Công thức trên được gọi là công thức xác suất toàn phần. Ví dụ 1.2.1. Có 2 lô sản phẩm. Lô 1 có 50 sản phẩm trong đó có 20 sản phẩm xấu. Lô 2 có 40 sản phẩm, trong đó có 15 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên một lô và từ đó lấy ra 1 sản phẩm. Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt. Giải. Ký hiệu B i là biến cố “Sản phẩm lấy ra từ lô i”, i = 1, 2 thì { B 1 , B 2 } lập thành hệ đầy đủ các biến cố. Đặt A là biến cố “Sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt” thì theo công thức xác suất toàn phần ta có: P(A) = P(B 1 )P(A ) + P(B 2 )P(A . Từ ; Suy ra . Trong một số trường hợp, P(A) phụ thuộc vào thông tin biến cố B xuất hiện hay không xuất hiện. Khi đó, ta dùng công thức xác suất toàn phần ở dạng sau P(A)=P(B)P(A Ví dụ 1.2.2. Một hộp có 3 quả bóng vàng và 5 quả bóng đỏ. Chọn ngẫu nhiên ra 1 quả bóng, xem màu sau đó trả lại vào hộp cùng với 2 quả bóng khác nữa cùng màu. Lại tiếp tục lấy ngẫu nhiên ra một quả bóng. Tính xác suất để quả bóng chọn ra lần 2 này là bóng đỏ. Giải. Ký hiệu A i là biến cố “quả bóng lấy ra ở lần i là bóng đỏ”, i = 1,2. Ta thấy P(A 2 ) phụ thuộc vào A 1 hay đã xảy ra nên { A 1 , } là hệ đầy đủ. Từ đó, theo công thức trên ta có 1.2.2 Công thức Bayes Trong nhiều trường hợp ta gặp các phép thử mà trong đó có thể có điều kiện này hay điều kiện khác tham gia vào một cách ngẫu nhiên. Ta tiến hành phép thử đó và dựa theo kết quả nhận được, ta giải thích xác suất để một trong các điều kiện ngẫu nhiên tham gia vào trong phép thử là bao nhiêu. Để giải bài toán này, ta cần công thức gọi là công thức Bayes như sau Giả sử A 1 , A 2 , , A n là một hệ đầy đủ các biến cố và P(A i ) > 0 với mọi i = 1, 2, , n. Khi đó nếu A là biến cố bất kỳ với P(A) > 0 ta có Ví dụ 1.2.3. Hai máy sản xuất ra cùng một loại linh kiện như nhau. Các linh kiện này được đóng chung vào một thùng. Năng suất của máy thứ hai gấp đôi năng suất của máy thứ nhất. Máy thứ nhất sản xuất trung bình được 63% linh kiện loại tốt, còn máy thứ hai được 81% linh kiện loại tốt. Từ thùng hàng lấy ngẫu nhiên một linh kiện thì thấy được linh kiện loại tốt. Tìm xác suất để linh kiện đó là do máy thứ nhất sản xuất. Giải. Ký hiệu B i là biến cố “linh kiện do máy thứ i sản xuất”, i = 1, 2 và A là biến cố “linh kiện lấy ra thuộc loại tốt”. Ta cần tìm . Theo giả thiết ta có P(B 1 ) = ; ; Vậy theo công thức Bayes thì 1.3. Công thức xác suất nhị thức Định nghĩa 1.3.1. (Dãy các phép thử độc lập) Dãy n phép thử G 1 , G 2 , , G n trong đó, mỗi phép thử G i tương ứng với không gian biến cố sơ cấp , được gọi là độc lập với nhau nếu ở đó là biến cố bất kì trong r biến cố A 1 , A 2 , , A r ứng với phép thử G 1 . là biến cố bất kì trong r biến cố A 1 , A 2 , , A r ứng với phép thử G 2 . ……………………… là biến cố bất kì trong r biến cố A 1 , A 2 , , A r ứng với phép thử G n . Định nghĩa 1.3.2. Dãy phép thử phép thử độc lập G 1 , G 2 , , G n , được gọi là dãy n phép thử Bernoulli nếu thoả mãn 2 điều kiện sau. Trong mỗi phép thử G i chỉ có 2 biến cố A (thành công) và (thất bại) xuất hiện. Xác suất để biến cố A xuất hiện trong mỗi phép thử là như nhau, giả sử P(A) = p. Bài toán 1.3.3. Tìm xác suất để khi thực hiện dãy n phép thử Bernoulli, biến cố A xuất hiện đúng k lần, Giải. Đặt P n (k) là xác suất để biến cố A xuất hiện đúng k lần thì dễ thấy , k = 0, 1, , n. Đặt q = 1 - p thì , k = 0, 1, 2, , n. Công thức trên được gọi là công thức xác suất nhị thức. Ví dụ 1.3.4. Bắn liên tiếp 14 viên đạn độc lập vào một mục tiêu. Xác suất trúng đích của mỗi viên đạn là 0,4. Tính xác suất để a- Có ít nhất một viên trúng đích. b- Có nhiều nhất là 2 viên trúng đích. Giải. Xem việc bắn 14 viên đạn độc lập vào một mục tiêu như việc thực hiện 14 phép thử Bernoulli. Xác suất trúng đích (biến cố A) của mỗi viên đạn là p = 0,4. Ký hiệu k là số viên đạn trúng đích thì theo công thức xác suất nhị thức ta có P 14 (k) = , k = 0, 1,…,14 a- P[k ³ 1] = 1 - P[k = 0] = 1 - P 14 (0) = 1 - = 1 - (0,6) 14 b- P[k £ 2] = P 14 (0) + P 14 (1) + P 14 (2) = Ví dụ 1.3.5. Một lô hàng chứa nhiều sản phẩm với tỷ lệ phế phẩm p = 0,02. Cần lấy ra một mẫu với cỡ bao nhiêu để xác suất có ít nhất một phế phẩm trong mẫu chọn ra không bé hơn 0,95. Giải. Gọi A là biến cố “trong mẫu chọn ra có ít nhất một phế phẩm”. Ký hiệu n là cỡ mẫu phải tìm. Ta có P(A) = 1 - P( ) = 1 - . Từ đó suy ra (0,98) n 0,05 hay . Để khảo sát sự biến thiên của xác suất P n (k), cố định n và cho k biến thiên từ 0 đến n. Xét tỉ số Do khi k np - q nên P n (k) tăng khi k tăng từ 0 đến (np - q). Tương tự, khi k > np - q nên P n (k) giảm khi k tăng từ np - q đến n. Vì np - q là bất kì, trong khi k chỉ nhận giá trị nguyên nên ta có kết luận sau: Ø Nếu np - q là số nguyên thì k có 2 giá trị k 0 = np - q và k 1 = np - q + 1 mà tại đó P n (k) đạt cực đại. Ø Nếu np - q không nguyên thì k có 1 giá trị k 0 = [np - q] + 1 mà tại đó P n (k) đạt cực đại, ở đó [np - q] là kí hiệu phần nguyên của np - q. Ví dụ 1.3.6. Một xạ thủ bắn ngẫu nhiên độc lập 14 viên đạn vào 1 mục tiêu với xác suất trúng đích của mỗi viên đạn là 0,2. Tìm số viên đạn trúng đích với khả năng lớn nhất. Giải. Bắn 14 viên đạn được xem như là thực hiện 14 phép thử Bernoulli với p = 0,2. Do np - q = 14.0,2 - 0,8 = 2 là số nguyên nên có 2 giá trị k 0 = 2 và k 1 = 3 tại đó xác suất P n (k) đạt cực đại, nghĩa là số viên đạn trúng đích là 2 hoặc 3 là có khả năng nhất . Công thức trên được gọi là công thức xác suất toàn phần. Ví dụ 1 .2. 1. Có 2 lô sản phẩm. Lô 1 có 50 sản phẩm trong đó có 20 sản phẩm xấu. Lô 2 có 40 sản phẩm, trong đó có 15 sản. Đặt P n (k) là xác suất để biến cố A xuất hiện đúng k lần thì dễ thấy , k = 0, 1, , n. Đặt q = 1 - p thì , k = 0, 1, 2, , n. Công thức trên được gọi là công thức xác suất nhị thức. Ví dụ 1.3.4 giải thích xác suất để một trong các điều kiện ngẫu nhiên tham gia vào trong phép thử là bao nhiêu. Để giải bài toán này, ta cần công thức gọi là công thức Bayes như sau Giả sử A 1 , A 2 , , A n