội bộ toán học: để cho phép chiacác số nguyên cho một số khác 0 luôn luôn thực hiện được, hoặc các phương trình dạng b x a   (b khác0) luôn luôn có nghiệm Trong quá trình mở rộng như trên, phân số được tiếp cận chủ yếu theo 6 cách:

2.4.4.1 Cách tiếp cận dựa trên số phần của cái toàn thể

Cách tiếp cận này liên quan đến bài toán: “Lấy ra một số phần của một đối tượng được chia thành các

phần bằng nhau” Theo bài toán này, phân số a/b lấy nghĩa “biểu thị a phần được lấy ra từ b phần bằng

nhau của một đơn vị” Trong lịch sử, KN về đại lượng phân số phát triển từ thời cổ đại khi “phân số” đã

được quan niệm như “không chia được và không chia hết”

2.4.4.2 Cách tiếp cận độ đo

Người ta tìm thấy phân số từ các số tự nhiên qua các số đo và tỉ lệ, giải quyết nhu cầu tìm một đơn vị đo

lường chung đối với hai đại lượng Trong lịch sử, thuật ngữ bao gồm số đo đại lượng và tỉ lệ là “ tính có thể

so sánh được” được định nghĩa bởi nhà toán học Hy Lạp, Euclide (thế kỷ 3, trước công nguyên) như sau:

“Những độ lớn được cho là có thể so sánh được với nhau nếu được đo lường bởi cùng đơn vị đo, và chúngkhông thể so sánh được nếu chúng không có đơn vị đo lường chung”

Theo ý nghĩa hiện đại, nếu A và B (khác 0) là hai số có thể so sánh được với nhau nếu tồn tại đại lượng

C sao cho A = mC và B = nC với m, n là các số nguyên và n 0 Euclide không xem đại lượng C như làmột số, nhưng như là “một phần hay các phần của một số” Nếu kết quả của phép đo đó không bằng một số

nguyên lần đơn vị đo thì người ta nghĩ đến một loại số khác là phân số Từ đây, ta có thể hiểu nghĩa phân số

là “biểu diễn kết quả của độ đo”.

2.4.4.3 Cách tiếp cận dựa trên phép chia

Cách tiếp cận này xuất hiện ngầm ẩn từ thời cổ đại trong các tình huống: Có a đối tượng chia đều cho b

người nhận Sau đó, nó tường minh hơn trong lúc người ta đi tìm nghiệm cho phương trình b x a  với a,

b là các số nguyên, b khác 0 Chúng tôi gọi đây là cách tiếp cận dựa trên phép chia vì nhu cầu phải có phân

số a/b là kết quả của sự cần thiết để có một tập hợp số trong đó phép chia là đóng kín (tức là tồn tại phần tửnghịch đảo và thỏa mãn các tiên đề của trường) nhằm giải quyết các vấn đề đại số Vì vậy, nghĩa của phân số

được hiểu như: “biểu diễn kết quả của phép chia a cho b” và “biểu diễn nghiệm của phương trình b x a 

”.

2.4.4.4 Cách tiếp cận dựa trên tỉ số

Cách tiếp cận tỉ số có ngầm ẩn từ thời Euclide và Eudoxe Bởi lẽ, tập hợp các tỉ số và các tỉ lệ được xemnhư là tập hợp tham chiếu để so sánh các đại lượng Tuy nhiên, phân số được tiếp cận tường minh theo cáchnày là nhờ vào sự đóng góp của William Oughtred (1547-1660) Cách tiếp cận này có thể được phát biểu: a

là số phần tử của tập hợp A, b là số phần tử của tập hợp B Khi đó, tỉ số số phần tử của tập hợp A so với tậphợp B được viết là a/b Lúc này, phân số a/b được hiểu là tỉ số số phần tử của tập hợp A so với tập hợp B.Tuy nhiên, chúng ta không chỉ lập tỉ số cho hai số mà có thể mở rộng việc lập tỉ số cho hai độ dài, hai diện

tích, hai thể tích,…Do đó, một tình huống cơ sở cho cách tiếp cận này: So sánh quan hệ của hai đại lượng Ở đây, phân số có nghĩa “biểu diễn quan hệ so sánh giữa hai đại lượng”

2.4.4.5 Cách tiếp cận dựa tia số

Ngoài ra, còn có cách tiếp cận dựa trên tia số của Descartes phát minh Bởi vì, nó được xem như là cáctrường hợp riêng của cách tiếp cận dựa trên số phần / toàn thể và cách tiếp cận độ đo Nhưng lúc này, nó

mang lại một nghĩa khác cho phân số “biểu thị một điểm cụ thể trên tia số” Bên cạnh đó, cách tiếp cận phân

số dựa tia số có các ưu điểm Thứ nhất, nó đưa ra một kĩ thuật để so sánh hai phân số Phân số nào càng gầngốc tọa độ O thì càng nhỏ và ngược lại Thứ hai, trên hình ảnh trực quan của tia số, ta thấy được sự dày đặccủa các phân số Hay nói cách khác, tập hợp biểu diễn bởi phân số có tính chất trù mật khác với tính chất rờirạc của tập hợp số tự nhiên

2.4.4.6 Cách tiếp cận dựa trên lí thuyết tập hợp

Theo cách tiếp cận này, người ta định nghĩa các phân số như là tập hợp các cặp số nguyên có thứ tự Cụthể, các nhà toán học tiếp cận như sau: Lấy tập hợp S gồm các cặp số nguyên có thứ tự (a, b), với b khác 0 Phân chia tập S thành các tập hợp con với qui tắc: hai cặp (a, b) và (c, d) nằm trong cùng một tập hợp connếu tỉ số a/b bằng với tỉ số c/d, tức là, nếu và chỉ nếu ad bc

2.4.5 Các tình huống cơ sở gắn liền với chủ đề phân số

CHƯƠNG 3 KHÁI NIỆM PHÂN SỐ TRONG THỂ CHẾ ĐÀO TẠO GIÁO VIÊN TIỂU HỌC VÀ THỂ CHẾ DẠY HỌC TOÁN

Ở TIỂU HỌC

Trong chương 3, chúng tôi phân tích mối quan hệ thể chế đối tượng phân số nhưng được đối chiếu dướiánh sáng của phân tích khoa học luận trong chương 2

3.1 Phân số trong thể chế đào tạo giáo viên tiểu học

Trong chương trình đào tạo GV tiểu học, đối tượng phân số được nghiên cứu một cách tường minh chủyếu trong 2 học phần: Số học (Lí thuyết số) và PPDH toán ở tiểu học