GIỚI HẠN 1. VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG CÔNG THỨC TÍNH TÍCH PHÂN CƠ BẢN 1. ∫ x dx sin = ln + C 2. ∫ cox dx = ln + 42 π x tg + C 3. ∫ − 22 xa dx = arcsin a x + C ( a > 0) ⇒ 22 xa − dx = 2 x + 2 2 a arcsin a x + C 4. ∫ + 22 xa dx = a 1 arctg a x + C 5. = a2 1 ln xa xa − + + C ( a≠ 0) 6. = ln xax ++ 2 + C ⇒ ∫ + ax 2 dx = 2 x ax + 2 + ∫ x dx sin ln axx ++ 2 + C TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ: 1. ∫ − ax A dx = A ln ax − + C 2. ( )( ) ∫ ++ bxax dx = ba − 1 ln ax bx + + + C 3. ∫ ++ cbxax dx 2 = a 1 ∫ − + + 2 2 2 4 4 2 a bac a b x dx * Nếu ∆ = b 2 – 4ac < 0 đặt 2 2 4 4 a bac − = k 2 > 0 và x + a b 2 = u ⇒ I = a 1 ∫ + 22 ku du = ak 1 arctg k u + C với k = a bac 2 4 2 − ⇒ I = 2 4 2 bac − arctg 2 4 2 bac bax − + TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC 1. ∫ nxdxmx cossin ; ∫ nxdxmxsinsin Dùng công thức biến đổi tích thành tổng rồi lấy tích phân của một tổng số. 2. I = ( ) dxxxR ∫ cos,sin với R (u,v) là hàm hữu tỉ theo u,v đặt t = tg 2 x ⇒ 2 x = arctg t ⇒ x = 2arctg t ⇒ dx = 2 1 2 t tdt + dx = 2 1 2 t+ dt . Ta có sinx = 2 1 2 t t + , cosx = 2 2 1 1 t t + − 3. ∫ xdxx nm cossin a. Nếu ít nhất một trong 2 số m, n lẻ: Nếu m lẻ: ta đặt t = cosx ; nếu n lẻ ta đặt t = sinx b. Nếu m, n đều chẵn ta đặt t = tg x c. Nếu m, n đều chẵn và dương ta dùng công thức sau để biến đổi hàm dưới dấu tích phân: sin 2 x = 2 2cos1 x− cos 2 x = 2 2cos1 x+ sinx cosx = 2 1 sin2x 4. hay ∫ coxnxdxxP )( trong đó P(x) là 1 đa thức Dùng pp tích phân từng phần bằng cách đặt: u = p(x) ⇒ du = P’(x) dx dv = sinmxdx ⇒ v = m 1 cosmx Ta được ∫ mxdxxP sin)( = - P(x)cosx + m 1 ∫ mxdxxP cos)(' Lại tiếp tục tích phân từng phần ta sẽ hạ bậc đa thức và cuối cùng đi đến tích phân ∫ coxnxdxxP )( hoặc ∫ mxdxxP sin)( TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ 1. = dxxR m ∫ + + δγ βα , R(x,y) là hàm hữu tỉ, : hằng số Đặt δγ βα + + m = t ⇒ δγ βα + + t m hay = φ(t) ⇒ dx = φ’ (t) dt. Do đó dxxR m ∫ + + δγ βα , = PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 1.Phương trình vi phân tách biến: dạng: f 1 (x).dx + f 2 (y)dy = 0 (1) hoặc y’ = f(x) với f 1 (x), f 2 (y) là các hàm liên tục Cách giải: từ (1) ⇒ f 2 (y)dy = - f 1 (x)dx. Lấy tích phân 2 vế: ⇒ ∫ f2(y)dy = - ∫ f1(x).dx + C 2. Phương trình vi phân đẳng cấp: dạng: y’ = f x y (2) đặt u = x y trong đó u là hàm theo x. ⇒ ux = y ⇒ u’x + u = y’ (6) Ta có (6) ⇒ u’x + u = f(u) ⇒ u’x = f(u) – u ⇒ dx xdu = f(u) – u * Nếu f(u) – u ≠ 0 ta chia 2 vế uuf du −)( = x dx Lấy tích phân 2 vế: ∫ − uuf du )( = ∫ x dx + ln c * Nếu f(u) - u = 0 ⇒ f(u) = u Từ ý = x y ⇒ x dy = x dx Lấy tích phân 2 vế ∫ y dy = ∫ x dx ⇒ ln y = ln x + C ⇒ y = Cx 3. Phương trình vi phân tuyến tính: dạng : ý + P ( x) y = q (x) (1) (không thuần nhất) ý + P ( x) y = 0 ( thuần nhất) Cách giải 1: Nhân 2 vế của (1) cho e ∫ dxpx)( ta có: y’ e + P (x) dx e ∫ dxpx)( . y = q (x) e ∫ dxpx)( . Lấy tích phân 2 vế ta có: ∫ e. p(x)dx y ’ x = ∫ ∫ e (x) q p(x)dx dx + C y = e − ∫ dxpx)( . ∫ ∫ e (x) q p(x)dx dx + C Cách giải 2: giải phương trình (2) ( thuần nhất) ta được nghiệm tổng quát y = C. e − ∫ dxpx)( ( 3) Dùng pp biến thiên hằng số Lagrante Trong biểu thức ( 3) ta coi C = C (x) ⇒ y = C (x) . e − ∫ dxpx)( thay vào (1) ta tìm được C (x) rồi thay C (x) vào y ta nhận được nghiểm tổng quát của phương trình ( 1) có dạng: y = e − ∫ dxpx)( THỐNG KÊ 1. Nếu cho dạng 2 cột X, Y thi công thức như sau: