Giáo trình mô hình hóa - Chương 4 pps

Phương pháp mô phỏng thường được dùng để nghiên cứu các hệ ngẫu nhiên nhưng đồng thời trong một số trường hợp cũng có thể dùng để giải các bài toán đối với hệ tiền định.. 1- Xác suất của

Chương 4 - Mô hình hóa các hệ ngẫu nhiên

4.1- Khái niệm về mô hình hóa các hệ ngẫu nhiên

Hệ ngẫu nhiên là hệ trong đó có các biến ngẫu nhiên Các biến ngẫu nhiên được đặc

trưng bởi luật phân phối xác suất

Thực chất của phương pháp này xây dựng mô hình xác suất là xây dựng trên máy tính hệ

thống S với các quan hệ nội tại của nó trong đó có các biến ngẫu nhiên Đầu vào của hệ có tác

động mang tính ngẫu nhiên như số lượng các sự kiện xảy ra, thời gian giữa các sự kiện hoặc

tác động của môi trường xung quanh E Trên cơ sở đó phân tích các tín hiệu đầu ra người ta

nhận được dáng điệu phản ứng của hệ thống Phương pháp này thường được gọi là phương

pháp mô phỏng (Simulation) Mỗi một lần thực hiện phép thử người ta thu được một lời giải

chứa đựng những thông tin về dáng điệu của hệ thống S Nếu số phép thử N đủ lớn thì kết quả

thu được bằng cách lấy trung bình theo xác suất sẽ ổn định và đạt độ chính xác cần thiết

Phương pháp mô phỏng thường được dùng để nghiên cứu các hệ ngẫu nhiên nhưng đồng

thời trong một số trường hợp cũng có thể dùng để giải các bài toán đối với hệ tiền định

4.2- Cơ sở lý thuyết xác suất

4.2.1- Biến cố ngẫu nhiên và xác suất

1- Phép thử và biến cố

Khi thực hiện một số điều kiện nào đó ta nói rằng đã thực hiện một phép thử Còn hiện

tượng có thể xảy ra trong kết quả của phép thử được gọi là biến cố

Ví dụ: Hành động tung một con súc sắc là thực hiện một phép thử còn việc xuất hiện

mặt nào đó được gọi là biến cố

Có 3 loại biến cố:

- Biến cố chắc chắn (U): là biến cố nhất định sẽ xảy ra khi thực hiện phép thử

- Biến cố không thể có (V): là biến cố nhất định không xảy ra khi thực hiện phép thử

- Biến cố ngẫu nhiên: là biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi thực hiện phép thử

1- Xác suất của một biến cố

Xác suất P(A) của biến cố A là một con số đặc trưng cho khả năng khách quan để xuất

hiện biến cố A khi thực hiện phép thử

1- Quan hệ giữa các biến cố:

- Tích các biến cố: Biến cố A được gọi là tích của các biến cố A1, A2, …, An nếu A xảy

ra khi cả n biến cố Ai (i = 1ữ n) cùng đồng thời xảy ra: A = A1, A2, …, An

Ví dụ: HS thi tốt nghiệp 6 môn, điều kiện để đỗ tốt nghiệp là không có môn nào bị điểm

liệt

- Tổng các biến cố: Biến cố A được gọi là tổng của các biến cố A1, A2, …, An nếu A xảy

ra khi có ít nhất 1 trong số n biến cố Ai (i = 1ữ n) xảy ra: A = A1+ A2+ …+ An

Ví dụ: HS thi tốt nghiệp 6 môn, HS sẽ trượt tốt nghiệp nếu có một môn bị điểm liệt

- Biến cố xung khắc: Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc với nhau nếu chúng

không cùng xảy ra trong một phép thử Ví dụ: Biến cố mặt chẵn và mặt lẻ khi tung súc sắc

Các biến cố A1, A2, …, An được gọi là xung khắc từng đôi nếu bất kỳ hai biến cố nào

trong chúng cũng xung khắc với nhau Các biến cố A1, A2, …, An được gọi là hệ đầy đủ các

biến cố nếu chúng xung khắc từng đôi và tổng của chúng là một biến cố chắc chắn

Ví dụ: Gọi A là biến cố xuất hiện mặt có số chấm chẵn, B là biến cố xuất hiện mặt có số

chấm lẻ khi tung một con súc sắc thì A, B là hệ đầy đủ

- Biến cố đối lập: A và A được gọi là đối lập với nhau nếu chúng tạo thành hệ đầy đủ

các biến cố hay nói cách khác là một và chỉ một trong hai biến cố phải xảy ra sau phép thử

4.2.2- Định nghĩa xác suất

Ví dụ: Tung một con súc sắc Gọi A là biến cố xuất hiện mặt có số chấm chẵn Tìm

P(A)

Khi thực hiện phép thử có 6 trường hợp đồng khả năng xảy ra, tuy nhiên chỉ có một kết

quả Trong đó có 3 trường hợp mà nếu chúng xảy ra sẽ làm cho biến cố xảy ra (đó là các

trường hợp 2, 4, 6 chấm) Các trường hợp làm cho biến cố xảy ra được gọi là các trường hợp

thuận lợi cho biến cố

P(A) = 3/6 = 0,5

Định nghĩa cổ điển về xác suất: Nếu trong một phép thử có tất cả n trường hợp đồng

khả năng xảy ra trong đó có m trường hợp thuận lợi cho biến cố A thì xác suất của biến cố A

được định nghĩa là P(A) = m/n

Các tính chất của xác suất:

- Xác suất của biến cố ngẫu nhiên hoặc bất kỳ: 0 < P(A) < 1

- Xác suất của biến cố chắc chắn: P(A) = 1 (m = n)

- Xác suất của biến cố không thể có: P(A) = 0 (m = 0)

Định nghĩa thống kê về xác suất: Tần suất xuất hiện biến cố A trong n phép thử là tỷ số

giữa số phép thử trong đó biến cố xuất hiện và tổng số phép thử được thực hiện

Gọi số lần xuất hiện biến cố A là k và tần số xuất hiện biến cố A là f(A), ta có: f(A)=k/n

Nếu tần số xuất hiện biến cố A luôn luôn dao động xung quanh một số xác định p nào đó khi

số phép thử tăng lên khá lớn mà tần suất xuất hiện biến cố A càng tiến gần tới p thì p được gọi

là xác suất của biến cố A theo quan điểm thống kê: p(A) ≈ f(A)

4.2.3- Các định lý xác suất

a- Định lý cộng xác suất:

Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì P(A + B) = P(A) + P(B) Trường hợp tổng quát:

Nếu A1, A2,…, An là xung khắc từng đôi thì xác suất của tổng các biến cố bằng tổng các xác

suất:

=

b- Định lý nhân xác suất

- Xác suất có điều kiện: Xác suất của biến cố A được tính với điều kiện biến cố B không

xảy ra được gọi là xác suất có điều kiện của A và được kí hiệu là p(A/B)

- Biến cố độc lập: Biến cố A được gọi là độc lập với biến cố B nếu việc A xuất hiện hay

không cũng không ảnh hưởng đến xác suất biểu hiện của B Các biến cố A1, A2,…, An được

gọi là độc lập toàn phần với nhau nếu mỗi biến cố trong chúng độc lập với tích của một số bất

kỳ biến cố trong các biến cố còn lại

Định lý: Nếu A và B là hai biến cố bất kỳ thì p(AB) = p(A).p(B) = p(B).p(A/B)

Tổng quát: Nếu A1, A2, …, An các biến cố bất kỳ thì:

p(A1A2…An) = p(A1)p(A2/A1)…p(An/A1A2…An-1)

Hệ quả: Nếu các biến cố A1, A2,…, An độc lập toàn phần thì:

p(A1A2…An) = p(A1)p(A2)…p(An)

c- Công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayer

Giả sử H1, H2,…, Hn là hệ đầy đủ các biến cố Biến cố A có thể xảy ra cùng với một

trong những biến cố Hi (i = 1ữn) Khi đó:

n

i 1

p(A) p(H )p(A / H )

=

=∑

d- Công thức Bernoulli

- Dãy phép thử độc lập: các phép thử được gọi là độc lập với nhau nếu xác suất để xảy ra

một biến cố nào đó trong từng phép thử sẽ không phụ thuộc vào việc biến cố đó có xảy ra ở

các phép thử khác hay không

- Tiến hành n phép thử độc lập Mỗi phép thử chỉ có hai trường hợp xảy ra: hoặc biến cố

A xảy ra hoặc biến cố A không xảy ra

Xác suất để biến cố A xảy ra trong từng phép thử đều bằng p

Xác suất để biến cố A không xảy ra trong từng phép thử đều bằng q = 1 - p

Những bài toán thoả mãn các điều kiện trên được gọi là tuân theo lược đồ Bernoulli Xác

suất để trong n phép thử độc lập biến cố A xảy ra đúng k lần không kể thứ tự:

k k n k

p (k)=C p q ư

Xác suất để trong n phép thử đó biến cố A xảy ra từ k1 đến k2 lần không kể thứ tự:

k k n k

p (k , k ) p (k) C p q ư

Ví dụ: Bắn 5 viên đạn vào một mục tiêu, xác suất trúng đích của mỗi viên đạn là 0,7

Tìm xác suất để có đúng 3 viên đạn trúng mục tiêu

n = 5; k = 3; p = 0,7 ⇒ p (5)5 =C p q35 3 2 =0, 441

4.2.4- Đại lượng ngẫu nhiên và các quy luật phân phối xác suất

a- Đại lượng ngẫu nhiên

Là đại lượng mà trong kết quả của phép thử sẽ nhận một và chỉ một trong các giá trị có

thể có của nó với xác suất tương ứng xác định

Đại lượng ngẫu nhiên được ký hiệu bằng chữ in hoa: X, Y, Z…

Các giá trị có thể nhận, ký hiệu bằng chữ in thường: x, y, z,…

Đại lượng ngẫu nhiên được chia thành hai loại:

- Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc: là đại lượng ngẫu nhiên mà các giá trị có thể có của nó là

hữu hạn hoặc vô hạn đếm được (liệt kê được)

- Đại lượng ngẫu nhiên liên tục: các giá trị có thể có của nó lấp đầy một khoảng liên tục

trên trục số, không thể liệt kê được

b- Quy luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên

Quy luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X là hình thức cho phép biểu diễn

mối quan hệ giữa các giá trị có thể có của X với các xác suất tương ứng

* Bảng phân phối xác suất: Dùng để thiết lập quy luật phân phối xác suất cho đại lượng

ngẫu nhiên rời rạc

X x1 x2 x3 … xk

p p1 p2 p3 … pk

* Hàm phân phối xác suất F(x): của đại lượng ngẫu nhiên X là xác suất để X nhận giá trị

nhỏ hơn x với x là một số thực bất kỳ

F(x) = p(X < x)

Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc thì

i

i

x x

< =∑ Tính chất của hàm phân phối:

+ 0 ≤ F(x) ≤ 1 với mọi x

+ F(x) không giảm nghĩa là x1 < x2 ⇒ F(x1) < F(x2)

+ p(x1 ≤ X ≤ x2) = F(x2) - F(x1)

+ F(+∞) = 1(

xlim F(x) 1

→+∞ = ); F(-∞) = 0 (

xlim F(x) 0

* Hàm mật độ xác suất (chỉ áp dụng cho đại lượng ngẫu nhiên liên tục) f(x): của đại

lượng ngẫu nhiên X là đạo hàm bậc nhất của hàm phân bố xác suất của đại lượng ngẫu nhiên

đó

Tính chất của hàm mật độ xác suât:

+ f(x) ≥ 0 với mọi x

+

b

a

p(a < x < b) = f(x)dx∫

+

x

F(x) f(t)dt

ư∞

= ∫

+ f(x)dx 1

∞

ư∞

=

∫

c- Các thông số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên

* Kỳ vọng toán: kỳ vọng toán của đại lượng ngẫu nhiên đặc trưng cho giá trị trung bình

của đại lượng ngẫu nhiên đó

X là đại lượng ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất:

X x1 x2 x3 … xk

p p1 p2 p3 … pk

Kỳ vọng toán của X được tính bởi công thức sau:

k

i i

i 1

=

=∑ Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ xác suất f(x):

E(x) xf(x)dx

∞

ư∞

= ∫

Tính chất của kỳ vọng toán:

+ E(C) = C với C = const

+ E(Cx) = C.E(x)

+ E(X+Y) = E(X) + E(Y)

