Chương 2: Đường đi và chu trình docx

 Một đường đi Euler của G là một đường đi đơn giản có đỉnh bắt đầu khác đỉnh kết thúc và qua tất cả các cạnh của G..  Một chu trình Euler của G là một chu trình đơn giản đi qua tất c

Trang 1

Lý thuyết đồ thị

Chương 2: Đường đi và chu trình

Trang 2

Đường đi và chu trình Euler

Bài toán “Königsburg Bridges” (Leonhard Euler, 1707-1783)

Xác định một chu trình đi qua tất cả 7 cây cầu,

Trang 3

 Định nghĩa: Xét 1 đồ thị liên thông G

 Một đường đi Euler của G là một đường đi đơn giản có đỉnh bắt đầu khác đỉnh kết thúc và qua tất

cả các cạnh của G Khi này G còn được gọi là

một đường đi Euler.

 Một chu trình Euler của G là một chu trình đơn

giản đi qua tất cả các cạnh của G Khi này G còn được gọi là một chu trình Euler.

Một đồ thị chứa chu trình Euler được gọi là đồ thị

Trang 4

 Định lý 2.1: (Định lý Euler 1)

 Cho 1 đồ thị vô hướng G liên thông và có

hơn 1 đỉnh Khi đó, G có chu trình Euler nếu

và chỉ nếu mọi đỉnh của G đều có bậc chẵn

Trang 5

 Thuật toán tìm chu trình Euler của đồ thị

G(V, E)

Kết quả sẽ cho ra C là một chu trình Euler

bao gồm thứ tự các cạnh của chu trình

Trang 7

2

1 2 3 4 5 6 1

2 3 4 5 6

Trang 8

2 3 4 5 6

1

3

6

4 5

2

C = 1,2

Trang 9

2 3 4 5 6

1

3

6

4 5

2

C = 1,2,3

Trang 10

2 3 4 5 6

1

3

6

4 5

2

Trang 11

2 3 4 5 6

1

3

6

4 5

2

C = 1,2,4, ,3,1

Trang 12

2 3 4 5 6

1

3

6

4 5

2

C = 1,2,4,3, ,3,1

Trang 13

2 3 4 5 6

1

3

6

4 5

2

C = 1,2,4,3,6, ,3,1

Trang 14

2 3 4 5 6

1

3

6

4 5

2

C = 1,2,4,3,6,5, ,3,1

Trang 15

2 3 4 5 6

1

3

6

4 5

2

Trang 16

Trang 17

Tìm chu trình Euler

Trang 18

 Định lý 2.3 (Định lý Euler 3):

Cho đồ thị có hướng G liên thông và có hơn

1 đỉnh Khi đó, G có chu trình Euler nếu và chỉ nếu G cân bằng

Trang 19

 Định lý 2.4 (Định lý Euler 4):

Cho đồ thị có hướng G liên thông và có hơn

1 đỉnh Khi đó, G có đường đi Euler nếu và chỉ nếu trong G có 2 đỉnh a, b thỏa:

dout(a) = din(a) + 1

din(b) = dout(b) + 1mọi đỉnh còn lại đều cân bằng và đường

Euler phải bắt đầu tại a và kết thúc tại b

Trang 20

A

B

C D

DEABCEBDC, DEBCEABDC

Trang 21

Định nghĩa:

Một đồ thị liên thông (liên thông yếu đối với đồ thị có hướng) có chứa một đường đi Euler

được gọi là đồ thị nửa Euler

Hệ quả: Đồ thị liên thông G là nửa Euler khi

và chỉ khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ trong G

Trang 23

Đường đi và chu trình Hamilton (1805-1865)

 Định nghĩa:

Xét 1 đồ thị liên thông G có hơn 1 đỉnh

 Một đường đi Hamilton của G là một đường

đi sơ cấp qua tất cả các đỉnh của G

 Một chu trình Hamilton của G là một chu trình

sơ cấp qua tất cả các đỉnh của G Một đồ thị chứa chu trình Hamilton được gọi là đồ thị

Hamilton

Trang 24

Đường đi và chu trình

HamiltonA

B

C D

E

A

B E

Đường đi Hamilton: ABECD

Đường đi Hamilton: BAECD

Trang 25

Hamilton

C D

Chu trình Hamilton: ABCDA

Chu trình Hamilton: ACBDA

Trang 26

Hamilton

 Qui tắc tìm chu trình Hamilton

1 Nếu tồn tại 1 đỉnh của G có bậc  1 thì G không

có chu trình Hamilton.

2 Nếu đỉnh x có bậc 2 thì cả 2 cạnh tới x đều phải

thuộc chu trình Hamilton.

3 Chu trình Hamilton không chứa bất kỳ chu trình

con thực sự nào.

4 Trong quá trình xây dựng chu trình Hamilton, sau

khi đã lấy 2 cạnh tới 1 đỉnh x đặt vào chu trình rồi

Trang 27

Hamilton

1

2

3 4

5

6

Xét đỉnh 1, chọn 2 cạnh (1,2) và (1,6)

Trang 28

Hamilton

1

2

3 4

5

6

•Xóa các cạnh (1,5), (1,4), (1,3), (1,7), (1,8), (1,9) (theo quy tắc 4).

•Các đỉnh 3, 4, 5 bậc 2, do

đó các cạnh (2,3), (3,4), (4,5), (5,6) phải thuộc chu trình Hamilton (quy tắc 2).

•Chu trình con: 1,2,3,4,5,6,1

Trang 29

Hamilton

1

2

3 4

5

6

•Chọn cạnh (1,2), (1,3) Xóa các cạnh (1,4), (1,5), (1,6), (1,7),

Trang 30

Hamilton

 Định lý 2.5: Mọi đồ thị đầy đủ đều có chu

trình Hamilton

Trang 31

Hamilton

 Định lý 2.6: Cho một đồ thị G Giả sử có k đỉnh của G sao cho nếu xóa đi k đỉnh này cùng với các cạnh liên kết với chúng khỏi G thì đồ thị nhận được có hơn k thành phần Khi đó, G không có chu trình Hamilton.

Trang 32

Trang 33

Hamilton

 Định lý 2.8 (tổng quát của định lý 2.7):

Một đồ thị G có n đỉnh và 2 đỉnh bất kỳ nào cũng có tổng các bậc  n thì G có một chu trình Hamilton

Trang 34

Trang 35

Định nghĩa:

 Một đồ thị có chứa một đường đi Hamilton

được gọi là đồ thị nửa Hamilton

hướng đầy đủ thì G là đồ thị nửa Hamilton

đỉnh của G đều có bậc không nhỏ hơn 2/n −1

thì G là đồ thị nửa Hamilton

Trang 36

 Định lý: Nếu G là đồ thị phân đôi với hai tập

đỉnh là V1, V2 có số đỉnh cùng bằng n (n ≥ 2)

và bậc của mỗi đỉnh lớn hơn n/2 thì G là một

đồ thị Hamilton

Trang 37

 Một chu trình Euler của G là một chu trình

đơn giản đi qua tất cả các cạnh của G Khi này G còn được gọi là một chu trình Euler

Trang 38

Tóm tắt

 Cho 1 đồ thị vô hướng G liên thông và có

hơn 1 đỉnh Khi đó, G có chu trình Euler nếu

và chỉ nếu mọi đỉnh của G đều có bậc chẵn

 Cho một đồ thi vô hướng G liên thông và có hơn 1 đỉnh Khi đó, G có đường đi Euler nếu

và chỉ nếu G có đúng 2 đỉnh bậc lẻ

Trang 39

Tóm tắt

Khi đó, G có chu trình Euler nếu và chỉ nếu G cân bằng.

Khi đó, G có đường đi Euler nếu và chỉ nếu trong G

có 2 đỉnh a, b thỏa:

d out (a) = d in (a) + 1

d in (b) = d out (b) + 1 mọi đỉnh còn lại đều cân bằng và đường Euler phải

Trang 40

Tóm tắt

 Một đường đi Hamilton của G là một đường

đi sơ cấp qua tất cả các đỉnh của G

 Một chu trình Hamilton của G là một chu trình

sơ cấp qua tất cả các đỉnh của G

 Chưa có một điều kiện cần và đủ để xác định chu trình Hamilton

Trang 41

Bài tập

 Đồ thị nào là đồ thị Hamilton?

Trang 42

Bài tập

 Đồ thị có chu trình (đường đi) Hamilton?

Trang 43

Bài tập

 Với giá trị nào của m và n các đồ thị phân đôi

đầy đủ K m,n có chu trình Hamilton?

 Vẽ chu trình Hamilton của đồ thị lập phương Q3?

 Tìm đường đi Hamilton trong hình vẽ?

Trang 44

Bài tập

 Trong các đồ thị liên thông sau, đồ thị nào

chứa chu trình Hamilton

Định dạng
Số trang	44
Dung lượng	1,56 MB