ltđh dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm

CHUYÊN LUY N THI T T NGHI P THPT

Môn: TOÁN

Chuyên đ : D A VÀO TH BI N LU N S NGHI M

C A PH NG TRÌNH

Dùng đ th hàm s gi i bài toán bi n lu n ph ng trình trong nhi u tr ng h p s đ n gi n

h n

II KI N TH C C B N

- D a vào nh n xét “S nghi m c a ph ng trình f(x) = g(x) chính là s giao đi m c a hai

đ ng y = f(x) và y = g(x), bài toán bi n lu n ph ng trình trong nhi u tr ng h p có cách gi i

đ n gi n, rõ ràng n u d a vào các đ th đã bi t c a đ ng cho tr c (th ng d a vào k t qu

c a v đ th hàm s trong các ph n tr c)

- đ m đúng s giao đi m c a hai đ ng y = f(x), y = g(x) ng i ta s d ng đ n các đi m

t i h n, và các v trí t i h n c a các đ ng (th ng là các v trí mà các đ ng ti p xúc v i nhau)

Vì th các k t qu trong m c này có liên quan đ n các k t qu v tính ti p xúc c a các đ ng

Xét các thí d sau đây:

Thí d 1:

1 Kh o sát và v đ th hàm s y = 4x3

- 3x

2 Bi n lu n s nghi m c a ph ng trình theo m 4 x3−3 x = m

3 Ch ng minh r ng ph ng trình 4x3 - 3x = 1 x− 2 có 3 nghi m

Gi i :Ta có: y’ = 12x2 - 3, v y có b ng bi n thiên sau:

2

2

+∞

y 1 -1

y’’ = 24x

T đó suy ra đ th có d ng sau (các b n t v đ th ):

S nghi m c a ph ng trình 4 x3−3 x = chính là s giao đi m c a hai đ ng y = m

4 x3−3 x và y = m T đ th câu 1 suy ra đ th c a y = 4 3

3

x − x nh sau (các b n t v

đ th ):

y = m là đ ng th ng song song v i tr c hoành và c t tr c tung t i đi m có tung đ = m, nên t đ th suy ra:

- N u m > 0: Có 2 nghi m

- N u m = 0: Có 3 nghi m

- N u -1 < m < 0: Có 4 nghi m

- N u m = -1: Có 2 nghi m

- N u m < -1: Vô nghi m

3 th y = 4x3 - 3x đã có câu 1 Xét hàm s :

y = 1 x− 2

Ta th y nó có th vi t d i d ng y≥0

x2 + y2 = 1

T đó suy ra đ th c a y = 1 x− 2 là n a đ ng tròn tâm t i g c to đ bán kính 1 (l y

n a trên ng v i y≥0) (các b n t v đ th )

T đó suy ra ph ng trình 4x3

- 3x = 1 x− 2 có 3 nghi m phân bi t => đpcm

Thí d 2: Tìm m đ ph ng trình 4 3

3 1

x − x − =mx− có b n nghi m phân bi t m

Làm t ng t nh ví d 14, ta th y đ ng cong y = 4 3

3 1

x − x − có đ th nh sau (t v

đ th )

ng th ng y = mx - m = m(x - 1) v i m i m luôn đi qua đi m A(1,0) và có h s góc =

m Xét hai v trí t i h n c a h đ ng th ng y = m(x-1)

Tr c h t là đ ng th ng qua A (1,0) và B(0, -1) ng th ng này có h s góc m1 = 1

Th hai xét ti p tuy n v i đ ng cong y = 4 3

3

x − x v qua A Rõ ràng ti p tuy n này

ti p xúc v i nhánh c a đ ng cong v i x < 0 (khi đó y = -4x3

+ 3x) G i x0 là hoành đ c a ti p

đi m (x0 < 0) ,và m2 là h s góc c a ti p tuy n Ta có:

-4x30 + 3x0 =m2(x0 - 1) (1) -12x20 + 3 = m2 (2)

x0 < 0 (3) Thay (2) vào (1) vì đi đ n h

4x30 - 6x20 + 1 = 0

m2 = -12x20 + 3

x0 = < 0

x0 = 1 3

2

−

m2 = 6 3 9−

Ph ng trình đã cho có 4 nghi m khi và ch khi đ ng th ng y =m(x-1) n m gi a hai

đ ng th ng t i h n trên (d nhiên không tính t i hai đ ng ch n trên, và ch n d i y)

Nói cách khác: 1 < m < 6 3 - 9 là các giá tr c n tìm c a tham s m

ú

Thí d 3 ( i h c và Cao đ ng kh i A - 2002)

1 Kh o sát và v đ th y = -x3

+ 3x2 (C)

2 Tìm k đ ph ng trình -x3

+ 3x2 + k3 - 3k2 = 0 có 3 nghi m phân bi t

1 Ta có y’ = -3x2 + 6x, ’ = 6 +6 à có ng bi n thiên sau:

Bài gi i:

y’ - x v b

y’ - 0 + 0 - y’’ 0 4

th c a (C) nh sau (t v đ th )

i m hân b a vào đ th c a (C) khi và ch khi

T (2) và l c a (C) câu 1 trên suy ra

s k là:

-1 < k < 0; 0 < k < 2, 2 < k < 3

NHÀ

2 Ta th y:

-x3 + 3x2 + k3 - 3k2 = 0

ú -x3

+ 3x2 = -k3 + 3k2 (1)

T (1) suy ra (1) có 3 ngh p i t (d

0 < -k3 + 3k2 < 4 (2)

i d a vào đ th -1 < k < 3

k≠ 0, k ≠ 2

V y các giá tr c n tìm c a tham

III BÀI T P V

Bài 1 Cho hàm s : y=x3−4x2+4x,đ th (C) Bi n lu n theo k s giao đi m c a đ th (C)

v i đ ng th ng y=k

Bài 2: ( i h c, Cao đ ng kh i A n m 2006)

1 Kh o sát và v đ th hàm s y = 2x3

– 9x2 + 12x – 4 (C)

2 Tìm m đ PT

2 x3−9 x2+12 x = m

Bài 3: Bi n lu n theo a s nghi m c a ph ng trình :

2

2 | | 3

| | 1x −

x x

a

− + =

Bài 4: 1 Kh o sát và v đ th c a hàm s

2

( 1) 2

y x

= x+ +

2 Bi n lu n theo tham s m v s ngh c a ph ng trình sau:

i m

2

(x+1) −m x | + =2 | 0

Bài 5: Cho hàm s y= − +x3 3x− 2

1 Kh o sát và v đ th (C) c a hàm s

2 Bi n lu n theo m s nghi m c a ph :

2 log+ m=0

ng

ng trình

3 3x

v i m là tham s d

Bài 6: Cho hàm s y=x3+3x2−9x+ (m là tham s ) m

1 Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s khi m = 6

2 V i nh ng giá tr nào c a m thì ph ng trình x3+3x2−9x+ =m 0có 3 nghi m phân bi t

Bài 7: Tìm nh ng giá tr c a t đ ph ng trình

2 sin 1 sinx 2 t

x+

= +

có đúng hai nghi m thu c kho ng [0; ]