* Phương sai: Phương sai của một đại lượng ngẫu nhiên đặc trưng cho độ phân tán các

giá trị có thể có của đại lượng ngẫu nhiên xung quanh kỳ vọng toán của nó Phương sai là kỳ

vọng toán của bình phương sai lệch giữa đại lượng ngẫu nhiên X so với kỳ vọng toán của nó

E(X):

D(X) = E([X - E(X)]2)

= E(X2) - [E(X)]2

Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc thì:

k

i i i=1

E(X ) = ∑x p

Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì: E(X )2 x f(x)dx2

∞

ư∞

= ∫ Tính chất của phương sai:

+ D(C) = 0

+ D(CX) = C2.D(X)

+ Nếu X và Y là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập: D(X+Y) = D(X) + D(Y)

* Độ lệch tiêu chuẩn σ của đại lượng ngẫu nhiên là căn bậc hai của phương sai của đại

lượng ngẫu nhiên đó

σ = , σ có cùng thứ nguyên với đại lượng ngẫu nhiên

4.3- Phân bố xác suất của các biến ngẫu nhiên

Trong hệ ngẫu nhiên có nhiều biến ngẫu nhiên khác nhau Bảng 4.1 liệt kê một số biến

ngẫu nhiên trong các hệ khác nhau

Các đặc trưng quan trọng nhất của biến ngẫu nhiên là hàm mật độ xác suất, hàm phân bố

xác suất, các thông số, kỳ vọng toán, phương sai và một số đặc trưng khác Sau đây sẽ xem xét

một số phân bố liên tục và gián đoạn thường dùng nhất trong mô phỏng các hệ ngẫu nhiên

Hệ thống sản xuất Thời gian vận hành máy, ngừng máy do hỏng hóc, thời gian thao tác, số

lần hỏng hóc,

Hệ thống máy tính Thời gian giữa các lần làm việc, thời gian giải các bài toán,

Hệ thống thông tin

liên lạc

Số khách hàng, thời gian giữa các lần liên lạc, thời gian liên lạc, thời gian phục vụ,

A Phân bố liên tục (Continuous Distribution)

a Phân bố đều (Uniform Distribution)

Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là tuân theo luật phân

bố đều liên tục trên đoạn [a,b], ký hiệu là X~U(a,b), nếu X có

các đặc trưng sau:

1

b aư

f(x)

a b

x

Hình 4.1- Phân bố đều

U(a,b)

- Hàm mật độ xác suất:

⎪

=⎨ ư

⎪⎩

1 nếu a x b f(x) b a

0 Phần còn lại

- Hàm phân bố xác suất:

⎧

⎪ ư

⎪

≥

⎪⎩

0 nếu a < x

x a

b a

1 x b

- Thông số a < b, a và b là các số thực

- Kỳ vọng toán: M(x) = (a+b)/2

- Phương sai:

2 (b a) S(x)

12

ư

=

b Phân bố đều (Uniform) U(0,1)

Phạm vi ứng dụng: Phân bố đều trong khoảng [0,1] ký hiệu là U(0,1) là trường hợp đặc

biệt của phân bố đều U(a,b) với a = 0 và b = 1 Phân bố đều U(0,1) được dùng nhiều trong kỹ

thuật mô phỏng để tạo nên các đại lượng ngẫu nhiên khác có phân bố mong muốn

= ⎨

⎩

1 nếu 0 x 1 f(x)

0 Phần còn lại

- Hàm phân bố xác suất: ⎧

⎩

x nếu 0 < x < 1 f(x)

1 nếu x 1

- Kỳ vọng toán: M(x) = 1/2

- Phương sai: S(x) = 1/12

c Phân bố mũ (Exponetial) expo(β)

- Hàm mật độ phân bố:

β

⎧

≥

⎪

= β⎨

⎪

⎩

x

-1

e nếu x 0 f(x)

0 phần còn lại

- Hàm phân bố: = ⎨⎧⎪ ư β ≥

⎪⎩

x

-1 e nếu x 0 f(x)

0 phần còn lại

- Thông số: β > 0

- Kỳ vọng toán: M(x) = β

- Phương sai: S(x) = β2

- Phạm vi ứng dụng: Thường dùng để biểu diễn thời gian giữa hai sự kiện trong dòng sự

kiện tối giản

d Phân bố chuẩn (Normal) N(μ,σ2

)

- Hàm mật độ phân bố:

ưμ σ

= πσ

2 2

(x ) 2 2

e f(x)

