chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi dự thi vmo

chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi dự thi vmo tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất...

NGUYÊNLÝCỰCHẠN Mộttậphợphữuhạncácsốthựcluôncóphầntửlớnnhấtvàphầntửnhỏnhất.Mộttập conbấtkỳcủaNluôncóphầntửnhỏnhất.Nguyênlýđơngiảnnàytrongnhiềutrường hợp rất cóích cho việc chứng minh.Hãy xét trườnghợpbiên!Đólà khẩuquyếtcủa nguyênlýnày. Mộtsố vídụmởđầu Taxemxétmộtsốvídụsửdụngnguyênlýcựchạn Vídụ1.Có3trườnghọc,mỗitrườngcónhọcsinh.Mỗimộthọcsinhquenvớiítnhất n+1 học sinh từ hai trường khác. Chứng minh rằng người ta có thể chọn ra từ mỗi trườngmộtbạnsaochoba họcsinhđượcchọnđôimộtquennhau. Giải. GọiAlàhọcsinhcónhiềubạnnhấtở mộttrườngkhác.Gọisốbạnnhiềunhấtnàylàk. GiảsửAởtrườngthứnhấtvàtậpnhữngbạnquenAlàM={B 1 ,B 2 ,…,B k }ởtrường thứ2.Cũngtheogiảthiết,cóítnhất1họcsinhCởtrườngthứ3quenvớiA.VìCquen khôngquákhọcsinhởtrườngthứnhấtnêntheogiảthiếtCquenvớiítnhấtn+1–khọc sinhcủatrườngthứhai,đặtN={D 1 ,D 2 , ,D m }lànhữngngườiquenC ởtrườngthứhai thìm ≥n+1–k. VìM,N đềuthuộctậphợpgồmnhọcsinh và| M| +| N| ≥k +n+1–k =n+1nêntacó M Ç N≠ Æ. ChọnBnàođóthuộcM Ç Nthìtacó A,B,Cđôimộtquen nhau. www.laisac.page.tl C C H H U U Y Y Ê Ê N N Đ Đ Ề Ề B B Ồ Ồ I I D D Ư Ư Ỡ Ỡ N N G G H H Ọ Ọ C C S S I I N N H H G G I I Ỏ Ỏ I I D D Ự Ự T T H H I I V V M M O O TS.TrầnNam Dũng TrườngĐại họcKHTNTpHCM Vídụ2.Chứngminhrằngkhôngtồntạisốnlẻ,n>1saocho15 n +1chiahếtchon Giải.Giảsửtồntạimộtsốnguyênlẻn>1saocho15 n +1chiahếtchon.Gọiplàước sốnguyêntốnhỏnhấtcủan,khiđóplẻ.Giảsửklàsốnguyêndươngnhỏnhấtsaocho 15 k –1chiahếtchop (số kđược gọi làbậccủa15theomodulop). Vì15 2n –1=(15 n 1)(15 n +1)chiahếtchop.Mặtkhác,theođịnhlýnhỏFermatthì15 p1 – 1chiahếtchop.Theođịnhnghĩacủak,suyraklàướcsốcủacácsố p1và2n.Suyrak| (p1,2n).Doplàướcsốnguyêntốnhỏnhấtcủannên(n,p1)=1.Suyra(p1,2n)=2. Vậyk|2.Từđók=1hoặck=2.Cảhaitrườnghợpnàyđềudẫntớip=7.Nhưngđiều nàymâuthuẫnvì15 n +1luônđồngdư2mod7 Tronghai vídụtrên,rõràngviệc xét cáctrườnghợpbiênđã đemđếnchochúngta nhữngthôngtinbổsungquantrọng.Trongvídụthứnhất,việcchọnAlàhọcsinhcósố ngườiquennhiềunhấtởmộttrườngkhácđãchotathôngtinsốngườiquencủaCtrong trườngthứhaiítnhấtlàn+1–k.Trongvídụthứhai,doplàướcsốnguyêntốnhỏnhất nênp1nguyêntốcùngnhauvớinlà bộisốcủap. Bàitập 1.Chonđiểmxanhvànđiểmđỏtrênmặtphẳng,trongđókhôngcó3điểmnàothẳng hàng.Chứngminhrằngtacóthểnối2nđiểmnàybằngnđoạnthẳngcóđầumútkhác màusaochochúngđôimộtkhônggiaonhau. 