tiếp tuyến hàm đa thức và hàm phân thức

tiếp tuyến hàm đa thức và hàm phân thức tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả c...

Bài 5: Tiếp tuyến hàm ña thức và phân thức – Khóa ñảm bảo thầy Trần Phương Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt BÀI 5. TIẾP TUYẾN CỦA HÀM ðA HỨC VÀ HÀM PHÂN THỨC. Bài 1. Cho ñồ thị ( ) 2 2 1 : 1 x x C y x − + = − . CMR trên ñường thẳng ( ) : 7 y ∆ = có 4 ñiểm sao cho từ mỗi ñiểm ñó có thể kẻ ñến (C) hai tiếp tuyến lập với nhau góc 45  Lời giải : L ấ y ñ i ể m b ấ t kì ( ) ( ;7) : 7 M m y ∈ ∆ = . ð u ờ ng th ẳ ng ñ i qua ( ;7) M m v ớ i h ệ s ố góc k có phu ơ ng trình: ( ) 7 y k x m = − + ti ế p xúc v ớ i ñồ th ị hàm s ố (C) ⇔ h ệ ( ) 2 ' 2 2 1 ( ) ( ) 7(1) 1 2 ( ) 2 (2) 1 x x f x k x m x f x k x  − + = = − +  −    = − =  −  có nghi ệ m 2 2 1 ( 1) (1 ) 7 1 2 2 2 1 2( 1) (1 ) 7 1 1 1 4 (1 ) (3) 1 4 x x k x k m x x x k m x x k m x − + ⇒ = − + − + − ⇒ + + = − − + − + − − + − ⇒ = − Thay (3) vào (2) ñượ c: 2 4 (1 ) 2 2 4 k m k + −   − =     2 2 2 2 1 2 2 (1 ) 8 (1 ) 16 2 8 (1 ) 8(2 ) 0 0 8( 2) ( 1) k m k m k m k m k k m k m − + − + ⇔ − = ⇔ − + − = =   − ⇔  =  −  ð k 2 ti ế p tuy ế n t ạ o v ớ i nhau m ộ t góc 45  t ươ ng ñươ ng v ớ i: ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 1 2 ( 1) 8 2 8 2 tan 45 1 ( 1) ( 1) 8 2 m m m k k k k m m m  − = − − −  = = ⇔ +  − − = − −   2 2 10 17 0 6 15 0 m m m m  − + =  ⇔  + − =  Bài 5: Ti ế p tuy ế n hàm ñ a th ứ c và phân th ứ c – Khóa ñả m b ả o th ầ y Tr ầ n Ph ươ ng Hocmai.vn – Ngôi tr ườ ng chung c ủ a h ọ c trò Vi ệ t 1 2 3 3 5 2 2 5 2 2 3 2 6 3 2 6 m m m m  = +  = −  ⇔  = − +   = − −  Vậy có 4 ñiểm M thảo mãn bài toán. Bài 2. Cho ñồ thị ( ) 3 2 : 1 m C y x mx m = + − − . Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) m C tại các ñiểm cố ñịnh mà ( ) m C ñi qua Lời giải: Gọi 0 0 ( ; ) M x y là ñiểm cố ñịnh mà ( ) m C ñi qua 3 2 0 0 0 2 3 0 0 0 2 0 0 0 3 0 0 0 0 1, ( 1) 1 0, 1 0 1 1 0 2 1 0 y x mx m m m x x y m x x x y y x y ⇒ = + − − ∀ ⇒ − + − − = ∀  − = = = −    ⇒ ⇒ ∨    = = −   − − =   Do ñó có 2 ñiểm cố ñịnh mà ( ) m C ñi qua là ( ) 1 1;0 M và ( ) 2 1; 2 M − − Ta có: 2 3 2 y x mx ′ = + - Phuơng trình tiếp tuyến tại M 1 là: ( ) (1)( 1) (2 3) 2 3 y y x m x m ′ = − = + − + - Phuơng trình tiếp tuyến tại M 2 là: ( ) ( 1)( 1) 2 ( 2 3) 2 1 y y x m x m ′ = − + − = − + − − Bài 3. Tìm ñiểm ( ) 3 2 : 2 3 12 1 M C y x x x ∈ = + − − sao cho tiếp tuyến của (C) tại ñiểm M ñi qua gốc tọa ñộ. Lời giải: Gọi 0 0 ( ; ) M x y là ñiểm cần tìm 3 2 0 0 0 0 2 3 12 1 y x x x ⇒ = + − − (1) PTTT c ủ a (C) t ạ i M là: ( ) ( ) 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) : ( )( ) 