Phương pháp chứng minh (Methods of proof) pdf

TS. Trần Văn Hoài Phương pháp chứng minh (Methods of proo f) Methods of proof (các phương pháp chứng minh) 2008-2009 TS. Trần Văn Hoài Ý nghĩa ☞ Xây dựng những suy luận toán học đúng đắn (correctness) ☞ Hiểu các luật mà máy tính dùng để ➠ Suy diễn ➠ Kiểm chứng sự đúng đắn của chương trình ➠ Xây dựng định lý mới dùng suy diễn tự động Methods of proof (các phương pháp chứng minh) 2008-2009 TS. Trần Văn Hoài Những thành phần ☞ Định lý (theorem) = một phát biể u được chỉ ra là đúng ☞ Tiên đề (axiom) = giả thiết cơ sở của các cấu trúc toán học ☞ Giả thiết (hypothesis) = giả thiết của định lý Methods of proof (các phương pháp chứng minh) 2008-2009 TS. Trần Văn Hoài Sự chứng minh (pr oof) Rules of inference Hypotheses of theorem Proved theorem Theorem Axiom ☞ Quy tắc suy luận = cách rút r a kết lu ận từ các khẳng định khác ☞ Liên kết các bước chứng minh Methods of proof (các phương pháp chứng minh) 2008-2009 TS. Trần Văn Hoài Bổ đề và Hệ quả Lemma Theorem Corollary ☞ Bổ đề = Định lý đơn giản d ùn g tro ng chứng minh định lý ☞ Hệ quả = Mệnh đ ề được suy ra từ định lý đã được chứng minh Methods of proof (các phương pháp chứng minh) 2008-2009 TS. Trần Văn Hoài Ví dụ quy tắc suy luận (1) Ví dụ: ➳ Trời hôm nay không nắng (p), và lạnh hơn hôm qua (q) ➳ Chúng ta đi bơi (r) chỉ nếu trời nắng ➳ Nếu chúng ta không đi bơi thì chúng ta sẽ đi xem phim (s) ➳ Nếu chúng ta đi xem phim, thì chúng ta sẽ về khuya (t) ➳ Chúng ta về khuya 1. ¬p ∧ q Giả thiết 2. ¬p Đơn giản (dùng bước 1) 3. r → p Giả thiết 4. ¬r Modus tollens dùng bước 2 và 3 5. ¬r → s Giả thiết 6. s Modus ponens dùng bước 4 và 5 7. s → t Giả thiết 8. t Modus ponens dùng bước 6 và 7 Methods of proof (các phương pháp chứng minh) 2008-2009 TS. Trần Văn Hoài Các quy tắc suy luận (1) Quy tắc Hằng đún g Tên gọi p ∴ p ∨ q p → (p ∨ q) Luật cộng p ∧ q ∴ p (p ∧ q) → p Luật rút gọn p p → q ∴ q (p ∧ (p → q)) → q Modus ponens Methods of proof (các phương pháp chứng minh) 2008-2009 TS. Trần Văn Hoài Các quy tắc suy luận (2) ¬q p → q ∴ ¬p (¬q ∧(p → q)) → ¬p Modus to llens p → q q → r ∴ p → r ((p → q) ∧(q → r)) → (p → r) Tam đoạn luận giả định p ∨ q ¬p ∴ q ((p ∨ q) ∧ ¬p) → q Tam đoạn luận tuyển Methods of proof (các phương pháp chứng minh) 2008-2009 TS. Trần Văn Hoài Ngụy biện Ngụy biệ n giống như các quy tắc suy luận nhưng không dựa trên các hằng đúng Ví dụ: ➳ Nếu bạn làm hết các bài tập trong cuốn sách này (p) thì bạn sẽ học được toán rời rạc (q) ➳ Bạn đã học được toán rời rạc ➳ Bạn đã làm hết b ài tập trong cuốn sách n ày Suy luận sai vì có thể học toán rời rạc bằng các cách khác. Mệnh đề ((p → q) ∧q) → p khô ng ph ải là hằng đú ng Methods of proof (các phương pháp chứng minh) 2008-2009 TS. Trần Văn Hoài Các quy tắc suy luận có lượng từ Quy tắc Tên gọi ∀xP (x) ∴ P (c) nếu c ∈ U Universal instantiation P (c) với một c bất kỳ ∈ U ∴ ∀xP (x) Universal generalization ∃xP (x) ∴ P (c) với c nào đó ∈ U Existential instantiation P (c) với c nào đó ∈ U ∴ ∃xP (x) Existential generalization Methods of proof (các phương pháp chứng minh) 2008-2009 [...]... Methods of proof (các phương pháp chứng minh) 2008-2009 TS Trần Văn Hoài Các phương pháp chứng minh  Chứng minh trực tiếp (direct proof)  Chứng minh gián tiếp (indirect proof)  Chứng minh tầm thường (trivial proof)  Chứng minh phản chứng (proof by contradiction)  Chứng minh quy nạp (inductive proof) Methods of proof (các phương pháp chứng minh) 2008-2009 TS Trần Văn Hoài Chứng minh trực tiếp Chứng minh. .. được chứng minh Methods of proof (các phương pháp chứng minh) 2008-2009 TS Trần Văn Hoài Chứng minh rỗng (vacuous proof) Chứng minh p → q bằng cách chứng minh p sai Ví dụ: Cho P (n) là hàm mệnh đề "Nếu n > 1 thì n2 > n" Chứng minh mệnh đề P (0) là đúng Chứng minh: P (0) cho giả thiết 0 > 1 sai Suy ra kéo theo P (0) là đúng Methods of proof (các phương pháp chứng minh) 2008-2009 TS Trần Văn Hoài Chứng minh. .. Methods of proof (các phương pháp chứng minh) 2008-2009 TS Trần Văn Hoài Chứng minh tồn tại P (x) là một vị từ, chứng minh mệnh đề ∃xP (x) gọi là chứng minh tồn tại  Tìm a sao cho P (a) đúng, chứng minh kiến thiết  Chứng minh ¬∃xP (x) dẫn đến mâu thuẫn, chứng minh không kiến thiết Methods of proof (các phương pháp chứng minh) 2008-2009 TS Trần Văn Hoài Ý nghĩa của chứng minh quy nạp Ví dụ: Tìm tổng... định lý  Chứng minh các định lý có dạng P (n), là một hàm mệnh đề Chứng minh ∀nP (n) Methods of proof (các phương pháp chứng minh) 2008-2009 TS Trần Văn Hoài Ý nghĩa của chứng minh quy nạp Well-ordering property (tính được sắp tốt) là tiên đề trên tập số nguyên "Mọi tập số nguyên dương không rỗng đều có số nhỏ nhất" Methods of proof (các phương pháp chứng minh) 2008-2009 TS Trần Văn Hoài Chứng minh quy... → ∀nP (n)  Phương pháp chứng minh có thể xem trong sách tham khảo Điểm chính là dùng tính sắp tốt của tập số nguyên dương Methods of proof (các phương pháp chứng minh) 2008-2009 TS Trần Văn Hoài Nguyên lý thứ hai của quy nạp toán học 1 Bước cơ sở: Chứng minh P (1) là đúng 2 Bước quy nạp: Chứng minh (P (1) ∧ ∧ P (n)) → P (n + 1) là đúng ∀n ∈ + Methods of proof (các phương pháp chứng minh) 2008-2009... Methods of proof (các phương pháp chứng minh) 2008-2009 