Đường đi và chu trình

Đường đi và chu trình

Lý thuyết đồ thị Chương 2: Đường chu trình 4.6 Đường chu trình Euler Bài tốn “Kưnigsburg Bridges” (Leonhard Euler, 1707-1783) Xác định chu trình qua tất cầu, lần 4.6 Đường chu trình Euler D A B C 4.6 Đường chu trình Euler    Định nghĩa: Xét đồ thị liên thông G Một đường Euler G đường đơn giản có đỉnh bắt đầu khác đỉnh kết thúc qua tất cạnh G Khi G gọi đường Euler Một chu trình Euler G chu trình đơn giản qua tất cạnh G Khi G gọi chu trình Euler 4.6 Đường chu trình Euler  Định lý 2.1 (Định lý Euler 1): Cho đồ thị vô hướng G liên thông có đỉnh Khi đó, G có chu trình Euler đỉnh G có bậc chẵn A E B D C Chu trình Euler: DEABCEBD 4.6 Đường chu trình Euler  Thuật tốn tìm chu trình Euler đồ thị G(V, E) Kết cho C chu trình Euler bao gồm thứ tự cạnh chu trình 4.6 Đường chu trình Euler 6 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 C = Ø, v = 4.6 Đường chu trình Euler 6 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 C = 1,2 4.6 Đường chu trình Euler 6 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 C = 1,2,3 10 4.7 Đường chu trình Hamilton A E Đường Hamilton: ABECD B D E A C B Đường Hamilton: BAECD D C 23 4.7 Đường chu trình Hamilton A B Chu trình Hamilton: ABCDA D A C B Chu trình Hamilton: ACBDA D C 24 4.7 Đường chu trình Hamilton  Qui tắc tìm chu trình Hamilton Nếu tồn đỉnh G có bậc ≤ G khơng có chu trình Hamilton Nếu đỉnh x có bậc cạnh tới x phải thuộc chu trình Hamilton Chu trình Hamilton khơng chứa chu trình thực Trong trình xây dựng chu trình Hamilton, sau lấy cạnh tới đỉnh x đặt vào chu trình khơng thể lấy thêm cạnh tới x Do xóa cạnh lại tới x G 25 4.7 Đường chu trình Hamilton Xét đỉnh 1, chọn cạnh (1,2) (1,6) 26 4.7 Đường chu trình Hamilton •Xóa cạnh (1,5), (1,4), (1,3), (1,7), (1,8), (1,9) (theo quy tắc 4) •Các đỉnh 3, 4, bậc 2, cạnh (2,3), (3,4), (4,5), (5,6) phải thuộc chu trình Hamilton (quy tắc 2) •Chu trình con: 1,2,3,4,5,6,1 (khơng xóa cạnh chu trình này) 27 4.7 Đường chu trình Hamilton •Chọn cạnh (1,2), (1,3) Xóa cạnh (1,4), (1,5), (1,6), (1,7), (1,8), (1,9) (quy tắc 4) •Xóa cạnh (2,3) để khơng tạo chu trình (quy tắc 3) •Các đỉnh 4, 5, 6, 7, 8, có bậc nên thuộc chu trình Hamilton (quy tắc 2) •Chu trình nhận được: 1,3,4,5,6,7,8,9,2,1 28 4.7 Đường chu trình Hamilton  Định lý 2.5: Mọi đồ thị đầy đủ có chu trình Hamilton 29 4.7 Đường chu trình Hamilton  Định lý 2.6: Cho đồ thị G Giả sử có k đỉnh G cho xóa k đỉnh với cạnh liên kết với chúng khỏi G đồ thị nhận có k thành phần Khi đó, G khơng có chu trình Hamilton 1 2 10 10 30 4.7 Đường chu trình Hamilton  Định lý 2.7 (Định lý Dirac): Coi đồ thị G liên thơng có n đỉnh (n ≥ 3) Nếu đỉnh G có bậc ≥ n/2 G có chu trình Hamilton 31 4.7 Đường chu trình Hamilton  Định lý 2.8 (tổng quát định lý 2.7): Một đồ thị G có n đỉnh đỉnh có tổng bậc ≥ n G có chu trình Hamilton 32 4.7 Đường chu trình Hamilton  Định lý 2.9: Mọi đồ thị có hướng đầy đủ có đường Hamilton A B Đường đi: CBDA D C 33 Tóm tắt   Một đường Euler G đường đơn giản có đỉnh bắt đầu khác đỉnh kết thúc qua tất cạnh G Khi G gọi đường Euler Một chu trình Euler G chu trình đơn giản qua tất cạnh G Khi G cịn gọi chu trình Euler 34 Tóm tắt   Cho đồ thị vơ hướng G liên thơng có đỉnh Khi đó, G có chu trình Euler đỉnh G có bậc chẵn Cho đồ thi vơ hướng G liên thơng có đỉnh Khi đó, G có đường Euler G có đỉnh bậc lẻ 35 Tóm tắt   Cho đồ thị có hướng G liên thơng có đỉnh Khi đó, G có chu trình Euler G cân Cho đồ thị có hướng G liên thơng có đỉnh Khi đó, G có đường Euler G có đỉnh a, b thỏa: dout(a) = din(a) + din(b) = dout(b) + đỉnh lại cân đường Euler phải bắt đầu a kết thúc b 36 Tóm tắt    Một đường Hamilton G đường sơ cấp qua tất đỉnh G Một chu trình Hamilton G chu trình sơ cấp qua tất đỉnh G Chưa có điều kiện cần đủ để xác định chu trình Hamilton 37 ... Thuật tốn tìm chu trình Euler đồ thị G(V, E) Kết cho C chu trình Euler bao gồm thứ tự cạnh chu trình 4.6 Đường chu trình Euler 6 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 C = Ø, v = 4.6 Đường chu trình Euler 6... Hamilton: BAECD D C 23 4.7 Đường chu trình Hamilton A B Chu trình Hamilton: ABCDA D A C B Chu trình Hamilton: ACBDA D C 24 4.7 Đường chu trình Hamilton  Qui tắc tìm chu trình Hamilton Nếu tồn đỉnh... đỉnh Một đường Hamilton G đường sơ cấp qua tất đỉnh G Một chu trình Hamilton G chu trình sơ cấp qua tất đỉnh G 22 4.7 Đường chu trình Hamilton A E Đường Hamilton: ABECD B D E A C B Đường Hamilton: