ĐƯỜNG đi và CHU TRÌNH EULER, HAMILTON (lý THUYẾT đồ THỊ SLIDE)

Chương  ĐƯỜNG ĐI VÀ CHU TRÌNH EULER  ĐƯỜNG ĐI VÀ CHU TRÌNH HAMILTON Nhà tốn học Thụy sĩ Ví dụ :Bài tốn cầu Konigsberg (Nga) - Tìm cách qua bảy cầu, sau điểm xuất phát, cầu qua lần ? Nhiều người thử không thành công - Năm 1736, L Euler, dùng lý thuyết đồ thị, chứng minh được: Bài tốn khơng thể có lời giải Ví dụ :Bài toán cầu Konigsberg (tt)  Gọi 1, 2, vùng đất bị ngăn cách nhánh sông  Biểu diễn vùng đất đỉnh đồ thị  Một cạnh: cầu nối vùng đất     Ví dụ :Bài toán cầu Konigsberg (tt)  Bài tốn trở thành: Tìm chu trình đơn qua tất cạnh đồ thị  Chu trình Euler?     Đường Euler chu trình Euler  Cho G đồ thị liên thơng, chu trình Euler (Eulerian circuit) G chu trình đơn qua tất cạnh (cung) G Ví dụ 1,2,5,3,4,5,1: chu trình Euler: Đường Euler chu trình Euler  Cho G đồ thị liên thông, đường Euler (Eulerian path) G đường đơn qua tất cạnh (cung) G Ví dụ 2,1,5,2,3,4,5: đường Euler Định lý Euler  Định lý Euler 1: Đồ thị vô hướng G=(V,E) liên thông |V|>1, G có chu trình Euler  đỉnh G có bậc chẵn Ví dụ: Đồ thị sau có chu trình Euler, khơng có chu trình Uuler a b c e b d G1 G2 c e a f d g G3 Định lý Euler a h b e f g c 0 1  A 0  1 0 0 0 0 1  1 1 0 d G4 G5 (cho ma trận kề) Bài toán cầu Konigsberg (trong ví dụ trước)     10  Có lời giải cho tốn cầu? Thuật tốn tìm chu trình Euler Chọn đỉnh v làm đỉnh bắt đầu C {v}; Nếu cạnh G chưa đặt vào C (a) Đặt G’=(VG’,EG’) có từ G sau xóa cạnh có C xóa đỉnh lập (b) Chọn đỉnh a {tập đỉnh có C} VG’ (c) Từ a, chọn dãy cạnh, đỉnh kề liên tiếp G’ (khơng có canh lặp lai), không chọn nữa, ta chu trình C (d) Thay vị trí a C C 1, lặp lại bước end Return C; 22 Bài tập thực hành  Cài đặt thuật tốn kiểm tra đồ thị (vơ hướng có hướng) có Euler (hoặc Euler) hay khơng  Cài đặt thuật tốn tìm đường chu trình Euler đồ thị vơ hướng (có hướng) 23 Đường chu trình Hamilton  Cho G liên thơng, đường (tương tự chu trình) Hamilton G đường (tương tự chu trình) qua tất đỉnh G, đỉnh qua lần  Một đồ thị có chu trình Hamilton gọi thị Hamilton  Một đồ thị có đường Hamilton gọi Hamilton Ví dụ: 1 6 G Một đường Hamilton G 24 Đường chu trình Hamilton (tt) 1 2 H Một chu trình Hamilton H 25 Quy tắc tìm chu hình Hamilton  Nếu tồn đỉnh G có bậc ≤1 G khơng có chu trình Hamilton  Nếu đỉnh x có bậc cạnh tới x phải thuộc chu trình Hamilton  Chu trình Hamilton khơng chứa chu trình thực  Trong trình xây dựng chu trình Hamilton, sau lấy cạnh tới đỉnh x đặt vào chu trình Hamilton phải xóa cạnh cịn lại tới x 26 Ví dụ: 2 3 9 8 10 11 H 7 G -Đồ thị có chu trình Hamilton, đồ thị khơng có chu trình Hamilton? -Tìm chu trình Hamilton (nếu có) đồ thị 27 Đường chu trình Hamilton (tt)  Định lý: Mọi đồ thị đủ có chu trình Hamilton 1 K5 12 5  3  Là chu trình Hamilton K5 28 Đường chu trình Hamilton (tt)  Định lý: Cho đồ thị G, giả sử có k đỉnh cho xố k đỉnh với cạnh liên kết với chúng ta nhiều k thành phần liên thơng Thì G khơng có chu trình Hamilton 7 5 3 H H có chu trình Hamilton khơng? Xóa đỉnh với cạnh liên kết thu thành phần liên thơng H khơng có chu trình Hamilton 29 Đường chu trình Hamilton (tt)  Cho đồ thị G hình G có chu trình Hamilton khơng? Giải: Nếu xóa đỉnh 3,4 ta thành phần liên thông Vậy G không Hamilton 5 10 10 30 Đường chu trình Hamilton (tt)  Định lý (Dirac): Cho G đơn đồ thị có n đỉnh (n≥3) Nếu đỉnh G có bậc ≥ n/2 G có chu trình Hamilton  Định lý: Mọi đồ thị có hướng, có n đỉnh, liên thông mạnh Nếu đỉnh v thuộc đồ thị thỏa: deg-(v)≥n/2 deg+(v)≥n/2 Thì G có chu trình hamilton Ví dụ: Vậy G có chu trình Hamilton n=5 (>3) deg(1)=4 (≥5/2) deg(2)=4 (≥5/2) Deg(3)=4 (≥5/2) Deg(4)=3 (≥5/2) Deg(5)=3 (≥5/2) 31 Đường chu trình Hamilton (tt)  Bao đóng đồ thị: Cho đơn đồ thị G có n đỉnh, bao đóng c(G) tạo từ G cách bổ sung cho cặp đỉnh không kề u v với deg(v) + deg(u) ≥ n cạnh uv Ví dụ: Cho G, tìm bao đóng G 32 Đường chu trình Hamilton (tt)  Định lý: Một đồ thị Hamilton bao đóng Hamilton Ví dụ: Cho đồ thị G có phải hamilton khơng? 33 Đường chu trình Hamilton (tt)  Đồ thị đấu loại: Là đồ thị có hướng có đỉnh ln nối với cung  Định lý:  Mọi đồ thị đấu loại có đường Hamilton  Mọi đồ thị đấu loại liên thơng mạnh đề có chu trình Hamilton 34 Đường chu trình Hamilton (tt)  Định lý (Ore, 1960): Một đơn đồ thị vô hướng G gồm n đỉnh với n≥3 Nếu deg(u)+deg(v)≥n với cặp đỉnh u,v khơng kề G G đồ thị Hamilton Ví dụ: Mọi cặp đỉnh khác u, v G thỏa: deg(u)+deg(v)≥n=6 Nên G có chu trình Hamilton G 35 Thuật tốn tìm tất chu trình Hamilton G (Thuật tốn quay lui) FindHamiltonCycles(int[][] A) // A ma trận kề G // G có n đỉnh // hc[0 n-1] chứa chu trình tìm //visited[0…n-1] đánh dấu đỉnh xét int[] hc= new int[n]; visited = new boolean[n]; for (j=0; j