6 6 12 6 6 12 d y y x x x y x x x y x x x ′ = − + = + − + − + − Vì (d) ñ i qua g ố c t ọ a ñộ nên ( ) 2 0 0 0 0 6 6 12 y x x x = + − (2) T ừ (1) và (2) ( ) 3 2 2 0 0 0 0 0 0 2 3 12 1 6 6 12 x x x x x x ⇒ + − − = + − Bài 5: Ti ế p tuy ế n hàm ñ a th ứ c và phân th ứ c – Khóa ñả m b ả o th ầ y Tr ầ n Ph ươ ng Hocmai.vn – Ngôi tr ườ ng chung c ủ a h ọ c trò Vi ệ t 3 2 0 0 2 0 0 0 0 0 4 3 1 0 ( 1)(4 1) 0 1 12 x x x x x x y ⇒ + + = ⇒ + − + = ⇒ = − ⇒ = V ậ y ( 1;1;2) M − Bài 4 . Vi ế t ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n c ủ a ñồ th ị ( ) 3 2 : 3 2 C y x x = − + bi ế t ti ế p tuy ế n ñ ó vuông góc v ớ i ñườ ng th ẳ ng: 5 3 4 0 y x − + = Lời giải : Ti ế p tuy ế n vuông góc v ớ i ñườ ng th ẳ ng: 5 3 4 0 y x − + = có ph ươ ng trình d ạ ng: 5 (d):y x a 3 = − + ð i ề u ki ệ n ñể (d) và (C) ti ế p xúc nhau là: h ệ 3 2 2 5 3 2 x a 3 5 3 6 3 x x x x  − + = − +     − = −   có nghi ệ m T ừ 2 2 5 29 5 3 27 3 6 9 18 5 0 1 61 3 3 27 x a x x x x x a  = → =  − = − ⇒ − + = ⇒   = → =   V ậ y có 2 ti ế p tuy ế n th ỏ a mãn bài toán: 1 5 29 ( ) : x 3 27 d y = − + và 2 5 61 ( ) : x 3 27 d y = − + Bài 5 . Vi ế t ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n ñ i qua ( ) 0; 1 A − ñế n 3 2 2 3 1 y x x = + − Lời giải : G ọ i (d) là ti ế p tuy ế n ñ i qua ( ) 0; 1 A − ñế n 3 2 2 3 1 y x x = + − và 0 x là hoành ñộ ti ế p ñ i ể m ( ) 2 3 2 0 0 0 0 0 0 0 ( ) : ( )( ) ( ) 6 6 2 3 1 d y y x x x y x x x x x x ′ ⇒ = − + = + + + − Do ( ) A d ∈ nên: 3 2 0 0 1 2 3 1 x x − = + − 0 3 2 0 0 0 0 2 3 0 3 2 x x x x =   ⇒ + = ⇒  = −  V ậ y có 2 ti ế p tuy ế n c ầ n tìm là: y 1 = − và 9 y x-1 2 = Bài 5: Ti ế p tuy ế n hàm ñ a th ứ c và phân th ứ c – Khóa ñả m b ả o th ầ y Tr ầ n Ph ươ ng Hocmai.vn – Ngôi tr ườ ng chung c ủ a h ọ c trò Vi ệ t Bài 6 . Vi ế t ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n ñ i qua ( ) 1; 2 A − ñế n 3 2 3 2 y x x = − + Lời giải : G ọ i (d) là ti ế p tuy ế n ñ i qua ( ) 1; 2 A − ñế n 3 2 3 2 y x x = − + và 0 x là hoành ñộ ti ế p ñ i ể m ( ) 2 3 2 0 0 0 0 0 0 0 ( ) : ( )( ) ( ) 3 6 3 2 d y y x x x y x x x x x x ′ ⇒ = − + = − + − + Do ( ) A d ∈ nên: ( ) 3 2 2 0 0 0 0 2 3 2 3 6 x x x x = − + − − 3 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 6 6 0 0 ( 6 6) 0 3 3 3 3 x x x x x x x x x ⇒ − + = =   ⇒ − + = ⇒ = −   = +  V ậ y có 3 ti ế p tuy ế n c ầ n tìm là: y 2 = và Bài 7 . Vi ế t ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n ñ i qua ( ) 2; 6 3 A ñế n 3 2 3 6 8 y x x x = − − + Lời giải : Làm t ươ ng t ự Bài 5 và Bài 6 Bài 8 . Cho ( ) 3 2 : 2 3 12 5 C y x x x = − − − . Vi ế t ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n bi ế t a, Ti ế p tuy ế n ñ ó song song v ớ i ñườ ng th ẳ ng 6 4 y x = − b, Ti ế p tuy ế n ñ ó vuông góc v ớ i ñườ ng th ẳ ng 1 2 3 y x = + c, Ti ế p tuy ế n t ạ o v ớ i ñườ ng th ẳ ng 1 5 2 y x = − + góc 45  Lời giải : a, Ti ế p tuy ế n song song v ớ i ñ t: 6 4 y x = − có d ạ ng ( ) : 6 d y x b = + v ớ i 4 b ≠ − ð K ñể ( ) d và ( ) C ti ế p xúc là h ệ sau có nghi ệ m: 3 2 2 2 3 12 5 6 6 6 12 6 x x x x b x x  − − − = +   − − =   T ừ 2 2 1 6 6 12 6 2 3 0 3 x x x x x x = −  − − = ⇔ − − = ⇔  =  - V ớ i 1 8 x b = − ⇒ = - V ớ i 3 32 x b = ⇒ = − V ậ y có 2 ti ế p tuy ế n th ỏ a mãn bài toán là: ( ) 1 : 6 8 d y x = + và ( ) 2 : 6 32 d y x = − b, Ti ế p tuy ế n vuông góc v ớ i ñườ ng th ẳ ng 1 2 3 y x = + s ẽ có h ệ s ố góc 3 k = − . Bài 5: Ti ế p tuy ế n hàm ñ a th ứ c và phân th ứ c – Khóa ñả m b ả o th ầ y Tr ầ n Ph ươ ng Hocmai.vn – Ngôi tr ườ ng chung c ủ a h ọ c trò Vi ệ t Ph ươ ng trình hoành ñộ ti ế p ñ i ể m là: 1 2 2 2 1 7 2 6 6 12 3 2 2 3 0 1 7 2 x y x x x x x  + =   ′ = − − = − ⇔ − − = ⇔  − =   - PTTT tại 1 1 7 2 x + = là: ( ) 1 1 3( ) ( ) 3 4 3 7 y x x y x x= − − + = − + − - PTTT t ạ i 2 1 7 2 x − = là: ( ) 2 2 3( ) ( ) 3 4 3 7 y x x y x x= − − + = − − + c, G ọ i k là h ệ s ố góc c ủ a ti ế p tuy ế n c ầ n tìm. Theo gi ả thi ế t ta có: 1 1 2 1 2 tan 45 2 1 2 1 1 2 1 2 k k k k k k k k + =  + = = ⇔ + = + ⇔  = − +  +  - V ớ i 1 k = ta có pt hoành ñộ ti ế p ñ i ể m: 1 2 2 2 3 87 6 6 6 12 1 6 6 13 0 3 87 6 x y x x x x x  + =   ′ = − − = ⇔ − − = ⇔  − =   PTTT t ạ i 1 3 87 6 x + = là 1 1 5 87 ( ) ( ) 12 3 y x x y x x   = − + = − +       PTTT tại 2 3 87 6 x − = là 2 2 5 87 ( ) ( ) 12 3 y x x y x x   = − + = − −       - Với k = -1 ta có pt hoành ñộ tiếp ñiểm: 3 2 2 4 3 5 3 6 6 6 12 1 6 6 11 0 3 5 3 6 x y x x x x x  + =   ′ = − − = − ⇔ − − = ⇔  − =   PTTT tại 3 3 5 3 6 x + = là 3 3 20 3 ( ) ( ) 11 3 y x x y x x   = − − + = − − +       PTTT tại 2 3 87 6 x − = là 4 4 20 3 ( ) ( ) 11 3 y x x y x x   = − − + = − − −       Bài 5: Tiếp tuyến hàm ña thức và phân thức – Khóa ñảm bảo thầy Trần Phương Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Vậy có 4 tiếp tuyến thỏa mãn bài toán Bài 9. Tìm các ñiểm trên trục hoành mà từ ñó kẻ ñược 3 tiếp tuyến ñến ñồ thị hàm số ( ) 3 2 : 3 C y x x = + trong ñó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau Lời giải: Lấy ( ) ,0 M m bất kì thuộc trục hoành Ox. ðường thẳng ñi qua M với hệ số góc k có phương trình ( ) y k x m kx km = − = − tiếp xúc với ( ) C ⇔ hệ 3 2 2 3 (1) 3 6 (2) x x kx km x x k  + = −   + =   có nghiệm. Thế (2) vào (1) ta có: ( ) ( ) 3 2 2 3 3 6 x x x x x m + = + − ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 6 0 0 2 3 3 6 0 x x m x m x x m x m ⇔ + − − = =  ⇔  + − − =   ðể từ M kẻ ñược 3 tiếp tuyến ñến ( ) C trong ñó có 2 tiếp tuyến vuông góc thì phương trình ( ) 2 ( ) 2 3 3 6 0 g x x m x m = + − − = phải có 2 nghiệm phân biệt 1 2 ; x x khác 0 sao cho 1 2 1 k k = − (k xác ñịnh theo x trong (2)) ( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 3 3 48 0 9 30 9 0 (0) 6 0 0 9 2 1 2 1 1 3 6 3 6 1 m m m m g m m x x x x x x x x   ∆ = − + > + + >    ⇔ = − ≠ ⇔ ≠     + + = − + + = −    ( )( ) 3 6 1 3 27 0 3 6 9 3 12 3 3 1 1 27 m m m m m m m m  − −  > − ∨ < − =    ⇔ ≠ ⇔   − +  − − + − + = − =    Vậy có 2 ñiểm thỏa mãn là: 1 3 6 ;0 27 M   − −       và 2 3 6 ;0 27 M   − +       Bài 10. Cho ñồ thị ( ) 3 1 : 3 x C y x + = − và ñiểm M bất kì thuộc ( ) C . Gọi I là giao của 2 tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A, B. CMR: Bài 5: Tiếp tuyến hàm ña thức và phân thức – Khóa ñảm bảo thầy Trần Phương Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt a, M là trung ñiểm của AB b, Diện tích tam giác IAB không ñổi Lời giải: a, ðồ thị ( ) C có TCN: ( ) 1 : y 3 d = và TCð: ( ) 2 : x 3 d = ⇒ tọa ñộ ñiểm ( ) 3;3 I Lấy ñiểm bất kì ( ) 10 3 ;3 , 0 M m C m m   + + ∈ ≠     . Tiếp tuyên tại M có dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 10 10 20 30 : 3 3 3 3d y y m x m y x m m m m   ′ = + − + + + ⇔ = − + + +     Phương trình hoành ñộ giao ñiểm của ( ) C và ( ) d là: 2 2 2 2 2 2 10 20 30 3 1 1 1 3 6 9 3 2 1 0 3 x x x x m x m m m m m m m       + − + + + = ⇔ − + + − + + =       −       Dễ thấy pt trên có 2 nghiệm phân biệt 1 2 x x < . Gọi ( ) 1 1 ; A x y và ( ) 2 2 ; B x y . Ta có: 2 1 2 2 2 6 2 6 2 1 M m m x x m x m + + = = + = ( ) 1 2 1 2 2 2 10 20 30 20 2 3 6 2 M y y x x y m m m m   + = − + + + + = + =     V ậ y m là trung ñ i ể m c ủ a AB ( ñ pcm) b, Do tam giác IAB vuông t ạ i I, mà có M là trung ñ i ể m c ủ a AB nên ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 10 . 2 ; ; 2 20 2 IAB S IA IB d M d M d m m ∆ = = = = V ậ y di ệ n tích IAB ∆ không ñổ i. ………………… Hết…………………… Nguồn: hocmai.vn . Bài 5: Tiếp tuyến hàm ña thức và phân thức – Khóa ñảm bảo thầy Trần Phương Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt BÀI 5. TIẾP TUYẾN CỦA HÀM ðA HỨC VÀ HÀM PHÂN THỨC. Bài 1 = − − −       Bài 5: Tiếp tuyến hàm ña thức và phân thức – Khóa ñảm bảo thầy Trần Phương Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Vậy có 4 tiếp tuyến thỏa mãn bài toán Bài. là giao của 2 tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A, B. CMR: Bài 5: Tiếp tuyến hàm ña thức và phân thức – Khóa ñảm bảo thầy Trần Phương Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò