∫sinmx cos nxdx ; ∫sinmx sin nxdx Dùng công thức biến đổi tích thành tổng rồi lấy tích phân của một tổng số.
Trang 1GIỚI HẠN
1 VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG
CÔNG THỨC TÍNH TÍCH PHÂN CƠ BẢN
1.∫sindx x= ln + C
2 ∫cox dx = ln
+ 4 2
π
x
3 ∫ a2 −x2
dx
= arcsin
a
x
+ C ( a > 0)
⇒ a2 −x2 dx =
2
x
+
2
2
a arcsin
a
x
+ C
4.∫a2 +x2
dx
=
a
1
arctg
a
x
+ C
a
1
ln a a−+x x + C ( a≠ 0)
+ C
⇒ ∫ x2 +a dx =
2
x
a
x2 + +∫sindx x ln x+ x2 +a
+ C
TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ :
1 ∫ x−A a dx = A ln x−a + C
2 ∫ (x+a dx)(x+b) =
b
a−
1
ln
a x
b x
+
+
+ C
3 ∫ax2 +dx bx+c =
a
+
4
4
b ac a
b x
dx
* Nếu ∆= b 2 – 4ac < 0
đặt 2 2
4
4
a
b
ac− = k 2 > 0 và x +
a b
2 = u
Trang 2⇒I =
a
1
∫u2 +k2
du
=
ak
1
arctg
k
u
+ C với k =
a
b ac
2
⇒ I = 2
4
2
b
ac− arctg 4 2
2
b ac
b ax
− +
TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC
1 ∫sinmx cos nxdx ; ∫sinmx sin nxdx
Dùng công thức biến đổi tích thành tổng rồi lấy tích phân của một tổng số.
2 I = ∫R(sinx,cosx)dx với R (u,v) là hàm hữu tỉ theo u,v
đặt t = tg
2
2
x
1
2
t
tdt
+
1
2
t
2
t
t
2 1
1
t
t
+
−
3 ∫sinm xcosn xdx
a Nếu ít nhất một trong 2 số m, n lẻ:
Nếu m lẻ: ta đặt t = cosx ; nếu n lẻ ta đặt t = sinx
b Nếu m, n đều chẵn ta đặt t = tg x
c Nếu m, n đều chẵn và dương ta dùng công thức sau để biến đổi hàm dưới dấu tích phân:
sin 2 x =
2
2 cos
cos 2 x =
2
2 cos
sinx cosx =
2
1
sin2x
Dùng pp tích phân từng phần bằng cách đặt:
u = p(x) ⇒ du = P’(x) dx
m
1
cosmx
Ta được ∫P(x)sinmxdx = - P(x)cosx +
m
1
∫P'(x)cosmxdx
Lại tiếp tục tích phân từng phần ta sẽ hạ bậc đa thức và cuối cùng đi đến tích phân
∫P )(x coxnxdx hoặc ∫P(x)sinmxdx
TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ
1 = ∫Rx,mαγ ++δβ dx R(x,y) là hàm hữu tỉ, : hằng số
Đặt
δ γ
β
α
+
+
δ γ
β
α + +
t m
Trang 3hay = φ(t) ⇒ dx = φ’ (t) dt Do đó
dx x
∫ , αγ ++δβ =
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
1.Phương trình vi phân tách biến:
dạng: f 1(x).dx + f2(y)dy = 0 (1) hoặc y’ = f(x) với f1(x), f2(y) là các hàm liên tục
Cách giải: từ (1) ⇒ f 2 (y)dy = - f 1 (x)dx Lấy tích phân 2 vế:
⇒ ∫f2(y)dy = - ∫ f1(x).dx + C
2 Phương trình vi phân đẳng cấp:
x
y
(2)
đặt u =
x
y
trong đó u là hàm theo x ⇒ ux = y ⇒ u’x + u = y’ (6)
Ta có (6) ⇒ u’x + u = f(u) ⇒ u’x = f(u) – u
⇒
dx
xdu
= f(u) – u
* Nếu f(u) – u ≠ 0 ta chia 2 vế
u u
f
du
−
)
x
dx
Lấy tích phân 2 vế: ∫ f(u du)−u = ∫dx x + ln c
* Nếu f(u) - u = 0 ⇒ f(u) = u
Từ ý =
x
x
dy
=
x
dx
Lấy tích phân 2 vế ∫dy y = ∫dx x ⇒ ln y = ln x + C
3 Phương trình vi phân tuyến tính:
Cách giải 1: Nhân 2 vế của (1) cho e∫(px) dx ta có:
Trang 4y’ e + P (x) dx e∫(px) dx y = q (x) e∫(px) dx Lấy tích phân 2 vế ta có:
.e∫p(x)dx
y ’ x = ∫q(x)e∫p(x)dx dx + C
y = e− ∫(px) dx ∫q(x)e∫p(x)dx dx + C
Cách giải 2: giải phương trình (2) ( thuần nhất) ta được nghiệm tổng quát
y = C e− ∫(px) dx ( 3) Dùng pp biến thiên hằng số Lagrante
Trong biểu thức ( 3) ta coi C = C (x)
⇒ y = C (x) e− ∫(px) dx thay vào (1) ta tìm được C (x) rồi thay C (x) vào y ta nhận được nghiểm tổng quát của phương trình ( 1) có dạng:
y = e− ∫(px) dx
THỐNG KÊ
1 Nếu cho dạng 2 cột X, Y thi công thức như sau: