а) Ít nhất một tam giác;
b) Không ít hơn n tam giác.
17. Trong hình chữ nhật diện tích 1 có 5 hình diện tích 1/2 mỗi hình. Chứng minh rằng
tồn tại
a) Hai hình có diện tích phần giao không nhỏ hơn 3/20; b) hai hình có diện tích phần chung không nhỏ hơn 1/5; c) ba hình có diện tích phần chung không nhỏ hơn 1/20.
18. (ARO 1999) Các số từ 1 đến 1000000 được tô bằng hai màu trắng và đen. Mỗi bước đi, cho phép chọn ra một số bất kỳ từ 1 đến 1000000 và đổi màu tất cả các số không nguyên tố cùng nhau với số đó thành màu ngược lại (đen thành trắng, trắng thành đen). Hỏi có thể sau một số hững hạn bước đi biến tất cả các số thành màu trắng được không? 19. (Vietnam TST 2003) Cho 4 số nguyên dương m, n, p,q với p < m và q < n. Xét 4 điểm A(0; 0), B(p; 0), C(m; q) và D(m; n) trên mặt phẳng tọa độ. Xét các đường đi f từ A đến D và các đường đi g từ B đến C sao cho khi đi trên f hoặc g, ta chỉ đi theo chiều dương của các trục tọa độ và chỉ đổi hướng tại các điểm có tọa độ nguyên. Gọi S là số các cặp đường đi (f, g) sao cho f và g không có điểm chung. Chứng minh rằng
n q q n m n m q p m q m n p
S C C C C
20. Tìm số các tập con 5 phần tử của {1, 2, 3, …, 2000} có tổng các phần tử chia hết cho 5.
21. Tập con M của {1, 2, …,15} không chứa ba phần tử có tích là số chính phương. Tìm số phần tử lớn nhất của M.
22. (Iran 1999) Giả sử S = {1, 2, …, n} và A1, A2, …, Ak là các tập con của S sao cho với mọi 1 ≤ i1, i2, i3, i4 ≤ k ta có
1 2 3 4
|Ai Ai Ai Ai |d n 2.