TS Trần Văn Hoài n k n+1 + 2 Ví dụ: k=1 k2 = (n − 1)2 Chứng minh: 1 Bước cơ sở: 1 k2k = 2 = (1 − 1)22 + 2 k=1 2 Bước quy nạp: Giả thiết quy nạp n k=1 k2k = (n − 1)2n+1 + 2 Khi đó, n+1 k k=1 k2 = (n − 1)2n+1 + 2 + (n + 1)2n+1 = (n − 1 + n + 1)2n+1 + 2 = n2n+2 + 2 Methods of proof (các phương pháp chứng minh) 2008-2009 TS Trần Văn Hoài Tại sao chứng minh. .. đúng Ví dụ: Nếu n lẻ thì n2 lẻ Chứng minh: Giả thiết n lẻ, n = 2k + 1, k ∈ n2 = (2k + 1)2 = 4k 2 + 4k + 1 = 2(2k 2 + 2k) + 1 lẻ Methods of proof (các phương pháp chứng minh) 2008-2009 TS Trần Văn Hoài Chứng minh gián tiếp (p → q) ⇔ (¬q → ¬p) (mệnh đề phản đảo) Chứng minh p → q được thực hiện bằng cách chứng minh (trực tiếp) ¬q → ¬p Ví dụ: Nếu 3n + 2 lẻ thì n lẻ Chứng minh: Giả thiết n chẵn (kết luận... chứng minh) 2008-2009 TS Trần Văn Hoài Chứng minh quy nạp Gồm 2 bước: 1 Bước cơ sở: Chứng minh P (1) là đúng 2 Bước quy nạp: Chứng minh P (n) → P (n + 1) là đúng ∀n ∈ + Methods of proof (các phương pháp chứng minh) 2008-2009 TS Trần Văn Hoài Ví dụ chứng minh quy nạp Ví dụ: Tổng n số nguyên dương lẻ đầu tiên là n2 Chứng minh: 1 Bước cơ sở: n = 1 Rõ ràng P (1) là đúng 2 Bước quy nạp: Giả thiết quy nạp... là dịnh nghĩa quy nạp (inductive definition) Methods of proof (các phương pháp chứng minh) 2008-2009 TS Trần Văn Hoài Định nghĩa đệ quy (recursive definition) Ví dụ: Định nghĩa f như sau: f (0) = 3, f (n + 1) = 2f (n) + 3 Ví dụ: Định nghĩa đệ quy của giai thừa f (n) như sau: f (0) = 1, f (n + 1) = f (n) × n Methods of proof (các phương pháp chứng minh) 2008-2009 TS Trần Văn Hoài Thuật toán đệ quy (recursive... phản chứng Nếu tìm được 1 mâu thuẫn (luôn sai) q sao cho ¬p → q đúng thì suy ra ¬p sai Nghĩa là p đúng √ Ví dụ: Chứng minh 2 là số vô tỷ √ Chứng minh: Giả sử 2 là hữu tỷ (¬p đúng) Ta sẽ chỉ ra có một √ mâu thuẫn Tồn tại a, b ∈ không có thừa số chung sao cho 2 = a/b Suy ra 2 = a2 /b2 , a chẵn Dễ chứng minh b chẵn Nghĩa là 2 chia hết a và b ¬p → (r ∧ ¬r) đúng, (r ∧ ¬r) mâu thuẫn Methods of proof (các phương . 3 Methods of proof (các phương pháp chứng minh) 2008-2009 TS. Trần Văn Hoài Các phương pháp chứng minh ☞ Chứng minh trực tiếp (direct proof) ☞ Chứng minh g i án tiếp (indirect proof) ☞ Chứng minh. thường (trivial proof) ☞ Chứng minh ph ản chứng (proof by contradiction) ☞ Chứng minh qu y nạp (inductive proof) Methods of proof (các phương pháp chứng minh) 2008-2009 TS. Trần Văn Hoài Chứng m inh. đ ịnh lý đã được chứng minh. Methods of proof (các phương pháp chứng minh) 2008-2009 TS. Trần Văn Hoài Chứng m inh rỗng (vacuous proof) Chứng minh p → q bằng cách chứng minh p sai Ví dụ: Cho P