2.Trênđườngthẳngcó2n+1đoạnthẳng.Mỗimộtđoạnthẳnggiaovớiítnhấtnđoạn thẳngkhác.Chứngminhrằngtồntạimộtđoạnthẳnggiaovớitấtcảcácđoạnthẳngcòn lại. 3.Trongmặtphẳngchon>1điểm.Haingườichơilầnlượtnốimộtcặpđiểmchưađược nốibằngmộtvéctơvớimộttronghaichiều.Nếusaunướcđicủangườinàođótổngcác véctơđãvẽbằng0thìngườithứhaithắng;nếuchođếnkhikhôngcònvẽđượcvéctơ nàonữamàtổngvẫnchưacólúcnàobằng0thìngườithứnhấtthắng.Hỏiailàngười thắngcuộcnếuchơiđúng? Phươngpháp phản vídụnhỏnhất Trong việcchứng minh mộtsốtínhchấtbằngphương pháp phản chứng,tacó thể có thêmmộtsốthôngtinbổsungquantrọngnếusửdụngphảnvídụnhỏnhất.Ýtưởnglà đểchứngminhmộttínhchấtAchomộtcấuhìnhP,taxétmộtđặctrưngf(P)củaPlà mộthàmcógiátrịnguyêndương.BâygiờgiảsửtồntạimộtcấuhìnhPkhôngcótính chấtA,khiđósẽtồntạimộtcấuhìnhP 0 khôngcótínhchấtAvớif(P 0 )nhỏnhất.Tasẽ tìmcáchsuyrađiềumâuthuẫn.Lúcnày,ngoàiviệcchúngtacócấuhìnhP 0 khôngcó tínhchấtA,tacòncómọicấuhìnhPvớif(P)<f(P 0 )đềucótínhchấtA. Vídụ3.ChongũgiáclồiABCDEtrênmặtphẳngtoạđộcótoạđộ cácđỉnhđềunguyên. a)Chứngminhrằngtồntạiítnhất1điểmnằmtronghoặcnằmtrêncạnhcủangũgiác (khácvớiA,B,C,D,E)cótoạđộnguyên. b)Chứngminhrằngtồntạiítnhất1điểmnằmtrongngũgiáccótoạ độnguyên. c)CácđườngchéocủangũgiáclồicắtnhautạoramộtngũgiáclồinhỏA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 bêntrong.Chứngminhrằngtồntạiítnhất1điểmnằmtronghoặctrênbiênngũgiáclồi A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 . Câua)cóthểgiảiquyếtdễdàngnhờnguyênlýDirichlet:Vìcó5điểmnêntồntạiítnhất 2điểmX,Ymàcặptoạđộ(x,y)củachúngcócùngtínhchẵnlẻ(tachỉcó4trườnghợp (chẵn,chẵn),(chẵn,lẻ),(lẻ,chẵn)và(lẻ,lẻ)).TrungđiểmZcủaXYchínhlàđiểmcần tìm. Sangcâub)lýluậntrênđâychưađủ,vìnếuXYkhôngphảilàđườngchéomàlàcạnhthì Zcóthểsẽnằmtrênbiên.Taxửlýtìnhhuốngnàynhưsau.ĐểýrằngnếuXYlàmột cạnh,chẳnghạnlàcạnhABthìZBCDEcũnglàmộtngũgiáclồicócácđỉnhcótoạđộ đềunguyênvàtacóthểlặplạilýluậnnêutrênđốivớingũgiácZBCDE,…Tacóthể dùngđơnbiếnđểchứngminhquátrìnhnàykhôngthểkéodàimãi,vàđếnmộtlúcnào đósẽcó1ngũgiáccóđiểmnguyênnằmtrong. Tuynhiên,tacóthểtrìnhbàylạilýluậnnàymộtcáchgọngàngnhưsau:Giảsửtồntại mộtngũgiácnguyênmàbêntrongkhôngchứamộtđiểmnguyênnào(phảnvídụ).Trong tấtcảcácngũgiácnhưvậy,chọnngũgiácABCDEcódiệntíchnhỏnhất(phảnvídụnhỏ nhất).Nếucónhiềungũgiácnhưvậythìtachọnmộttrongsốchúng.Theolýluậnđã trìnhbàyởcâua),tồntạihaiđỉnhX,Ycócặptoạđộcùngtínhchẵnlẻ.TrungđiểmZ củaXYsẽcótoạđộnguyên.VìbêntrongngũgiácABCDEkhôngcóđiểmnguyênnào nênXYphảilàmộtcạnhnàođó.Khôngmấttínhtổngquát,giảsửđólàAB.Khiđóngũ giácZBCDEcótoạđộcácđỉnhđềunguyênvàcódiệntíchnhỏhơndiệntíchngũgiác ABCDE.DotínhnhỏnhấtcủaABCDE(phảnvídụnhỏnhấtpháthuytácdụng!)nênbên trongngũgiácZBCDEcó1điểmnguyênT.ĐiềunàymâuthuẫnvìTcũngnằmtrong ngũgiácABCDE. Phảnvídụnhỏnhấtcũnglàcáchrấttốtđểtrìnhbàymộtchứngminhquynạp(ởđây thườnglàquy nạpmạnh), đểtránhnhững lýluậndài dòng vàthiếuchặt chẽ. Vídụ4.Chứngminhrằngnếua,blàcácsốnguyêndươngnguyêntốcùngnhauthìtồn tạicácsốnguyênx,ysaochoax+by=1. Giải. Giảsửkhẳngđịnhđềbàikhôngđúng,tứclàtồntạihaisốnguyêndươnga,bnguyêntố cùngnhausaochokhôngtồn tạix,ynguyênsaochoax+by=1.Gọia 0 ,b 0 làmộtcặpsố nhưvậyvớia 0 +b 0 nhỏnhất(phản vídụnhỏnhất). Vì(a 0 ,b 0 )=1và(a 0 ,b 0 )≠(1,1)(do1.0+1.1=1)nêna 0 ≠b 0 .Khôngmấttínhtổng quát,cóthểgiảsử a 0 >b 0 .Dễthấy(a 0 b 0 ,b 0 )=(a 0 ,b 0 )=1.Doa 0 –b 0 +b 0 =a 0 <a 0 +b 0 nêndotínhnhỏnhấtcủaphảnvídụ,tasuyra(a 0 b 0 ,b 0 )khônglàphảnvídụ,tứclàtồn tạix,ysaocho(a 0 b 0 )x+b 0 y=1.Nhưngtừđâythì a 0 x+b 0 (yx)=1.Mâuthuẫnđốivới điềugiảsử.Vậyđiềugiảsửlàsaivàbàitoánđượcchứngminh. Bàitập 4.Giảiphầnc)củavídụ3. 5.Trênmặtphẳngđánhdấumộtsốđiểm.Biếtrằng4điểmbấtkỳtrongchúnglàđỉnh củamộttứgiáclồi.Chứngminhrằngtấtcảcácđiểmđượcđánhdấulàđỉnhcủamộtđa giáclồi. Nguyênlýcựchạnvàbấtđẳngthức Nguyênlýcựchạnthườngđượcápdụngmộtcáchhiệuquảtrongcácbấtđẳngthứccó tínhtổhợp,dạngchứngminhtồntạiksốtừnsốthỏamãnmộtđiềukiệnnàyđó. Vídụ5.(MoscowMO1984)Trênvòngtrònngườitaxếpítnhất4sốthựckhôngâmcó tổngbằng1.Chứngminhrằngtổngtấtcả cáctíchcáccặpsốkề nhaukhônglớnhơn . Giải. Tacầnchứngminhrằngvớimọin≥4số thựckhôngâm а 1 , ,а n ,cótổngbằng1,tacó bấtđẳngthức a 1 a 2 +a 2 a 3 + +a n 1 a n +a n a 1 ≤1/4. Vớinchẵnn (n=2m)điềunàycóthểchứngminhdễdàng:đặta 1 +a 3 + +a 2m 1 =a; khiđó,rõràng, a 1 a 2 +a 2 a 3 + +a n 1 a n +a n a 1 ≤(a 1 +a 3 + +a 2m−1 )×(a 2 +a 4 + +a 2m )=a(1−a) ≤ 1/4. Giảsửnlẻvàa k –làsố nhỏnhất trongcácsốđãcho.(Đểthuậntiện,tagiảsử1<k<n −1–điềunàykhônglàmmấttínhtổngquátkhin≥4.)Đặt b i =а i ,vớii=1, , k−1, b k =a k +a k+1 vàb i =a i +1 vớii=k+1, , n−1. Ápdụngbấtđẳngthứccủachúngtacho cácsốb 1 , , b n 1 , tađược: a 1 a 2 + +a k 2 a k 1 +(a k 1 +a k+2 ) b k +a k +2 a k+3 + +a n 1 a n +a n a 1 ≤1/4. Cuốicùng,tasửdụngbấtđẳngthức a k 1 a k +a k a k+1 +a k+1 a k+2 ≤ a k 1 a k +a k 1 a k+1 +a k+1 a k+2 ≤(a k 1 +a k+2 )b k . đểsuyrađiềuphảichứngminh. Đánhgiátrênđâylàtốtnhất;dấubằngxảyrakhi2trongnsốbằng1/2,còncácsốcòn lạibằng0. Vídụ6.Chon ³ 4vàcácsố thựcphânbiệta 1 ,a 2 ,…,a n thoả mãnđiềukiện .1,0 1 2 1 = = å å = = n i i n i i aa Chứngminhrằngtồntại4sốa,b,c,dthuộc{a 1 ,a 2 ,…,a n }saocho . 1 3 nabddbaanabccba n i i + + + £ £ + + + å = Giải.Nếua≤b≤clàbasốnhỏnhấttrongcáca i thìvớimọii=1,2,…,ntacóbấtđẳng thức (a i –a)(a i –b)(a i –c)≥0 Suyra 3 2 ( ) ( ) i i i a a b c a ab bc ca a abc ³ + + - + + + với mọii=1,2,…,n. Cộngtấtcảcácbấtđẳngthức này,vớichúý .1,0 1 2 1 = = å å = = n i i n i i aa tađược 3 1 n i i a a b c nabc = ³ + + + å . Bâygiờ nếuchọnd làsốlớnnhấttrongcáca i thìta có (a i –a)(a i –b)(a i –d)≤ 0 vớimọii=1,2,…,n.Vàcũngthựchiệntươngtựnhưtrên,tasuyrabấtđẳngthứcvế phảicủabấtđẳngthứcképcầnchứngminh. Vídụ7.Tổngbìnhphươngcủamột100sốthựcdươnglớnhơn10000.Tổngcủachúng nhỏhơn300.Chứngminhrằngtồntại3sốtrongchúngcótổnglớnhơn100. Giải.Giảsử100sốđólàC 1 ≥C 2 ≥ ≥C 100 >0.Nếunhư C 1 ≥100,thìC 1 +C 2 +C 3 > 100.Dođótacóthểgiảsử rằngC 1 <100.Khiđó100C 1 >0,100C 2 >0,C 1 C 2 ≥0 иC 1  C 3 ≥0,vìvậy 100(C 1 +C 2 +C 3 )≥100(C 1 +C 2 +C 3 ) (100C 1 )(C 1 C 3 )(100C 2 )(C 2 C 3 )= =C 1 2 +C 2 2 +C 3 (300C 1 C 2 )> >C 1 2 +C 2 2 +C 3 (C 3 +C 4 + +C 100 ) ≥ ≥C 1 2 +C 2 2 +C 3 2 + +C 100 2 >10000. Suyra,C 1 +C 2 +C 3 >100. Bàitập 6.Trongmỗiôcủabảng2xntaviếtcácsốthựcdươngsaochotổngcácsốcủamỗicột bằng1.Chứngminhrằngtacóthểxoáđiởmỗicộtmộtsốsaochoởmỗihàng,tổngcủa cácsốcònlạikhôngvượtquá . 4 1 +n 7.40têntrộmchia4000euro.Mộtnhómgồm5têntrộmđượcgọilànghèonếutổngsố tiềnmàchúngđượcchiakhôngquá500euro.Hỏisốnhỏnhấtcácnhómtrộmnghèotrên tổngsốtấtcảcácnhóm5têntrộmbằngbaonhiêu? NguyênlýcựchạnvàphươngtrìnhDiophant Trongphầnnày,tatrìnhbàychitiếtbavídụápdụngnguyênlýcựchạntrongphương trìnhFermat,phươngtrìnhPellvàphươngtrìnhdạngMarkov. Vídụ8.Chứngminhrằngphươngtrìnhx 4 +y 4 =z 2 (1)khôngcónghiệmnguyêndương. Giải.Giảsửngượclại,phươngtrình(1)cónghiệmnguyêndương,và(x,y,z)lànghiệm của(1)vớiznhỏnhất. (1)Dễthấyx 2 ,y 2 ,z đôimộtnguyêntốcùngnhau (2)TừnghiệmcủaphươngtrìnhPythagore,tacótồntạip,qsaocho x 2 =2pq y 2 =p 2 q 2 z=p 2 +q 2 (3)Từđây,talạicómộtbộba Pythagorekhác,vì y 2 +q 2 =p 2 . (4)Nhưvậy,tồntạia,b saocho q=2ab y=a 2 b 2 p=a 2 +b 2 a,b nguyêntốcùngnhau (5)Kếthợpcácphươngtrìnhnày,tađược: x 2 =2pq=2(a 2 +b 2 )(2ab)=4(ab)(a 2 +b 2 ) (6)Vìab vàa 2 +b 2 nguyêntốcùngnhau,tasuyrachúnglàcácsốchínhphương. (7)Nhưvậya 2 +b 2 =P 2 vàa=u 2 ,b=v 2 .SuyraP 2 =u 4 +v 4 . (8)Nhưng bâygiờtathuđượcđiềumâuthuẫnvớitínhnhỏnhấtcủazvì: P 2 =a 2 +b 2 =p <p 2 +q 2 =z <z 2 . (9)Nhưvậyđiềugiảsửbanđầulàsai,suyrađiềuphảichứngminh. Phươngpháptrìnhbàyởtrêncònđượcgọilàphươngphápxuốngthang.Đâycó lẽlà phươngphápmàFermatđãnghĩtớikhiviếttrênlềcuốnsáchcủaDiophantnhữngdòng chữ mà saunày được gọi là định lý lớn Fermat và đã làm điên đầu bao nhiêu thếhệ những nhàtoánhọc. Vídụ9.TìmtấtcảcáccặpđathứcP(x),Q(x)thỏamãnphươngtrình P 2 (x)=(x 2 1)Q 2 (x)+1 (1) Giải.Khôngmấttínhtổngquát,tachỉcầntìmnghiệmtrongtậpcácđathứccóhệsốkhởi đầudương. Nếu )(1)()1( 22 xQxxPxx nn n - + = - + (2)thì )(1)()1( 22 xQxxPxx nn n - - = - - (3) Nhân(2)và(3)vếtheovế,tađược )()1()( ))(1)())((1)(()1()1(1 222 2222 xQxxP xQxxPxQxxPxxxx nn nnnn nn - - = - - - + = - - - + = SuyracặpđathứcP n (x),Q n (x)xácđịnhbởi(2)(và(3)!)lànghiệmcủa(1).Tachứng minhđâylà tấtcảcácnghiệmcủa(1).Thật vậy, giảsửngượclại,tồntạicặpđathức P(x),Q(x)khôngcódạngP n (x),Q n (x)thỏamãn(1).Taxétcặpđathức(P,Q)nhưvậy vớidegQnhỏnhất. Đặt )(*1)(*)1))((1)(( 222 xQxxPxxxQxxP - + = - - - + (4) Thìrõràng )(*1)(*)1))((1)(( 222 xQxxPxxxQxxP - - = - + - - Suyra(P*,Q*)cũnglànghiệmcủa(1). Khaitriển(4),tathuđượcP*(x)=xP(x)–(x 2 1)Q(x),Q*(x)=xQ(x)–P(x).Chúýlàtừ (1)tasuyra(P(x)–xQ(x))(P(x)+xQ(x))=Q 2 (x)+1.VìP(x)vàQ(x)đềucóhệsốkhởi đầu>0vàdegP=degQ+1nêntacódeg(P(x)+xQ(x))=degQ+1.Từđây,dodeg( Q 2 (x)+1)≤2deg(Q)nêntasuyradeg(Q*(x))≤deg(Q)–1<degQ. Nhưvậy,theocáchchọncặp(P,Q)thìtồntạinsaocho(P*,Q*)=(P n ,Q n ). Nhưngkhiđótừ(4)suyra 1222 222 )1()1()1( )1))((*1)(*()(1)( + - + = - + - + = - + - + = - + nn xxxxxx xxxQxxPxQxxP Suyra(P,Q)=(P n+1 ,Q n+1 ),mâuthuẫn. Vậyđiềugiảsửlàsaivàtacóđiềuphảichứngminh. Ví dụ 10. Tìm tất cả các giá trị k sao cho phương trình (x+y+z) 2 = kxyz có nghiệm nguyêndương. Giải. Giảsửk làmộtgiátrịcầntìm.Gọix 0 ,y 0 ,z 0 lànghiệmnguyêndươngcủaphương trình (x+y+z) 2 =kxyz (1) cóx 0 +y 0 +z 0 nhỏnhất.Khôngmấttínhtổng quát, cóthểgiảsử x 0 ≥y 0 ≥z 0 . Viếtlại(1)dướidạngx 2 – (kyz–2y–2z)x+(y+z) 2 =0 tasuyrax 0 là nghiệm củaphương trìnhbậchai x 2 – (ky 0 z 0 –2y 0 – 2z 0 )x+(y 0 +z 0 ) 2 =0 (2) TheođịnhlýVietx 1 =ky 0 z 0 –2y 0 –2z 0 –x 0 =(y 0 +z 0 ) 2 /x 0 cũnglànghiệmcủa(2).Từ đó(x 1 ,y 0 ,z 0 )lànghiệmcủa(1).Cũngtừcáccôngthứctrên,tasuyrax 1 nguyêndương. Tứclà(x 1 ,y 0 ,z 0 ) lànghiệmnguyêndươngcủa(1).Từtínhnhỏnhấtcủax 0 +y 0 +z 0 tax 1 ≥x 0 . Từđâyta có ky 0 z 0 –2y 0 –2z 0 –x 0 ≥x 0 và(y 0 +x 0 ) 2 /x 0 ≥x 0 Từbấtđẳngthứcthứhaitasuyray 0 +z 0 ≥x 0 .Từđó,ápdụngvàobấtđẳngthứcthứ nhất,tađượcky 0 z 0 ≥4x 0 . Cuốicùng,chiahaivếcủađẳngthứcx 0 2 +y 0 2 +z 0 2 +2x 0 y 0 +2y 0 z 0 +2z 0 x 0 =kx 0 y 0 z 0 chox 0 y 0 z 0 ,tađược 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 x y z k y z x z x y z x y + + + + + = . Từđósuyra 1 1 2 2 2 4 k k + + + + + ³ ,tức là 32 3 k £ .Suyrak ≤10. Chúýnếux 0 =1thìy 0 =z 0 =1suyrak=9.Nếuk≠9thìx 0 ≥2vàđánhgiáởtrêntrở thành 1 1 2 1 2 4 2 k k + + + + + ³ suyra 26 3 k £ ,suyrak ≤8 Vậygiátrịk =10bịloại. Vớik =1phươngtrình cónghiệm,chẳng hạn(9,9,9) Vớik =2phươngtrình cónghiệm,chẳng hạn(4,4,8) Vớik =3phươngtrình cónghiệm,chẳng hạn(3,3,3) Vớik =4phươngtrình cónghiệm,chẳng hạn(2,2,4) Vớik =5phươngtrình cónghiệm,chẳng hạn(1,4,5) Vớik =6phươngtrình cónghiệm,chẳng hạn(1,2,3) Vớik =8phươngtrình cónghiệm,chẳng hạn(1,1,2) Vớik =9phươngtrình cónghiệm,chẳng hạn(1,1,1) Ngoài ra, ta có thể chứng minh được rằng trường hợp k = 7 phương trình không có nghiệmnguyêndương (xinđược dànhchobạnđọc). Vậycác giátrịkcầntìmlà k=1,2,3,4,5,6,8,9. Vídụ11.(CRUX,Problem1420)Nếua,b,clàcácsốnguyêndươngsaocho 0<a 2 +b 2 –abc≤c Chứngminhrằnga 2 +b 2 –abclàsốchínhphương. Giải.Giảsửngượclạirằngtồntạicácsốnguyêndươnga,b,csaocho0<a 2 +b 2 –abc ≤cvàk=a 2 +b 2 –abc(1)khôngphảilàsốchínhphương. Bâygiờtacốđịnhkvàcvàxéttậphợptấtcảcáccặpsốnguyêndương(a,b)thỏamãn phươngtrình(1),tứclàtaxét S(c,k)={(a,b) Î(N*) 2 :a 2 +b 2 –abc=k} [...]... cú 20 i tham gia, thi u vũng trũn mt lt (kt thỳc gii mi i ỏ vi mi i cũn li ỳng mt trn) Tỡm s k ln nht sao cho sau mi k vũng u (mi i u k trn) luụn tỡm c 3 i ụi mt cha ỏ vi nhau Li gii Ta chng minh k = 8 tha món yờu cu bi Trc ht ta ch ra rng tn ti mt cỏch sp xp lch thi u sau 9 vũng, trong ba i bt k u cú 2 i ó thi u vi nhau Tht vy, chia 20 i thnh 2 bng, mi bng 10 i Ta cú th sp lch thi u gm 9 vũng cho... thnh 2 bng, mi bng 10 i Ta cú th sp lch thi u gm 9 vũng cho tng bng, v sau 9 vũng tt c cỏc i trong mt bng u ó thi u vi nhau Khi ú vi 3 