Sử dụng phương pháp nội suy B-Spline để đánh giá sai số trong miền tần số của bộ biến đổi tín hiệu DAC

Bộ chuyển đổi tín hiệu DAC có nhiệm vụ khôi phục tín hiệu từ dạng số sang tương tự. Việc khôi phục tín hiệu đó sẽ gây ra sai lệch thông tin mà tín hiệu cần truyền tải. Bài báo sử dụng phương pháp nội suy BSpline để phân tích sai lệch trên trong miền tần số, mà ở đó bản chất chuyển đổi tín hiệu từ dạng số sang tương tự được nhìn nhận như một phép nội suy hàm liên tục từ dãy các giá trị đo được của nó.

TẠP CHÍ KHOA HỌC & CƠNG NGHỆ CÁC TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT  SỐ 74 - 2009 SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY BSPLINE ĐỂ ĐÁNH GIÁ SAI SỐ TRONG MIỀN TẦN SỐ CỦA BỘ BIẾN ĐỔI TÍN HIỆU DAC USING BSPLINE INTERPOLATION METHOD TO ESTIMATE THE INFORMATION ERROR IN FREQUENCE DOMAIN OF DAC Nguyễn Doãn Phước Trường Đại học Bách khoa Hà Nội TÓM TẮT Bộ chuyển đổi tín hiệu DAC có nhiệm vụ khơi phục tín hiệu từ dạng số sang tương tự Việc khơi phục tín hiệu gây sai lệch thơng tin mà tín hiệu cần truyền tải Bài báo sử dụng phương pháp nội suy BSpline để phân tích sai lệch miền tần số, mà chất chuyển đổi tín hiệu từ dạng số sang tương tự nhìn nhận phép nội suy hàm liên tục từ dãy giá trị đo Kết nghiên cứu cho thấy biến đổi DAC làm việc theo nguyên tắc nội suy B pline bậc chẵn lớn có nguy tạo tín hiệu liên tục với sai số lớn miền tần số, chí tồn điểm tần số mà sai số thơng tin vô ABSTRACT The DAC is an equipment often used for reconstruction of continuous signal from its sample data This reconstruction procedure causes obviously an information error, which is carried out by the signal, such as the error in frequence domain The essences of this error have been analysed in this paper by using BSpline interpolation techniques to describe the mapping from digital values of a signal to its analog expresssion The obtained analysing results of this paper show that the using of DA converter, which is based on Bspline of even grade excepting the zerro grade, will bring a huge information error in frequence domain, even infinite in some frequences I ĐẶT VẤN ĐỀ X(j), Y(j) ký hiệu ảnh Fourier tín hiệu liên tục x(t) y(t) tính khoảng thời gian [0,NT] Hình mô tả nguyên lý làm việc thiết bị DAC để khơi phục tín hiệu liên tục x(t) từ dãy giá trị đo {xk}, k=0,1, , N, khoảng thời gian hữu hạn [0,NT], xk=x(kT) T chu kỳ trích mẫu tín hiệu Kết thu tín hiệu liên tục y(t) tín hiệu có quan hệ: y(kT) = x(kT), k=0,1, , N x(t) {xk} X*(j) X(j) y(t) DAC Y(j) Hình Mơ tả q trình khơi phục tín hiệu (1) với tín hiệu gốc x(t) Các khơi phục tín hiệu khác tạo đầu tín hiệu liên tục khác Hiển nhiên từ dãy hữu hạn {xk} giá trị ta có vơ số hàm liên tục y(t) thỏa mãn điều kiện (1), nên nguyên tắc có vơ số biến đổi DAC Vấn đề nghiên cứu đặt cần phải biến đổi DAC cho sai lệch thơng tin miền tần số tính theo:   sup Y( j)  X( j) trích mẫu Đã có nhiều cơng trình nghiên cứu vấn đề đặt [1,4,5] Tiếp cận theo hướng tương tự, với công cụ nội suy BSpline, báo xem q trình khơi phục tín hiệu biến đổi DAC việc nội suy đoạn dãy giá trị {xi}, i=m,m+1, ,2m1 với đoạn có m giá trị, để  N  hàm liên tục yi(t), i=1,  m (2) .,  N  , ký hiệu [x] phép tính  m  đủ nhỏ chấp nhận được, chẳng hạn dải sai lệch đủ nhỏ cho trước, lấy phần nguyên số thực x Sau “dán” hàm liên tục yi(t) với thành tín 19 TẠP CHÍ KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ CÁC TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT  SỐ 74 - 2009 1(t) ký hiệu hàm Heviside Với cơng thức rõ ràng hàm fm(t) nhận giá trị hiệu y(t) trơn, khả vi m1 lần Nguyên tắc nội suy BSpline mô tả quy trình khơi phục tín hiệu biến đổi DAC bậc m cực đại II MƠ HÌNH HĨA KHỐI DAC BẬC m BẰNG PHÉP NỘI SUY BSPLINE   e jT  Fm ( j)     jT  Cũng giống phương pháp nội suy nói chung, nội suy BSpline phương pháp xây dựng dựa hàm mơ hình cục bộ, gọi hàm BSpline gốc Ký hiệu hàm BSpline gốc bậc m fm(t), m=0,1, theo Bezier [1], [4], [6] tất hàm BSpline gốc có quan hệ truy hồi với sau: f0 (t)  1(t)  1(t  T) T m ta dịch fm(t) sang trái khoảng   T , 2 với x ký hiệu số nguyên nhỏ không nhỏ x, cho hàm zm(t) nhận có điểm cực đại gần đối xứng qua gốc (hình 3), chẳng hạn như: (4) * ký hiệu phép tích chập Các hàm BSpline gốc thỏa mãn: z0(t)=f0(t), z1(t)=f1(tT), z2(t)=f2(tT), supp f m (t)  0, mT  Vậy “dán” hàm zm(t) lại với để có y(t) thì: t tức fm(t)=0 t[0,mT] Hình minh họa hàm BSpline gốc bậc 0,1 T 1 f0(t) m 1 Ta sử dụng công thức mô tả hàm f m(t) để mơ hình hóa q trình biến đổi {xk}y(t) Nhằm có lượng thông tin entropie lớn khoảng cục [6], tức khoảng cục i=m,m+1, ,2m1 có tham gia nhiều hàm gốc fm(t), (3) f m (t)  f0 (t)*f m1(t) m 1 T có ảnh Fourier là: y(t)  N  a n z m (t  nT) (5) n 0 với an, n=0,1, , N số thực xác định từ xk, k=0,1, , N theo quan hệ (1) phải có f1(t) t t T T fk(t) z4(t) 2T f4(t) f2(t) t t T 2T Hình Mơ tả hàm gốc thích hợp cho việc mơ hình hóa 3T Hình Hàm BSpline gốc bậc 0,1 Thay điều kiện (1) vào (5), viết lại cho n=0,1, , N ta có N+1 phương trình Biểu diễn chung phương trình dạng ma trận, ta được: Từ hai công thức (3), (4) định nghĩa Bezier ta suy được: f m (t)  m  m1 T m1  (1)k k 0 (t  kT) m1(t  kT) k!(m   k)!  z m (0)  z m (  NT   a   x                    z (NT)  z (0)   a   x  m m N   N    a b A 20 TẠP CHÍ KHOA HỌC & CƠNG NGHỆ CÁC TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT  SỐ 74 - 2009 m 1 Suy ra: a  A 1b     e jT  2 Zm ( j(  k ))   e j 2  T  j(  k )T   T  ta được: m 1  G( j)   T  2 m 1 k  (  k ) T dm     dm        dm   T   m  d  k    k 2   T  Lại để ý tiếp m=0 thì: (6) công thức xác định vector tham số an, n=0,1, , N cho mơ hình (5) mơ tả q trình biến đổi {xk}y(t) Từ mơ hình (5) miền thời gian ta kiểm tra khối DAC với tín hiệu vào {xk} y(t) khâu tuyến tính (thỏa mãn nguyên lý xếp chồng), mơ tả hàm truyền G(s), tức mơ tả (hình 1): G( j)  Y( j) X* ( j) Y(j) ảnh Fourier y(t) X*(j) {xk} Vì có quan hệ (1) nên hai ảnh Fourier phải có tương quan Shannon:  2   TX* ( j)   Y  j(  k )  T  k    =  k  Zm ( j(  k T 2 N 1  jnT ))  a n e T n 0  1 e jT  sau:   e  Y( j)  Zm ( j)  a n e  T  jnT Zm ( j) 2 T  Zm ( j(  k )) T k   k  (8) n 0  jT 1 e j T N e j  a n e  jnT n 0  jT 1 e j T e j X* ( j)  e jT m=0 j (11) 2  k T  j  e jT (12) Cuối cùng, thay (12) vào công thức tổng quát G(j) ta đến hàm đặc tính tần số khâu chuyển đổi tín hiệu DAC với cấu trúc mơ tả hình 1, sau: dm     Y( j) dm    (13) G( j)  *  X ( j) dm   j m  d   e jT  Suy ra:  2 T so sánh (10) với (11) ta rút được: n 0 G( j)  G( j)  (7) Ngồi ra, từ (5) ta có: N  k N  jT j  Y( j)  Z0 ( j)  a n e  jnT ảnh Fourier suy từ (3) (4) với ảnh Fourier F0(j) hàm f0(j) là:  1 e Zm ( j)    jT (10) từ (8): m zm (t)  f m (t  ) với     T 2  jT  m 1  k  Zm(j) ảnh Fourier hàm gốc: F0 ( j)  G( j)  (9) Thay (7) vào (9) để ý rằng: 21 TẠP CHÍ KHOA HỌC & CƠNG NGHỆ CÁC TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT  SỐ 74 - 2009 Đó mơ hình tốn học biểu diễn q trình khơ phục tín hiệu {xk}y(t) miền tần số Khi m=3 thì: T    sin  3T G( j)     cos(T)  T    Khi m=4 thì: III ĐÁNH GIÁ SAI SỐ THƠNG TIN TRONG MIỀN TẦN SỐ Dựa vào hàm đặc tính tần (13) mơ tả chuyển đổi tín hiệu sốtương tự DAC miền tần số ta nhận thấy rằng: Khi m=0 ta có: G( j)  T 5  sin  6T  G( j)   T T   cos 5  cos(T)    Như tất điểm tần số T=(2k+1), hàm G(j) ứng với m=2 m=4 có giá trị  Suy tần số này, kết y(t) thu sau khôi phục tín hiệu có sai lệch tần số so với tín hiệu gốc x(t)  Tương tự ta có kết luận với m=6, 8, Điều việc sử dụng tất khối DAC bậc chẵn lớn làm cho sai lệch thông tin theo nghĩa (2) điểm tần số T=(2k+1)  T T T sin Khi m=1 thì: T    sin  G( j)  T  T      Khi m=2 thì: T 3  sin T   G( j)  T  T    cos   IV VÍ DỤ MINH HỌA Hình kết thực nghiệm minh họa kết luận nêu sai lệch thông tin miền Y(j) Y(j) 0.3 0.3 m=0 0.2 0.1 0.1  10 20 30 m=1 0.2 40  10 50 Y(j) 20 30 40 50 Y(j) 0.3 0.3 m=2 0.2 m=3 0.2 0.1 0.1  10 20 30 40  50 10 20 30 40 50 Hình Đồ thị ảnh Fourier tín hiệu liên tục thu với DAC bậc 0,1,2,3 22 TẠP CHÍ KHOA HỌC & CƠNG NGHỆ CÁC TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT  SỐ 74 - 2009 tần số tín hiệu gốc ban đầu: x(t)=e  t , t0  X( j)  V KẾT LUẬN Các khối DAC bậc m với nhiệm vụ khơi phục tín hiệu liên tục y(t) từ dãy hữu hạn giá trị trích mẫu {xk}, k=0, 1, ,N theo nguyên tắc (1), chu kỳ trích mẫu T đủ nhỏ, tạo ta sai số miền thời gian:  j Tín hiệu gốc trích mẫu với chu kỳ Tx=101s thành dãy {xk}, k=0, 1, ,7 Dãy lại tái tạo DAC bậc 0,1,2,3 theo công thức (5) (6) thành tín hiệu liên tục y(t) Tín hiệu liên tục y(t) sau tái tạo trích mẫu với chu kỳ trích mẫu Ty=102s thành dãy N=128 giá trị {yk}, k=0, 1, ,127 Áp dụng DFT [3] mà cụ thể thuật toán Fourier nhanh FFT [2] để tính ảnh Fourier dãy {yk} ta Y(jk), k=0, 1, ,127, với   sup y(t)  x(t) (14) t tỷ lệ nghịch với bậc m khối, tức với khối DAC có bậc cao, sai lệch thơng tin (14) miền thời gian nhỏ Nhận định dễ dẫn tới ngộ nhận cho sử dụng khối DAC cao, thông tin phục hồi xác Kết báo bất ngờ điều ngược lại Không phải xấp xỉ xem tốt miền thời gian theo nghĩa (14) tốt miền phức theo nghĩa (2) Thậm chí sử dụng khâu DAC bậc chẵn lớn m=2,4, , tín hiệu liên tục y(t) khơi phục chứa đựng sai lệch thơng tin miền tần số so với tín hiệu gốc vơ lớn   chu kỳ trích mẫu  NTy 0.64 miền tần số Đồ thị biên độ Y(j) tín hiệu liên tục y(t) biểu diễn hình Từ đó, lần ta thấy việc sử dụng DAC bậc gây sai lệch thông tin tần số lớn so với khối DAC bậc 0,1,3 lại TÀI LIỆU THAM KHẢO Horowitz L.L.; The Effects of Spline Interpolation on Power Spectral Estimation; IEEE Transaction on ASSP, 22, pp 2227 (1974) Brigham E.O.; Fast Fourier Transform; Verlag R.Oldenburg, München, Wien (1987) Marple S.L.; Digital Spectral Analysis with Application; Prentice Hall (1993) Isermann, R; Identifikation Dynamischer Systeme; Springer Verlag (1994) Rabiner L.R., Allen J.B.; Short Times Fourrier Analysis Techniques for FIR System Identification and Power Spectrum Estimation IEEE Transaction on ASSP, 27, pp 182192 (1979) Wu N.; An Explicit Solution and Data Extention in the Maximum Entropie Method; IEEE Trans on ASSP, 35, pp 486491 (1987) Địa liên hệ: Nguyễn Doãn Phước - Tel (04) 3868.0451, email: phuocnd-ac@mail.hut.edu.vn Bộ môn Điều khiển Tự động, Khoa Điện Trường Đại học Bách khoa Hà Nội - Số 1, Đại Cồ Việt, Hà Nội 23 ... cos(T)  T    Khi m=4 thì: III ĐÁNH GIÁ SAI SỐ THÔNG TIN TRONG MIỀN TẦN SỐ Dựa vào hàm đặc tính tần (13) mơ tả chuyển đổi tín hiệu số tương tự DAC miền tần số ta nhận thấy rằng: Khi m=0 ta... cos(T)    Như tất điểm tần số T=(2k+1), hàm G(j) ứng với m=2 m=4 có giá trị  Suy tần số này, kết y(t) thu sau khơi phục tín hiệu có sai lệch tần số so với tín hiệu gốc x(t)  Tương tự... HĨA KHỐI DAC BẬC m BẰNG PHÉP NỘI SUY BSPLINE   e jT  Fm ( j)     jT  Cũng giống phương pháp nội suy nói chung, nội suy BSpline phương pháp xây dựng dựa hàm mơ hình cục bộ, gọi