KHOẢNG HỘI TỤ CHUỖI LUỸ THỪA --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
BÁN KÍNH HỘI TỤ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
MIỀN HỘI TỤ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CÔNG THỨC BÁN KÍNH HỘI TỤ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
TÍNH CHẤT CHUỖI LUỸ THỪA -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CHUỖI TAYLOR – CHUỖI MACLAURINT ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
PHƯƠNG PHÁP KHAI TRIỂN TAYLOR, MACLAURINT -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
PHƯƠNG PHÁP KHAI TRIỂN MAC – LAURINT -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CHUỖI SỐ PHỨC -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK TOÁN 4 CHUỖI VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN • BÀI 2: CHUỖI LUỸ THỪA • TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (3/2006) NỘI DUNG 2– CHUỖI LUỸ THỪA – BÁN KÍNH & MIỀN HỘI TỤ 3– CÔNG THỨC BÁN KÍNH HỘI TỤ 4– TÍNH CHẤT CHUỖI LUỸ THỪA 5– CHUỖI TAYLOR 6– KHAI TRIỂN HÀM THÀNH CHUỖI TAYLOR 7– CHUỖI LUỸ THỪA PHỨC 1– TỔNG QUAN CHUỖI HÀM TỔNG QUAN VỀ CHUỖI HÀM Dãy số {u n }, n = 1, 2 …, u n ∈ R ⇒ Chuỗi số Σu n Miền hội tụ: Tập hợp giá trò x để chuỗi số Σu n (x) hội tụ Dãy hàm {u n (x)}, n = 1, 2 …, x ∈ D ⇒ Chuỗi hàm Σu n (x) Miền hội tụ đơn giản, dễ tìm Có thể đạo hàm, tích phân chuỗi Khai triển hàm f(x) thành chuỗi luỹ thừa CHUỖI LUỸ THỪA ( ) ∑ ∞ = − 0 0 n n n xxa ( ) ( ) = = ∫ ∑∑ ∞ = ∞ = b a n n n n dxxuxu dx d 00 , VD: 1 + x + x 2 + … = Σx n , x ∈ R VD: ∑ ∞ = 0n nx e VD: ∑ ∞ = 1 1 n x n CHUỖI LUỸ THỪA Chuỗi luỹ thừa Σ n=0 a n (x – a) n , a 0 , … a n … ∈ R: hệ số Trường hợp đặc biệt: a = 0 ⇒ Σ a n x n : tâm tại x = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∞ = + +− =+ + +− ++ + − 0 12 31 12 31 3 3 2 1 n n nn n nn xxx e VD: Nhận dạng chuỗi luỹ thừa, chỉ ra hệ số a n của chuỗi ( ) ∑ ∞ = =+++++ 0 2 1 n nn xxxxd ( ) ∑ ∞ = + 0 1 1 n n x a ( ) ∑ ∞ = + 1 2 1 n n n x x b ( ) ( ) ∑ ∞ = + + − 1 2 1 1 1 n x n n c ( ) ∑ ∞ = =+++ 0 ?42 ?531 n xxxf KHOẢNG HỘI TỤ CHUỖI LUỸ THỪA Abel: Chuỗi luỹ thừa Σ a n x n (1) hội tụ tại x = x 0 ⇒ Chuỗi (1) hội tụ (tuyệt đối) tại mọi x với | x | < | x 0 | 0 x 0 −x 0 x 1 −x 1 |x| < |x 0 |: hội tụ R |x| > |x 1 |: phân kỳ |x| > |x 1 |: phân kỳ Σa n (x – a) n (1) hội tụ tại x = a + x 0 ⇒ (1) hội tụ (tuyệt đối) tại mọi x với | x –a | < | x 0 |. Tương tự, (1) phân kỳ tại x = a + x 1 ⇒ (1) phân kỳ tại mọi x với | x – a | > | x 1 | Hệ quả: (1) phân kỳ tại x = x 1 ⇒ phân kỳ tại mọi x: |x| > |x 1 | BÁN KÍNH HỘI TỤ Chuỗi luỹ thừa (*) hội tụ tuyệt đối khi | x–a | < R ⇔ a – R < x < a + R ( ) ( ) ( ) +−+=− ∑ ∞ = axaaaxa n n n 10 0 :* Luôn ∃ số R (0 ≤ R ≤ ∞) – bán kính hội tụ: (*) phân kỳ khi | x–a | > R ⇔ x < a –R hoặc x > a + R 2 đầu khoảng hội tụ x = a ± R: chưa kết luận Khoảng hội tụ Phân kỳ Phân kỳBán kính h/tụ a a + Ra – R MIỀN HỘI TỤ Chuỗi luỹ thừa tâm 0: Σ a n x n ⇒ Khoảng hội tụ | x | < R VD: Chuỗi luỹ thừa 1 + x + x 2 + … + x n + … = Σx n : R = ??? Miền hội tụ (MHT): Khoảng hội tụ | x – a | < R (chuỗi tâm 0: | x | < R) & Điểm biên khả nghi – khảo sát thêm: Tâm a: Σa n (x–a) n . MHTụ: [ ] RaRa +− , [ ) RaRa +− , ( ] RaRa +− , ( ) RaRa +− , a Ra − Ra + R ?? Tâm 0: Σa n x n . MHTụ: [ ] RR, − [ ) RR, − ( ) RR, − ( ] RR, − 0 R − R R ?? CÔNG THỨC BÁN KÍNH HỘI TỤ - ∑ ∞ = + 1 2 1 1:VD n n n x n ( ) ( ) ∑ ∞ = ⋅ +− 1 3 21 :VD n n nn n x hoặc n n n a R ∞→ = lim 1 ( ) n n n n n n a a R axa 1 0 lim 1 + ∞→ ∞ = =⇒− ∑ Chuỗi VD: Miền hội tụ các chuỗi luỹ thừa ∑∑∑ ∞ = ∞ = ∞ = 1 2 10 ,, n n n n n n n x n x x Điểm biên: t/chuẩn so sánh, Lebnitz, điều kiện cần Không dùng D’Alambert hoặc Côsi khi xét biên 1 biên: Phân kỳ đk cần ⇒ Biên kia: Phân kỳ (đk cần) 1 biên: Hội tụ tuyệt đối ⇒ Biên kia: Hội tụ tuyệt đối CHUỖI KHUYẾT LUỸ THỪA = += = = = ⇒++= + ∞ = ∑ knn kn a na a x x n x n n n n n 2,2 12,0 1 0 2 :VD 2 12 4 2 1 2 hoặc ∀ N 0 ∃ n ≥ N 0 : a n = 0 ⇔ Khuyết luỹ thừa Hướng giải quyết thực tế: Đổi biến ??? 32 :VD 75 3 1 12 =+++= ∑ ∞ = + t xx x n x n n biếnĐổi Chuỗi chỉ chứa luỹ thừa bậc chẵn → Đổi biến Chỉ luỹ thừa bậc lẻ: Áp dụng trực tiếp tiêu chuẩn D’Alambert hay Côsi cho chuỗi trò tuyệt đối Σ |a n (x–a) n | TÍNH CHẤT CHUỖI LUỸ THỪA Hàm f(x) = Σ a n x n (1) với khoảng hội tụ (–R, R) (R > 0) VD: Tính tổng chuỗi ( ) ( ) ( ) ∑∑ ∞ = ∞ = +== 0 1 0 1, n n n n xnxSxxS Trong khoảng hội tụ (–R, R): Có quyền đạo hàm, lấy tích phân trên đoạn [α, β] ⊆ (–R,R). Đồng thời, đạo hàm tổng = tổng đạo hàm, tích phân Σ = Σ tích phân ( ) ∑∑∑ ∞ = − ∞ = ∞ = == 1 1 00 ' n n n n n n n n n xnaxaxa dx d ∑ ∫∫ ∑ ∞ = ∞ = = 00 nn n n dxxa β α β α Trên miền hội tụ: Hàm f(x) xác đònh và liên tục . ) ∑ ∞ = − =+ − +−+−= 0 2 242 !2 1 !2 1 !4! 2 1cos n n n n n n x n xxx x ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∞ = ++ + − =+ + − +−+−= 0 121253 !12 1 !12 1 !5!3 sin n n n n n n x n xxx xx ( ) ( ) ∑ ∞ = =+++++= 0 2 242 !2!2 !4! 2 1cosh n nn n x n xxx x. TOÁN 4 CHUỖI VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN • BÀI 2: CHUỖI LUỸ THỪA • TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (3/2006) NỘI DUNG 2– CHUỖI LUỸ THỪA – BÁN KÍNH & MIỀN HỘI TỤ 3– CÔNG THỨC BÁN KÍNH HỘI TỤ 4 TÍNH. = += = = = ⇒++= + ∞ = ∑ knn kn a na a x x n x n n n n n 2,2 12,0 1 0 2 :VD 2 12 4 2 1 2 hoặc ∀ N 0 ∃ n ≥ N 0 : a n = 0 ⇔ Khuyết luỹ thừa Hướng giải quyết thực tế: Đổi biến ??? 32 :VD 75 3 1 12 =+++= ∑ ∞ = + t xx x n x n n biếnĐổi Chuỗi