i búng bt k, theo nguyờn lý Dirichlet, tn ti hai i cựng chung mt bng v nh vy ó thi u vi nhau Bõy gi ta s chng minh sau 8 vũng u thỡ luụn tỡm c 3 i ụi mt cha thi u vi nhau Vỡ 8 vũng u thỡ cú 80 trn nờn ta ch cn chng minh mt kt qu mnh hn: Nu gii u mi ch u 80 trn (bt k)... mingthngquahaiimtrongSuchaớtnhtbaim.Mtngthnggil ngninunúiquaớtnhthaiimtrongS.Gis(P,l)lcpimvngni cúkhongcỏchdngnhnhttrongmicpimưngni. Theogithit,liquaớtnhtbaimtrong S,nờnnuhngcaotP xung lthỡtn tiớtnhthaiimnmcựngmtphớacangcao(mtimcúthnmngaychõn ngcao).Tronghaiimny,giimgnchõnngcaohnlB,vimkial C.XộtngthngmniPvC.KhongcỏchtBtimnhhnkhongcỏchtPti l,mõuthunvigithitvPvl.Mtcỏchthyiunyltamgiỏcvuụngvicnh huynBCngdngvnmbờntrongtamgiỏcvuụngvicnhhuynPC. Doú,khụngthtntikhongcỏchdngnhnhtgiacỏccpimưngni.Núi... |B| = |A B| mõu thun vi iu kin nh lý Nh vy ta cú |G(B)| |B| vi mi B thuc X Theo gi thit quy np, tn ti n ỏnh g: X ặ Y sao cho g(x) k vi x Nh vy, ta cú th xõy dng c n ỏnh h: X ặ Y sao cho h(x) k vi x: c th h(x) = f(x) nu x thuc A v h(x) = g(x) nu x thuc X \ A Quan h trờn tp hp X c gi l mt quan h th t nu tha món ng thi cỏc iu kin sau: i) x x vi mi x thuc X (tớnh phn x) ii) Nu x y, y x thỡ x = y (tớnh... Vi mi cỏch chn, ta cú i cỏch chn nhúm trng t i ngi n i cchn.Túsuyraỏpsbitoỏnl ồ iCn. i=1 Sosỏnhhaicỏchgiitacúpcm. Vớd7.Gipn(k)lscỏchoỏnvcatphp{1,2,,n}cúỳngkimc n nh.Chngminhrng ồ k pn(k ) = n ! k= 0 (thiOlympicToỏnquct1987) Gii Nucỏcbitoỏncúliờnquanncỏchsnhthcthngliờnquanncỏc bitoỏnmthỡcỏcbitoỏnliờnquannphnnguyờnsliờnquannscỏc imcútanguyờn. Vớd8.Chopvqlhaisnguyờndngnguyờntcựngnhau.Chngminh rngtacúngthc... tớnhixngcahF,tacún(x)bngnhauvimixthucXvdoú tacúS=n.n(x). Vớd9.ChoFltpttccỏcb(A1,...,An)saochomiAi lmttpconca {1,2,...,1998}.Kýhiu|A|lscỏcphntcatphpA.Hóytớnh ồ | A1 ẩ A2 ẩ ẩ An | ( A1 , A2, , An ) F ẻ (thiOlympicToỏnchõuThỏiBỡnhDng1998) Gii.Tagiibitoỏntngquỏtvi{1,2,,1998}cthaybng{1,2,,m} =X.utiờntathgiibngcỏchmngang.Vin=1,tacntỡm S = ồ | A |. A X Vimik=1,2, ,mcú Ck tpconcaXcúkphnt.Vỡthtacú m m k m S... cỏchchnAvi|A|=i.KhiúBphichattccỏcphntthuc k i (A ẩ B)\A,ngoira,BcúthchamttpconbtkcaA.Doúcú2 cỏch chnB.Vy k k k k nk = Cm ồ Cki 2i =Cm.3 i= 0 Tú m k m S = ồ kCm3k = 3m.4 -1 k=1 m m k ( chng minh ng thc cui cựng, ta dựng khai trin (1 + x ) = ồ Cmx k Ly k= 0 ohmhaivrithayx=3vo,tacktqu). Tuynhiờncỏchmngangnykhichuynlờnn=3órtphctpvgnnh btcvinbtk.Tachuynsangcỏchmdc,tclmtheophnt. Xộtphnt1.Tamttccỏcb(A1,A2, ,An)thucFmhpcachỳng... theo iu kin |G({x0})| 1, do ú tn ti y0 thuc Y k vi X Ta t f(x0) = y0 Bõy gi xột X = X \{x} v Y = Y \ {y}, A X v G(A) l tp cỏc nh thuc Y k vi A Khi ú |G(A)| |G(A)| - 1 |A| Vỡ |X| < |X| nờn theo gi thit quy np, tn ti n ỏnh f: X ặ Y sao cho f(x) k x vi mi x thuc x B sung thờm f(x 0) = y0 ta c n ỏnh f: X ặ Y tha món yờu cu nh lý 2) Trong trng hp ngc li, tn ti A X (A X) sao cho |G(A)| = |A| Khi ú,... 13.(AMM1995)Chox,ylcỏcsnguyờn dng saochoxy+x vxy+ylcỏcs chớnhphng.Chngminhrngcúỳngmttronghaisx,yls chớnhphng. 2 2 14. (IMO 2007) Cho a, b l cỏc s nguyờn dng sao cho 4ab 1 chia ht (4a ư1) Chngminhrnga=b. 2 15. (VMO2 012) Xộtcỏcstnhiờnl a,bmalcscab +2vblcsca 2 a +2.Chngminhrngavblcỏcs hngcadóystnhiờn(vn)xỏcnhbi v1 =v2 =1vvn =4vnư1 vnư2 vimin2. Nguyờnlýcchntrongt hp TrờnõychỳngtaóxemxộtcỏcvớdỏpdngcanguyờnlýcchntrongMnht... Vỡ mt xớch ch cha c nhiu nht 1 phn t ca 1 i xớch nờn rừ rng ta cú m M Ta chng minh m M bng quy np theo |X| Gi a l mt phn t cc i ca X v M l kớch thc ca i xớch ln nht trong X = X \ {a} Khi ú, theo gi thit quy np X l hp ca M xớch ri nhau C1, C2, , CM Ta cn chng minh rng hoc X cha i xớch vi M+1 phn t, hoc X l hp ca M xớch Bõy gi, mi i xớch kớch thc M (M-i xớch) trong X cha mt phn t t mi Ci Gi ai l phn . vídụmởđầu Taxemxétmộtsốvídụsửdụngnguyênlýcựchạn Vídụ1.Có3trường học, mỗitrườngcón học sinh. Mỗimột học sinh quenvớiítnhất n+1 học sinh từ hai trường khác. Chứng minh rằng người ta có thể chọn ra từ mỗi trườngmộtbạnsaochoba học sinh đượcchọnđôimộtquennhau. Giải. GọiAlà học sinh cónhiềubạnnhấtở. mộttrườngkhác.Gọisốbạnnhiềunhấtnàylàk. GiảsửAởtrườngthứnhấtvàtậpnhữngbạnquenAlàM={B 1 ,B 2 ,…,B k }ởtrường thứ2.Cũngtheogiả thi t,cóítnhất1 học sinh Cởtrườngthứ3quenvớiA.VìCquen khôngquák học sinh ởtrườngthứnhấtnêntheogiả thi tCquenvớiítnhấtn+1–k học sinh củatrườngthứhai,đặtN={D 1 ,D 2 ,. người ta có thể chọn ra từ mỗi trườngmộtbạnsaochoba học sinh đượcchọnđôimộtquennhau. Giải. GọiAlà học sinh cónhiềubạnnhấtở mộttrườngkhác.Gọisốbạnnhiềunhấtnàylàk. GiảsửAởtrườngthứnhấtvàtậpnhữngbạnquenAlàM={B 1 ,B 2 ,…,B k }ởtrường thứ2.Cũngtheogiả thi t,cóítnhất1 học sinh Cởtrườngthứ3quenvớiA.VìCquen khôngquák học sinh ởtrườngthứnhấtnêntheogiả thi tCquenvớiítnhấtn+1–k học sinh củatrườngthứhai,đặtN={D 1 ,D 2 ,