2

cho mọi x là số thực

- Hàm phân bố F(x): không có công thức biểu diễn

- Thông số: μ > 0, σ ∈ (-∞, +∞)

- Kỳ vọng toán: M(x) = μ

f(x)

x

Hình 4.2- Phân bố

đều U(0,1)

1

1

0 0,25 0,5 0,75

1

Hình 4.3- Phân bố mũ

- Phương sai: S(x) = σ2

- Phạm vi ứng dụng: Phân bố chuẩn còn có tên là phân bố Gauss, là phân bố có ứng

dụng rất rộng rãi trong việc đánh giá các đại lượng ngẫu nhiên

B Phân bố gián đoạn (Discrete Distribution)

a Phân bố Bernoulli

- Phạm vi ứng dụng: là số ngẫu nhiên xảy ra với hai khả năng khác nhau, thường được

dùng để tạo ra các biến ngẫu nhiên gián đoạn như: nhị phân, hình học và âm nhị phân

- Hàm trọng lượng:

ư

⎧

⎪

= ⎨

⎪

⎩

1 p nếu x = 0 p(x) p nếu x = 1

0 phần còn lại

- Hàm phân bố

0 nếu x < 0 F(x) 1- p nếu 0 x 1

1 nếu x 1

⎧

⎪

=⎨ ≤ <

⎩

- Thông số: p ∈ (0,1)

- Kỳ vọng toán: M(x) = p

- Phương sai: S(x) = p(1-p)

b Phân bố đều gián đoạn (Discrete Uniform) DU(i,j)

- Phạm vi ứng dụng: Dùng để mô tả các số ngẫu nhiên xảy ra gián đoạn như nhau trên

khoảng từ i đến J (j > i)

- Hàm trọng lượng:

1 nếu x [i, j]

j i 1 p(x)

0 phần còn lại

⎪ ư +

= ⎨

⎪⎩

- Hàm phân bố:

0 nếu x < i

x i 1

j i 1

1 nếu x j

⎧

⎪ ư +

⎪

⎩

- Thông số: i và j là các số nguyên, i<j

i là giới hạn đầu

j là giới hạn cuối

- Kỳ vọng toán: M(x) i j

2

+

=

- Phương sai:

2 (j i 1) 1 S(x)

12

= Chú ý: Phân bố Bernoulli(1/2) chính phân bố đều gián đoạn DU(0,1)

c Phân bố Poisson (λ)

- Phạm vi ứng dụng: mô tả các sự kiện độc lập xảy ra với cường độ là hằng số

- Hàm trọng lượng:

x e nếu x (0,1)

0 phần còn lại

ưλ

⎪

= ⎨

⎪⎩

p(x)

x

1

0

p 1-p

Hình 4.4- Phân bố Bernoulli

p(x)

x i+2

i

1

j i 1 ư +

j-2 j

Hình 4.5- Phân bố đều gián đoạn

- Hàm phân bố: x i

i 0

0 nếu x 0

e nếu x 0 i!

ưλ

=

<

⎧

⎪

= ⎨ λ ≥

⎪

⎩ ∑

- Thông số: λ > 0

- Kỳ vọng toán: M(x) = λ

- Phương sai: S(x) = λ

Hình 4.6 biểu diễn hàm trọng lượng Poisson với λ = 0,5

4.4- Số ngẫu nhiên (Random number) phân bố đều U(0,1)

Khi mô phỏng hệ thống người ta thường cần có các số ngẫu nhiên phân bố theo những

quy luật phân bố nhất định để mô phỏng các sự kiện ngẫu nhiên xảy ra trong hệ Số ngẫu

nhiên phân bố đều trong khoảng (0,1) thường được dùng làm cơ sở để sản sinh ra số ngẫu

nhiên có các phân bố khác nhau Phân bố đều U(0,1) đóng vai trò quan trọng trong kỹ thuật

mô phỏng, vì vậy đã được nhiều người nghiên cứu và có nhiều phương pháp tạo ra nó Sau đây

là một số phương pháp thông dụng để tạo ra phân bố đều U(0,1)

a Dùng máy phát ngẫu nhiên

Máy phát số ngẫu nhiên dựa trên nguyên tắc sử dụng nhiễu do các thiết bị điện tử gây ra

Trên hình 4.7 biểu diễn phương pháp tạo nhiễu ngẫu nhiên dùng điện trở trong một mạch

khuếch đại điện tử trong đó

điện áp u(t) đóng vai trò là

nhiễu ngẫu nhiên Người ta

chọn quãng thời gian lấy mẫu

T(a,b) và biên độ điện áp cắt Uc

tuỳ ý Giao điểm giữa u(t) và

Uc tạo thành dãy số ngẫu nhiên

t1, t2, t3, , tn Đây là dãy số

ngẫu nhiên phân bố đều U(0,1)

Ưu điểm: Nhận được dãy số hoàn toàn ngẫu nhiên với số lượng không hạn chế (bằng

cách thay đổi thời gian lấy mẫu T(a,b) và điện áp cắt Uc)

Nhược điểm: Phải lắp thêm máy phát số ngẫu nhiên Khi cần làm lại quá trình mô phỏng

thì không tạo được dãy số ngẫu nhiên giống lần trước nên không thể so sánh chính xác kết quả

của hai lần thử nghiệm

b Dùng bảng số ngẫu nhiên

Bằng nhiều cách người ta lập được bảng các số ngẫu nhiên (Xem phụ lục) Khi mô

phỏng có thể lấy các số ngẫu nhiên trong bảng ra theo một thứ tự nào đó: lấy lần lượt, lấy cách

quãng,

Ưu điểm: Có thể lặp lại dãy số ngẫu nhiên để dùng cho các lần mô phỏng khác nhau

Nhược điểm: Tốn bộ nhớ để lưu bảng số ngẫu nhiên

c Dùng thuật toán tạo số giả ngẫu nhiên (Pseudorandom Numbers)

Ngày nay người ta thường dùng thuật toán tạo số ngẫu nhiên Như vậy rất thuận tiện vì

khi lập trình chỉ cần lập chương trình con tạo số ngẫu nhiên mà không cần phải ghi số ngẫu

0 0.2 0.4 0.6 0.8 λ = 0.5 p(x)

1 2 3 4 5

Hình 4.6- Phân bố Poisson với λ = 0.5

x

u(t)

Uc

Hình 4.7- Tạo số ngẫu nhiên dùng máy phát số ngẫu nhiên

nhiên vào bộ nhớ của máy tính Tuy nhiên người ta cũng chứng minh được rằng bất kỳ thuật

toán nào cũng tạo ra số ngẫu nhiên có chu kỳ nên nó không hoàn toàn là số ngẫu nhiên mà nó

chỉ là số giả ngẫu nhiên (Pseudorandom Numbers) Tuy nhiên nếu chu kỳ của số giả ngẫu

nhiên đủ lớn (khoảng (1ữ5).106) thì số ngẫu nhiên đó có thể được xem là số ngẫu nhiên đối

với các bài toán mô phỏng thông thường Có nhiều thuật toán tạo số giả ngẫu nhiên khác nhau

- Thuật toán lấy phần giữa của bình phương:

Cho số khởi đầu xo = 0,2152, vậy số ngẫu x1, x2, tiếp theo sẽ được tính như sau:

2

x =0, 04631104→x =0.6311

2

x =0,39828721→x =0.8287

Nhược điểm của phương pháp này là rất dễ xảy ra trường hợp chu kỳ lặp lại của số ngẫu

nhiên quá ngắn Ví dụ: Chọn xo= 0,4500 ta có:

(xo)2 = 0.20250000 → x1 = 0.2500

(x1)2 = 0.06250000 → x2 = 0.2500

(x2)2 = 0.06250000 → x3 = 0.2500

- Thuật toán nhân:

Thuật toán: zi+1 = λxi; Xi+1 = ]zi+1[, trong đó:

xi - là số ngẫu nhiên phân bố đều trong (0,1)

]zi+1[ - là phần lẻ của số zi+1

λ - Hệ số: λ = 8t ± 3 với t là số nguyên dương bất kỳ

Ví dụ: chọn t = 5 → λ = 8.5 ± 3, chọn λ = 37 Cho trước xo = 0,37843

Ta có số ngẫu nhiên sau: z1= λxo = 37*0,37843 = 14,00191 → x1 =0,00191

z2= λx1 = 37*0,00191 = 0,07067 → x2 =0,07067

z3= λx2 = 37*0,07067 = 2.61497 → x3 =0,61497

z4= λx3 = 37*0,61497 = 22.74723 → x3 =0,74723

Dãy số ngẫu nhiên thu được sẽ phân bố đều trong khoảng (0,1) Người ta chứng minh

được chu kỳ lặp lại của dãy số ngẫu nhiên này đủ lớn nên có thể dùng trong phép mô phỏng

4.5- Phương pháp tạo các biến ngẫu nhiên có phân bố mong muốn

Khi mô hình hoá hệ thống thường phải mô phỏng các sự kiện ngẫu có phân bố khác

nhau Để tạo ra các số ngẫu nhiên như vậy người ta thường dùng các số ngẫu nhiên phân bố

đều U(0,1) để tạo ra các số ngẫu nhiên mong muốn Sau đây chúng ta sẽ nghiên cứu phương

pháp thường dùng nhất được gọi là phương pháp biến đổi nghịch đảo

a Thuật toán biến đổi nghịch đảo

Giả thiết rằng chúng ta muốn tạo ra số ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân bố liên tục

tăng trong khoảng 0 < F(x) < 1 có nghĩa là nếu x1 < x2 và 0 < F(x1) ≤ F(x2) <1 thì F(x1) <

F(x2) Gọi F-1là nghịch đảo của F, thuật toán để tạo ra biến ngẫu nhiên X có hàm phân bố F(x)

như sau:

Lấy U có phân bố đều trong khoảng (0,1) và ký hiệu là U ~ U(0,1) (Dấu “~” đọc là “có

phân bố chuẩn”) Vậy:

X = F-1(U)

Hàm F-1luôn luôn xác định trong khoảng (0,1)

b Thuật toán tạo biến ngẫu nhiên có phân bố mũ expo(β)

- Lấy U ~ U(0,1) Vậy:

X = -βlnU Trong đó β là thông số của phân bố mũ expo(β)

Chứng minh:

Ta có hàm mật độ phân bố mũ:

x

e f(x) với x 0

ư

β

Gọi Xi là số ngẫu nhiên có phân bố mũ, Ui là số ngẫu nhiên có phân bố đều trong

khoảng (0,1):

i

x

X

i

e

ư

β

Chú ý rằng nếu Ui phân bố đều trong (0,1) thì (1- Ui) cũng phân bố đều trong khoảng

(0,1) nên ta có thể viết:

Xi = - βlnUi

c Thuật toán tạo biến ngẫu nhiên có phân bố đều U(a,b)

Lấy U ~ U(0,1) Vậy: X = a + (b-a)U

d Thuật toán tạo biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn N(μ,σ2

)

Thuật toán tìm phân bố chuẩn khá phức tạp, tuy nhiên có thể áp dụng định lý giới hạn

trung tâm sau: Phân bố chuẩn có thể được coi là tổng của một số khá lớn các số ngẫu nhiên có

Ui có phân bố đều trong (0,1)

Kỳ vọng toán: μ1, μ2, , μN

Độ lệch trung bình bình phương σ1, σ2, , σN

Vậy ta có kỳ vọng toán của phân bố chuẩn μ = μ1N

Độ lệch trung bình bình phương của phân bố chuẩn σ = σ1N

Tóm lại khi tổng

N i

i 1

U

=

∑ ta có phân bố gần với phân bố chuẩn Trong thực tế thường lấy N

= 8 ữ 12 là đủ

e Thuật toán tạo biến ngẫu nhiên có phân bố Poisson gián đoạn, Poisson (λ)

B1- Lấy a = e- λ

, b = 1 và i = 0

B2- Lấy Ui+1~ U(0,1) và thay b bằng bUi+1 Nếu b < a thì lấy X = i, ngược lại thì chuyển

sang bước 3

B3- Thay i = i+1 và quay lại bước 2

Chú ý rằng điều kiện X = i chỉ xảy ra khi và chỉ khi có

Y 1 Y

+

≤ ≤

j

j

ln U 1

Y = ư ~ exp o( )

λ β và là các số ngẫu nhiên độc lập

g Thuật toán tạo biến ngẫu nhiên có phân bố đều gián đoan DU(i,j)

Lấy U~U(0,1) Vậy: X = i + (j – i + 1)U

f Thuật toán tạo biến ngẫu nhiên có phân bố Bernoulli(p)