Giáo trình mô hình hóa - Chương 4 pps

Giáo trình Mô hình hoá Bộ môn Tự động hoá http://www.ebook.edu.vn Khoa Điện 36 Chơng 4 - Mô hình hóa các hệ ngẫu nhiên 4.1- Khái niệm về mô hình hóa các hệ ngẫu nhiên Hệ ngẫu nhiên là hệ trong đó có các biến ngẫu nhiên. Các biến ngẫu nhiên đợc đặc trng bởi luật phân phối xác suất. Thực chất của phơng pháp này xây dựng mô hình xác suất là xây dựng trên máy tính hệ thống S với các quan hệ nội tại của nó trong đó có các biến ngẫu nhiên. Đầu vào của hệ có tác động mang tính ngẫu nhiên nh số lợng các sự kiện xảy ra, thời gian giữa các sự kiện hoặc tác động của môi trờng xung quanh E. Trên cơ sở đó phân tích các tín hiệu đầu ra ngời ta nhận đợc dáng điệu phản ứng của hệ thống. Phơng pháp này thờng đợc gọi là phơng pháp mô phỏng (Simulation). Mỗi một lần thực hiện phép thử ngời ta thu đợc một lời giải chứa đựng những thông tin về dáng điệu của hệ thống S. Nếu số phép thử N đủ lớn thì kết quả thu đợc bằng cách lấy trung bình theo xác suất sẽ ổn định và đạt độ chính xác cần thiết. Phơng pháp mô phỏng thờng đợc dùng để nghiên cứu các hệ ngẫu nhiên nhng đồng thời trong một số trờng hợp cũng có thể dùng để giải các bài toán đối với hệ tiền định. 4.2- Cơ sở lý thuyết xác suất 4.2.1- Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1- Phép thử và biến cố Khi thực hiện một số điều kiện nào đó ta nói rằng đã thực hiện một phép thử. Còn hiện tợng có thể xảy ra trong kết quả của phép thử đợc gọi là biến cố. Ví dụ: Hành động tung một con súc sắc là thực hiện một phép thử còn việc xuất hiện mặt nào đó đợc gọi là biến cố. Có 3 loại biến cố: - Biến cố chắc chắn (U): là biến cố nhất định sẽ xảy ra khi thực hiện phép thử. - Biến cố không thể có (V): là biến cố nhất định không xảy ra khi thực hiện phép thử. - Biến cố ngẫu nhiên: là biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi thực hiện phép thử. 1- Xác suất của một biến cố Xác suất P(A) của biến cố A là một con số đặc trng cho khả năng khách quan để xuất hiện biến cố A khi thực hiện phép thử. 1- Quan hệ giữa các biến cố: - Tích các biến cố: Biến cố A đợc gọi là tích của các biến cố A 1 , A 2 , , A n nếu A xảy ra khi cả n biến cố A i (i = 1ữ n) cùng đồng thời xảy ra: A = A 1 , A 2 , , A n . Ví dụ: HS thi tốt nghiệp 6 môn, điều kiện để đỗ tốt nghiệp là không có môn nào bị điểm liệt. - Tổng các biến cố: Biến cố A đợc gọi là tổng của các biến cố A 1 , A 2 , , A n nếu A xảy ra khi có ít nhất 1 trong số n biến cố A i (i = 1ữ n) xảy ra: A = A 1 + A 2 + + A n . Ví dụ: HS thi tốt nghiệp 6 môn, HS sẽ trợt tốt nghiệp nếu có một môn bị điểm liệt. - Biến cố xung khắc: Hai biến cố A và B đợc gọi là xung khắc với nhau nếu chúng không cùng xảy ra trong một phép thử. Ví dụ: Biến cố mặt chẵn và mặt lẻ khi tung súc sắc. Giáo trình Mô hình hoá Bộ môn Tự động hoá http://www.ebook.edu.vn Khoa Điện 37 Các biến cố A 1 , A 2 , , A n đợc gọi là xung khắc từng đôi nếu bất kỳ hai biến cố nào trong chúng cũng xung khắc với nhau. Các biến cố A 1 , A 2 , , A n đợc gọi là hệ đầy đủ các biến cố nếu chúng xung khắc từng đôi và tổng của chúng là một biến cố chắc chắn. Ví dụ: Gọi A là biến cố xuất hiện mặt có số chấm chẵn, B là biến cố xuất hiện mặt có số chấm lẻ khi tung một con súc sắc thì A, B là hệ đầy đủ. - Biến cố đối lập: A và A đợc gọi là đối lập với nhau nếu chúng tạo thành hệ đầy đủ các biến cố hay nói cách khác là một và chỉ một trong hai biến cố phải xảy ra sau phép thử. 4.2.2- Định nghĩa xác suất Ví dụ: Tung một con súc sắc. Gọi A là biến cố xuất hiện mặt có số chấm chẵn. Tìm P(A). Khi thực hiện phép thử có 6 trờng hợp đồng khả năng xảy ra, tuy nhiên chỉ có một kết quả. Trong đó có 3 trờng hợp mà nếu chúng xảy ra sẽ làm cho biến cố xảy ra (đó là các trờng hợp 2, 4, 6 chấm). Các trờng hợp làm cho biến cố xảy ra đợc gọi là các trờng hợp thuận lợi cho biến cố. P(A) = 3/6 = 0,5 Định nghĩa cổ điển về xác suất: Nếu trong một phép thử có tất cả n trờng hợp đồng khả năng xảy ra trong đó có m trờng hợp thuận lợi cho biến cố A thì xác suất của biến cố A đợc định nghĩa là P(A) = m/n. Các tính chất của xác suất: - Xác suất của biến cố ngẫu nhiên hoặc bất kỳ: 0 < P(A) < 1. - Xác suất của biến cố chắc chắn: P(A) = 1 (m = n). - Xác suất của biến cố không thể có: P(A) = 0 (m = 0). Định nghĩa thống kê về xác suất: Tần suất xuất hiện biến cố A trong n phép thử là tỷ số giữa số phép thử trong đó biến cố xuất hiện và tổng số phép thử đợc thực hiện. Gọi số lần xuất hiện biến cố A là k và tần số xuất hiện biến cố A là f(A), ta có: f(A)=k/n. Nếu tần số xuất hiện biến cố A luôn luôn dao động xung quanh một số xác định p nào đó khi số phép thử tăng lên khá lớn mà tần suất xuất hiện biến cố A càng tiến gần tới p thì p đợc gọi là xác suất của biến cố A theo quan điểm thống kê: p(A) f(A). 4.2.3- Các định lý xác suất a- Định lý cộng xác suất: Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì P(A + B) = P(A) + P(B). Trờng hợp tổng quát: Nếu A 1 , A 2 ,, A n là xung khắc từng đôi thì xác suất của tổng các biến cố bằng tổng các xác suất: nn ii i1 i1 p( A ) p(A ) == = b- Định lý nhân xác suất - Xác suất có điều kiện: Xác suất của biến cố A đợc tính với điều kiện biến cố B không xảy ra đợc gọi là xác suất có điều kiện của A và đợc kí hiệu là p(A/B). - Biến cố độc lập: Biến cố A đợc gọi là độc lập với biến cố B nếu việc A xuất hiện hay không cũng không ảnh hởng đến xác suất biểu hiện của B. Các biến cố A 1 , A 2 ,, A n đợc Giáo trình Mô hình hoá Bộ môn Tự động hoá http://www.ebook.edu.vn Khoa Điện 38 gọi là độc lập toàn phần với nhau nếu mỗi biến cố trong chúng độc lập với tích của một số bất kỳ biến cố trong các biến cố còn lại. Định lý: Nếu A và B là hai biến cố bất kỳ thì p(AB) = p(A).p(B) = p(B).p(A/B) Tổng quát: Nếu A 1 , A 2 , , A n các biến cố bất kỳ thì: p(A 1 A 2 A n ) = p(A 1 )p(A 2 /A 1 )p(A n /A 1 A 2 A n-1 ) Hệ quả: Nếu các biến cố A 1 , A 2 ,, A n độc lập toàn phần thì: p(A 1 A 2 A n ) = p(A 1 )p(A 2 )p(A n ) c- Công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayer Giả sử H 1 , H 2 ,, H n là hệ đầy đủ các biến cố. Biến cố A có thể xảy ra cùng với một trong những biến cố H i (i = 1ữn). Khi đó: n ii i1 p (A) p (H ) p (A / H ) = = d- Công thức Bernoulli - Dãy phép thử độc lập: các phép thử đợc gọi là độc lập với nhau nếu xác suất để xảy ra một biến cố nào đó trong từng phép thử sẽ không phụ thuộc vào việc biến cố đó có xảy ra ở các phép thử khác hay không. - Tiến hành n phép thử độc lập. Mỗi phép thử chỉ có hai trờng hợp xảy ra: hoặc biến cố A xảy ra hoặc biến cố A không xảy ra. Xác suất để biến cố A xảy ra trong từng phép thử đều bằng p. Xác suất để biến cố A không xảy ra trong từng phép thử đều bằng q = 1 - p. Những bài toán thoả mãn các điều kiện trên đợc gọi là tuân theo lợc đồ Bernoulli. Xác suất để trong n phép thử độc lập biến cố A xảy ra đúng k lần không kể thứ tự: kknk nn p(k) Cpq = Xác suất để trong n phép thử đó biến cố A xảy ra từ k 1 đến k 2 lần không kể thứ tự: 22 11 kk kknk n12 n n kk kk p(k,k) p(k) Cpq == == Ví dụ: Bắn 5 viên đạn vào một mục tiêu, xác suất trúng đích của mỗi viên đạn là 0,7. Tìm xác suất để có đúng 3 viên đạn trúng mục tiêu. n = 5; k = 3; p = 0,7 332 55 p (5) C .p .q 0,441== 4.2.4- Đại lợng ngẫu nhiên và các quy luật phân phối xác suất a- Đại lợng ngẫu nhiên Là đại lợng mà trong kết quả của phép thử sẽ nhận một và chỉ một trong các giá trị có thể có của nó với xác suất tơng ứng xác định. Đại lợng ngẫu nhiên đợc ký hiệu bằng chữ in hoa: X, Y, Z Các giá trị có thể nhận, ký hiệu bằng chữ in thờng: x, y, z, Đại lợng ngẫu nhiên đợc chia thành hai loại: - Đại lợng ngẫu nhiên rời rạc: là đại lợng ngẫu nhiên mà các giá trị có thể có của nó là hữu hạn hoặc vô hạn đếm đợc (liệt kê đợc). - Đại lợng ngẫu nhiên liên tục: các giá trị có thể có của nó lấp đầy một khoảng liên tục trên trục số, không thể liệt kê đợc. Giáo trình Mô hình hoá Bộ môn Tự động hoá http://www.ebook.edu.vn Khoa Điện 39 b- Quy luật phân phối xác suất của đại lợng ngẫu nhiên Quy luật phân phối xác suất của đại lợng ngẫu nhiên X là hình thức cho phép biểu diễn mối quan hệ giữa các giá trị có thể có của X với các xác suất tơng ứng. * Bảng phân phối xác suất: Dùng để thiết lập quy luật phân phối xác suất cho đại lợng ngẫu nhiên rời rạc. X x 1 x 2 x 3 x k p p 1 p 2 p 3 p k * Hàm phân phối xác suất F(x): của đại lợng ngẫu nhiên X là xác suất để X nhận giá trị nhỏ hơn x với x là một số thực bất kỳ. F(x) = p(X < x) Nếu X là đại lợng ngẫu nhiên rời rạc thì i i xx F(x) p < = Tính chất của hàm phân phối: + 0 F(x) 1 với mọi x. + F(x) không giảm nghĩa là x 1 < x 2 F(x 1 ) < F(x 2 ). + p(x 1 X x 2 ) = F(x 2 ) - F(x 1 ) + F(+) = 1( x lim F(x) 1 + = ); F(-) = 0 ( x lim F(x) 0 = ) * Hàm mật độ xác suất (chỉ áp dụng cho đại lợng ngẫu nhiên liên tục) f(x): của đại lợng ngẫu nhiên X là đạo hàm bậc nhất của hàm phân bố xác suất của đại lợng ngẫu nhiên đó. Tính chất của hàm mật độ xác suât: + f(x) 0 với mọi x. + b a p(a < x < b) = f(x)dx + x F(x) f(t)dt = + f(x)dx 1 = c- Các thông số đặc trng của đại lợng ngẫu nhiên * Kỳ vọng toán: kỳ vọng toán của đại lợng ngẫu nhiên đặc trng cho giá trị trung bình của đại lợng ngẫu nhiên đó. X là đại lợng ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất: X x 1 x 2 x 3 x k p p 1 p 2 p 3 p k Kỳ vọng toán của X đợc tính bởi công thức sau: k ii i1 E(x) x p = = Nếu X là đại lợng ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ xác suất f(x): E(x) xf(x)dx = Giáo trình Mô hình hoá Bộ môn Tự động hoá http://www.ebook.edu.vn Khoa Điện 40 Tính chất của kỳ vọng toán: + E(C) = C với C = const. + E(Cx) = C.E(x) + E(X+Y) = E(X) + E(Y) * Phơng sai: Phơng sai của một đại lợng ngẫu nhiên đặc trng cho độ phân tán các giá trị có thể có của đại lợng ngẫu nhiên xung quanh kỳ vọng toán của nó. Phơng sai là kỳ vọng toán của bình phơng sai lệch giữa đại lợng ngẫu nhiên X so với kỳ vọng toán của nó E(X): D(X) = E([X - E(X)] 2 ) = E(X 2 ) - [E(X)] 2 Nếu X là đại lợng ngẫu nhiên rời rạc thì: k 22 ii i=1 E(X ) = x p Nếu X là đại lợng ngẫu nhiên liên tục thì: 22 E(X ) x f(x)dx = Tính chất của phơng sai: + D(C) = 0 + D(CX) = C 2 .D(X) + Nếu X và Y là các đại lợng ngẫu nhiên độc lập: D(X+Y) = D(X) + D(Y) * Độ lệch tiêu chuẩn của đại lợng ngẫu nhiên là căn bậc hai của phơng sai của đại lợng ngẫu nhiên đó. (X) D(X)= , có cùng thứ nguyên với đại lợng ngẫu nhiên. 4.3- Phân bố xác suất của các biến ngẫu nhiên Trong hệ ngẫu nhiên có nhiều biến ngẫu nhiên khác nhau. Bảng 4.1 liệt kê một số biến ngẫu nhiên trong các hệ khác nhau. Các đặc trng quan trọng nhất của biến ngẫu nhiên là hàm mật độ xác suất, hàm phân bố xác suất, các thông số, kỳ vọng toán, phơng sai và một số đặc trng khác. Sau đây sẽ xem xét một số phân bố liên tục và gián đoạn thờng dùng nhất trong mô phỏng các hệ ngẫu nhiên. Bảng 4.1 Loại hệ thống Các biến ngẫu nhiên Hệ thống sản xuất Thời g ian vận hành má y , n g ừn g má y do hỏn g hóc, thời g ian thao tác, số lần hỏng hóc, Hệ thống máy tính Thời gian giữa các lần làm việc, thời gian giải các bài toán, Hệ thống thông tin liên lạc Số khách hàn g , thời g ian g iữa các lần liên lạc, thời g ian liên lạc, thời gian phục vụ, A. Phân bố liên tục (Continuous Distribution) a. Phân bố đều (Uniform Distribution) Đại lợng ngẫu nhiên X đợc gọi là tuân theo luật phân bố đều liên tục trên đoạn [a,b], ký hiệu là X~U(a,b), nếu X có các đặc trng sau: 1 ba f(x) a b x Hình 4.1- Phân bố đều U(a,b) Giáo trình Mô hình hoá Bộ môn Tự động hoá http://www.ebook.edu.vn Khoa Điện 41 - Hàm mật độ xác suất: = 1 nếu a x b f(x) ba 0 Phần còn lại - Hàm phân bố xác suất: = 0 nếu a < x xa f(x) nếu a x b ba 1 x b - Thông số a < b, a và b là các số thực. - Kỳ vọng toán: M(x) = (a+b)/2 - Phơng sai: 2 (b a) S(x) 12 = b. Phân bố đều (Uniform) U(0,1) Phạm vi ứng dụng: Phân bố đều trong khoảng [0,1] ký hiệu là U(0,1) là trờng hợp đặc biệt của phân bố đều U(a,b) với a = 0 và b = 1. Phân bố đều U(0,1) đợc dùng nhiều trong kỹ thuật mô phỏng để tạo nên các đại lợng ngẫu nhiên khác có phân bố mong muốn. - Hàm mật độ xác suất: = 1 nếu 0 x 1 f(x) 0 Phần còn lại - Hàm phân bố xác suất: = x nếu 0 < x < 1 f(x) 1 nếu x 1 - Kỳ vọng toán: M(x) = 1/2 - Phơng sai: S(x) = 1/12 c. Phân bố mũ (Exponetial) expo( ) - Hàm mật độ phân bố: = x - 1 e nếu x 0 f(x) 0 p hần còn lại - Hàm phân bố: = x - 1 e nếu x 0 f(x) 0 p hần còn lại - Thông số: > 0 - Kỳ vọng toán: M(x) = - Phơng sai: S(x) = 2 . - Phạm vi ứng dụng: Thờng dùng để biểu diễn thời gian giữa hai sự kiện trong dòng sự kiện tối giản. d. Phân bố chuẩn (Normal) N( , 2 ) - Hàm mật độ phân bố: = 2 2 (x ) 2 2 e f(x) 2 cho mọi x là số thực. - Hàm phân bố F(x): không có công thức biểu diễn. - Thông số: > 0, (-, +) - Kỳ vọng toán: M(x) = f(x) x Hình 4.2- Phân bố đều U(0,1) 1 1 0 0,25 0,5 0,75 1 1 2 3 4 5 6 H ình 4.3- Phân bố m ũ Giáo trình Mô hình hoá Bộ môn Tự động hoá http://www.ebook.edu.vn Khoa Điện 42 - Phơng sai: S(x) = 2 - Phạm vi ứng dụng: Phân bố chuẩn còn có tên là phân bố Gauss, là phân bố có ứng dụng rất rộng rãi trong việc đánh giá các đại lợng ngẫu nhiên. B. Phân bố gián đoạn (Discrete Distribution) a. Phân bố Bernoulli - Phạm vi ứng dụng: là số ngẫu nhiên xảy ra với hai khả năng khác nhau, thờng đợc dùng để tạo ra các biến ngẫu nhiên gián đoạn nh: nhị phân, hình học và âm nhị phân. - Hàm trọng lợng: = 1 p nếu x = 0 p(x) p nếu x = 1 0 p hần còn lại - Hàm phân bố 0 nếu x < 0 F(x) 1- p nếu 0 x 1 1 nếu x 1 =< - Thông số: p (0,1) - Kỳ vọng toán: M(x) = p - Phơng sai: S(x) = p(1-p) b. Phân bố đều gián đoạn (Discrete Uniform) DU(i,j) - Phạm vi ứng dụng: Dùng để mô tả các số ngẫu nhiên xảy ra gián đoạn nh nhau trên khoảng từ i đến J (j > i). - Hàm trọng lợng: 1 nếu x [i, j ] ji1 p(x) 0 p hần còn lại + = - Hàm phân bố: 0 nếu x < i xi1 F(x) nếu i x j ji1 1 nếu x j + = + > - Thông số: i và j là các số nguyên, i<j i là giới hạn đầu j là giới hạn cuối - Kỳ vọng toán: i j M(x) 2 + = - Phơng sai: 2 ( j i1) 1 S(x) 12 + = Chú ý: Phân bố Bernoulli(1/2) chính phân bố đều gián đoạn DU(0,1). c. Phân bố Poisson ( ) - Phạm vi ứng dụng: mô tả các sự kiện độc lập xảy ra với cờng độ là hằng số. - Hàm trọng lợng: x e nếu x (0,1) p (x) x! 0 p hần còn lại = p (x) x1 0 p 1- p Hình 4.4- Phân bố Bernoulli p (x) xi+2 i 1 j i1 + j -2 j H ình 4 . 5 - Phân bố đều gián đoạn Giáo trình Mô hình hoá Bộ môn Tự động hoá http://www.ebook.edu.vn Khoa Điện 43 - Hàm phân bố: x i i0 0 nếu x 0 F(x) e nếu x 0 i! = < = - Thông số: > 0 - Kỳ vọng toán: M(x) = - Phơng sai: S(x) = Hình 4.6 biểu diễn hàm trọng lợng Poisson với = 0,5. 4.4- Số ngẫu nhiên (Random number) phân bố đều U(0,1) Khi mô phỏng hệ thống ngời ta thờng cần có các số ngẫu nhiên phân bố theo những quy luật phân bố nhất định để mô phỏng các sự kiện ngẫu nhiên xảy ra trong hệ. Số ngẫu nhiên phân bố đều trong khoảng (0,1) thờng đợc dùng làm cơ sở để sản sinh ra số ngẫu nhiên có các phân bố khác nhau. Phân bố đều U(0,1) đóng vai trò quan trọng trong kỹ thuật mô phỏng, vì vậy đã đợc nhiều ngời nghiên cứu và có nhiều phơng pháp tạo ra nó. Sau đây là một số phơng pháp thông dụng để tạo ra phân bố đều U(0,1). a. Dùng máy phát ngẫu nhiên Máy phát số ngẫu nhiên dựa trên nguyên tắc sử dụng nhiễu do các thiết bị điện tử gây ra. Trên hình 4.7 biểu diễn phơng pháp tạo nhiễu ngẫu nhiên dùng điện trở trong một mạch khuếch đại điện tử trong đó điện áp u(t) đóng vai trò là nhiễu ngẫu nhiên. Ngời ta chọn quãng thời gian lấy mẫu T(a,b) và biên độ điện áp cắt U c tuỳ ý. Giao điểm giữa u(t) và U c tạo thành dãy số ngẫu nhiên t 1 , t 2 , t 3 , , t n . Đây là dãy số ngẫu nhiên phân bố đều U(0,1). Ưu điểm: Nhận đợc dãy số hoàn toàn ngẫu nhiên với số lợng không hạn chế (bằng cách thay đổi thời gian lấy mẫu T(a,b) và điện áp cắt U c ). Nhợc điểm: Phải lắp thêm máy phát số ngẫu nhiên. Khi cần làm lại quá trình mô phỏng thì không tạo đợc dãy số ngẫu nhiên giống lần trớc nên không thể so sánh chính xác kết quả của hai lần thử nghiệm. b. Dùng bảng số ngẫu nhiên Bằng nhiều cách ngời ta lập đợc bảng các số ngẫu nhiên (Xem phụ lục). Khi mô phỏng có thể lấy các số ngẫu nhiên trong bảng ra theo một thứ tự nào đó: lấy lần lợt, lấy cách quãng, Ưu điểm: Có thể lặp lại dãy số ngẫu nhiên để dùng cho các lần mô phỏng khác nhau. Nhợc điểm: Tốn bộ nhớ để lu bảng số ngẫu nhiên. c. Dùng thuật toán tạo số giả ngẫu nhiên (Pseudorandom Numbers) Ngày nay ngời ta thờng dùng thuật toán tạo số ngẫu nhiên. Nh vậy rất thuận tiện vì khi lập trình chỉ cần lập chơng trình con tạo số ngẫu nhiên mà không cần phải ghi số ngẫu 0 0.2 0.4 0.6 0.8 = 0.5 p (x) 1 2 3 4 5 Hình 4.6- Phân bố Poisson với = 0.5 x u(t) U c a b t H ình 4. 7 - Tạo số ngẫu nhiên dùng máy phát số ngẫu nhiên Giáo trình Mô hình hoá Bộ môn Tự động hoá http://www.ebook.edu.vn Khoa Điện 44 nhiên vào bộ nhớ của máy tính. Tuy nhiên ngời ta cũng chứng minh đợc rằng bất kỳ thuật toán nào cũng tạo ra số ngẫu nhiên có chu kỳ nên nó không hoàn toàn là số ngẫu nhiên mà nó chỉ là số giả ngẫu nhiên (Pseudorandom Numbers). Tuy nhiên nếu chu kỳ của số giả ngẫu nhiên đủ lớn (khoảng (1ữ5).10 6 ) thì số ngẫu nhiên đó có thể đợc xem là số ngẫu nhiên đối với các bài toán mô phỏng thông thờng. Có nhiều thuật toán tạo số giả ngẫu nhiên khác nhau. - Thuật toán lấy phần giữa của bình phơng: Cho số khởi đầu x o = 0,2152, vậy số ngẫu x 1 , x 2 , tiếp theo sẽ đợc tính nh sau: 2 o1 x 0,04631104 x 0.6311== 2 12 x 0,39828721 x 0.8287== Nhợc điểm của phơng pháp này là rất dễ xảy ra trờng hợp chu kỳ lặp lại của số ngẫu nhiên quá ngắn. Ví dụ: Chọn x o = 0,4500 ta có: (x o ) 2 = 0.20250000 x 1 = 0.2500 (x 1 ) 2 = 0.06250000 x 2 = 0.2500 (x 2 ) 2 = 0.06250000 x 3 = 0.2500 - Thuật toán nhân: Thuật toán: z i+1 = x i ; X i+1 = ]z i+1 [, trong đó: x i - là số ngẫu nhiên phân bố đều trong (0,1). ]z i+1 [ - là phần lẻ của số z i+1 . - Hệ số: = 8t 3 với t là số nguyên dơng bất kỳ. Ví dụ: chọn t = 5 = 8.5 3, chọn = 37. Cho trớc x o = 0,37843. Ta có số ngẫu nhiên sau: z 1 = x o = 37*0,37843 = 14,00191 x 1 =0,00191 z 2 = x 1 = 37*0,00191 = 0,07067 x 2 =0,07067 z 3 = x 2 = 37*0,07067 = 2.61497 x 3 =0,61497 z 4 = x 3 = 37*0,61497 = 22.74723 x 3 =0,74723 Dãy số ngẫu nhiên thu đợc sẽ phân bố đều trong khoảng (0,1). Ngời ta chứng minh đợc chu kỳ lặp lại của dãy số ngẫu nhiên này đủ lớn nên có thể dùng trong phép mô phỏng. 4.5- Phơng pháp tạo các biến ngẫu nhiên có phân bố mong muốn Khi mô hình hoá hệ thống thờng phải mô phỏng các sự kiện ngẫu có phân bố khác nhau. Để tạo ra các số ngẫu nhiên nh vậy ngời ta thờng dùng các số ngẫu nhiên phân bố đều U(0,1) để tạo ra các số ngẫu nhiên mong muốn. Sau đây chúng ta sẽ nghiên cứu phơng pháp thờng dùng nhất đợc gọi là phơng pháp biến đổi nghịch đảo. a. Thuật toán biến đổi nghịch đảo Giả thiết rằng chúng ta muốn tạo ra số ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân bố liên tục tăng trong khoảng 0 < F(x) < 1 có nghĩa là nếu x 1 < x 2 và 0 < F(x 1 ) F(x 2 ) <1 thì F(x 1 ) < F(x 2 ). Gọi F -1 là nghịch đảo của F, thuật toán để tạo ra biến ngẫu nhiên X có hàm phân bố F(x) nh sau: Lấy U có phân bố đều trong khoảng (0,1) và ký hiệu là U ~ U(0,1) (Dấu ~ đọc là có phân bố chuẩn). Vậy: X = F -1 (U) Hàm F -1 luôn luôn xác định trong khoảng (0,1). Giáo trình Mô hình hoá Bộ môn Tự động hoá http://www.ebook.edu.vn Khoa Điện 45 b. Thuật toán tạo biến ngẫu nhiên có phân bố mũ expo( ) - Lấy U ~ U(0,1). Vậy: X = -lnU Trong đó là thông số của phân bố mũ expo(). Chứng minh: Ta có hàm mật độ phân bố mũ: x e f(x) với x 0 = Gọi X i là số ngẫu nhiên có phân bố mũ, U i là số ngẫu nhiên có phân bố đều trong khoảng (0,1): i ii x X xx XX i 00 0 e Uf(x)dx dxe 1e ==== X i = - ln(1-U i ) Chú ý rằng nếu U i phân bố đều trong (0,1) thì (1- U i ) cũng phân bố đều trong khoảng (0,1) nên ta có thể viết: X i = - lnU i c. Thuật toán tạo biến ngẫu nhiên có phân bố đều U(a,b) Lấy U ~ U(0,1). Vậy: X = a + (b-a)U d. Thuật toán tạo biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn N( , 2 ) Thuật toán tìm phân bố chuẩn khá phức tạp, tuy nhiên có thể áp dụng định lý giới hạn trung tâm sau: Phân bố chuẩn có thể đợc coi là tổng của một số khá lớn các số ngẫu nhiên có U i có phân bố đều trong (0,1). Nếu có: U 1 , U 2 , , U N . Kỳ vọng toán: 1 , 2 , , N . Độ lệch trung bình bình phơng 1 , 2 , , N . Vậy ta có kỳ vọng toán của phân bố chuẩn = 1 N. Độ lệch trung bình bình phơng của phân bố chuẩn = 1 N. Tóm lại khi tổng N i i1 U = ta có phân bố gần với phân bố chuẩn. Trong thực tế thờng lấy N = 8 ữ 12 là đủ. e. Thuật toán tạo biến ngẫu nhiên có phân bố Poisson gián đoạn, Poisson ( ) B1- Lấy a = e - , b = 1 và i = 0. B2- Lấy U i+1 ~ U(0,1) và thay b bằng bU i+1 . Nếu b < a thì lấy X = i, ngợc lại thì chuyển sang bớc 3. B3- Thay i = i+1 và quay lại bớc 2. Chú ý rằng điều kiện X = i chỉ xảy ra khi và chỉ khi có ii1 jj j1 j1 Y1 Y + == , trong đó j j ln U 1 Y~ex p o( )= và là các số ngẫu nhiên độc lập. g. Thuật toán tạo biến ngẫu nhiên có phân bố đều gián đoan DU(i,j) Lấy U~U(0,1). Vậy: X = i + (j i + 1)U f. Thuật toán tạo biến ngẫu nhiên có phân bố Bernoulli(p) [...]... i x0 =0,378 34; S=3000 theo luật phân bố mũ là m (m < n) Vậy mô hình Xi - số ngẫu nhiên phân bố đều hệ thống truyền tin MM là sự [0,1] i=i+1 xếp chồng của mô hình hệ S - số lần thử nghiệm Q - số từ mã đúng thống S và mô hình môi Tạo số ngẫu nhiên Xi Q0 - số từ mã sai 1 trờng E - chính là mô hình Z=a*xo;Xi=]Z[; xo=Xi [T /n] - phần nguyên của tỷ số T /n i i nguồn sai nh trên hình 4. 8 ]Ti/n[ - phần lẻ của... If End Sub //***** thủ tục điều khiển chơng trình bằng bộ Timer2**** Private Sub Timer2_Timer2() a = Left( 14. Caption,1) Bộ môn Tự động hoá http://www.ebook.edu.vn Khoa Điện 53 Giáo trình Mô hình hoá b = Right( 14. Caption, Len( 14. Caption), -1 ) 14. Caption = b + a End Sub Kết quả mô phỏng: - Nếu Txe = 15 phút, sau 1 giờ có 4 chuyến xe, số sinh viên kẹt lại là 42 - Nếu Txe = 12 phút, sau 1 giờ có 5 chuyến... hình 5 .4 Trong đó đặt các biến nh sau: + tx = Txe - thời gian giữa các chuyến xe buýt Bộ môn Tự động hoá http://www.ebook.edu.vn Khoa Điện 49 Giáo trình Mô hình hoá + t - thời gian mô phỏng Đây là thời gian sự kiện, t sẽ đợc tăng lên khi có sự kiện sinh viên đến trạm xe buýt Quá trình mô phỏng thực hiện khi t = 0(s) (lúc 6h30) đến t = 3600 (s) (lúc 7h30) Dừng mô phỏng trong trờng hợp ngợc lại + c -. .. mô phỏng bằng dòng tối giản có cờng độ = const Bộ môn Tự động hoá http://www.ebook.edu.vn Khoa Điện 47 Giáo trình Mô hình hoá Thông thờng cờng độ dòng sai trong kênh liên lạc nằm trong khoảng 1 0-1 ữ1 0 -4 Nh đã phân tích E Nguồn sai ở ví dụ 1, khoảng cách giữa các sai đợc tính theo công thức sau: S Hệ thống ln U i ti = trong đó: Ui là số ngẫu nhiên có MM = E + S phân bố đều U(0,1) Hình 4. 8- Mô hình. .. sai Q1 (có sai) sẽ đợc tăng lên 1 đơn vị Q1 = Q1 +1 Stop Hình 4. 9 Lu đồ mô phỏng hệ truyền tin Bộ môn Tự động hoá http://www.ebook.edu.vn Khoa Điện Giáo trình 48 Mô hình hoá + Nếu ti < n: số từ mã sai Q1 sẽ đợc tăng lên một đơn vị Q1 = Q1 + 1 B 4- Lặp lại B1 đến B3 cho đến khi số lần thử nghiệm bằng số S đã định trớc Ví dụ 3: Ví dụ minh hoạ -Mô phỏng trạm xe buýt sinh viên Sinh viên đi từ ký túc xá... Ti/n - Thuật toán mô phỏng: Tính Ti = - lnxi/, a, x0 - hệ số để tạo số ngẫu nhiên phân bố đợc biểu diễn bằng lu đồ hình 4. 9 1 Q0 = Q0 + [Ti/n] Ti n B 1- Lấy Ui ~ U(0,1) B 2- Tính khoảng cách 0 ]Ti/n[>0 ln U i Q1 = Q1 + 1 giữa các sai: t i = 0 B 3- So sánh giữa ti và 1 i n số từ PS=Q0/(Q0 + Q1) mã đúng Q0 (không có sai) sẽ PD=1-PS đợc tăng lên: Q0 = Q0 + [T/N] V = m(1-PS)/n... hình mô phỏng quá trình truyền tin ti là khoảng cách giữa các sai (i 1) và i Vậy, mô hình nguồn sai là dãy các sai có cờng độ , khoảng cách giữa các sai tuân theo quy luật phân bố mũ expo() - Mô phỏng quá trình Chú thích Start truyền tin m - số phần tử mang tin Giả sử truyền đi liên n - chiều dài từ mã Nạp dữ liệu m, n, i=0 tục các từ mã có chiều dài n, - cờng độ dòng sai Q0=0; Q1=0; ;a=37 T - khoảng... thực nghiệm Phttn (mô phỏng) Gợi ý giải thuật: Bộ môn Tự động hoá http://www.ebook.edu.vn Khoa Điện 54 Giáo trình Mô hình hoá n a Phtlt = pi i =1 b Lấy số ngẫu nhiên U1 ~ U(0,1) if U1 p1 and U2 p2 and U3 p3 then N0 = N0 + 1 else N1=N1+1 repeat until i=N c Độ tin cậy thực nghiệm Phttn = N0/N d Chọn số lần thử nghiệm bằng 100, 1000, 3000 Nhận xét về kết quả mô phỏng Phttn 4. 6. 4- Rùa và thỏ chạy thi... = 700 x(j + 2) = 1200 x(j + 3) = 1700 x(j + 4) = 2200 y(j) = 50*j y(j + 1) = 50*j y(j + 2) = 50*j y(j + 3) = 50*j y(j + 4) = 50*j j=j +4 Next End IF End Sub //***** nút lệnh kết thúc chơng trình* *** Private Sub Command1_Click() Bộ môn Tự động hoá http://www.ebook.edu.vn Khoa Điện 52 Giáo trình Mô hình hoá Beep End End Sub //***** thủ tục điều khiển chơng trình bằng bộ Timer1**** Private Sub Timer1_Timer1()... chồng hai mô hình trên với nhau 1 d Đếm số sinh viên chờ ở c = c+1 trạm xe buýt e Đếm số sinh viên còn lại 0 t >= tx tại trạm sau mỗi chuyến xe g Mô phỏng quá trình vận 1 chuyển sinh viên sau 1 giờ (từ 6h30 0 đến 7h30) Đếm số sinh viên bị kẹt c=0 c > 60 tx = Txe lại sau 7h30 Lặp lại với Txe khác 1 nhau để tìm Txe max Nhận xét? c = c - 60 Stop * Lu đồ mô phỏng Lu đồ mô phỏng nh trên Hình 4. 10 Lu đồ mô phỏng . Giáo trình Mô hình hoá Bộ môn Tự động hoá http://www.ebook.edu.vn Khoa Điện 36 Chơng 4 - Mô hình hóa các hệ ngẫu nhiên 4. 1- Khái niệm về mô hình hóa các hệ ngẫu nhiên. (m < n). Vậy mô hình hệ thống truyền tin M M là sự xếp chồng của mô hình hệ thống S và mô hình môi trờng E - chính là mô hình nguồn sai nh trên hình 4. 8. - Thuật toán mô phỏng: đợc. f(x) x Hình 4. 2- Phân bố đều U(0,1) 1 1 0 0,25 0,5 0,75 1 1 2 3 4 5 6 H ình 4. 3- Phân bố m ũ Giáo trình Mô hình hoá Bộ môn Tự động hoá http://www.ebook.edu.vn Khoa Điện 42 - Phơng sai: