Phương pháp nối suy newton cách đều và không cách đều potx

LÝ THUYẾTĐa thức nội suy Newton Ưu điểm của công thức nội suy newton là khi tăng số nút nội suy, ta không cần tính lại mà chỉ cần bổ sung thêm.. Với các bảng số liệu quá dài, người ta dù

Bài tiểu luận này được hoàn thành dựa trên kết quả tìm hiểu và học tập hết sức nghiêm túc cùng với tinh thần ham học hỏi, tìm tòi, nghiên cứu của cả nhóm chúng em trong suốt thời gian qua Mặc dù

đã rất cố gắng song do hạn chế về kiến thức nên có thể bài viết của chúng em sẽ còn có nhiều thiếu sót, NÊN CHÚNG EM RẤT MONG NHẬN ĐƯỢC ĐÓNG GÓP Ý KIẾN TỪ THẦY VÀ CÁC BẠN!

CHÚNG EM XIN CHÂN THÀNH CÁM ƠN!

Mục lục

A LÝ THUYẾT

Đa thức nội suy Newton

Ưu điểm của công thức nội suy newton là khi tăng số nút nội suy, ta không cần tính lại mà chỉ cần bổ sung thêm Trái lại với công thức lagrange ta phải làm lại hoàn toàn Với các bảng số liệu quá dài, người ta dùng công thức nội suy tiến để nội suy ở đầu bảng, công thức nội suy lùi để nội suy ở cuối bảng

1 Tỷ hiệu

Giả sử hàm số yi = f(x), i=0,1,2,… và ∆xi = xi+1 – xi ≠0 ( i = 0,1,2,…) không bằng nhau

1

1 1

1

−

−

=

−

−

=

+

+ +

+

x x

y

y x

x

x f x

f x

x

f

i i

i i

i i

i i

i i

Tỷ hiệu

Gọi là tỷ hiệu cấp một cảu hàm số f(x) Tương tự các định nghĩa tỷ hiệu cấp hai của hàm số f(x):

2

1 2

1 2

−

−

=

+

+ +

+ +

x x

x x f x

x f x

x

x

f

i i

i i i

i i

i i

Tổng quát, tỷ hiệu cấp n của hàm số f(x) nhận được từ tỷ hiệu cấp n-1 của hàm số f(x) nhờ công thức truy hồi:

i n i

n i i

n i x

n i n i i

i

x x

x x

f x

x f x

x x

x

f

−

−

=

+

− + +

+ +

− +

, , ,

, , ,

,

(n=1,2,…; i = 0,1,2,…) Chú ý rằng tỷ hiệu là các hàm số đối xứng của các đối số chẳng hạn

i i

i i i

i

i i

i

x x

y

y x

x

y y

x

x

1

1 1

1

+

+ +

+

−

−

=

−

−

=

Một tính chất đáng chú ý cuả tỷ hiệu là: Tỷ hiệu cấp n của một đa thức bậc n bằng hằng số; tỷ hiệu cấp lớn hơn n của một đa thức bậc n bằng 0 Vì tỷ hiệu cấp 1, giống như đạo hàm cấp 1, tỷ hiệu cấp n giống như đạo hàm cấp n, nên tỷ hiệu cấp n của một đa thức bậc n bằng hằng số, vì đạo hàm cấp n của một đa thức bậc n bằng hằng số …

2 Đa thức nội suy newton: trường hợp nội suy không cách đều

f = i; = 0 , Giả sử trên đoạn [a,b] cho n+1 giá trị khác nhau của các đối số x

0,x1,x2,…xn

( các xi không cách đều) và biết, đối với hàm số y = f(x), những giá trị tương ứng:

bây giờ, ta xây dựng đa thức nội suy Pn(x), bậc không cao hơn n thoả mãn điều kiện:

Pn i = i; = 0 ,

Theo cách của Newton ta có:

0

0 0

,

x x

y x f x

x f

−

−

=

B1: tính tỷ hiệu theo công thức:

+ tỉ hiệu cấp 1

( ) x y0 ( x x0) f [ x , x0]



0

1 0 0

1

0

, ,

,

,

x x

x x f x x f x

x

x

f

−

−

= + Tỷ hiệu cấp 2

Và f [ x0, x1] [ = f x0, x1] + ( x − x1) f [ x0, x , x1] [ x0, x1]

f

Thay vào công thức tính tỷ hiệu cấp 2 ở trên ta được ( ) x y0 ( x x0) f [ x0, x1] ( x x0)( x x1) f [ x , x , x1]

Tiếp tục quá trình trên ta sẽ tính hết tỷ hiệu của n đối số

Sau đó ta thay vào công thức sau thì sẽ ra được đa thức cần tìm

n

x x x f x x x x

x

x

x x x f x x x x x

x f x x y

x

P

,

,

, , ,

1 0 1 1

0

2 1 0 1 0

1 0 0

0

−

−

−

−

+

+ +

−

− +

− +

=

Vậy (1) là đa thức nội suy tiến newton của hàm số f(x)

Chú ý khi khai triển công thức g = (x – a1)(x – a2)(x – a3)…(x – an)

Các hệ số tính theo công thức sau:

0

số hạng

1

số hạng

2

số hạng

Xn-3 là – (a1a2a3 + a1a2a4 + …+ an-2an-1an) có Cn

3

số hạng

-Xn-i là (-1)i(a1a2….ai + a1a2….ai+1 +… + an-i+1… an) có Ci

n số hạng

n số hạng

Vì tính duy nhất của đa thức nội suy nên đa thức này hoàn toàn giống đa thức nội suy lagrange, chỉ khác về cách xây dựng cách xây dựng này dựa vào bảng các tỷ hiệu của hàm số f(x), nên các đa thức được thành lập dần theo các nút nội suy và khi thêm nút nội suy, không phải làm lại từ đầu như đối với đa thức nội suy

lagrange

Đa thức (1) gọi là đa thức nội suy tiến xuất phát từ nút x0 của hàm số f(x) Rn(x) xác định bởi:

Là sai số nội suy

Bằng cách làm tương tự ta xây dựng được đa thức nội suy newton lùi xuất phát từ nút xn của hàm số f(x)

(1)

(2)

( ) ( ) [ ] ( )( ) [ ]

2 1 1

1

, , , ,

, , ,

x x x

x f x x x x x

x x x

x x x f x x x x x

x f x x y x

P

n n i

n n

n n n n

n n

n n n

n

−

−

−

−

−

−

−

−

−

− +

+

−

− +

− +

=

Vậy (2) là đa thức nội suy newton lùi của hàm số f(x).

Và đa thức nội suy newton lùi có sai số là:

( ) ( x x xn)( x xn 1) ( x x1)( x x0) f [ x , xn, xn 1, , x1, x0]

n

Chú ý:

• Công thức đa thức nội suy newton tiến thuận lợi cho việc nội suy giá trị của hàm số f(x) tại các điểm x gần với x0 còn công thức nội suy newton lùi thường dùng để nội suy giá trị của hàm số f(x) taị các điểm x gần với xn

• Khi đổi vị trí các đối số trong bảng giá trị thì đa thức thu được vẫn không đổi vì các công thức tỷ hiệu đã cho là những công thức không có thứ tự như đa thức nội suy cách đều mà

ta sẽ tìm hiểu sau đây

• Newton tiến hay lùi hoàn toàn giống nhau

3 Trường hợp đa thức nội suy cách đều

a Hiệu hữu hạn

Giả sử hàm số y = f(x) được cho dưới dạng bảng

Trong đó yi = f(xi), i = 0,1,2,… và các nút cách đều nghĩa là xi = x0 + ih

Hay xi+1 – xi = h ( h là hằng số > 0, i = 0,1,2…)

Khi đó: ∆yi = yi+1 – yi hữuhạn điểm tiến cấp của một hàm số f(x) tại điểm xi

2

∆ yi = yi+1 – yi gọi là hữu hạn tiến cấp hai của hàm số f(x) tại điểm xi

Tổng quát: ∆nyi = ∆(∆n− 1

yi) ∆n−1

yi+1 - ∆n−1

yi gọi là tỷ hiệu hữu hạn tiến cấp n của hàm số f(x) tại điểm xi

Bây giờ, ta định nghĩa các hiệu hữu hạn lùi : yi = yi – yi-1 gọi là hiệu hữu hạn lùi cấp 1 của hàm số f(x) tại điểm xi

2yi =(yi) = yi - yi-1 gọi là hiệu hữu hạn lùi cấp 2 của hàm số f(x) tại điểm xi.

Tổng quát: nyi = (n-1yi) = n-1yi - n-1yi-1 gọi là hiệu hữu hạn lùi cấp n của hàm số f(x) tại điểm xi

Giống tỷ hiệu, hiệu hữu hạn có cùng tính chất đáng chú ý sau: hiệu hữu hạn tiến hoặc lùi cấp n của một đa thức bậc n bằng hằng số; hiệu hữu hạn tiến hoặc lùi cấp lớn hơn n của một đa thức bậc n bằng không

Dựa vào định nghĩa các tỷ hiệu, hiệu hữu hạn tiến và hiệu hữu hạn lùi, dễ dàng thiết lập được

những công thức liên hệ sau

1

0 , =∆ =∇

∫

2 2 0 2 2

1

0

! 2

! 2 ,

,

h

y h

y x

x

∫

[ ] n

n n n

n n

h n

y h

n

y x

x

x

!

! , ,

1

0

∇

=

∆

=

∫

(các công thức thể hiện :” tiến ở cực trái ,lùi ở cực phải”)

2 0 1

1 2

1 0 2

1 2

1 0

! 2 2

, ,

, ,

h

y h

h

y h y x

x

x x x

x x

x

−

−

∫

Chứng minh bằng quy nạp:giả sử công thức đúng với (n-1):

n

n n

n n

n

n n

n n

n n

n

h n

y h

n

y y

h n

y h

n

y x

x

x x

x x x x

x x x

x x

!

! )!

1 ( )!

1 ( 1

, , , , ,

, , ,

,

0

1 1 1 1

0 1 1

1 1 0

0 1

1 1

0 1

0 2

0

∆

=

∆

−

∆

=













−

∆

−

−

∆

−

=

=

−

−

=

−

−

−

−

−

−

−

−

∫

b Đa thức nội suy Newton :trường hợp các nút nội suy cách đều

Vì các nút nội suy cách đều chỉ là trường hợp đặc biệt của các nút nội suy cách đều , do đó có thể

hợp các nút nội xi suy cách đều : x i =x0 +ih , i=o,n,ta chỉ cần thay trong (4.20):

n f x x x x

x x x x x

x x x f x x x x x x f x x y x P

, , , ) ) (

)(

(

, , ) )(

( , ) ( )

(

1 0 1 1

0

2 1 0 1 0

1 0 0 0

−

−

−

− +

+ +

−

− +

− +

=

các tỷ hiệu bằng các hiệu hữu hạn tiến tương ứng của (4.24),ta có :

n

n n i

n

h n

y x

x x x x x x

x

h

y x x x x h

y x x y

x

p

! ) ) (

) (

)(

(

! 2 ) )(

( )

( )

(

0 1 1

0

2

2 0 1 0

0 0 0

∆

−

−

−

−

+

+ +

∆

−

− +

∆

− +

=

−

ht

x

x= 0+

x x

t= − 0

⇒

với h là khoảng cách giữa các nút nội suy

) ( )

x

x− = ⇒ − i = − + = − − = − ,

x x

h − i = −

,thế vào trên ta có đa thức NT theo biến t:

0

2 0

0 0

!

) 1 ) (

) (

2 )(

1 (

! 2

) 1 ( )

( ) (

y n

n t i t t

t t

y t

t y t y ht x p x p

n

n

∆ +

−

−

−

= +

+ +

∆

− +

∆ +

= +

=

suy xách đều

Hoàn toàn tương tự,ta nhận được công thức của đa thức nội suy Newton lùi (NLCD) xuất

1 1

2 1 1

1 0

, , , , ) ) (

) (

)(

(

, , ) )(

( ,

) ( )

(

x x x

x f x x x x x

x x x

x x x f x x x x x

x f x x y

x

p

n n i

n n

n n n n n

n n n n

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

+

+

+

−

− +

− +

=

n n

n n

n n

n n

y n

n t i n t t

t t

y t

t y t y ht x p x p

∇

− +

− + +

+ +

+ +

∇

+ +

∆

=

= +

=

!

) 1 ) (

) (

2 )(

1 (

! 2

) 1 ( )

( )

) (t n i

h

x

x− i = + −

⇒

− +

= +

−

= +

=x0 ih (x nh) ih x h(i n)

Áp dụng công thức này ,thế vào ta có :x−x n =ht,x−x n−1 =h(t+1),

), (

), , (

), 2

x

x− n− = + − i = + − − = + −

c Sai số của đa thức nội suy Newton trong trường hợp các nút nội suy cách đều

ih

x

x i = 0 +

đều xi: (i=0,n).

) (t i

h

x

x− i = −

,

x x

t= − 0

thay vào (4.10) ta nhận được công thức về sai số của đa thức nội suy Newton

tiến xuất phát từ nút x0 của hàm số f(x) trong trường hợp các nút nội suy cách đều:

) ) (

1 ( )!

1 (

) ( )

n

c f h x

+

Trong đó: c là giá trị trung gian giữa các nút nội suy x0,x1,…,xn và điểm x

x x

t= − n

;trong đó (4.10) ta nhận được công thức về sai số của

cách đều :

) ) (

1 ( )!

1 (

) ( )

n

c f h x

+

Trong đó c là giá trị trung gian giữa các nút nội suy x0,x1,…,xn và điểm x

1 1 0

h

n n

h

+ +

+

→

=

∆

Nên ta có thể xem:

0

1 )

1

+ + ≈ ∆

n

n n

h

y c

f

Và (4.27) có dạng tiến :

0

1

)!

1 (

) ) (

1 ( )

n

n t t

t x

+

−

−

≈

Tương tự ,(4.28)có thể viết dưới dạng lùi:

n

n

n

n t t

t x

)!

1 (

) ) (

1 ( )

+

+ +

≈

B BÀI TẬP

Bài 1: Từ bảng số liệu sau đây hãy xây dựng đa thức nội suy newton không cách đều

Tính giá trị nội suy tại x = 0

Giải

+ Theo phương pháp nội suy newton tiến không cách đều

Vì ta có 4 điểm nội suy nên hàm nội suy là cấp 3, vậy ta có tỉ hiệu cấp 3

Áp dụng công thức tính tỉ hiệu ta có:

Tỉ hiệu cấp 1:

f[x0,x1] = (y1 – y0)/(x1 – x0) = -48 f[x1,x2] = (y2 – y1)/(x2 – x1) = 0 f[x2,x3] = (y3 – y2)/(x3 – x2) = 492

Tỉ hiệu cấp 2:

f[x0,x1,x2] = (f[x1,x2] - f[x0,x1])/(x2 – x0) = 12 f[x1,x2,x3] = (f[x2,x3] - f[x1,x2])/(x3 – x1) = 82

tỉ hiệu cấp 3:

f[x0,x1,x2,x3] = (f[x1,x2,x3] - f[x0,x1,x2])/(x3 – x0) = 10 tổng hợp lại ta được bảng sau:

n x y tỉ hiệu cấp 1 tỉ hiệu cấp 2 tỉ hiệu cấp 3

Sau khi tính được các tỉ hiệu ta thay vào công thức sau:

f(x) = y0 + (x-x0)f[x0,x1] + (x-x0)(x-x1)f[x0,x1,x2] + (x-x0)(x-x1)(x-x2)f[x0,x1,x2]

+(x-x0)(x-x1)(x-x2)(x-x3)f[x0,x1,x2,x3]

= 43 - (x+2)48 + (x+2)(x+1)12 +(x+2)(x+1)(x-2)10

= 10x3 + 22x2 – 52x -69

 f(0) = -69

{ ta có thể sử dụng excel để khai triển các đa thức, tính các hệ số như sau:

Hệ số bậc 0 Hệ số bậc 1 Hệ số bậc 2 Hệ số bậc 3 Các tỉ hiệu

-69 -52 22 10

Hoặc ta có thể dùng vinacal để tính nội suy tại điểm x0 = 0 sau khi đã có các tỉ hiệu

Sau khi đã tính các tỉ hiệu xong ta có bảng sau:

n x y tỉ hiệu cấp 1 tỉ hiệu cấp 2 tỉ hiệu cấp 3

Rồi ta áp dụng thuật toán:

Gán ban đầu 1B, 0A, điểm cần tínhD rồi thực hiện vòng lặp:

0: X=Ans : 1: C=Ans : B = B(D-X) : A=A+BC

số 0 chính là X=xi, số 1 chính là C= tỉ hiệu tương ứng

Cuối cùng A + y0 sẽ là giá trị f(x0) cuối cùng cần tìm.

Áp dụng cho ví dụ trên ta có:

Ta gán 1B, 0A, 0D

-2: X=Ans : -48: C=Ans : B = B(D-X) : A=A+BC =

-1 = 3 lần bấm 12 = 4 lần

2 = 3 lần bấm 10 = 4 lần

A =A+43 thì ta sẽ được kết quả là -69

+ Theo phương pháp nội suy newton lùi không cách đều

Vì ta có 4 điểm nội suy nên hàm nội suy là cấp 3, vậy ta có tỉ hiệu cấp 3

Áp dụng công thức tính tỉ hiệu ta có:

Tỉ hiệu cấp 1:

f[x3,x2] = (y2 – y3)/(x2 – x3) = 492 f[x2,x1] = (y1 – y2)/(x1 – x2) =0

f[x1,x0] = (y0 – y1)/(x0 – x1) =-48

Tỉ hiệu cấp 2:

f[x3,x2,x1] = (f[x3,x2] - f[x2,x1])/(x1 – x3) =82 f[x0,x1,x2] = (f[x2,x1] - f[x1,x0])/(x0 – x2) = 12

Tỉ hiệu cấp 3:

f[x3,x2,x1,x0] = (f[x4,x3,x2] - f[x3,x2,x1])/(x0 – x3) = 10

Tổng hợp lại ta được bảng sau:

2 -5 492

5 1471

Tỉ hiệu cấp 1 Tỉ hiệu cấp 2 Tỉ hiệu cấp 3

Sau đó ta thay các tỉ hiệu vào công thức nội suy lùi ta được:

f(x) = y4 + (x-x3)f[x3,x2] + (x-x3)(x-x2)f[x3,x2,x1] + (x-x3)(x-x2)(x-x1)f[x3,x2,x1,x0] = 1471 + (x-5)492 + (x-5)(x-2)82 + (x-5)(x-2)(x+1)10

= -69 - 52x + 22x2 + 10x3

 f(0) = -69

cách bấm máy Vinacal

Ta gán 1B, 0A, 0D

5: X=Ans : 492: C=Ans : B = B(D-X) : A=A+BC =

2 = 3 lần bấm 82 = 4 lần

-1 = 3 lần bấm 10 = 4 lần

A =A+1471 thì ta sẽ được kết quả là -69

Bài 2: từ bảng số liệu sau đây:

Hãy xây dựng đa thức nội suy không cách đều Tính điểm nội suy tại x = 4

Giải

Vì ta có 4 nút nội suy nên ta có hàm nội suy cấp 3

Ta tính các tỉ hiệu như sau:

∆1y0 = y1 – y0 = -8

∆2y0 = y2 – y1 = 9

∆3y0 = y3 – y2 = -8 Tổng hợp lại ta được bảng số liệu sau:

x y ∆1y0 ∆2y0 ∆3y0

2 12

6 5 1 9

Thay vào công thức của nội suy newton cách đều tiến ta có:

f(t) = y0 + t∆y0 + t(t-1) 2!

0

2y

∆

+ t(t-1)(t-2) 3!

0

2y

∆

= 7 – 8t + t(t-1) !2

9

- t(t-1)(t-2) !2

8

hệ số bậc 0 hệ số bậc 1 hệ số bậc 2 hệ số bậc 3

12 -15,1667 8,5 -1,33333

= 12 – 15,1667t + 8,5t2 -1,333333t3

với x = 4  h

x x

t= − 0

với x0 = 2 và h = 2  t = 1  f(t) = 4

+ Nội suy newton lùi cách đều

Ta có các tỉ hiệu:

∆1y0 = y2 – y3 = -2

∆2y0 = y1 – y2 = 1

∆3y0 = y0 – y1 = -2 Tổng hợp lại ta được bảng sau:

∆1y0 ∆2y0 ∆3y0

Thay vào công thức của nội suy newton cách đều tiến ta có:

f(t) = y0 + t∆y0 + t(t-1) 2!

0

2y

∆

+ t(t-1)(t-2) 3!

0

2y

∆

= 7 – 2t + t(t-1) !2

5 0

- t(t-1)(t-2) 3!

33333 0

hệ số bậc 0 hệ số bậc 1 hệ số bậc 2 hệ số bậc 3

7 4,33333- 1 0,333333

= 7 – 3,16667t + 1,5t2 -0,333333t3

với x = 4  h

x x

t= − 0

với x0 = 2 và h = 2  t = 1  f(t) = 4

Bài 3: Từ Bảng số liệu sau đây:

Hãy xây dựng đa thức nội suy tiến newton , lùi newton (không cách đều) xuất phát từ nút x0=-1 ;x0=9 Tính giá trị nội suy tại x = 3 Và tính sai số

Giải

+ Theo phương pháp nội suy newton tiến không cách đều xuất phát từ nút x0=-1

Vì ta có 5 điểm nội suy nên hàm nội suy là cấp 4, vậy có tỷ hiệu cấp 4

Áp dụng công thức tính tỉ hiệu ta có:

Tỉ hiệu cấp 1:

f[x0,x1] = (y1 – y0)/(x1 – x0) =(5-6)/(0+1) = -1

f[x1,x2] = (y2 – y1)/(x2 – x1) = (7-5)/(4-0) = 0.5 f[x2,x3] = (y3 – y2)/(x3 – x2) = (3-7)/(6-4) = -2 f[x3,x4] = (y3 – y2)/(x3 – x2) = (6-4)/(3-2) = 1.6666667

Tỉ hiệu cấp 2:

f[x0,x1,x2] = (f[x1,x2] - f[x0,x1])/(x2 – x0) = 0.3 f[x1,x2,x3] = (f[x2,x3] - f[x1,x2])/(x3 – x1) = -0.41667 f[x2,x3,x4] = (f[x3,x4] - f[x2,x3])/(x4 – x2) = 0.733333

tỉ hiệu cấp 3:

f[x0,x1,x2,x3] = (f[x1,x2,x3] - f[x0,x1,x2])/(x3 – x0) = 0.11238 f[x1,x2,x3,x4] = (f[x2,x3,x4] - f[x1,x2,x3])/(x4 – x1) = 0.12778

tỉ hiệu cấp 4:

f[x0,x1,x2,x3,x4] = (f[x1,x2,x3,x4] - f[x0,x1,x2,x3])/(x4 – x0) = 0.0.23016 tổng hợp lại ta được bảng sau đây:

n x y tỉ hiệu cấp 1 tỉ hiệu cấp 2 tỉ hiệu cấp 3 tỉ hiệu cấp 4

3 6 3 -2 -0.41667 -0.10238

4 9 8 1.666667 0.733333 0.127778 0.023016

Sau đó ta thay vào công thức của đa thức nội suy không cách đều ta được:

P(x) = 6 + (x+1)-1 + (x+1)(x-0).0.3 + (x+1)x(x-4).-0.10238 + (x+1)x(x-4)(x-6).0.23016

Thông qua gài công thức trong excel ta được

HS 0 HS1 HS2 HS3 HS4

5 0,261905 0,929365 -0,30952 0,023016

= 0,23016x4 – 0,30952x3 + 0,929365x2 – 0,261925x + 5

Vậy giá trị nội suy tại x = 3 là : f(3) = 7,657142857

Hoặc ta có thể dùng vinacal để giải

-1 : X=Ans : -1 : C=Ans :B=B(D-C): A=A+BC =

0 = 2 lần bấm 0,3 = 4 lần

4 = 2 lần bấm -0,10238 = 4 lần

6 = 2 lần bấm 0,23015738 = 4 lần

A=A+6 ta sẽ được kết quả là 7,65713132

Ta tính sai số theo công thức

Rn(x) = (x – x0) (x – x1)… (x – xn-1) (x – xn)f[x0,x1,x2,…xn-1,xn]

ở đây ta có n = 4 nên R4 (3) = (3+1)(3-0)(3-4)(3-6)(9/319) = 216/319

+ Theo phương pháp nội suy newton lùi không cách đều

Vì ta có 5 điểm nội suy nên hàm nội suy là cấp 4, vậy có tỷ hiệu cấp 4

Áp dụng công thức tính tỉ hiệu ta có:

Tỉ hiệu cấp 1:

f[x4,x3] = (y3 – y4)/(x3 – x4) =(3-8)/(6-9) = 1,66667 f[x3,x2] = (y2 – y3)/(x2 – x3) = (7-3)/(4-6) = -2 f[x2,x1] = (y1 – y2)/(x1 – x2) = (5-7)/(0-4) = 1/2 f[x1,x0] = (y0 – y1)/(x0 – x1) = (6-5)/(-1-0) = -1

Tỉ hiệu cấp 2:

f[x4,x3,x2] = (f[x4,x3] - f[x2,x1])/(x2 – x4) = 0,733333 f[x3,x2,x1] = (f[x3,x2] - f[x2,x1])/(x1 – x3) = -4,41667 f[x0,x1,x2] = (f[x2,x1] - f[x1,x0])/(x0 – x2) = 3/10

Tỉ hiệu cấp 3:

f[x4,x3,x2,x1] = (f[x4,x3,x2] - f[x3,x2,x1])/(x1 – x4) = 0,127778

f[x3,x2,x1,x0] = (f[x3,x2,x1] - f[x2,x1,x0])/(x0 – x3) = -0,10238

Tỉ hiệu cấp 4:

f[x4,x3,x2,x1,x0] = (f[x4,x3,x2,x1] - f[x3,x2,x1,x0])/(x0 – x1) = 0,023015873 Tổng hợp lại ta được bảng sau:

0 -1 6 -1 0,3 -0,10238 0,023015873

1 0 5 0,5 -0,41667 0,127778

Ta được đa thức sau:

f(y) = 9 + (y-9)1,666667 + (y-9)(y-6)0,7333333 +

+ (y-9)(y-6)(y-4)0,127778 +(y-9)(y-6)(y-4)y0,13015873

Ta có thể sử dụng excel để tính các hệ số

HS 0 HS 1 HS 2 HS 3 HS 4

0 -216 114 -19 1 0,023015873

5 0,261905 0,929365 0,30952 0,023016